高中数学 必修4平面向量2．5.2 向量在物理中的应用举例

高中数学 必修4平面向量2．5.2 向量在物理中的应用举例

1 2．5.2 向量在物理中的应用举例 学习目标 1.经历用向量方法解决某些简单的力学问题与其他一些实际问题的过程.2.体会 向量是一种处理物理问题的重要工具.3.培养运用向量知识解决物理问题的能力． 知识点一 向量的线性运算在物理中的应用 思考 1 向量与力有什么相同点和不同点？ 答案 向量是既有大小又有方向的量，它们可以有共同的作用点，也可以没有共同的作用点， 但是力却是既有大小，又有方向且作用于同一作用点的． 思考 2 向量的运算与速度、加速度与位移有什么联系？ 答案 速度、加速度与位移的合成与分解，实质上是向量的加减法运算，而运动的叠加也用 到向量的合成． 梳理 (1)用向量解决力的问题，通常把向量的起点平移到同一个作用点上． (2)向量在解决涉及速度、位移等物理量的合成与分解时，实质就是向量的线性运算． 知识点二 向量的数量积在物理中的应用 思考 向量的数量积与功有什么联系？ 答案 物理上力做功的实质是力在物体前进方向上的分力与物体位移的乘积，它的实质是向 量的数量积． 梳理 物理上力的做功就是力在物体前进方向上的分力与物体位移的乘积，即 W＝|F||s|cos 〈F，s〉，功是一个实数，它可正可负，也可以为零．力的做功涉及两个向量及这两个向量 的夹角，它的实质是向量 F 与 s 的数量积． 知识点三 向量方法解决物理问题的步骤 用向量理论讨论物理学中的相关问题，一般来说分为四个步骤： (1)问题转化，即把物理问题转化为数学问题； (2)建立模型，即建立以向量为载体的数学模型； (3)求解参数，即求向量的模、夹角、数量积等； (4)回答问题，即把所得的数学结论回归到物理问题． 2 1．功是力 F 与位移 S 的数量积．( √ ) 2．力的合成与分解体现了向量的加减法运算．( √ ) 3．某轮船需横渡长江，船速为 v1，水速为 v2，要使轮船最快到达江的另一岸，则需保持船头 方向与江岸垂直．( √ ) 类型一 向量的线性运算在物理中的应用 例 1 (1)在重 300N 的物体上系两根绳子，这两根绳子在铅垂线的两侧，与铅垂线的夹角分 别为 30°，60°(如图)，求重物平衡时，两根绳子拉力的大小． 考点 向量在力学中的应用 题点 求分力 解 如图，两根绳子的拉力之和OA→＋OB→＝OC→，且|OC→|＝|OG→|＝300N，∠AOC＝30°，∠BOC＝ 60°. 在△OAC 中，∠ACO＝∠BOC＝60°，∠AOC＝30°，则∠OAC＝90°， 从而|OA→|＝|OC→|·cos30°＝150 3(N)， |AC→|＝|OC→|·sin30°＝150(N)， 所以|OB→|＝|AC→|＝150(N)． 答 与铅垂线成 30°角的绳子的拉力是 150 3N，与铅垂线成 60°角的绳子的拉力是 150N. (2)一条宽为 3km 的河，水流速度为 2km/h，在河两岸有两个码头 A，B，已知 AB＝ 3km， 船在水中最大航速为 4km/h，问该船从 A 码头到 B 码头怎样安排航行速度可使它最快到达彼 岸 B 码头？用时多少？ 考点 向量在运动学中的应用 题点 求速度 3 解 如图所示，设AC→为水流速度，AD→为航行速度，以 AC 和 AD 为邻边作▱ ACED 且当 AE 与 AB 重合时能最快到达彼岸， 根据题意 AC⊥AE，在 Rt△ADE 和▱ ACED 中， |DE→|＝|AC→|＝2，|AD→|＝4，∠AED＝90°， ∴|AE→|＝ |AD→|2－|DE→|2＝2 3. 又 AB＝ 3，∴用时 0.5h. ∵sin∠EAD＝1 2 ，∠EAD∈(0°，90°)，∴∠EAD＝30°. 答 船实际航行速度大小为 2 3km/h，与水流成 120°角时能最快到达 B 码头，用时 0.5h. 反思与感悟 利用向量法解决物理问题有两种思路，第一种是几何法，选取适当的基底，将 题中涉及的向量用基底表示，利用向量运算法则、运算律或性质计算．第二种是坐标法，通 过建立平面直角坐标系，实现向量的坐标化，转化为代数运算． 跟踪训练 1 河水自西向东流动的速度为 10km/h，小船自南岸沿正北方向航行，小船在静水 中的速度为 10 3km/h，求小船的实际航行速度． 考点 向量在运动学中的应用 题点 求速度 解 设 a，b 分别表示水流的速度和小船在静水中的速度，过平面内一点 O 作OA→＝a，OB→＝b， 以OA→，OB→为邻边作矩形 OACB，连接OC→，如图，则OC→＝a＋b，并且OC→即为小船的实际航行速度． ∴|OC→|＝ a＋b 2＝ a2＋b2＝20(km/h)， tan∠AOC＝10 3 10 ＝ 3，∴∠AOC＝60°， ∴小船的实际航行速度为 20km/h，按北偏东 30°的方向航行． 类型二 向量的数量积在物理中的应用 例 2 质量 m＝2.0kg 的木块，在平行于斜面向上的拉力 F＝10N 的作用下，沿倾斜角θ＝30° 4 的光滑斜面向上滑行|s|＝2.0m 的距离．(g＝9.8N/kg) (1)分别求物体所受各力对物体所做的功； (2)在这个过程中，物体所受各力对物体做功的代数和是多少？ 考点 向量在力学中的应用 题点 求做功 解 (1)木块受三个力的作用，重力 G，拉力 F 和支持力 FN，如图所示，拉力 F 与位移 s 方向 相同，所以拉力对木块所做的功为 WF＝F·s＝|F||s|cos0°＝20(J)； 支持力 FN 与位移方向垂直，不做功， 所以 WN＝FN·s＝0； 重力 G 对物体所做的功为 WG＝G·s＝|G||s|cos(90°＋θ)＝－19.6(J)． (2)物体所受各力对物体做功的代数和为 W＝WF＋WN＋WG＝0.4(J)． 反思与感悟 物理上的功实质上就是力与位移两矢量的数量积． 跟踪训练 2 已知力 F 的大小|F|＝10，在 F 的作用下产生的位移 s 的大小|s|＝14，F 与 s 的夹角为 60°，则 F 做的功为( ) A．7B．10C．14D．70 考点 向量在力学中的应用 题点 求做功 答案 D 解析 F 做的功为 F·s＝|F||s|cos60°＝10×14×1 2 ＝70. 1．一质点受到平面上的三个力 F1，F2，F3(单位：牛顿)的作用而处于平衡状态，已知 F1，F2 成 90°角，且 F1，F2 的大小分别为 2 和 4，则 F3 的大小为( ) A．6B．2C．2 5D．2 7 考点 向量在力学中的应用 题点 求合力 答案 C 5 解析 由题意知 F3＝－(F1＋F2)， 所以|F3|2＝(F1＋F2)2＝F2 1＋F2 2＋2F1·F2＝4＋16＝20， ∴|F3|＝2 5. 2．人骑自行车的速度是 v1，风速为 v2，则逆风行驶的速度为( ) A．v1－v2 B．v2－v1 C．v1＋v2 D．|v1|－|v2| 考点 向量在运动学中的应用 题点 求速度 答案 C 解析 由题易知，选项 C 正确． 3.用两条成 120°角的等长的绳子悬挂一个灯具，如图所示，已知灯具重 10N，则每根绳子的 拉力大小为______N. 考点 向量在力学中的应用 题点 求分力 答案 10 解析 设重力为 G，每根绳的拉力分别为 F1，F2，则由题意得 F1，F2 与－G 都成 60°角， 且|F1|＝|F2|. ∴|F1|＝|F2|＝|G|＝10N， ∴每根绳子的拉力都为 10N. 4．一条河宽为 800m，一船从 A 处出发垂直到达河正对岸的 B 处，船速为 20 km/h，水速为 12 km/h，则船到达 B 处所需时间为________min. 考点 向量在运动学中的应用 题点 求时间 答案 3 解析 ∵v 实际＝v 船＋v 水＝v1＋v2， |v1|＝20 km/h，|v2|＝12 km/h， 6 ∴|v 实际|＝ |v1|2－|v2|2 ＝ 202－122＝16(km/h)． ∴所需时间 t＝0.8 16 ＝0.05(h) ＝3(min)． ∴该船到达 B 处所需的时间为 3min. 5．一艘船从南岸出发，向北岸横渡．根据测量，这一天水流速度为 3km/h，方向正东，风的 方向为北偏西 30°，受风力影响，静水中船的漂行速度为 3 km/h，若要使该船由南向北沿垂 直于河岸的方向以 2 3km/h 的速度横渡，求船本身的速度大小及方向． 考点 向量在运动学中的应用 题点 求速度 解 如图，设水的速度为 v1，风的速度为 v2，v1＋v2＝a.可求得 a 的方向是北偏东 30°，a 的大小是 3km/h.设船的实际航行速度为 v，方向由南向北，大小为 2 3km/h.船本身的速度为 v3，则 a＋v3＝v，即 v3＝v－a，由数形结合知，v3 的方向是北偏西 60°，大小是 3km/h. 用向量理论讨论物理中相关问题的步骤 一般来说分为四步：(1)问题的转化，把物理问题转化成数学问题；(2)模型的建立，建立以 向量为主体的数学模型；(3)参数的获取，求出数学模型的相关解；(4)问题的答案，回到物 理现象中，用已经获取的数值去解释一些物理现象． 一、选择题 1．两个大小相等的共点力 F1，F2，当它们夹角为 90°时，合力大小为 20N，则当它们的夹角 为 120°时，合力大小为( ) A．40N B．10 2N C．20 2N D．10 3N 考点 向量在力学中的应用 题点 求合力 答案 B 解析 |F1|＝|F2|＝|F|cos45°＝10 2， 7 当θ＝120°，由平行四边形法则知 |F 合|＝|F1|＝|F2|＝10 2N. 2．已知三个力 F1＝(－2，－1)，F2＝(－3,2)，F3＝(7，－3)同时作用于某物上一点，为使 该物体保持平衡，再加上一个力 F4，则 F4 等于( ) A．(－2，－2) B．(2，－2) C．(－1,2) D．(－2,2) 考点 向量在力学中的应用 题点 求合力 答案 D 解析 由物理知识，知物体平衡，则所受合力为 0，所以 F1＋F2＋F3＋F4＝0，故 F4＝－(F1＋ F2＋F3)＝(－2,2)，故选 D. 3．已知作用在点 A 的三个力 F1＝(3,4)，F2＝(2，－5)，F3＝(3,1)且 A(1,1)，则合力 F＝F1 ＋F2＋F3 的终点坐标为( ) A．(9,1) B．(1,9) C．(9,0) D．(0,9) 考点 向量在力学中的应用 题点 求合力 答案 A 解析 F＝F1＋F2＋F3＝(3,4)＋(2，－5)＋(3,1)＝(8,0)，设合力 F 的终点为 P(x，y)，则OP→ ＝OA→＋F＝(1,1)＋(8,0)＝(9,1)． 4．质点 P 在平面上作匀速直线运动，速度向量ν＝(4，－3)(即点 P 的运动方向与ν相同， 且每秒移动的距离为|ν|个单位)．设开始时点 P 的坐标为(－10,10)，则 5 秒后点 P 的坐标 为( ) A．(－2,4) B．(－30,25) C．(10，－5) D．(5，－10) 考点 向量在运动学中的应用 题点 求位移 答案 C 解析 设点(－10,10)为点 A,5 秒后 P 点的坐标为 A1(x，y)，则AA1 →＝(x＋10，y－10)， 由题意可知，AA1 →＝5ν， 即(x＋10，y－10)＝(20，－15)， 所以 x＋10＝20， y－10＝－15， 解得 x＝10， y＝－5. 8 5．已知两个力 F1，F2 的夹角为 90°，它们的合力大小为 10N，合力与 F1 的夹角为 60°，那 么 F1 的大小为( ) A．5 3N B．5N C．10N D．5 2N 考点 向量在力学中的应用 题点 求分力 答案 B 解析 如图，有|F1|＝|F|cos60°＝10×1 2 ＝5(N)． 6．河水的流速为 5m/s，若一艘小船沿垂直于河岸方向以 12 m/s 的速度驶向对岸，则小船在 静水中的速度大小为( ) A．13m/s B．12 m/s C．17m/s D．15 m/s 考点 向量在运动学中的应用 题点 求速度 答案 A 解析 设小船在静水中的速度为 v1， 河水的流速为 v2， v1 与 v2 的合速度为 v， ∵为了使航向垂直河岸，船头必须斜向上游方向， 即小船在静水中的速度 v1 斜向上游方向，河水速度 v2 平行于河岸，合速度 v 指向对岸， ∴静水速度|v1|＝ |v|2＋|v2|2＝ 122＋52＝13(m/s)． 7．当两人提起重量为 G 的旅行包时，夹角为θ，两人用力大小都为|F|，若|F|＝|G|，则θ 的值为( ) A．30°B．60°C．90°D．120° 考点 向量在力学中的应用 题点 求分力 答案 D 解析 作OA→＝F1，OB→＝F2，OC→＝－G(图略)， 9 则OC→＝OA→＋OB→， 当|F1|＝|F2|＝|G|时，△OAC 为正三角形， 所以∠AOC＝60°，从而∠AOB＝120°. 二、填空题 8．飞机以 300km/h 的速度斜向上飞行，方向与水平面成 30°角，则飞机在水平方向的分速 度大小是______ km/h. 考点 向量在运动学中的应用 题点 求速度 答案 150 3 解析 如图所示， |v1|＝|v|cos30°＝300× 3 2 ＝150 3(km/h)． 9．一物体在力 F1＝(3，－4)，F2＝(2，－5)，F3＝(3,1)的共同作用下从点 A(1,1)移动到点 B(0,5)．在这个过程中三个力的合力所做的功为________． 考点 向量在运动学中的应用 题点 求做功 答案 －40 解析 ∵F1＝(3，－4)，F2＝(2，－5)，F3＝(3,1)， ∴合力 F＝F1＋F2＋F3＝(8，－8)． 又∵AB→＝(0－1,5－1)＝(－1,4)， ∴F·AB→＝8×(－1)＋(－8)×4＝－40， 即三个力的合力做的功等于－40. 10．一个重 20N 的物体从倾斜角为θ，斜面长 1m 的光滑斜面顶端下滑到底端，若重力做的功 是 10J，则θ＝________. 考点 向量在运动学中的应用 题点 求方向 答案 30° 解析 ∵WG＝G·s＝|G||s|·cos(90°－θ) ＝20×1×cos(90°－θ)＝10J， ∴cos(90°－θ)＝1 2 ，∴θ＝30°. 10 11．河水的流速为 2m/s，一艘小船以 10 m/s 的速度沿垂直于对岸的方向行驶，则小船在静 水中的速度大小为________m/s. 考点 向量在运动学中的应用 题点 求速度 答案 2 26 解析 设河水的流速为 v1，小船在静水中的速度为 v2，船的实际速度为 v，则 v＝v1＋v2，|v1| ＝2m/s，|v|＝10 m/s. 所以|v2|＝|v－v1|＝ v2－2v·v1＋v2 1 ＝ 100－0＋4＝ 104＝2 26(m/s)． 三、解答题 12．在水流速度为 4 千米/时的河流中，有一艘船沿与水流垂直的方向以 8 千米/时的速度航 行，求船实际航行的速度的大小． 考点 向量在运动学中的应用 题点 求速度 解 如图，用 v0 表示水流速度，v1 表示与水流垂直的方向的速度． 则 v0＋v1 表示船实际航行的速度， ∵|v0|＝4，|v1|＝8， ∴|v0＋v1|＝ 42＋82＝4 5. 故船实际航行的速度为 4 5千米/时． 13．已知两恒力 F1＝(3,4)，F2＝(6，－5)作用于同一质点，使之由点 A(20,15)移动到点 B(7,0)． (1)求力 F1，F2 分别对质点所做的功； (2)求力 F1，F2 的合力 F 对质点所做的功． 考点 向量在力学中的应用 题点 求做功 解 (1)AB→＝(7,0)－(20,15)＝(－13，－15)， W1＝F1·AB→＝(3,4)·(－13，－15) ＝3×(－13)＋4×(－15)＝－99， W2＝F2·AB→＝(6，－5)·(－13，－15) ＝6×(－13)＋(－5)×(－15)＝－3. 11 ∴力 F1，F2 对质点所做的功分别为－99 和－3. (2)W＝F·AB→＝(F1＋F2)·AB→ ＝[(3,4)＋(6，－5)]·(－13，－15) ＝(9，－1)·(－13，－15) ＝9×(－13)＋(－1)×(－15) ＝－117＋15＝－102. ∴合力 F 对质点所做的功为－102. 四、探究与拓展 14.如图所示，小船被绳索拉向岸边，船在水中运动时设水的阻力大小不变，那么小船匀速靠 岸过程中，下列说法中正确的是________．(写出所有正确的序号) ①绳子的拉力不断增大；②绳子的拉力不断变小；③船的浮力不断变小；④船的浮力保持不 变． 考点 向量在力学中的应用 题点 求分力 答案 ①③ 解析 设水的阻力为 f，绳的拉力为 F，F 与水平方向夹角为θ(0<θ<π 2 )．则|F|cosθ＝|f|， ∴|F|＝ |f| cosθ . ∵θ增大，cosθ减小，∴|F|增大． ∵|F|sinθ增大，∴船的浮力减小．