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文档介绍
中考精品数学压轴题汇编含解题过程共67页
冲刺中考数学压轴题汇编(含解题过程) （2009年重庆市）26．已知：如图，在平面直角坐标系中，矩形OABC的边OA在y轴的正半轴上，OC在x轴的正半轴上，OA=2，OC=3．过原点O作∠AOC的平分线交AB于点D，连接DC，过点D作DE⊥DC，交OA于点E． （1）求过点E、D、C的抛物线的解析式； （2）将∠EDC绕点D按顺时针方向旋转后，角的一边与y轴的正半轴交于点F，另一边与线段OC交于点G．如果DF与（1）中的抛物线交于另一点M，点M的横坐标为，那么EF=2GO是否成立？若成立，请给予证明；若不成立，请说明理由； （3）对于（2）中的点G，在位于第一象限内的该抛物线上是否存在点Q，使得直线GQ与AB的交点P与点C、G构成的△PCG是等腰三角形？若存在，请求出点Q的坐标；若不存在，请说明理由． 26题图 y x D B C A E E O 26．解：（1）由已知，得，， ， ． ． （1分） 设过点的抛物线的解析式为． 将点的坐标代入，得． 将和点的坐标分别代入，得 （2分） 解这个方程组，得 故抛物线的解析式为． （3分） （2）成立． （4分） 点在该抛物线上，且它的横坐标为， y x D B C A E E O Ｍ F K G G 点的纵坐标为． （5分） 设的解析式为， 将点的坐标分别代入，得 解得 的解析式为． （6分） ，． （7分） 过点作于点， 则． ， ． 又， ． ． ． （8分） ． （3）点在上，，，则设． ，，． ①若，则， 解得．，此时点与点重合． ． （9分） ②若，则， 解得 ，，此时轴． 与该抛物线在第一象限内的交点的横坐标为1， 点的纵坐标为． ． （10分） ③若，则， 解得，，此时，是等腰直角三角形． y x D B C A E E O Q P H G G (P) (Q) Q (P) 过点作轴于点， 则，设， ． ． 解得（舍去）． ． （12分） 综上所述，存在三个满足条件的点， 即或或． （2009年重庆綦江县）26．（11分）如图，已知抛物线经过点，抛物线的顶点为，过作射线．过顶点平行于轴的直线交射线于点，在轴正半轴上，连结． （1）求该抛物线的解析式； （2）若动点从点出发，以每秒1个长度单位的速度沿射线运动，设点运动的时间为．问当为何值时，四边形分别为平行四边形？直角梯形？等腰梯形？ x y M C D P Q O A B （3）若，动点和动点分别从点和点同时出发，分别以每秒1个长度单位和2个长度单位的速度沿和运动，当其中一个点停止运动时另一个点也随之停止运动．设它们的运动的时间为，连接，当为何值时，四边形的面积最小？并求出最小值及此时的长． *26．解：（1）抛物线经过点， 1分 二次函数的解析式为： 3分 （2）为抛物线的顶点过作于，则， 4分 x y M C D P Q O A B N E H 当时，四边形是平行四边形 5分 当时，四边形是直角梯形 过作于，则 （如果没求出可由求） 6分 当时，四边形是等腰梯形 综上所述：当、5、4时，对应四边形分别是平行四边形、直角梯形、等腰梯形． 7分 （3）由（2）及已知，是等边三角形 则 过作于，则 8分 = 9分 当时，的面积最小值为 10分 此时 11分 （2009年河北省）26．（本小题满分12分） A C B P Q E D 图16 如图16，在Rt△ABC中，∠C=90°，AC = 3，AB = 5．点P从点C出发沿CA以每秒1个单位长的速度向点A匀速运动，到达点A后立刻以原来的速度沿AC返回；点Q从点A出发沿AB以每秒1个单位长的速度向点B匀速运动．伴随着P、Q的运动，DE保持垂直平分PQ，且交PQ于点D，交折线QB-BC-CP于点E．点P、Q同时出发，当点Q到达点B时停止运动，点P也随之停止．设点P、Q运动的时间是t秒（t＞0）． （1）当t = 2时，AP = ，点Q到AC的距离是 ； （2）在点P从C向A运动的过程中，求△APQ的面积S与 t的函数关系式；（不必写出t的取值范围） （3）在点E从B向C运动的过程中，四边形QBED能否成 为直角梯形？若能，求t的值．若不能，请说明理由； （4）当DE经过点C 时，请直接写出t的值． A C ) B P Q D 图3 E ) F 26．解：（1）1，； （2）作QF⊥AC于点F，如图3， AQ = CP= t，∴． 由△AQF∽△ABC，， 得．∴． A C B P Q E D 图5 A C(E) ) B P Q D 图6 G A C(E) ) B P Q D 图7 G A C B P Q E D 图4 ∴， 即． （3）能． ①当DE∥QB时，如图4． ∵DE⊥PQ，∴PQ⊥QB，四边形QBED是直角梯形． 此时∠AQP=90°． 由△APQ ∽△ABC，得， 即． 解得． ②如图5，当PQ∥BC时，DE⊥BC，四边形QBED是直角梯形． 此时∠APQ =90°． 由△AQP ∽△ABC，得 ， 即． 解得． （4）或． 【注：①点P由C向A运动，DE经过点C． 方法一、连接QC，作QG⊥BC于点G，如图6． ，． 由，得，解得． 方法二、由，得，进而可得 ，得，∴．∴． ②点P由A向C运动，DE经过点C，如图7． ，】 （2009年河南省）23.（11分）如图，在平面直角坐标系中，已知矩形ABCD的三个顶点B（4，0）、C（8，0）、D（8，8）.抛物线y=ax2+bx过A、C两点. (1)直接写出点A的坐标，并求出抛物线的解析式； (2)动点P从点A出发．沿线段AB向终点B运动，同时点Q从点C出发，沿线段CD 向终点D运动．速度均为每秒1个单位长度，运动时间为t秒.过点P作PE⊥AB交AC于点E ①过点E作EF⊥AD于点F，交抛物线于点G.当t为何值时，线段EG最长? ②连接EQ．在点P、Q运动的过程中，判断有几个时刻使得△CEQ是等腰三角形? 请直接写出相应的t值. 解.(1)点A的坐标为（4，8） …………………1分 将A (4,8)、C（8，0）两点坐标分别代入y=ax2+bx 8=16a+4b 得 0=64a+8b 解 得a=-,b=4 ∴抛物线的解析式为：y=-x2+4x …………………3分 （2）①在Rt△APE和Rt△ABC中，tan∠PAE==,即= ∴PE=AP=t．PB=8-t． ∴点Ｅ的坐标为（4+t，8-t）. ∴点G的纵坐标为：-（4+t）2+4(4+t）=-t2+8. …………………5分 ∴EG=-t2+8-(8-t) =-t2+t. ∵-＜0，∴当t=4时，线段EG最长为2. …………………7分 ②共有三个时刻. …………………8分 t1=， t2=，t3= ． …………………11分 (2009年山西省)26．（本题14分）如图，已知直线与直线相交于点分别交轴于两点．矩形的顶点分别在直线上，顶点都在轴上，且点与点重合． （1）求的面积； （2）求矩形的边与的长； （3）若矩形从原点出发，沿轴的反方向以每秒1个单位长度的速度平移，设 移动时间为秒，矩形与重叠部分的面积为，求关 A D B E O C F x y y （G） （第26题） 的函数关系式，并写出相应的的取值范围． 26．（1）解：由得点坐标为 由得点坐标为 ∴ （2分） 由解得∴点的坐标为 （3分） ∴ （4分） （2）解：∵点在上且 ∴点坐标为 （5分） 又∵点在上且 ∴点坐标为 （6分） ∴ （7分） （3）解法一：当时，如图1，矩形与重叠部分为五边形（时，为四边形）．过作于，则 A D B E O R F x y y M （图3） G C A D B E O C F x y y G （图1） R M A D B E O C F x y y G （图2） R M ∴即∴ ∴ 即 （10分） （2009年山西省太原市）29．（本小题满分12分） 图（1） A B C D E F M N 问题解决 如图（1），将正方形纸片折叠，使点落在边上一点 （不与点，重合），压平后得到折痕．当时，求的值． 方法指导： 为了求得的值，可先求、的长，不妨设：=2 类比归纳 在图（1）中，若则的值等于 ；若则的值等于 ；若（为整数），则的值等于 ．（用含的式子表示） 联系拓广 如图（2），将矩形纸片折叠，使点落在边上一点（不与点重合），压平后得到折痕设则的值等于 ．（用含的式子表示） 图（2） N A B C D E F M 29．问题解决 解：方法一：如图（1-1），连接． N 图（1-1） A B C D E F M 由题设，得四边形和四边形关于直线对称． ∴垂直平分．∴ 1分 ∵四边形是正方形，∴ ∵设则 在中，． ∴解得，即 3分 在和在中， ， ， 5分 设则∴ 解得即 6分 ∴ 7分 方法二：同方法一， 3分 如图（1－2），过点做交于点，连接 N 图（1-2） A B C D E F M G ∵∴四边形是平行四边形． ∴ 同理，四边形也是平行四边形．∴ ∵ 在与中 ∴ ５分 ∵ 6分 ∴ 7分 类比归纳 （或）；； 10分 联系拓广 12分 评分说明：1．如你的正确解法与上述提供的参考答案不同时，可参照评分说明进行估分． 2．如解答题由多个问题组成，前一问题解答有误或未答，对后面问题的解答没有影响，可依据参考答案及评分说明进行估分． （2009年安徽省）23．已知某种水果的批发单价与批发量的函数关系如图（1）所示． 金额w（元） O 批发量m（kg） 300 200 100 20 40 60 （1）请说明图中①、②两段函数图象的实际意义． 【解】 O 60 20 4 批发单价（元） 5 批发量（kg） ① ② 第23题图（1） （2）写出批发该种水果的资金金额w（元）与批发量m（kg）之间的 函数关系式；在下图的坐标系中画出该函数图象；指出金额在什 么范围内，以同样的资金可以批发到较多数量的该种水果． 【解】 （3）经调查，某经销商销售该种水果的日最高销量与零售价之间的函 数关系如图（2）所示，该经销商拟每日售出60kg以上该种水果， 且当日零售价不变，请你帮助该经销商设计进货和销售的方案， 使得当日获得的利润最大． 【解】 O 6 2 40 日 最高销量（kg） 80 零售价（元） 第23题图（2） 4 8 （6，80） （7，40） 金额w（元） O 批发量m（kg） 300 200 100 20 40 60 240 23．（1）解：图①表示批发量不少于20kg且不多于60kg的该种水果， 可按5元/kg批发；……3分 图②表示批发量高于60kg的该种水果，可按4元/kg批发． ………………………………………………………………3分 （2）解：由题意得：，函数图象如图所示． ………………………………………………………………7分 由图可知资金金额满足240＜w≤300时，以同样的资金可 批发到较多数量的该种水果．……………………………8分 （3）解法一： 设当日零售价为x元，由图可得日最高销量 当m＞60时，x＜6.5 由题意，销售利润为 ………………………………12分 当x＝6时，，此时m＝80 即经销商应批发80kg该种水果，日零售价定为6元/kg， 当日可获得最大利润160元．……………………………………………14分 解法二： 设日最高销售量为xkg（x＞60） 则由图②日零售价p满足：，于是 销售利润………………………12分 当x＝80时，，此时p＝6 即经销商应批发80kg该种水果，日零售价定为6元/kg， 当日可获得最大利润160元．……………………………………………14分 （2009年江西省）25．如图1，在等腰梯形中，，是的中点，过点作交于点．，. （1）求点到的距离； （2）点为线段上的一个动点，过作交于点，过作交折线于点，连结，设. ①当点在线段上时（如图2），的形状是否发生改变？若不变，求出的周长；若改变，请说明理由； ②当点在线段上时（如图3），是否存在点，使为等腰三角形？若存在，请求出所有满足要求的的值；若不存在，请说明理由. A D E B F C 图4（备用） A D E B F C 图5（备用） A D E B F C 图1 图2 A D E B F C P N M 图3 A D E B F C P N M （第25题） 25．（1）如图1，过点作于点 1分 图1 A D E B F C G ∵为的中点， ∴ 在中，∴ 2分 ∴ 即点到的距离为 3分 （2）①当点在线段上运动时，的形状不发生改变． ∵∴ ∵∴， 同理 4分 如图2，过点作于，∵ 图2 A D E B F C P N M G H ∴ ∴ ∴ 则 在中， ∴的周长= 6分 ②当点在线段上运动时，的形状发生改变，但恒为等边三角形． 当时，如图3，作于，则 类似①， ∴ 7分 ∵是等边三角形，∴ 此时， 8分 图3 A D E B F C P N M 图4 A D E B F C P M N 图5 A D E B F（P） C M N G G R G 当时，如图4，这时 此时， 当时，如图5， 则又 ∴ 因此点与重合，为直角三角形． ∴ 此时， 综上所述，当或4或时，为等腰三角形． 10分 （2009年广东广州）25.（本小题满分14分） 如图13，二次函数的图象与x轴交于A、B两点，与y轴交于点C（0，-1），ΔABC的面积为。 （1）求该二次函数的关系式； （2）过y轴上的一点M（0，m）作y轴的垂线，若该垂线与ΔABC的外接圆有公共点，求m的取值范围； （3）在该二次函数的图象上是否存在点D，使四边形ABCD为直角梯形？若存在，求出点D的坐标；若不存在，请说明理由。 25.（本小题满分14分） 解：（1）OC=1,所以,q=-1,又由面积知0.5OC×AB=,得AB=， 设A（a,0）,B(b,0)AB=b-a==，解得p=,但p<0,所以p=。 所以解析式为： （2）令y=0，解方程得，得,所以A(,0),B(2,0),在直角三角形AOC 中可求得AC=,同样可求得BC=,，显然AC2+BC2=AB2,得三角形ABC是直角三角形。AB 为斜边，所以外接圆的直径为AB=,所以. （3）存在，AC⊥BC,①若以AC为底边，则BD//AC,易求AC的解析式为y=-2x-1,可设BD的解析式 为y=-2x+b，把B(2,0)代入得BD解析式为y=-2x+4，解方程组得D（,9） ②若以BC为底边，则BC//AD,易求BC的解析式为y=0.5x-1,可设AD的解析式为y=0.5x+b，把 A(,0)代入得AD解析式为y=0.5x+0.25，解方程组 得D() 综上，所以存在两点：（,9）或()。 （2009年广东省中山市）22. （本题满分9分）正方形ABCD边长为4，M、N分别是BC、CD上的两个动点，当M点在BC上运动时，保持AM和MN垂直. （1）证明：Rt△ABM∽Rt△MCN； （2）设BM=x，梯形ABCN的面积为y，求y与x之间的函数关系式；当M点运动到什么位置时，四边形ABCN面积最大，并求出最大面积； D B A M C N （3）当M点运动到什么位置时Rt△ABM∽Rt△AMN，求此时x的值. （2009 年哈尔滨市）28．(本题10分） 如图1，在平面直角坐标系中，点O是坐标原点，四边形ABCO是菱形，点A的坐标为（－3，4）， 点C在x轴的正半轴上，直线AC交y轴于点M，AB边交y轴于点H． （1）求直线AC的解析式； （2）连接BM，如图2，动点P从点A出发，沿折线ABC方向以2个单位／秒的速度向终点C匀速运动，设△PMB的面积为S（S≠0），点P的运动时间为t秒，求S与t之间的函数关系式（要求写出自变量t的取值范围）； （3）在（2）的条件下，当 t为何值时，∠MPB与∠BCO互为余角，并求此时直线OP与直线AC所夹锐角的正切值． (2009山东省泰安市)26（本小题满分10分） 如图所示，在直角梯形ABCD中，∠ABC=90°，AD∥BC，AB=BC，E是AB的中点，CE⊥BD。 （1） 求证：BE=AD； （2） 求证：AC是线段ED的垂直平分线； （3） △DBC是等腰三角形吗？并说明理由。 26、（本小题满分10分） 证明：（1）∵∠ABC=90°，BD⊥EC， ∴∠1与∠3互余，∠2与∠3互余， ∴∠1=∠2…………………………………………………1分 ∵∠ABC=∠DAB=90°，AB=AC ∴△BAD≌△CBE…………………………………………2分 ∴AD=BE……………………………………………………3分 （2）∵E是AB中点， ∴EB=EA 由（1）AD=BE得：AE=AD……………………………5分 ∵AD∥BC ∴∠7=∠ACB=45° ∵∠6=45° ∴∠6=∠7 由等腰三角形的性质，得：EM=MD，AM⊥DE。 即，AC是线段ED的垂直平分线。……………………7分 （3）△DBC是等腰三角（CD=BD）……………………8分 理由如下： 由（2）得：CD=CE 由（1）得：CE=BD ∴CD=BD ∴△DBC是等腰三角形。……………………………10分 （2009年威海市）25．（12分） 一次函数的图象分别与轴、轴交于点，与反比例函数的图象相交于点．过点分别作轴，轴，垂足分别为；过点分别作轴，轴，垂足分别为与交于点，连接． （1）若点在反比例函数的图象的同一分支上，如图1，试证明： ①； ②． （2）若点分别在反比例函数的图象的不同分支上，如图2，则与还相等吗？试证明你的结论． O C F M D E N K y x （第25题图1） O C D K F E N y x M （第25题图2） O C F M D E N K y x 图1 25．（本小题满分12分） 解：（1）①轴，轴， 四边形为矩形． 轴，轴， 四边形为矩形． 轴，轴， 四边形均为矩形． 1分 ， ， ． ． ， ， ． 2分 ②由（1）知． ． ． 4分 ， ． 5分 ． ． 6分 轴， 四边形是平行四边形． ． 7分 同理． ． 8分 （2）与仍然相等． 9分 ， O C D K F E N y x M 图2 ， 又， ． 10分 ． ． ， ． ． ． 11分 轴， 四边形是平行四边形． ． 同理． ． 12分 （2009年烟台市）26．(本题满分14分) 如图，抛物线与轴交于两点，与轴交于C点，且经过点，对称轴是直线，顶点是． （1） 求抛物线对应的函数表达式； （2） 经过两点作直线与轴交于点，在抛物线上是否存在这样的点，使以点为顶点的四边形为平行四边形？若存在，请求出点的坐标；若不存在，请说明理由； （3） 设直线与y轴的交点是，在线段上任取一点（不与重合），经过三点的圆交直线于点，试判断的形状，并说明理由； O B x y A M C 1 （第26题图） （4） 当是直线上任意一点时，（3）中的结论是否成立？（请直接写出结论）． 26．（本题满分14分） y x E D N O A C M P N 1 F （第26题图） 解：（1）根据题意，得 2分 解得 抛物线对应的函数表达式为． 3分 （2）存在． 在中，令，得． 令，得，． ，，． 又，顶点． 5分 容易求得直线的表达式是． 在中，令，得． ，． 6分 在中，令，得． ． ，四边形为平行四边形，此时． 8分 （3）是等腰直角三角形． 理由：在中，令，得，令，得． 直线与坐标轴的交点是，． ，． 9分 又点，．． 10分 由图知，． 11分 ，且．是等腰直角三角形． 12分 （4）当点是直线上任意一点时，（3）中的结论成立． 14分 （2009年山东省日照）24． (本题满分10分) 已知正方形ABCD中，E为对角线BD上一点，过E点作EF⊥BD交BC于F，连接DF，G为DF中点，连接EG，CG． （1）求证：EG=CG； （2）将图①中△BEF绕B点逆时针旋转45º，如图②所示，取DF中点G，连接EG，CG．问（1）中的结论是否仍然成立？若成立，请给出证明；若不成立，请说明理由． （3）将图①中△BEF绕B点旋转任意角度，如图③所示，再连接相应的线段，问（1）中的结论是否仍然成立？通过观察你还能得出什么结论？（均不要求证明） D F B A C E 第24题图③ F B A D C E G 第24题图② F B A D C E G 第24题图① 24．（本题满分10分） 解：（1）证明：在Rt△FCD中， ∵G为DF的中点， ∴ CG= FD．………………1分 同理，在Rt△DEF中， EG= FD． ………………2分 ∴ CG=EG．…………………3分 （2）（1）中结论仍然成立，即EG=CG．…………………………4分 证法一：连接AG，过G点作MN⊥AD于M，与EF的延长线交于N点． 在△DAG与△DCG中， ∵ AD=CD，∠ADG=∠CDG，DG=DG， ∴ △DAG≌△DCG． ∴ AG=CG．………………………5分 在△DMG与△FNG中， ∵ ∠DGM=∠FGN，FG=DG，∠MDG=∠NFG， ∴ △DMG≌△FNG． ∴ MG=NG 在矩形AENM中，AM=EN． ……………6分 在Rt△AMG 与Rt△ENG中， ∵ AM=EN， MG=NG， ∴ △AMG≌△ENG． ∴ AG=EG． ∴ EG=CG． ……………………………8分 证法二：延长CG至M,使MG=CG， 连接MF，ME，EC， ……………………4分 在△DCG 与△FMG中， ∵FG=DG，∠MGF=∠CGD，MG=CG， ∴△DCG ≌△FMG． ∴MF=CD，∠FMG＝∠DCG． ∴MF∥CD∥AB．………………………5分 ∴ ． 在Rt△MFE 与Rt△CBE中， ∵ MF=CB，EF=BE， ∴△MFE ≌△CBE． ∴ ．…………………………………………………6分 ∴∠MEC＝∠MEF＋∠FEC＝∠CEB＋∠CEF＝90°． …………7分 ∴ △MEC为直角三角形． ∵ MG = CG， ∴ EG= MC． ∴ ．………………………………8分 （3）（1）中的结论仍然成立， 即EG=CG．其他的结论还有:EG⊥CG．……10分 （2009年潍坊市）24．（本小题满分12分） 如图，在平面直角坐标系中，半径为1的圆的圆心在坐标原点，且与两坐标轴分别交于四点．抛物线与轴交于点，与直线交于点，且分别与圆相切于点和点． （1）求抛物线的解析式； （2）抛物线的对称轴交轴于点，连结，并延长交圆于，求的长． （3）过点作圆的切线交的延长线于点，判断点是否在抛物线上，说明理由． O x y N C D E F B M A 24．（本小题满分12分） 解：（1）圆心在坐标原点，圆的半径为1， 点的坐标分别为 抛物线与直线交于点，且分别与圆相切于点和点， ． 2分 点在抛物线上，将的坐标代入 ，得： 解之，得： 抛物线的解析式为：． 4分 （2） 抛物线的对称轴为， O x y N C D E F B M A P ． 6分 连结， ，， 又， ， ． 8分 （3）点在抛物线上． 9分 设过点的直线为：， 将点的坐标代入，得：， 直线为：． 10分 过点作圆的切线与轴平行，点的纵坐标为， 将代入，得：． 点的坐标为， 11分 当时，， 所以，点在抛物线上． 12分 说明：解答题各小题中只给出了1种解法，其它解法只要步骤合理、解答正确均应得到相应的分数． （2009年山东临沂市）26．（本小题满分13分） 如图，抛物线经过三点． （1）求出抛物线的解析式； （2）P是抛物线上一动点，过P作轴，垂足为M，是否存在P点，使得以A，P，M为顶点的三角形与相似？若存在，请求出符合条件的点P的坐标；若不存在，请说明理由； （3）在直线AC上方的抛物线上有一点D，使得的面积最大，求出点D的坐标． O x y A B C 4 1 （第26题图） 26．解：（1）该抛物线过点，可设该抛物线的解析式为． 将，代入， 得解得 此抛物线的解析式为． （3分） （2）存在． （4分） 如图，设点的横坐标为， O x y A B C 4 1 （第26题图） D P M E 则点的纵坐标为， 当时， ，． 又， ①当时， ， 即． 解得（舍去），． （6分） ②当时，，即． 解得，（均不合题意，舍去） 当时，． （7分） 类似地可求出当时，． （8分） 当时，． 综上所述，符合条件的点为或或． （9分） （3）如图，设点的横坐标为，则点的纵坐标为． 过作轴的平行线交于． 由题意可求得直线的解析式为． （10分） 点的坐标为． ． （11分） ． 当时，面积最大． ． （13分） (2009年山东省济宁市)26. （12分） 在平面直角坐标中，边长为2的正方形的两顶点、分别在轴、轴的正半轴上，点在原点.现将正方形绕点顺时针旋转，当点第一次落在直线上时停止旋转，旋转过程中，边交直线于点，边交轴于点（如图）. （1）求边在旋转过程中所扫过的面积； (第26题) O A B C M N （2）旋转过程中，当和平行时，求正方形 旋转的度数； （3）设的周长为，在旋转正方形 的过程中，值是否有变化？请证明你的结论. 26.（1）解：∵点第一次落在直线上时停止旋转， ∴旋转了. ∴在旋转过程中所扫过的面积为.……………4分 （2）解：∵∥， ∴,. ∴.∴. 又∵，∴. 又∵,,∴. ∴.∴. ∴旋转过程中，当和平行时，正方形旋转的度数为 .……………………………………………8分 （3）答：值无变化. 证明：延长交轴于点，则， ， ∴. 又∵，. ∴. ∴. 又∵,, ∴.∴. ∴， ∴. （第26题） O A B C M N ∴在旋转正方形的过程中，值无变化. ……………12分 （2009年四川遂宁市）25.如图，二次函数的图象经过点D(0，)，且顶点C的横坐标为4，该图象在x 轴上截得的线段AB的长为6. ⑴求二次函数的解析式； ⑵在该抛物线的对称轴上找一点P，使PA+PD最小，求出点P的坐标； ⑶在抛物线上是否存在点Q，使△QAB与△ABC相似？如果存在，求出点Q的坐标；如果不存在，请说明理由． 25.⑴设二次函数的解析式为：y=a(x-h)2+k ∵顶点C的横坐标为4，且过点(0，) ∴y=a(x-4)2+k ………………① 又∵对称轴为直线x=4，图象在x轴上截得的线段长为6 ∴A(1，0)，B(7，0) ∴0=9a+k ………………② 由①②解得a=，k= ∴二次函数的解析式为：y=(x-4)2－ ⑵∵点A、B关于直线x=4对称 ∴PA=PB ∴PA+PD=PB+PD≥DB ∴当点P在线段DB上时PA+PD取得最小值 ∴DB与对称轴的交点即为所求点P 设直线x=4与x轴交于点M ∵PM∥OD，∴∠BPM=∠BDO，又∠PBM=∠DBO ∴△BPM∽△BDO ∴ ∴ ∴点P的坐标为(4，) ⑶由⑴知点C(4，)， 又∵AM=3，∴在Rt△AMC中，cot∠ACM=， ∴∠ACM=60o，∵AC=BC，∴∠ACB=120o ①当点Q在x轴上方时，过Q作QN⊥x轴于N 如果AB=BQ，由△ABC∽△ABQ有 BQ=6，∠ABQ=120o，则∠QBN=60o ∴QN=3，BN=3，ON=10， 此时点Q(10，)， 如果AB=AQ，由对称性知Q(-2，) ②当点Q在x轴下方时，△QAB就是△ACB， 此时点Q的坐标是(4，)， 经检验，点(10，)与(-2，)都在抛物线上 综上所述，存在这样的点Q，使△QAB∽△ABC 点Q的坐标为(10，)或(-2，)或(4，)． （2009年四川南充市）21．如图9，已知正比例函数和反比例函数的图象都经过点． （1）求正比例函数和反比例函数的解析式； （2）把直线OA向下平移后与反比例函数的图象交于点，求的值和这个一次函数的解析式； （3）第（2）问中的一次函数的图象与轴、轴分别交于C、D，求过A、B、D三点的二次函数的解析式； （4）在第（3）问的条件下，二次函数的图象上是否存在点E，使四边形OECD的面积与四边形OABD的面积S满足：？若存在，求点E的坐标； 若不存在，请说明理由． y x O C D B A 3 3 6 21．解：（1）设正比例函数的解析式为， 因为的图象过点，所以 ，解得． 这个正比例函数的解析式为． （1分） 设反比例函数的解析式为． 因为的图象过点，所以 ，解得． 这个反比例函数的解析式为． （2分） （2）因为点在的图象上，所以 ，则点． （3分） 设一次函数解析式为． 因为的图象是由平移得到的， 所以，即． 又因为的图象过点，所以 ，解得， 一次函数的解析式为． （4分） （3）因为的图象交轴于点，所以的坐标为． 设二次函数的解析式为． 因为的图象过点、、和， 所以 （5分） 解得 y x O C D B A 3 3 6 E 这个二次函数的解析式为． （6分） （4）交轴于点，点的坐标是， 如图所示， ． 假设存在点，使． 四边形的顶点只能在轴上方，， ． ，． （7分） 在二次函数的图象上， ． 解得或． 当时，点与点重合，这时不是四边形，故舍去， 点的坐标为． （8分） （2009年四川凉山州）26．如图，已知抛物线经过，两点，顶点为． （1）求抛物线的解析式； （2）将绕点顺时针旋转90°后，点落到点的位置，将抛物线沿轴平移后经过点，求平移后所得图象的函数关系式； y x B A O D （第26题） （3）设（2）中平移后，所得抛物线与轴的交点为，顶点为，若点在平移后的抛物线上，且满足的面积是面积的2倍，求点的坐标． 26．解：（1）已知抛物线经过， 解得 所求抛物线的解析式为． 2分 （2），， 可得旋转后点的坐标为 3分 当时，由得， 可知抛物线过点 将原抛物线沿轴向下平移1个单位后过点． 平移后的抛物线解析式为：． 5分 （3）点在上，可设点坐标为 y x C B A O N D B1 D1 图① 将配方得，其对称轴为． 6分 ①当时，如图①， 此时 y x C B A O D B1 D1 图② N 点的坐标为． 8分 ②当时，如图② 同理可得 此时 点的坐标为． 综上，点的坐标为或． 10分 （2009年武汉市）25．（本题满分12分） 如图，抛物线经过、两点，与轴交于另一点． （1）求抛物线的解析式； （2）已知点在第一象限的抛物线上，求点关于直线对称的点的坐标； y x O A B C （3）在（2）的条件下，连接，点为抛物线上一点，且，求点的坐标． 25．解：（1）抛物线经过，两点， 解得 抛物线的解析式为． y x O A B C D E （2）点在抛物线上，， 即，或． 点在第一象限，点的坐标为． 由（1）知． 设点关于直线的对称点为点． ，，且， ， 点在轴上，且． ，． 即点关于直线对称的点的坐标为（0，1）． （3）方法一：作于，于． y x O A B C D E P F 由（1）有：， ． ，且． ， ． ，，， ． 设，则，， ． 点在抛物线上， ， （舍去）或，． y x O A B C D P Q G H 方法二：过点作的垂线交直线于点，过点作轴于．过点作于． ． ， 又，． ，，． 由（2）知，． ，直线的解析式为． 解方程组得 点的坐标为． （2009年鄂州市）27．如图所示，将矩形OABC沿AE折叠，使点O恰好落在BC上F处，以CF为边作正方形CFGH，延长BC至M，使CM＝｜CF—EO｜，再以CM、CO为边作矩形CMNO (1)试比较EO、EC的大小，并说明理由 (2)令，请问m是否为定值？若是，请求出m的值；若不是，请说明理由 (3)在(2)的条件下，若CO＝1，CE＝，Q为AE上一点且QF＝，抛物线y＝mx2+bx+c经过C、Q两点，请求出此抛物线的解析式. (4)在(3)的条件下，若抛物线y＝mx2+bx+c与线段AB交于点P，试问在直线BC上是否存在点K，使得以P、B、K为顶点的三角形与△AEF相似?若存在，请求直线KP与y轴的交点T的坐标?若不存在，请说明理由。 27、（1）EO＞EC，理由如下： 由折叠知，EO=EF，在Rt△EFC中，EF为斜边，∴EF＞EC， 故EO＞EC …2分 （2）m为定值 ∵S四边形CFGH=CF2=EF2－EC2=EO2－EC2=(EO+EC)(EO―EC)=CO·(EO―EC) S四边形CMNO=CM·CO=|CE―EO|·CO=(EO―EC) ·CO ∴ ……………………………………………………4分 （3）∵CO=1， ∴EF=EO= ∴cos∠FEC= ∴∠FEC=60°， ∴ ∴△EFQ为等边三角形， …………………………………………5分 作QI⊥EO于I，EI=，IQ= ∴IO= ∴Q点坐标为 ……………………………………6分 ∵抛物线y=mx2+bx+c过点C(0，1)， Q ，m=1 ∴可求得，c=1 ∴抛物线解析式为 ……………………………………7分 （4）由（3）， 当时，＜AB ∴P点坐标为 …………………8分 ∴BP=AO 方法1：若△PBK与△AEF相似，而△AEF≌△AEO，则分情况如下： ①时，∴K点坐标为或 ②时， ∴K点坐标为或…………10分 故直线KP与y轴交点T的坐标为 …………………………………………12分 方法2：若△BPK与△AEF相似，由（3）得：∠BPK=30°或60°，过P作PR⊥ y轴于R，则∠RTP=60°或30° ①当∠RTP=30°时， ②当∠RTP=60°时， ∴ ……………………………12分 （2009年湖北省黄石市）24、（本题满分9分） 如图甲，在△ABC中，∠ACB为锐角，点D为射线BC上一动点，连结AD，以AD为一边且在AD的右侧作正方形ADEF。 解答下列问题： （1）如果AB=AC，∠BAC=90°，①当点D在线段BC上时（与点B不重合），如图乙，线段CF、BD之间的位置关系为 ，数量关系为 。 ②当点D在线段BC的延长线上时，如图丙，①中的结论是否仍然成立，为什么？ （2）如果AB≠AC，∠BAC≠90°点D在线段BC上运动。 试探究：当△ABC满足一个什么条件时，CF⊥BC（点C、F重合除外）？画出相应图形，并说明理由。（画图不写作法） （3）若AC=4，BC=3，在（2）的条件下，设正方形ADEF的边DE与线段CF相交于点P，求线段CP长的最大值。 24、解：（1）①CF⊥BD，CF=BD ②成立，理由如下： ∵∠FAD=∠BAC=90° ∴∠BAD=∠CAF 又 BA=CA AD=AF ∴△BAD≌△CAF ∴CF=BD ∠ACF=∠ACB=45° ∴∠BCF=90° ∴CF⊥BD ……（1分） （2）当∠ACB=45°时可得CF⊥BC，理由如下： 如图：过点A作AC的垂线与CB所在直线交于G 则∵∠ACB=45° ∴AG=AC ∠AGC=∠ACG=45° ∵AG=AC AD=AF ………（1分） ∴△GAD≌△CAF（SAS） ∴∠ACF=∠AGD=45° ∴∠GCF=∠GCA+∠ACF=90° ∴CF⊥BC …………（2分） （3）如图：作AQBC于Q ∵∠ACB=45° AC=4 ∴CQ=AQ=4 ∵∠PCD=∠ADP=90° ∴∠ADQ+∠CDP=∠CDP+∠CPD=90° ∴△ADQ∽△DPC …（1分） ∴= 设CD为x（0＜x＜3）则DQ=CQ－CD=4－x 则= …………（1分） ∴PC=(－x2+4x)=－(x－2)2+1≥1 当x=2时，PC最长，此时PC=1 ………（1分） （2009年湖北省孝感市）25．（本题满分12分） 如图，点P是双曲线上一动点，过点P作x轴、y轴的垂线，分别交x轴、y轴于A、B两点，交双曲线y= （0＜k2＜|k1|）于E、F两点． （1）图1中，四边形PEOF的面积S1= ▲ (用含k1、k2的式子表示)；（3分） （2）图2中，设P点坐标为（－4，3）． ①判断EF与AB的位置关系，并证明你的结论；（4分） ②记，S2是否有最小值？若有，求出其最小值；若没有，请说明理由．（5分） 25．解：（1）； … ………………………………3分 （2）①EF∥AB． ……………………………………4分 证明：如图，由题意可得A（–4，0），B（0，3），， ． ∴PA=3，PE=，PB=4，PF=． ∴， ∴． ………………………… 6分 又∵∠APB=∠EPF． ∴△APB ∽△EPF，∴∠PAB=∠PEF． ∴EF∥AB． …………………………… 7分 ②S2没有最小值，理由如下： 过E作EM⊥y轴于点M，过F作FN⊥x轴于点N，两线交于点Q． 由上知M（0，），N（，0），Q（，）． ……………… 8分 而S△EFQ= S△PEF， ∴S2＝S△PEF－S△OEF＝S△EFQ－S△OEF＝S△EOM＋S△FON＋S矩形OMQN ＝ ＝ =． ………………………… 10分 当时，S2的值随k2的增大而增大，而0＜k2＜12． …………… 11分 ∴0＜S2＜24，s2没有最小值． …………………………… 12分 说明：1．证明AB∥EF时，还可利用以下三种方法．方法一：分别求出经过A、B两点和经过E、F两点的直线解析式，利用这两个解析式中x的系数相等来证明AB∥EF；方法二：利用＝来证明AB∥EF；方法三：连接AF、BE，利用S△AEF＝S△BFE得到点A、点B到直线EF的距离相等，再由A、B两点在直线EF同侧可得到AB∥EF． 2．求S2的值时，还可进行如下变形： S2＝ S△PEF－S△OEF＝S△PEF－（S四边形PEOF－S△PEF）＝2 S△PEF－S四边形PEOF，再利用第（1）题中的结论． （2009年湖北省荆门市）25．(本题满分12分)一开口向上的抛物线与x轴交于A(m－2，0)，B(m＋2，0)两点，记抛物线顶点为C，且AC⊥BC． (1)若m为常数，求抛物线的解析式； (2)若m为小于0的常数，那么(1)中的抛物线经过怎么样的平移可以使顶点在坐标原点？ (3)设抛物线交y轴正半轴于D点，问是否存在实数m，使得△BCD为等腰三角形？若存在，求出m的值；若不存在，请说明理由． 第25题图 25．解：(1)设抛物线的解析式为：y＝a(x－m＋2)(x－m－2)＝a(x－m)2－4a．…………2分 ∵AC⊥BC，由抛物线的对称性可知：△ACB是等腰直角三角形，又AB＝4， ∴C(m，－2)代入得a＝．∴解析式为：y＝(x－m)2－2．…………………………5分 (亦可求C点，设顶点式) (2)∵m为小于零的常数，∴只需将抛物线向右平移－m个单位，再向上平移2个单位，可以使抛物线y＝(x－m)2－2顶点在坐标原点．………………………………………7分 (3)由(1)得D(0，m2－2)，设存在实数m，使得△BOD为等腰三角形． ∵△BOD为直角三角形，∴只能OD＝OB．……………………………………………9分 ∴m2－2＝|m＋2|，当m＋2＞0时，解得m＝4或m＝－2(舍)． 当m＋2＜0时，解得m＝0(舍)或m＝－2(舍)； 当m＋2＝0时，即m＝－2时，B、O、D三点重合(不合题意，舍) 综上所述：存在实数m＝4，使得△BOD为等腰三角形．……………………………12分 （2009年襄樊市）26．（本小题满分13分） 如图13，在梯形中，点是的中点，是等边三角形． （1）求证：梯形是等腰梯形； （2）动点、分别在线段和上运动，且保持不变．设求与的函数关系式； （3）在（2）中：①当动点、运动到何处时，以点、和点、、、中的两个点为顶点的四边形是平行四边形？并指出符合条件的平行四边形的个数； ②当取最小值时，判断的形状，并说明理由． A D C B P M Q 60° 图13 A D C B P M Q 60° 26．（1）证明：∵是等边三角形 ∴ 1分 ∵是中点 ∴ ∵ ∴ ∴ 2分 ∴ ∴梯形是等腰梯形． 3分 （2）解：在等边中， ∴ ∴ 4分 ∴ ∴ 5分 ∵ ∴ 6分 ∴ ∴ 7分 （3）解：①当时，则有 则四边形和四边形均为平行四边形 ∴ 8分 当时，则有 则四边形和四边形均为平行四边形 ∴ 9分 ∴当或时，以P、M和A、B、C、 D中的两个点为顶点的四边形是平行四边形． 此时平行四边形有4个． 10分 ②为直角三角形 11分 ∵ ∴当取最小值时， 12分 ∴是的中点，而 ∴∴ 13分 （2009年湖南省株洲市）23．（本题满分12分）如图，已知为直角三角形，，,点、在轴上，点坐标为（，）（），线段与轴相交于点，以（1，0）为顶点的抛物线过点、． （1）求点的坐标（用表示）； （2）求抛物线的解析式； （3）设点为抛物线上点至点之间的一动点，连结并延长交于点，连结 并延长交于点，试证明：为定值． 23．（1）由可知，，又△ABC为等腰直角三角形，∴，，所以点A的坐标是（）. ………………… 3分 （2）∵ ∴，则点的坐标是（）. 又抛物线顶点为，且过点、，所以可设抛物线的解析式为：，得： 解得 ∴抛物线的解析式为 ………7分 （3）过点作于点，过点作于点，设点的坐标是，则，. ∵ ∴∽ ∴ 即，得 ∵ ∴∽ ∴ 即，得 又∵ ∴ 即为定值8. ……………………12分 本答案仅供参考，若有其他解法，请参照本评分标准评分. （2009年衡阳市）26、（本小题满分9分） 如图12，直线与两坐标轴分别相交于A、B点，点M是线段AB上任意一点（A、B两点除外），过M分别作MC⊥OA于点C，MD⊥OB于D． （1）当点M在AB上运动时，你认为四边形OCMD的周长是否发生变化？并说明理由； （2）当点M运动到什么位置时，四边形OCMD的面积有最大值？最大值是多少？ （3）当四边形OCMD为正方形时，将四边形OCMD沿着x轴的正方向移动，设平移的距离为，正方形OCMD与△AOB重叠部分的面积为S．试求S与的函数关系式并画出该函数的图象． B x y M C D O A 图12（1） B x y O A 图12（2） B x y O A 图12（3） 解：（1）设点M的横坐标为x，则点M的纵坐标为－x+4（0查看更多