【数学】2020届一轮复习人教A版快速解决圆锥曲线的方程与性质问题（理）学案

【数学】2020届一轮复习人教A版快速解决圆锥曲线的方程与性质问题（理）学案

专题27 快速解决圆锥曲线的方程与性质问题 一．【学习目标】‎ ‎1.掌握圆锥曲线的定义；‎ ‎2．掌握焦点三角形的应用和几何意义；‎ ‎3.掌握圆锥曲线方程的求法；‎ ‎4.掌握直线与圆锥曲线的位置关系；‎ ‎5.熟练掌握定点、定值、最值和范围问题。‎ 一．【知识点总结】‎ ‎1.椭圆定义：平面内与两个定点的距离的和等于常数(大于之间的距离)的点的轨迹叫做椭圆，这两个定点叫做焦点，两焦点间的距离叫做焦距．‎ ‎2．椭圆的标准方程 ‎(1)，焦点，其中．‎ ‎(2)，焦点，其中 ‎3．椭圆的几何性质以为例 ‎(1)范围：．‎ ‎(2)对称性：对称轴：轴，轴；对称中心：‎ ‎(3)顶点：长轴端点：，短轴端点：；长轴长，短轴长，焦距.‎ ‎(4)离心率越大，椭圆越扁，越小，椭圆越圆．‎ ‎(5) 的关系：.‎ ‎4．双曲线的定义： ‎ 平面内与两个定点的距离的差的绝对值等于常数(小于之间的距离)的点的轨迹叫做双曲线，这两个定点叫做焦点，两焦点间的距离叫做焦距．‎ ‎5．双曲线的标准方程 ‎(1)，焦点，其中．‎ ‎(2)，焦点，其中 ‎6．双曲线的几何性质以为例 ‎(1)范围：．‎ ‎(2)对称性：对称轴：轴，轴；对称中心：‎ ‎(3)顶点：实轴端点：，虚轴端点：；实轴长，虚轴长，焦距.‎ ‎(4)离心率 ‎(5) 渐近线方程.‎ ‎7．抛物线的定义： ‎ 练习3．如图，双曲线的左、右焦点分别是，，是双曲线右支上一点，与圆相切于点，是的中点，则（ ）‎ A．1 B．2 C． D．‎ ‎【答案】A ‎【解析】因为是的中点，是的中点，所以；‎ 又，所以有，所以，所以，‎ 由双曲线的定义知：，所以.‎ 故选A ‎（三）抛物线的性质 例3．已知是抛物线的焦点，过点的直线与抛物线交于，两点，为线段的中点，若，则直线的斜率为( )‎ A．3 B．1 C．2 D．‎ ‎【答案】B ‎【解析】由于为中点，根据抛物线的定义，解得，抛物线方程为.设，则，两式相减并化简得，即直线的斜率为，故选B.‎ 练习1．如图点是抛物线的焦点，点，分别在抛物线及圆的实线部分上运动，且始终平行于轴，则的周长的取值范围是（ ）‎ A． B． C． D．‎ ‎【答案】C ‎【解析】抛物线的准线，焦点，‎ 由抛物线定义可得，‎ 圆的圆心为，半径为4，‎ ‎∴的周长，‎ 由抛物线及圆可得交点的横坐标为2，‎ ‎∴，∴，故选 C.‎ 练习2．已知P为抛物线y2＝4x上一动点，记点P到y轴的距离为d，对于定点A(4,5)，则|PA|＋d的最小值为( )‎ A．4 B． C．－1 D．－1‎ ‎【答案】D ‎【解析】抛物线的焦点，准线．‎ ‎ 如图所示，过点作交轴于点，垂足为，则，‎ ‎∴，∴，故选D．‎ 练习3．如图，已知，分别为抛物线的顶点和焦点，斜率为的直线经过点与抛物线交于，两点，连接，并延长分别交抛物线的准线于点，，则（ ）‎ A． B． C． D．‎ ‎【答案】B ‎【解析】由抛物线的几何性质可知：，‎ 设，，由，，‎ 知，‎ 联立直线与抛物线的方程消有，‎ 由韦达定理知，‎ 所以，故选B.‎ ‎（四）椭圆与双曲线 例4．若椭圆与双曲线有公共的焦点，，点是两条曲线的交点，，椭圆的离心率为，双曲线的离心率为，且，则（ ）‎ A． B． C． D．‎ ‎【答案】B ‎【解析】不妨设P在第一象限，再设PF1＝s，PF2＝t，由椭圆的定义可得s+t＝2a1，‎ 由双曲线的定义可得s﹣t＝2a2，解得s＝a1+a2，t＝a1﹣a2，由∠F1PF2，‎ 可得．‎ ‎∴，由e1e2＝1，即，得：，解得：（舍），或，‎ 即．故选：B．‎ 练习1．如图，离心率为2的双曲线与椭圆有共同的焦点，分别是，在第一、三象限的交点，若四边形是矩形，则椭圆的离心率为（ ）‎ A． B． C． D．‎ ‎【答案】D ‎【解析】设|PF1|＝x，|PF2|＝y，∵点P为椭圆上的点，‎ ‎∴|PF1|+|PF2|＝2a=x+y；①又四边形PF1QF2为矩形，∴即x2+y2＝（2c）2=4，②‎ 设双曲线C1的实轴长为2m，焦距为2c，且=2则2m＝|PF1|﹣|PF2|＝x-y，③‎ ‎①2+③2可得x2+y2＝2=4④将代入④中,‎ ‎∴椭圆C2的离心率e=，故选：D．‎ 练习2．已知为椭圆的左顶点,该椭圆与双曲线的渐近线在第一象限内的交点为，若直线垂直于双曲线的另一条渐近线，则该双曲线的离心率为 A． B． C． D．‎ ‎【答案】D 练习3．已知是椭圆和双曲线的公共焦点，点是它们的一个公共点，且，设椭圆和双曲线的离心率分别为，则的最大值为( )‎ A． B． C． D．‎ ‎【答案】D ‎【解析】设椭圆的长半轴为，双曲线的实半轴为，半焦距为，‎ 由题意，设点P是椭圆与双曲线的第一象限内的交点，且，‎ 则根据椭圆和双曲线的定义可得 ，则，‎ 又由，‎ 在中，由正弦定理得，‎ 即，故选D.‎ ‎（五）圆锥曲线与内切圆 例5．已知椭圆：的左右焦点分别为，为椭圆上的一点与椭圆交于。若的内切圆与线段在其中点处相切，与切于，则椭圆的离心率为( )‎ A． B． C． D．‎ ‎【答案】D ‎【解析】‎ 结合题意可知结合内切圆的性质,可得,结合椭圆的性质 ‎,而,所以,结合内切圆的性质,可以得出结合椭圆的性质,可得,由此可知为等边三角形,进而得出,对三角形运用余弦定理,得到,解得,故选D.‎ 练习1．过双曲线的右支上一点，分别向圆：和圆：作切线，切点分别为，，则的最小值为（ ）‎ A． B． C． D．‎ ‎【答案】D ‎【解析】圆C1：（x+4）2+y2＝4的圆心为（﹣4，0），半径为r1＝2；‎ 圆C2：（x﹣4）2+y2＝1的圆心为（4，0），半径为r2＝1，‎ 设双曲线x21的左右焦点为F1（﹣4，0），F2（4，0），‎ 连接PF1，PF2，F1M，F2N，可得 ‎|PM|2﹣|PN|2＝（|PF1|2﹣r12）﹣（|PF2|2﹣r22）‎ ‎＝（|PF1|2﹣4）﹣（|PF2|2﹣1）‎ ‎＝|PF1|2﹣|PF2|2﹣3＝（|PF1|﹣|PF2|）（|PF1|+|PF2|）﹣3‎ ‎＝2a（|PF1|+|PF2|﹣3＝2（|PF1|+|PF2|）﹣3≥2•2c﹣3＝2•8﹣3＝13．‎ 当且仅当P为右顶点时，取得等号，‎ 即最小值13．‎ 故选：D．‎ 练习2．已知双曲线的左右焦点分别为，，实轴长为6，渐近线方程为，动点在双曲线左支上，点为圆上一点，则的最小值为 A．8 B．9 C．10 D．11‎ ‎【答案】B ‎【解析】由题意可得2a＝6，即a＝3，‎ 渐近线方程为y＝±x，即有，即b＝1，可得双曲线方程为y2＝1，‎ 焦点为F1（，0），F2，（，0），由双曲线的定义可得|MF2|＝2a+|MF1|＝6+|MF1|，‎ 由圆E：x2+（y）2＝1可得E（0，），半径r＝1，‎ ‎|MN|+|MF2|＝6+|MN|+|MF1|，‎ 连接EF1，交双曲线于M，交圆于N，‎ 可得|MN|+|MF1|取得最小值，且为|EF1|4，‎ 则则|MN|+|MF2|的最小值为6+4﹣1＝9．‎ 故选：B．‎ ‎（六）圆锥曲线与圆 例1．已知抛物线，圆，过点作直线，自上而下顺次与上述两曲线交于点（如图所示），则的值正确的是 ( )‎ A．等于 B．最小值是 C．等于 D．最大值是 ‎【答案】C ‎【解析】当直线斜率不存在时，直线方程为，代入抛物线方程和圆的方程，求得的纵坐标分别为，故.当直线的斜率不存在时，设直线的方程为，代入抛物线方程并化简得，.根据抛物线的定义以及圆的半径可知.故选C. ‎ 练习2．已知椭圆，与双曲线具有相同焦点F1、F2，且在第一象限交于点P，椭圆与双曲线的离心率分别为e1、e2，若∠F1PF2＝，则的最小值是 A． B．2＋ C． D．‎ ‎【答案】A ‎【解析】根据题意，可知，‎ 解得，‎ 根据余弦定理，可知，‎ 整理得，‎ 所以，‎ 故选A.‎ 练习3．设椭圆的左、右焦点分别为F1,F2,P是椭圆上一点,|PF1|=λ|PF2| ,,则椭圆离心率的取值范围为(　　)‎ A． B． C． D． ‎ ‎【答案】B ‎【解析】设F1（-c，0），F2（c，0），由椭圆的定义得|PF1|+|PF2|=2a，可设|PF2|=t，可得|PF1|=λt，即有（λ+1）t=2a①‎ 由∠F1PF2=，可得|PF1|2+|PF2|2=4c2，即为（λ2+1）t2=4c2，②‎ 由②÷①2，可得e2=,令m=λ+1，可得λ=m-1，即有 ‎==2（）2+,由，可得≤m≤3，即，则m=2时，取得最小值；m=或3时，取得最大值．即有≤e2≤，解得≤e≤．故选：B．‎ 练习4．若存在直线l与曲线C1和曲线C2都相切，则称曲线C1和曲线C2为“相关曲线”，有下列四个命题：‎ ‎①有且只有两条直线l使得曲线C1：和曲线C2：为“相关曲线”；‎ ‎②曲线C1：和曲线C2：是“相关曲线”；‎ ‎③当b>a>0时，曲线C1：和曲线C2：一定不是“相关曲线”；‎ ‎④必存在正数a使得曲线C1：和曲线C2：为“相关曲线”.其中正确命题的个数为（ ）‎ A．1 B．2 C．3 D．4‎ ‎【答案】C ‎【解析】对于①，由题意得曲线C1是以(0,0)为圆心，2为半径的圆；曲线C2是以(2,−1)为圆心，半径为1的圆．两圆的圆心距为，由于，故两圆相交，因此有两条外公切线，故①正确．‎ 对于②，由题意得曲线C1，C2是共轭双曲线（它们各自在x轴上方的部分），具有相同的渐近线，因此两曲线没有公切线，故②不正确．对于③，因为b>a>0，在同一坐标系内画出两曲线，如下图中的图形．‎ 由图可得圆在抛物线的内部，所以两曲线不会有公切线，故③正确．‎ 对于④，当a=1时，曲线C1：，此时直线与曲线C1和曲线C2都相切，故④正确．综上可得有三个命题正确．学_科网 故选C．‎