2018-2019学年甘肃省兰州第一中学高一上学期期末考试数学试题

2018-2019学年甘肃省兰州第一中学高一上学期期末考试数学试题

2018-2019 学年甘肃省兰州第一中学高一上学期期末考试数 学试题 说明：本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分.满分 150 分，考试时 间 120 分钟.答案写在答题卡上，交卷时只交答题卡. 第Ⅰ卷（选择题） 一、选择题（本大题共 12 小题，每小题 5 分，共 60 分，在每小题给出的四个选项中，只 有一项是符合题目要求的，请将正确答案涂在答题卡上．．．．．．．．．．．．.） 1．若 A（-2，3），B（3，-2），C（ 1 2 ，m）三点共线，则 m 的值是（ ） A. 1 2  B. 1 2 C. 2 D. 2 2．半径为 R 的半圆卷成一个圆锥，则它的体积为（ ） A． 33 24 R B． 33 8 R C． 35 24 R D． 35 8 R 3．如果一个水平放置的图形的斜二测直观图是一个底角为 45°，腰和上底均为 1 的等腰梯 形，那么原平面图形的面积是（ ） A． 2 2 B． 1 2 2  C． 2 2 2  D． 1 2 4．如图，三棱柱 A1B1C1-ABC 中，侧棱 AA1⊥底面 ABC，底面三角形 ABC 是正三角形，E 是 BC 中点，则下列叙述正确的是（ ） A．AC⊥平面 ABB1A1 B．CC1 与 B1E 是异面直线 C．A1C1∥B1E D．AE⊥BB1 5．设 m，n 是两条不同的直线，α，β是两个不同的平面，且 m ⊂ α，n ⊂ β，则下列命题正确 的是( ) A．若 m⊥β，则α⊥β； B．若α⊥β，则 m⊥n； C．若 m∥β，则α∥β； D．若α∥β，则 m∥ n. 6．已知 0, 0ab bc  ，则直线 ax by c  通过（ ） E A BC C1 B1 A1 A．第一、二、三象限 B．第一、二、四象限 C．第一、三、四象限 D．第二、三、四象限 7．已知某几何体的三视图(单位：cm)如图所示，则该几何体的体积是( ) A．108 cm3 B．100 cm3 C．92 cm3 D．84 cm3 8．若 a2＋b2＝2c2(c≠0)，则直线 ax＋by＋c＝0 被圆 x2＋y2＝1 所截得的弦长为( ) A．1 2 B．1 C． 2 2 D． 2 9．在四面体 ABCD 中，已知棱 AC 的长为 2，其余各棱长都为 1，则二面角 A—CD—B 的 余弦值为（ ） A．1 2 B．1 3 C． 3 3 D． 2 3 10．如图，在正方体 ABCD-A1B1C1D1 中，E、F、G、H 分别为 AA1、 AB、BB1、B1C1 的中点，则异面直线 EF 与 GH 所成的角等于（ ） A．45° B．60° C．90° D．120° 11．若曲线 21 xy  与直线 bxy  始终有交点，则b 的取值范围是（ ） A． [ 1, 2] B．[ 1, 2) C．[1, 2] D． (1, 2) 12．已知正三棱锥 P—ABC（顶点在底面的射影是底面正三角形的中心）的侧面是顶角为 30° 腰长为 2 的等腰三角形，若过 A 的截面与棱 PB，PC 分别交于点 D 和点 E，则截面 △ ADE 周长的最小值是（ ） A． 2 B．2 3 C． 3 D．2 2 第Ⅱ卷（非选择题） 二、选择题（本大题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分,将答案写在答题卡上．．．．．．．．．.） 13．两个球的体积之比为 8 ：27，则这两个球的表面积之比为________． 14．经过点 (3, 1)P  ，且在 x 轴上的截距等于在 y 轴上的截距的 2 倍的直线 l 的方程是 ______________________． 15．等腰直角 △ ABC 中，AB=BC=1，M 为 AC 的中点，沿 BM 把 △ ABC 折成二面角，折后 A 与 C 的距离为 1，则二面角 C—BM—A 的大小为_____________． 16．已知点 A(－1,1)，B(2，－2)，若直线 l：x＋my＋m＝0 与线段 AB 相交(包含端点的情况)， 则实数 m 的取值范围是________________． 三、解答题（本大题共 6 小题，共 70 分） 17. （本小题满分 10 分）求满足以下条件的 m 值． (1)已知直线 2mx＋y+6＝0 与直线 (m－3)x-y+7=0 平行； (2)已知直线 mx＋(1－m)y＝3 与直线(m－1)x＋(2m＋3)y＝2 互相垂直. 18. （本小题满分 12 分）如图，已知圆 C 与 x 轴相切于点 T(1,0)，与 y 轴正半轴交于两点 A， B(B 在 A 的上方)，且|AB|＝2. (1)求圆 C 的标准方程； (2)求圆 C 在点 B 处的切线方程． 19．（本小题满分 12 分）如图，平行四边形 ABCD 中，CD=1，∠BCD=60°，BD⊥CD，正 方形 ADEF，且面 ADEF⊥面 ABCD． （1）求证：BD⊥平面 ECD； （2）求 D 点到面 CEB 的距离． 20．（本小题满分 12 分）已知 △ ABC 的顶点 B（-1，-3），边 AB 上的高 CE 所在直线的方程 为 4 3 7 0x y   ，BC 边上中线 AD 所在的直线方程为 3 3 0x y   ． (1) 求直线 AB 的方程； C EF DA B (2) 求点 C 的坐标． 21.（本小题满分 12 分）如图，直三棱柱 ABC  A1B1C1 的底面是边长为 2 的正三角形，E， F 分别是 BC，CC1 的中点． （1）证明：平面 AEF⊥平面 B1BCC1； （2）若直线 A1C 与平面 A1ABB1 所成的角为 45°，求三棱锥 F  AEC 的体积． 22.（本小题满分 12 分）如图，已知 AA1⊥平面 ABC，BB1∥AA1，AB＝AC＝3，BC＝2 5， AA1＝ 7，BB1＝2 7，点 E 和 F 分别为 BC 和 A1C 的中点． (1)求证：EF∥平面 A1B1BA； (2)求直线 A1B1 与平面 BCB1 所成角的大小． F E B1 C1A1 A C B 甘肃省兰州一中 2018-2019-1 学期高一数学期末考试答案 一、选择题（本大题共 12 小题，每小题 5 分，共 60 分） 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 答案 B A A D A C B D C B A D 二、选择题（本大题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分,） 13.4: 9 14. 或 （只写对一个方程不给分） 15. 16． 三、解答题（本大题共 6 小题，共 70 分） 17. （10 分） 也可用 m(m－1)＋(1－m)(2m＋3)＝0，即 m2＋2m－3＝0，解得 m＝1，或 m＝－ 3.………10 分 18．（12 分 解：(1)过点 C 作 CM⊥AB 于 M，连接 AC， 则|CM|＝|OT|＝1， |AM|＝ 1 2|AB|＝1， 所以圆的半径 r＝|AC|＝＝，从而圆心 C(1，)， 即圆的标准方程为(x－1)2＋(y－)2＝2…………6 分 (2)令 x＝0 得，y＝±1， 则 B(0，＋1)， 所以直线 BC 的斜率为 k＝ 2 0－1＝－1， 由直线与圆相切的性质知，圆 C 在点 B 处的切线的斜率为 1， 则圆 C 在点 B 处的切线方程为 y－(＋1)＝1×(x－0)， 即 y＝x＋＋1………….12 分 19．（12 分） 解:（ 1）证明：∵四边形 ADEF 为正方形， ∴ED⊥AD， 又∵平面 ADEF⊥平面 ABCD，平面 ADEF∩平面 ABCD=AD， ∴ED⊥平面 ABCD，∴ED⊥BD． 又∵BD⊥CD，ED∩CD=D， ∴BD⊥平面 ECD．…………..4 分 （ 2）∵CD=1，∠BCD=60°，BD⊥CD， 又∵正方形 ADEF，∴CB=2，CE= ， ， ∴ ，∴ ， Rt △ BCD 的面积等于 S △ BCD= 1 = ， 由得（ I）ED⊥平面 ABCD，∴点 E 到平面 BCD 的距离为 ED=2，设点 D 到到面 CEB 的距离为 h， ∴ = ，∴h= ， 即点 D 到到面 CEB 的距离为 ………………12 分 20.（12 分） 解：（1）∵ ,且直线 的斜率为 ，∴直线 的斜率为 ， ∴直线 的方程为 ，即 ．………………6 分 （2）设 ，则 ， ∴ ，解得 ， ∴ ．………………12 分 21.（12 分） 解：（1）证明：如图，因为三棱柱 ABC A1B1C1 是直三棱柱，所以 AE⊥BB1. 又 E 是正三角形 ABC 的边 BC 的中点，所以 AE⊥BC. 又 ，因此 AE⊥平面 B1BCC1. ……3 分 而AE ⊂ 平面 AEF，所以平面 AEF⊥平面 B1BCC1. ……5 分 （2）设 AB 的中点为 D，连接 A1D，CD. 因为 △ ABC 是正三角形，所以 CD⊥AB. 又三棱柱 ABC A1B1C1 是直三棱柱，所以 CD⊥AA1. 又 ，因此 CD⊥平面 A1ABB1， 于是∠CA1D 为直线 A1C 与平面 A1ABB1 所成的角． ……8 分 由题设，∠CA1D＝45°，所以 A1D＝CD＝3 2AB＝. 在 Rt △ AA1D 中，AA1＝＝＝，所以 FC＝1 2AA1＝2 2. ……10 分 故三棱锥 F AEC 的体积 V＝1 3S △ AEC·FC＝1 3××＝ 6 12. ……12 分 22.（12 分） 解：(1)证明：如图，连接 A1B.在△A1BC 中， 因为 E 和 F 分别是 BC 和 A1C 的中点， 所以 EF∥BA1. 又 EF⊄平面 A1B1BA， 所以 EF∥平面 A1B1BA………..4 分 (2)解：因为 AB＝AC，E 为 BC 的中点， 所以 AE⊥BC. 因为 AA1⊥平面 ABC，BB1∥AA1， 所以 BB1⊥平面 ABC，从而 BB1⊥AE. 又 BC∩BB1＝B，所以 AE⊥平面 BCB1，. 取 BB1 的中点 M 和 B1C 的中点 N，连接 A1M，A1N，NE. 因为 N 和 E 分别为 B1C 和 BC 的中点， 所以 NE∥B1B，NE＝ 1 2B1B， 故 NE∥A1A 且 NE＝A1A， 所以 A1N∥AE，且 A1N＝AE. 因为 AE⊥平面 BCB1，所以 A1N⊥平面 BCB1， 从而∠A1B1N 为直线 A1B1 与平面 BCB1 所成的角． 在△ABC 中，可得 AE＝2，所以 A1N＝AE＝2. 因为 BM∥AA1，BM＝AA1， 所以 A1M∥AB，A1M＝AB， 由 AB⊥BB1，有 A1M⊥BB1. 在 Rt△A1MB1 中， 可得 A1B1＝＝4. 在 Rt△A1NB1 中，sin∠A1B1N＝＝， 因此∠A1B1N＝30°. 所以直线 A1B1 与平面 BCB1 所成的角为 30°……………12 分