北京市附属中学2019-2020学年高二下学期期中考试数学试题

北京市附属中学2019-2020学年高二下学期期中考试数学试题

高二年级居家自主学习在线检测试卷 数学 一、选择题 ‎1.已知集合M＝{0，x}，N＝{1,2}，若M∩N＝{2}，则M∪N＝(　　)‎ A. {0，x,1,2} B. {2,0,1,2}‎ C. {0,1,2} D. 不能确定 ‎【答案】C ‎【解析】‎ 集合M＝{0，x}，N＝{1,2}，若M∩N＝{2}，则.‎ 所以.‎ 故选C.‎ 点睛：集合的交集即为由两个集合的公共元素组成的集合，集合的并集即由两集合的所有元素组成.‎ ‎2.已知是的共轭复数，则（ ）‎ A. B. C. D. 1‎ ‎【答案】D ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 首先计算，然后利用共轭复数的特征计算的值.‎ ‎【详解】，‎ ‎，‎ ‎.‎ 故选:D.‎ ‎【点睛】本题考查复数的计算，属于基础题型.‎ ‎3.设函数则（ ）‎ A. 有最大值 B. 有最小值 C. 是增函数 D. 是减函数 ‎【答案】A ‎【解析】‎ ‎，则．当时，，此时单调递增；当时，，此时单调递减．所以在处取到极大值，故选A ‎4.等差数列{an}的首项为1，公差不为0.若a2，a3，a6成等比数列，则{an}前6项的和为( )‎ A. －24 B. －3‎ C. 3 D. 8‎ ‎【答案】A ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 根据等比中项的性质列方程，转化为的形式，由此解得的值，进而求得数列的前项和.‎ ‎【详解】设等差数列{an}的公差为d，依题意得，即(1＋2d)2＝(1＋d)(1＋5d)，解得d＝－2或d＝0(舍去)，又a1＝1，∴S6＝6×1＋×(－2)＝－24.‎ 故选：A ‎【点睛】本小题主要考查等比中项的性质，考查等差数列通项公式的基本量计算，属于基础题.‎ ‎5.某四棱锥的三视图如图所示，在此四棱锥的侧面中，直角三角形的个数为 A. 1 B. 2‎ C. 3 D. 4‎ ‎【答案】C ‎【解析】‎ 分析：根据三视图还原几何体，利用勾股定理求出棱长，再利用勾股定理逆定理判断直角三角形的个数.‎ 详解：由三视图可得四棱锥，在四棱锥中，，‎ 由勾股定理可知：，则在四棱锥中，直角三角形有：共三个，故选C.‎ 点睛：此题考查三视图相关知识，解题时可将简单几何体放在正方体或长方体中进行还原，分析线面、线线垂直关系，利用勾股定理求出每条棱长，进而可进行棱长、表面积、体积等相关问题的求解.‎ ‎6.北京园博会期间，某日13时至21时累计入园人数的折线图如图所示，那么在13时~14时，14时~15时，……，20时~21时这八个时段中，入园人数最多的时段是（ ）‎ A. 13时~14时 B. 16时~17时 C. 18时~19时 D. 20时~21时 ‎【答案】B ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 要找入园人数最多的时段，只要根据折线图找出图象中变化最大的即可.‎ ‎【详解】解：结合折线图可知，在八个时段中，图象变化最大的在16时~17时之间，‎ 所以入园人数最多的时段是16时~17时.‎ 故选：B.‎ ‎【点睛】本题考查折线统计图的实际应用，属于基础题.‎ ‎7.已知三棱锥中，，，，，，则三棱锥的体积是（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】C ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 根据条件，由勾股定理分别算出和，利用勾股定理的逆定理得出，进而得出，结合已知条件，根据线面垂直的判定定理，可证出平面，利用棱锥的体积公式即可求出答案.‎ ‎【详解】解：如图，由题知，，，‎ 得：，‎ 由于，，，‎ 得：，‎ 则：，‎ 所以：，‎ 已知，即，，平面，‎ 所以：平面，‎ 所以三棱锥的体积为：‎ ‎.‎ 故选：C.‎ ‎【点睛】本题考查棱锥的体积公式，涉及线面垂直的判定定理和勾股定理的应用，考查推理和计算能力.‎ ‎8.设平面与平面相交于直线，直线在平面内，直线在平面内，且则“”是“”的（ ）‎ A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 即不充分不必要条件 ‎【答案】A ‎【解析】‎ ‎【详解】试题分析：α⊥β， b⊥m又直线a在平面α内，所以a⊥b，但直线不一定相交，所以“α⊥β”是“a⊥b”的充分不必要条件，故选A.‎ 考点：充分条件、必要条件.‎ ‎9.正方体中分别是正方形和中心，是中点，设与所成角分别是，则（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】D ‎【解析】‎ 试题分析：设正方体的棱长为 如图取的中点，并连接，，‎ 又是中点，所以，即与的夹角即为与的夹角 连接，，由正方形的性质知，与交于，则 连接，由正方形的性质知，为的中点，则 因为，所以与的夹角即为与的夹角 在中，‎ 同理得 在中，‎ 所以，‎ 在,,所以 所以，‎ 所以 故答案选 考点：异面直线及其夹角．‎ ‎【方法点睛】求异面直线所成的角的三步曲：即“一作、二证、三求”．其中空间选点任意，但要灵活，经常选择“端点、中点、等分点”，通过作三角形的中位线，平行四边形等进行平移，作出异面直线所成的角，转化为解三角形问题，进而求解．‎ ‎10.已知函数，其中，的部分图象如图所示，且f（x）在上恰有一个最大值和一个最小值（其中最大值为1，最小值为-1），则的取值范围是（）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】D ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 根据条件先求出得值，结合在上恰有一个最大值和一个最小值，求出满足条件的表达式，即可求解．‎ ‎【详解】由题意知，根据函数，的部分图象，‎ 因为，且，所以，‎ 又因为，所以，‎ 所以，所以.‎ 故选D．‎ ‎【点睛】本题主要考查了三角函数的图象与性质的应用，其中解答中熟记三角函数的图象与性质，结合函数一个周期内的最大值和最小值对应的范围求解是解答的关键，着重考查了推理与运算能力，属于中档试题．‎ 二、填空题 ‎11.若双曲线的一个焦点为，则______；其离心率为______.‎ ‎【答案】 (1). (2). ‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 由双曲线的焦点坐标，得出，由双曲线得出，再根据，求出，根据求出离心率.‎ ‎【详解】解：由于双曲线的一个焦点为，‎ 则，且可知，‎ 由，得，所以，‎ 所以双曲线的离心率为：.‎ 故答案为： (1)；(2).‎ ‎【点睛】本题考查双曲线的简单几何性质以及离心率，属于基础题.‎ ‎12.点和点都在单位圆上，记，则______.‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 根据题意，利用三角函数的定义，可得出，再利用二倍角的正弦公式，即可求出.‎ ‎【详解】解：因为点和点都在单位圆上，，‎ 则点在角的终边上，‎ 由三角函数的定义可知，，‎ 则.‎ 故答案为：.‎ ‎【点睛】本题考查三角函数的定义求三角函数值，以及二倍角的正弦公式，属于基础题.‎ ‎13.已知为坐标原点，，，，直线，且与坐标平面相交于点，则点的坐标为______.‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 根据题意，利用平面上点的坐标性质，可设，且，根据空间向量平行的坐标关系得出，即可求出点的坐标.‎ ‎【详解】解：已知，直线，且与坐标平面相交于点，‎ 则有，可设，‎ 而，，，‎ 则，即：‎ 即：，解得：，‎ 所以点的坐标为.‎ 故答案为：.‎ ‎【点睛】本题考查空间向量平行的坐标运算，以及平面内点的坐标的性质特征，考查计算能力.‎ ‎14.已知线段的长度为，为任意一点，则的最小值为______.‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 根据题意，设，，得出的坐标，根据平面向量数量积坐标运算得出，即可求出的最小值.‎ ‎【详解】解：由题可知，线段的长度为，为任意一点，‎ 可设，，‎ 则，‎ 所以，‎ 又因为，则，‎ 即，当且仅当时，取等号，‎ 所以的最小值为：-4.‎ 故答案为：-4.‎ ‎【点睛】本题考查平面向量数量积的坐标运算，以及运用基本不等式求最值，考查计算能力.‎ ‎15.方程的曲线即为函数的图像，对于函数，有如下结论：①在上单调递减；②函数不存在零点；③函数的值域是；④的图像不经过第一象限，其中正确结论的个数是___________‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 先根据题意画出方程的曲线即为函数y=f（x）的图象，如图所示．轨迹是两段双曲线的一部分加上一段的椭圆圆弧组成的图形．从图形中可以看出，关于函数y=f（x）的结论的正确性．‎ ‎【详解】根据题意画出方程的曲线即为函数y=f（x）的图象，如图所示．轨迹是两段双曲线的一部分加上一段的椭圆圆弧组成的图形． 从图形中可以看出，关于函数 的有下列说法： ①R上单调递减；正确． ②由 即 ，从而图形上看，函数的图象与直线没有交点，故函数F（x）=‎4f（x）+3x不存在零点；正确． ③函数y=f（x）的值域是R；正确． ④的图象不经过第一象限，正确． 其中正确的个数是4． 故选D．‎ ‎【点睛】本题考查命题的真假判断与应用、函数单调性的应用、圆锥曲线的应用等基础知识，考查运算求解能力，考查数形结合思想、化归与转化思想．属于中档题 三、解答题 ‎16.如图，在中，为上一点，，，，.‎ ‎（1）求的长以及；‎ ‎（2）求的面积.‎ ‎【答案】（1）；（2）‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎（1）根据题意，在中由余弦定理得，代数求解得，而，从而可得出；‎ ‎（2）在中，利用正弦定理得出，，根据，即可求出的面积.‎ ‎【详解】解：（1）由题可知，，，，，‎ 在中，由余弦定理得：‎ ‎，‎ 即：，‎ 求得：，‎ 因为，‎ 故；‎ ‎（2）在中，由正弦定理得：，‎ 求得：，‎ ‎，‎ 则的面积为：‎ ‎.‎ ‎【点睛】本题考查利用正弦定理和余弦定理解三角形，以及三角形的面积公式，考查求解运算能力.‎ ‎17.设为等比数列的前项和，已知满足______，求公比以及.‎ 从①且，②且，③且这三组条件中任选一组，补充到上面问题中，并完成解答.‎ ‎【答案】答案不唯一，具体见解析 ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 若选①，根据等比数列的性质得出，结合，联立方程组求出和，从而求出或，进而算出对应的，结合是以为首项，为公比的等比数列，利用等比数列求和公式，即可求出；‎ 若选②，由于且，可求出，结合是以为首项，为公比的等比数列，利用等比数列求和公式，即可求出；‎ 若选③，根据且，利用等比数列性质，即可求出，进而求得，结合是以为首项，为公比的等比数列，利用等比数列求和公式，即可求出.‎ ‎【详解】解：若选①，则有，‎ 故有，得或，‎ 即或.‎ 因为是以为首项，为公比的等比数列，‎ 若，，此时；‎ 或，，此时；‎ 若选②，，即，故，‎ 因为是以为首项，为公比的等比数列，‎ 所以；‎ 若选③，（*），（**），‎ 令（**）式减（*）式，得，‎ 即，故，‎ 则（*）式中，，‎ 即，即，‎ 因为是以为首项，为公比的等比数列，‎ 所以.‎ ‎【点睛】本题考查利用等比数列的通项公式求出基本量，以及等比数列的求和公式，还涉及等比数列的性质，考查计算能力.‎ ‎18.如图，三棱锥中，平面平面，，，，，，点是棱的中点.‎ ‎（1）求证：平面；‎ ‎（2）求直线与平面所成角的正弦值；‎ ‎（3）设点是线段的中点，棱上是否存在点，使得平面？若存在，求的值；若不存在，说明理由.‎ ‎【答案】（1）证明见解析（2）（3）存在；‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎（1）已知平面平面，利用面面垂直的性质，得出平面，从而有，又，且，平面，根据线面垂直的判定定理，即可证出平面；‎ ‎（2）在平面内，过点作，点为垂足，过点作直线，利用面面垂直的性质可得出平面，，可证出平面，以为原点建系，直线分别为轴建立空间直角坐标系，通过空间向量法求出和平面的法向量为，根据空间向量线面夹角公式，即可求出直线与平面所成角的正弦值；‎ ‎（3）设，，则，，平面的法向量，由于平面，即可求出，从而得出的值.‎ ‎【详解】（1）证明：∵平面平面，平面平面，‎ ‎，平面，‎ ‎∴平面 又平面，∴，‎ 因为，，，平面，‎ 所以平面.‎ ‎（2）解：在平面内，过点作，点为垂足，过点作直线，‎ ‎∵平面平面，平面平面，平面，‎ ‎∴平面，‎ ‎∵，‎ ‎∴平面，‎ 以为原点建系，直线分别为轴建立空间直角坐标系，‎ 则，，，，‎ 则，，，‎ 设平面的法向量为，‎ 则，，‎ ‎∴，不妨设，则，‎ 设直线与平面所成角为，‎ 则，‎ 故直线与平面所成角的正弦值为，‎ ‎（3）解：设，，则 ‎∴，又，‎ ‎∴，‎ 平面的法向量，‎ 因为平面，即，‎ ‎∴，‎ 从而.‎ ‎【点睛】本题考查线面垂直的判定定理和面面垂直的性质，以及通过空间向量法求出线面角的正弦值，线面平行性质求线段比，考查空间逻辑推理和运算能力.‎ ‎19.已知抛物线，过抛物线的焦点且垂直于轴的直线交抛物线于两点，.‎ ‎（1）求抛物线的方程，并求其焦点的坐标和准线的方程；‎ ‎（2）过抛物线的焦点的直线与抛物线交于不同的两点，直线与准线交于点.连接，过点作的垂线与准线交于点.求证：三点共线.‎ ‎【答案】（1）抛物线方程为，焦点坐标为，准线方程为（2）证明见解析 ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎（1）根据抛物线通径的性质，得出，即可求出抛物线的标准方程，即可得出焦点坐标和准线方程；‎ ‎（2）根据题意，设直线，与抛物线方程联立，求出则，，通过直线相交分别求出和，从而求出和，通过化简求出，即可证出三点共线.‎ ‎【详解】解：（1），则，‎ 故抛物线的方程为：，‎ 其焦点坐标为，准线方程为：‎ ‎（2）设直线，联立，‎ 得，则，‎ 设，，则，‎ 法1：直线，‎ 由得，故点，‎ 直线的斜率，‎ 则直线的斜率，‎ 直线，则点 直线的斜率.‎ 直线的斜率，由得，‎ 则，‎ 所以三点共线.‎ 法2：直线，‎ 由得，故点，‎ 由，得.‎ 直线的斜率，‎ 直线，得点，‎ 由，得.‎ 直线的斜率.‎ 直线的斜率，由得，‎ 由，得，‎ 则有.所以三点共线.‎ 法3：（1）∵，∴，∴，∴，，‎ ‎∴抛物线的标准方程为：，‎ 则焦点坐标为：，准线方程为：.‎ ‎（2）设直线，联立得：，‎ ‎，‎ 设，，‎ ‎∴直线，‎ 当时，，∴，‎ ‎∴，∴，‎ ‎∴直线，‎ 当时，，∴，‎ ‎∴，，‎ ‎∴‎ ‎，‎ ‎∴，‎ ‎∴共线.‎ ‎【点睛】本题考查抛物线的标准方程和简单几何性质，以及直线与抛物线的位置关系，通过联立方程组，韦达定理，利用直线斜率的关系证明三点共线，考查转化思想和计算能力.‎ ‎20.已知函数，其中.‎ ‎（1）当时，求曲线在点处的切线方程；‎ ‎（2）讨论函数的极值点的个数，并分别指出极大值点的个数和极小值点的个数；‎ ‎（3）若函数有两个极值点，证明：.‎ ‎【答案】（1）（2）答案不唯一，具体见解析（3）证明见解析 ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎（1）当时，，求导得，根据导数的几何意义求出切线斜率以及求出切点坐标，根据直线点斜式方程求出切线方程；‎ ‎（2）由题可知，，由于，分类讨论，当，，时，利用导数研究函数的单调性，根据单调性列出的变化情况表，即可得出的极值点的个数，以及极大值点的个数和极小值点的个数；‎ ‎（3）函数有两个极值点，由（2）可知，并且是方程两个根，根据韦达定理得出，，进而化简出，构造新函数，通过导数求出在上的单调性，进而，从而可证出.‎ ‎【详解】解：（1）当时，，，‎ 则，，‎ 又因为，则切点坐标为，‎ 所以切线方程为：.‎ ‎（2）因为，‎ ‎①当时，令，解得，‎ ‎+‎ ‎0‎ ‎－‎ 极大值 函数仅有个极大值点，没有极小值点；‎ ‎②当时，与同正负，‎ 又因为，所以在上存在两个不相等根，‎ 又，，‎ 所以，，不妨设，‎ ‎+‎ ‎0‎ ‎－‎ ‎0‎ ‎+‎ 极大值 极小值 函数恰有个极值点，它们是个极大值点和个极小值点；‎ ‎③当时，恒成立，‎ 则函数在上单调递增，所以函数没有极值点.‎ ‎（3）∵函数有两个极值点，‎ 由（2）可知，并且是方程两个根，‎ ‎∴，，‎ ‎∴‎ ‎，‎ 令，‎ ‎∵恒成立，‎ ‎∴在上单调递增，‎ ‎∴成立，即.‎ ‎【点睛】本题考查利用导数的几何意义求切线方程，以及利用导数研究函数的单调性和极值，通过构造函数法，利用导数证明不等式，考查分类讨论思想和计算能力.‎ ‎21.设为给定的大于2的正整数，集合，已知数列：，，…，满足条件：‎ ‎①当时，；‎ ‎②当时，.‎ 如果对于，有，则称为数列的一个逆序对.记数列的所有逆序对的个数为.‎ ‎（1）若，写出所有可能的数列；‎ ‎（2）若，求数列的个数；‎ ‎（3）对于满足条件的一切数列，求所有的算术平均值.‎ ‎【答案】（1）不同的分别为：；（2）；（3）‎ ‎.‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎（1）根据可列出满足条件的.‎ ‎（2）就构成逆序对的元素的个数分类计数可得满足条件的的个数.‎ ‎（3）引进一个定义：，有，则称为数列的一个顺序对，可证明所有的中，逆序对的总数和顺序对的总数相等，从而可得逆序对的个数为，故可求其平均值.‎ ‎【详解】（1）因， 故只有一个逆序对，‎ 则不同的分别为：.‎ ‎（2）因为，故数列：，，…，有两种情况：‎ ‎①2对逆序数由3个元素提供，即 ‎，‎ 这样的共有个.‎ ‎②2对逆序数由4个元素提供，即 ‎.‎ 这样的共有.‎ 综上，满足的数列的个数为.‎ ‎（3）对任意的：，，…，，其逆序对的个数为，‎ 我们引进一个定义：，有，则称为数列的一个顺序对，‎ 则中的顺序对个数为.‎ 考虑：，，…，与：，，…，，‎ 中的逆序对的个数为中顺序对的个数，中顺序对的个数为中逆序对个数，‎ 把所有的按如上形式两两分类，则可得所有的中，逆序对的总数和顺序对的总数相等，而它们的和为，故逆序对的个数为，‎ 所以所有的算术平均值为.‎ ‎【点睛】本题考查排列中的新定义问题，注意根据逆序对的定义得到全排列的特征，计算所有全排列的逆序对的总数时，应构造顺序对来证明两者的总数相等，本题为难题.‎