2021高考数学一轮复习课时作业11函数与方程理
课时作业11 函数与方程
[基础达标]
一、选择题
1．[2020·河南濮阳模拟]函数f(x)＝ln 2x－1的零点所在区间为( )
A．(2,3) B．(3,4)
C．(0,1) D．(1,2)
解析：由f(x)＝ln 2x－1，得函数是增函数，并且是连续函数，f(1)＝ln 2－1<0，f(2)＝ln 4－1>0，根据函数零点存在性定理可得，函数f(x)的零点位于区间(1,2)上，故选D.
答案：D
2．[2020·四川绵阳模拟]函数f(x)＝2x－－a的一个零点在区间(1,2)内，则实数a的取值范围是( )
A．(1,3) B．(1,2)
C．(0,3) D．(0,2)
解析：由题意，知函数f(x)在(1,2)上单调递增，又函数的一个零点在区间(1,2)内，所以即解得0
0)，若存在实数b使函数g(x)＝f(x)－b有两个零点，则实数a的取值范围是( )
A．(0,1) B．(1，＋∞)
C．(1,2 019) D．[1，＋∞)
解析：由题意知f(x)在(－∞，a]上为增函数，在(a，＋∞)上也是增函数．当a3>a2时，f(x)在R上不是增函数，故必定存在b，使得直线y＝b与f(x)的图象有两个交点，即g(x)＝f(x)－b有两个零点，此时a>1.故选B项．
答案：B
二、填空题
6．函数f(x)＝ex＋x－2的零点所在区间为________．(答案不唯一)
解析：∵f′(x)＝ex＋>0，∴f(x)在R上单调递增，
又f(0)＝1－2<0，f(1)＝e－>0.
答案：(0,1)
7．[2020·天津联考]已知f(x)＝则函数g(x)＝f(x)－ex的零点个数为________．
解析：函数g(x)＝f(x)－ex的零点个数即函数y＝f(x)与y＝ex的图象的交点个数．作出函数图象，如图，可知两函数图象有2个交点，即函数g(x)＝f(x)－ex有2个零点．
答案：2
8．[2020·湘赣十四校联考]已知函数f(x)＝有且只有一个零点，则实数a的取值范围是________．
解析：当a>0时，函数y＝ax－3(x>0)必有一个零点，又－<0，所以a－2＋2－＋a>0，得a>1；当a＝0时，f(x)＝恰有一个零点；当a<0时，若x>0，则f(x)＝ax－3无零点，若x≤0，则f(x)＝ax2＋2x＋a，－>0，f(0)＝a<0，此时，f(x)恒小于0，所以当a<0时，f(x
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)无零点．故答案为{a|a＝0或a>1}．
答案：{a|a＝0或a>1}
三、解答题
9．设函数f(x)＝ax2＋bx＋b－1(a≠0)．
(1)当a＝1，b＝－2时，求函数f(x)的零点；
(2)若对任意b∈R，函数f(x)恒有两个不同零点，求实数a的取值范围．
解析：(1)当a＝1，b＝－2时，f(x)＝x2－2x－3，
令f(x)＝0，得x＝3或x＝－1.
∴函数f(x)的零点为3或－1.
(2)依题意，f(x)＝ax2＋bx＋b－1＝0有两个不同实根，
∴b2－4a(b－1)>0恒成立，
即对于任意b∈R，b2－4ab＋4a>0恒成立，
所以有(－4a)2－4×(4a)<0⇒a2－a<0，解得0时，
须使即
解得a≥1，
∴a的取值范围是[1，＋∞)．
[能力挑战]
11．[2020·安徽黄山第一次质量检测]若函数f(x)＝4x－m·2x＋m＋3有两个不同的零点x1，x2，且x1∈(0,1)，x2∈(2，＋∞)，则实数m的取值范围为( )
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A．(－∞，－2) B．(－∞，－2)∪(6，＋∞)
C．(7，＋∞) D．(－∞，－3)
解析：设t＝2x，则函数f(t)＝t2－mt＋m＋3有两个不同的零点t1，t2，t1∈(1,2)，t2∈(4，＋∞)，
∴即解得m>7，故选C项．
答案：C
12．[2020·辽宁大连模拟]已知偶函数y＝f(x)(x∈R)满足f(x)＝x2－3x(x≥0)，若函数g(x)＝则y＝f(x)－g(x)的零点个数为( )
A．1 B．3
C．2 D．4
解析：作出函数f(x)与g(x)的图象，如图所示，由图象可知两个函数图象有3个不同的交点，所以函数y＝f(x)－g(x)有3个零点，故选B项．
答案：B
13．[2019·河北武邑中学第二次调研]已知函数f(x)＝若方程f(x)＝－x＋a有且只有两个不相等的实数根，则实数a的取值范围为( )
A．(－∞，0) B．[0,1)
C．(－∞，1) D．[0，＋∞)
解析：函数f(x)＝的图象如图所示．
作出直线l：y＝a－x，并平移直线l，观察可得当a<1时，函数y＝f(x)的图象与函数y＝－x＋a的图象有两个交点，即方程f(x)＝－x＋a有两个不相等的实数根，则a<1，故选C项．
答案：C
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