黑龙江省实验中学2020届高三上学期期末考试数学（文）试题

黑龙江省实验中学2020届高三上学期期末考试数学（文）试题

黑龙江省实验中学2019-2020学年度高三期末考试 文科数学试题 考试时间：120分钟 总分：150分 一、选择题（本大题共12小题，共60分）‎ ‎1. 若集合，，则集合中的元素的个数为（ ）‎ A. 5 B. 4 C. 3 D. 2‎ ‎2. 在复平面内与复数所对应的点关于虚轴对称的点为，则对应的复数为（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎3. 已知直线平面，直线平面，给出下列命题：‎ ‎①；②；③；④.‎ 其中正确命题的序号是（ ）‎ A. ①②③ B. ②③④ D. ①③ D. ②④‎ ‎4. 设为所在平面内一点，若，则下列关系中正确的是（ ）‎ A. B. ‎ C. D. ‎ ‎5. 程大位是明代著名数学家，他的《新编直指算法统宗》卷八中第33问：“今有三角果一垛，底阔每面七个.问该若干？”如图是解决该问题的程序框图.执行该程序框图，求得该垛果子的总数为（ ）‎ A. 120 B. 84 C. 56 D. 28‎ ‎6. 从装有大小形状材质完全相同的3个红球和3个黑球的不透明口袋中，随机摸出两个小球，则这两个小球同色的概率是（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎7. 已知函数的最大值为3，的图象的相邻两条对称轴间的距离为2，与轴的交点的纵坐标为1，则（ ）‎ A. 1 B. -1 C. D. 0‎ ‎8. 现采用随机模拟的方法估计某运动员射击4次，至少击中3次的概率；先由计算器给出0到9之间取整数值的随机数，指定0、1、2表示没有击中目标，3、4、5、6、7、8、9表示击中目标，以4个随机数为一组，代表射击4次的结果，经随机模拟产生了20随机数：‎ ‎7527 0293 7140 9857 0347 4373 8636 6947 1417 4698‎ ‎0371 6233 2616 8045 6011 3661 9597 7424 7610 4281‎ 根据以上数据估计该射击运动员射击4次至少击中3次的概率为（ ）‎ A. 0.55 B. 0.6 C. 0.65 D. 0.7‎ ‎9. 已知双曲线的离心率为，过右焦点作渐近线的垂线，垂足为，若的面积为，其中为坐标原点，则双曲线的标准方程为（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎10. 在等比数列中，，公比.若，则（ ）‎ A. 12 B. 11 C. 10 D. 9‎ ‎11. 已知抛物线的焦点，准线为，点在抛物线上，为与轴的交点，且，则（ ）‎ A. 1 B. C. 2 D. 4‎ ‎12. 已知函数，若函数是奇函数，且曲线在点的切线与直线垂直，则（ ）‎ A. -32 B. -20 C. 25 D. 42‎ 二、填空题（本大题共4小题，共20分）‎ ‎13. 某路口人行横道的信号灯为红灯和绿灯交替出现，红灯持续时间为40秒.若一名行人来到该路口遇到红 灯，则至少需要等待15秒才出现绿灯的概率为______.‎ ‎14. 若，满足约束条件，则的最小值为______.‎ ‎15. 某学校高三学年有420名学生，现采用系统抽样方法抽取21人做问卷调查，将420人按1，2，…，420随机编号，则抽取的21人中，编号落入区间的人数为______.‎ ‎16. 已知是定义在上的奇函数，当时，，函数.如果，，使得，则实数的取值范围是______.‎ 三、解答题（本大题共6小题，共70分）‎ ‎17. 在平面直角坐标系中，已知曲线：，以平面直角坐标系的原点为极点，轴的正半轴为极轴，取相同的单位长度建立极坐标系，已知直线：.‎ ‎（1）试写出直线的直角坐标方程和曲线的参数方程；‎ ‎（2）在曲线上求一点，使点到直线的距离最大，并求出此最大值.‎ ‎18. 在公差不为0的等差数列中，，，成公比为的等比数列，又数列满足.‎ ‎（1）求数列的通项公式；‎ ‎（2）求数列的前项和.‎ ‎19. 如图，在直三棱柱中，，是的中点，.‎ ‎（1）求证：平面；‎ ‎（2）若异面直线和所成角的余弦值为，求四棱锥的体积.‎ ‎20. 已知在中，角，，的对边分别为，，，且.‎ ‎（1）求的值；‎ ‎（2）若，求面积的最大值.‎ ‎21. 已知椭圆：的离心率为，且过点.‎ ‎（1）求的方程；‎ ‎（2）是否存在直线：与相交于，两点，且满足：①与（为坐标原点）的斜率之和为2；②直线与圆相切，若存在，求出的方程；若不存在，请说明理由.‎ ‎22. 已知函数，，为自然对数的底数.‎ ‎（1）当时，证明：，；‎ ‎（2）若函数在上存在极值点，求实数的取值范围.‎ 黑龙江省实验中学2019-2020学年度高三期末考试 文科数学试题 一、选择题（本大题共12小题，共60分）‎ ‎1-5：CDCAB 6-10：CDBCB 11-12：CA ‎4. A .‎ ‎5. B 模拟程序的运行，可得：，，，‎ 执行循环体，，，；不满足判断条件，执行循环体，，，；‎ 不满足判断条件，执行循环体，，，；‎ 不满足判断条件，执行循环体，，，；‎ 不满足判断条件，执行循环体，，，；‎ 不满足判断条件，执行循环体，，，；‎ 不满足判断条件，执行循环体，，，；‎ 满足判断条件，退出循环，输出的值为84.‎ ‎6. C 记3个红球分别为，，，3个黑球分别为，，，则随机取出两个小球共有15种可能：‎ ‎，，，，，，，，，，，，，，，其中两个小球同色共有6种可能，‎ ‎，，，，，，根据古典概型概率公式可得所求概率为.‎ ‎7. D ，的最大值为3，∴，∴；‎ 根据函数图象相邻两条对称轴间的距离为2，可得函数的最小正周期为4，即，∴，再根据的图象与轴的交点纵坐标为1，可得，∴，∴，故函数的解析式为，.‎ ‎8. B 由题设可知两次以上没击中的情形有0293、7140、1417、0371、2616、6011、7610、4281，共八种，即，，故该射击运动员射击4次至少击中3次的概率为.‎ ‎9. C 由题意可得①，可得，设，渐近线为，‎ 可得到渐近线的距离为，由勾股定理得 ‎，‎ 因为的面积为，所以②.又③，由①②③解得，，，‎ 所以双曲线的方程为.‎ ‎10. B 由等比数列的性质可知.‎ ‎11. C 过作准线的垂线，垂足为，则，‎ 在中，∵，∴，‎ ‎∴，把代入抛物线方程，解得.∴.‎ ‎12. A 因为函数是奇函数，所以，所以.由题得，∴，因为切线与直线垂直，所以，所以，所以.‎ 二、填空题（本大题共4小题，共20分）‎ ‎13. 14. -4 15. 7 16. ‎ ‎13. ‎ 解：由题意结合几何概型计算公式可知，至少需要等待15秒才出现绿灯的概率：.‎ ‎14. -4‎ 绘制不等式组表示的平面区域如图所示，‎ 目标函数其几何意义表示点与可行域内的点连线的斜率，‎ 据此可知目标函数在点处取得最小值，联立直线方程：，可得点的坐标为：，‎ 据此可知目标函数的最小值为：.‎ ‎15. 7‎ 因为，而，故抽取的人中编号落入区间中的人数是7人.‎ ‎16. ‎ 由题意得：在上的值域为的值域的子集.‎ 易得，，从而，解得.‎ 三、解答题（本大题共6小题，共70分）‎ ‎17.（1）（为参数）；（2）.‎ ‎（1）由条件得，将，代入上式得，∴直线的直角坐标方程为：.由得，∴曲线的参数方程为：（为参数）.‎ ‎（Ⅱ）设点的坐标，则点到直线的距离为，‎ ‎∴当时，，此时点的坐标为.‎ ‎18.（1）；（2）‎ ‎（1）公差不为0的等差数列中，，，成公比为的等比数列，‎ 可得，，可得，，化简可得，‎ 即有；‎ ‎（2）由（1）可得，；前项和 ‎.‎ ‎19.（1）见证明；（2）3‎ ‎（1）连结，交于点，连结.在直三棱柱中，四边形为平行四边形，‎ 所以为的中点，又为的中点，所以，又平面，平面，‎ 所以平面.‎ ‎（2）因为，为锐角，‎ 所以为异面直线和所成的角，所以由条件知，‎ 在中，，，，，.又平面，平面，，所以，，‎ ‎，所以.‎ ‎20.（1）；（2）‎ 解：（1）由题意及正、余弦定理，‎ 整理得，∴.‎ ‎（2）由题意得，∴，‎ ‎∵，∴，∴.‎ 由余弦定理得，∴，∴，‎ 当且仅当时乖号成立.‎ ‎∴.∴面积的最大值为.‎ ‎21.（1）；（2）‎ 解：（1）由已知得，，解得，，‎ ‎∴椭圆的方程为；‎ ‎（2）把代入的方程是：，‎ 设，，则，，①‎ 由已知得，‎ ‎∴，②‎ 把①代入②得，‎ 即，③‎ 又，‎ 由，得或，‎ 由直线与圆相切，则④‎ ‎③④联立得（舍去）或，∴，‎ ‎∴直线的方程为.‎ ‎22.（1）证明：当时，，则，‎ 当时，，则，又因为，‎ 所以当时，，仅时，，‎ 所以在上是单调递减，所以，即.‎ ‎（2），因为，所以，，‎ ‎①当时，恒成立，所以在上单调递增，没有极值点.‎ ‎②当时，在区间上单调递增，‎ 因为，.‎ 当时，时，，‎ 所以在上单调递减，没有极值点.‎ 当时，，所以存在，使，‎ 当时，，时，，‎ 所以在处取得极小值，为极小值点.‎ 综上可知，若函数在上存在极值点，则实数.‎