2018-2019学年吉林省实验中学高一上学期期中考试数学试题（解析版）

2018-2019学年吉林省实验中学高一上学期期中考试数学试题（解析版）

‎2018-2019学年吉林省实验中学高一上学期期中考试数学试题 一、单选题 ‎1．已知集合A＝{x | 2≤x＜4}，B＝{x | 3x－7≥8－2x}，则A∪B＝‎ A． {x | 3≤x＜4} B． {x | x≥2}‎ C． {x | 2≤x＜4} D． {x | 2≤x≤3}‎ ‎【答案】B ‎【解析】‎ 根据集合并集运算即可求得A∪B。‎ ‎【详解】‎ 解集合B得B＝{x | x≥3}‎ 由集合A＝{x | 2≤x＜4}‎ 可得A∪B＝{x | x≥2}‎ 所以选B ‎【点睛】‎ 本题考查了集合并集的简单运算，属于基础题。‎ ‎2．已知集合A＝{x∈Z | x2＋x－2＜0}，则集合A的一个真子集为 A． {x | －2＜x＜0} B． {x | 0＜x＜2} C． {0} D． {Ø}‎ ‎【答案】C ‎【解析】‎ 解不等式得集合A，根据整数解列出集合A的子集即可得到答案。‎ ‎【详解】‎ 解不等式得－2＜x＜1‎ 因为x∈Z 所以x= -1,0‎ 所以集合A的真子集为 ‎ 根据选项，所以选C ‎【点睛】‎ 本题考查了集合的表示方法中需要注意的范围问题，真子集的概念，属于基础题。‎ ‎3．下列各组函数中，f(x)与g(x)是相同函数的是（e为自然对数的底数）‎ A． f(x)＝，g(x)＝ B． f(x)＝，g(x)＝x C． f(x)＝lnx2，g(x)＝2lnx D． f(x)＝，g(x)＝e2x ‎【答案】D ‎【解析】‎ 根据两个函数相等的条件，定义域必须相同即可判断。‎ ‎【详解】‎ 对于A，两个函数的定义域不同，所以不是相同函数 对于B，两个函数的定义域不同，所以不是相同函数 对于C，两个函数的定义域不同，所以不是相同函数 D选项两个函数为相同函数 所以选D ‎【点睛】‎ 本题考查了两个函数相等的条件，从定义域、解析式判断即可，属于基础题。‎ ‎4．下列函数中，在(0，＋∞)上是增函数的是 A． f(x)＝ B． f(x)＝lg(x－1)‎ C． f(x)＝2x2－1 D． f(x)＝x＋‎ ‎【答案】C ‎【解析】‎ 根据函数定义域及函数单调区间，即可判断。‎ ‎【详解】‎ 对于A，函数f(x)在在(0，＋∞)上是减函数 对于B，定义域为(1，＋∞)，所以在 (0，＋∞)上不能为增函数 对于D，函数f(x)在(0，1) 上为减函数，在(1，＋∞)为增函数 对于C，满足f(x) 在(0，＋∞)上是增函数 所以选C ‎【点睛】‎ 本题考查了函数单调性的判断，注意定义域的要求，属于基础题。‎ ‎5．已知函数f(x)的定义域为[0，1]，则函数f(2x－1)的定义域为 A． [－1，1] B． [，1] C． [0，1] D． [－ ，1]‎ ‎【答案】B ‎【解析】‎ 由抽象函数定义域，可求得解。‎ ‎【详解】‎ 因为函数定义域为[0，1]，所以 ‎ ‎ 解不等式得 所以选B ‎【点睛】‎ 本题考查了抽象函数定义域的求解，注意取值范围的代入，属于基础题。‎ ‎6．已知定义在[－3，3]上的函数y＝f(x)，其图象如图所示．则只有唯一的x值与之对应的y的取值范围是 A． (3，＋∞) B． [0，2)∪[3，＋∞)‎ C． (0，＋∞) D． [0，1)∪(3，＋∞)‎ ‎【答案】D ‎【解析】‎ 根据函数图像，即可判断x的取值范围。‎ ‎【详解】‎ 由图像可知，若满足唯一的x与y对应 则 ‎ 所以选D ‎【点睛】‎ 本题考查了函数图像的简单应用，根据图像判断x的取值范围，属于基础题。‎ ‎7．已知函数f(x＋1)＝x2＋2x，则f(x)的解析式为 A． f(x)＝x2＋1 B． f(x)＝x2＋2x－1‎ C． f(x)＝x2－1 D． f(x)＝x2＋2x＋1‎ ‎【答案】C ‎【解析】‎ 根据解析式f(x＋1)＝x2＋2x，配方即可得到函数f(x)的解析式。‎ ‎【详解】‎ f(x＋1)＝x2＋2x= （x+1）2-1‎ 所以f(x)＝x2－1‎ 所以选C ‎【点睛】‎ 本题考查了复合函数解析式的求法，属于基础题。‎ ‎8．三个数20.3，0.32，log0.32的大小顺序是（ ）‎ A． 0.32＜log0.32＜20.3 B． 0.32＜20.3＜log0.32‎ C． log0. 32＜20.3＜0.32 D． log0.32＜0.32＜20.3‎ ‎【答案】D ‎【解析】试题分析：由已知得：，，，所以.故选D.‎ ‎【考点】指数函数和对数函数的图像和性质.‎ ‎9．函数f(x)＝（e为自然对数的底数）的值域为 A． (－1，1) B． (－1，＋∞)‎ C． (－∞，1) D． (－1，0)∪(0，1)‎ ‎【答案】A ‎【解析】‎ 分离常数，根据指数函数的值域，逐步求得函数f(x)的值域。‎ ‎【详解】‎ 将函数化简可得 f(x)＝‎ 因为 ‎ 所以 所以 所以 即f(x)的值域为 所以选A ‎【点睛】‎ 本题考查了分离常数法的应用，应用分析法求函数的值域，属于基础题。‎ ‎10．函数f(x)＝的单调减区间为 A． (－∞，2] B． [1，2] C． [2，＋∞) D． [2，3]‎ ‎【答案】B ‎【解析】‎ 根据复合函数单调性“同增异减”的判断原则，结合二次根式有意义的条件，即可求得f(x)的单调减区间。‎ ‎【详解】‎ 由复合函数单调性判断可知 指数部分底数大于0小于1，所以为减函数 所以要求的增区间即可 画出二次函数的图像如下图 由二次函数单调性及二次根式有意义的条件可知 ‎ ‎ 所以选B ‎【点睛】‎ 本题考查了复合函数单调区间的求法，注意二次根式要有意义，属于基础题。‎ ‎11．已知定义在R上的偶函数f(x)满足以下两个条件：①在(－∞，0]上单调递减；②f(1)＝－2．则使不等式f(x＋1)≤－2成立的x的取值范围是 A． [－3，1] B． (－∞，0] C． [－2，0] D． [0，+∞)‎ ‎【答案】C ‎【解析】‎ 根据函数的奇偶性与单调性及f(1)＝－2，画出函数f(x)示意图；将函数图像平移得到f(x＋1)的图像，由图像判断f(x＋1)≤－2成立的x的取值范围即可。‎ ‎【详解】‎ 根据f(x)为定义在R上的偶函数，且在(－∞，0]上单调递减，f(1)＝－2画出示意图如下图 通过函数图像平移变化，得到f(x＋1)的图像为 由图可知，满足f(x＋1)≤－2成立的x的取值范围为 所以选C ‎【点睛】‎ 本题考查了抽象函数奇偶性与单调性的综合应用，函数图像平移变换，属于中档题。‎ ‎12．设f(x)＝ ．若存在x1，x2∈R，x1≠x2，使得f(x1)＝f(x2)成立，则实数a的取值范围是 A． (0，) B． (，) C． (0，) D． (，)‎ ‎【答案】B ‎【解析】‎ 根据指数函数与对数函数底数，先判断a的取值范围；根据存在两个不等的值，使得f(x1)＝f(x2)成立的条件，由单调性及定义域内的最值求a的取值范围即可。‎ ‎【详解】‎ 由指数函数与对数函数的底数大于0且不等于1可得 ‎ ，即 ‎ 所以指数函数与对数函数都为减函数 因为存在x1，x2∈R，x1≠x2，使得f(x1)＝f(x2)成立 所以将x=1代入两个函数得 ，解得 结合的取值范围可知 所以选B ‎【点睛】‎ 本题考查了函数单调性的综合应用，熟练掌握指数函数与对数函数的单调性要求，属于中档题。‎ 二、填空题 ‎13．函数y＝loga(x－1)＋1(a＞0，且a≠1)恒过定点________．‎ ‎【答案】(2，1)‎ ‎【解析】‎ 由对数函数过定点，结合图像平移变换即可求得y＝loga(x－1)＋1过的定点。‎ ‎【详解】‎ 根据对数函数过定点（1,0）可知 函数y＝loga(x－1)＋1是将对数函数向右平移1个单位，向上平移1个单位得到的图像 因而函数y＝loga(x－1)＋1过的定点为 ‎【点睛】‎ 本题考查了对数函数过定点及函数图像的品议变换，属于基础题。‎ ‎14．函数f(x)＝ 的定义域为________．‎ ‎【答案】(1，2)∪(2，3]；‎ ‎【解析】‎ 根据二次根式有意义条件，结合对数函数定义域及分母要求即可求得定义域。‎ ‎【详解】‎ 由二次根式有意义条件及对数函数的定义域可知 ‎ ‎ 解得定义域为(1，2)∪(2，3]‎ ‎【点睛】‎ 本题考查了函数定义域的求解，注意几个部分要同时有意义，属于基础题。‎ ‎15．定义域为R的函数f(x)，对任意实数x均有f(－x)＝－f(x)，f(2－x)＝f(2＋x)成立，若当2＜x＜4时，f(x)＝2x－3＋log2(x－1)，则f(－1)＝________．‎ ‎【答案】－2‎ ‎【解析】‎ 根据条件，判断出函数为奇函数，且关于x=2轴对称，进而求得f(－1)的值。‎ ‎【详解】‎ 因为定义域为R，对任意实数x均有f(－x)＝－f(x)‎ 所以f(x)为奇函数 因为f(2－x)＝f(2＋x)‎ 所以函数f(x)的图像关于x=2成轴对称，所以 ‎ 因为当2＜x＜4时，f(x)＝2x－3＋log2(x－1)‎ 所以 ‎ 即 因为f(x)为奇函数 所以 ‎【点睛】‎ 本题考查了函数性质的综合应用，函数奇偶性与对称性，属于中档题。‎ ‎16．已知函数f(x)＝lg(x＋‎ ‎－2)，若对任意x∈[2，＋∞)，不等式f(x)＞0恒成立，则a的取值范围是________．‎ ‎【答案】(2，＋∞)‎ ‎【解析】‎ 根据对数不等式成立条件，得关于x的不等式；分离参数a，得到关于x的二次不等式，通过求二次函数的最大值即可求得a的取值范围。‎ ‎【详解】‎ 因为对任意x∈[2，＋∞)，不等式f(x) ＝lg(x＋－2)＞0恒成立 则对任意x∈[2，＋∞)，x＋－2＞1恒成立 所以化简得 在x∈[2，＋∞)恒成立 令 ，则当x∈[2，＋∞)时 所以 即 ‎【点睛】‎ 本题考查了对数不等式的解法，二次不等式恒成立的条件及分离参数法的应用，属于中档题。‎ 三、解答题 ‎17．已知集合A＝{x|－3≤x≤4}，B＝{x|2m－1≤x≤m＋1}．‎ ‎（Ⅰ）当m＝－3时，求()∩B；‎ ‎（Ⅱ）当A∩B＝B时，求实数m的取值范围．‎ ‎【答案】（Ⅰ）{x|－7≤x＜－3}；（Ⅱ）[－1，＋∞). ‎ ‎【解析】‎ ‎（Ⅰ）代入m的值，根据补集及交集运算即可求解。‎ ‎（Ⅱ）根据A∩B＝B可知，B⊆A；讨论集合B是否为Ø，分别求m的取值范围，再求并集即可。‎ ‎【详解】‎ ‎（Ⅰ）当m＝－3时，‎ ‎ ＝{x|x＜－3或x＞4}，B＝{x|－7≤x≤－2}， ‎ ‎∴()∩B＝{x|－7≤x＜－3}． …………4分 ‎（Ⅱ）由A∩B＝B可知，B⊆A．‎ 当2m－1＞m＋1时，即m＞2时，B＝Ø，满足B⊆A； ‎ 当2m－1≤m＋1时，即m≤2时，B≠Ø，若B⊆A，‎ 则，解得－1≤m≤3，‎ 又m≤2，∴－1≤m≤2. ‎ 综上所述，m的取值范围是[－1，＋∞)．‎ ‎【点睛】‎ 本题考查了集合交集并集补集的混合运算，根据集合的关系求参数的取值范围，属于基础题。‎ ‎18．计算下列各式的值：‎ ‎（Ⅰ）；‎ ‎（Ⅱ）．‎ ‎【答案】（Ⅰ）；（Ⅱ）. ‎ ‎【解析】‎ ‎（Ⅰ）根据指数化简运算，统一化成指数形式计算即可。‎ ‎（Ⅱ）根据对数运算，将对数化简即可。‎ ‎【详解】‎ ‎（Ⅰ）原式＝；‎ ‎ （Ⅱ）原式＝．‎ ‎【点睛】‎ 本题考查了指数与对数的化简运算、求值，注意计算过程要准确，属于基础题。‎ ‎19．已知函数f(x)是定义在R上的奇函数，当x＞0时，f(x)＝x2－x＋1．‎ ‎（Ⅰ）求f(0)的值；‎ ‎（Ⅱ）求f(x)在R上的解析式．‎ ‎【答案】（Ⅰ）0 ；（Ⅱ）. ‎ ‎【解析】‎ ‎（Ⅰ）根据奇函数定义即可求得f(0)。‎ ‎（Ⅱ）根据奇函数定义及x的取值范围，求得当x＜0时的解析式，进而写出整个定义域内的解析式。‎ ‎【详解】‎ ‎（Ⅰ）∵f(x)是奇函数，∴f(－x)＝－f(x)．‎ 令x＝0，得 f(－0)＝－f(0)，‎ 即f(0)＝0，‎ ‎（Ⅱ）当x＜0时，－x＞0，‎ f(x)＝－f(－x)＝－[(－x)2－(－x)＋1]＝－x2－x－1． ‎ ‎∵当x＞0时，f(x)＝x2－x＋1，且f(0)＝0，‎ ‎∴f(x)在R上的解析式为 。‎ ‎【点睛】‎ 本题考查了奇函数的性质，奇函数解析式的求法，属于中档题。‎ ‎20．解关于x的不等式：x2－(a＋)x＋1≤0 (a∈R，且a≠0)‎ ‎【答案】当－1＜a＜0或a＞1时，不等式的解集为[，a]； 当a＜－1或0＜a＜1时，不等式的解集为[a，]； 当a＝－1时，不等式的解集为{－1}； 当a＝1时，不等式的解集为{1}； ‎ ‎【解析】‎ 将不等式因式分解，得到两个零点。根据两个零点的大小，分类讨论a的取值情况，进而写出不等式的解集。‎ ‎【详解】‎ 不等式可化为：(x－a)(x－)≤0． ‎ ‎ 令(x－a)(x－)＝0，可得：x＝a或x＝． ‎ ‎ ①当a＞，即－1＜a＜0或a＞1时，不等式的解集为[，a]； ‎ ‎ ②当a＜，即a＜－1或0＜a＜1时，不等式的解集为[a，]； ‎ ‎ ③当a＝，即a＝－1或a＝1时，‎ ‎ （i）若a＝－1，则不等式的解集为{－1}；‎ ‎ （ii）若a＝1，则不等式的解集为{1}． ‎ ‎ 综上，当－1＜a＜0或a＞1时，不等式的解集为[，a]；‎ ‎ 当a＜－1或0＜a＜1时，不等式的解集为[a，]；‎ ‎ 当a＝－1时，不等式的解集为{－1}；‎ ‎ 当a＝1时，不等式的解集为{1}；‎ ‎【点睛】‎ 本题考查了含参数一元二次不等式的解法，分类讨论方法的综合应用，属于中档题。‎ ‎21．知函数f（x）的定义域是R，对任意实数x，y，均有f（x+y）=f（x）+f（y），且x＞0时，f（x）＞0．‎ ‎（1）证明：f（x）在R上是增函数；‎ ‎（2）判断f（x）的奇偶性，并证明；‎ ‎（3）若f（﹣1）=﹣2．求不等式f（a2+a﹣4）＜4的解集．‎ ‎【答案】（1）证明见解析（2）f（x）是奇函数，证明见解析（3）（﹣3，2）‎ ‎【解析】试题分析：（1）利用函数单调性的定义即可证明函数f（x）在R上是减函数；‎ ‎（2）利用赋值法即可求f（0）的值，结合函数奇偶性的定义即可判断f（x）的奇偶性；‎ ‎（3）根据函数奇偶性和单调性的性质将不等式进行转化即可解不等式．‎ 解：（1）设x1＜x2，则x2﹣x1＞0，‎ 由已知f（x2﹣x1）＞0，‎ 则f（x2﹣x1）=f[x2﹣（﹣x1）]=f（x2）+f（﹣x1）=f（x2）﹣f（x1）＞0，‎ 即f（x2）＞f（x1），‎ 则函数f（x）在R上是增函数；‎ ‎（2）令x=0，y=0，则f（0）=f（0）+f（0），‎ 即f（0）=0，‎ 令y=﹣x，‎ 则f（x﹣x）=f（x）+f（﹣x）=f（0）=0，‎ 即f（﹣x）=﹣f（x），则f（x）是奇函数；‎ ‎（3）∵f（﹣1）=﹣2．‎ ‎∴f（1）=2‎ f（2）=f（1）+f（1）=2f（1）=4．‎ 即不等式f（a2+a﹣4）＜4的等价为f（a2+a﹣4）＜f（2）．‎ ‎∵函数f（x）在R上是增函数；‎ ‎∴a2+a﹣4＜2．‎ 即a2+a﹣6＜0．‎ 解得﹣3＜a＜2，‎ 即不等式的解集为（﹣3，2）．‎ ‎【考点】抽象函数及其应用．‎ ‎22．已知定义在R上的奇函数f(x)＝(a＞0，且a≠1)．‎ ‎（Ⅰ）求k的值；‎ ‎（Ⅱ）当m∈[0，1]，n∈[－1，0]时，不等式f(2n2－m＋t)＋f(2n－mn2)＞0恒成立，求t的取值范围．‎ ‎【答案】（Ⅰ）1 ； （Ⅱ）(2，＋∞). ‎ ‎【解析】‎ ‎（Ⅰ）根据奇函数定义，化简即可求得k的值。‎ ‎（Ⅱ）根据定义，先判断出函数f(x)在R上是增函数；根据单调递增与奇函数，得到2n2－m＋t＞－2n＋mn2，分离出t，构造新的函数g(m)＝(n2＋1)m－2n2－2n，进而求得t＞g(m)max＝g(1)＝－n2－2n＋1；再由n∈[－1，0]恒成立，构造h(n)＝－n2－2n＋1，求得h(n)max即可。‎ ‎【详解】‎ ‎（Ⅰ）由f(x)＋f(－x)＝0，得，‎ ‎ 即 ，即，‎ 所以k＝1．‎ ‎（Ⅱ）由（Ⅰ）知：f(x)＝ ．‎ ‎①当a＞1时，a2－1＞0，y＝ax与y＝－a－x在R上都是增函数，‎ 所以函数f(x)在R上是增函数；‎ ‎②当0＜a＜1时，a2－1＜0，y＝ax与y＝－a－x在R上都是减函数，‎ 所以函数f(x)在R上是增函数．‎ 综上，f(x)在R上是增函数．‎ ‎（此结论也可以利用单调性的定义证明）‎ 不等式f(2n2－m＋t)＋f(2n－mn2)＞0可化为f(2n2－m＋t)＞－f(2n－mn2)，‎ ‎∵函数f(x)是奇函数，‎ ‎∴不等式可化为f(2n2－m＋t)＞f(－2n＋mn2)；‎ 又∵f(x)在R上是增函数．‎ ‎∴2n2－m＋t＞－2n＋mn2 …………10分 即t＞(n2＋1)m－2n2－2n，对于m∈[0，1]恒成立．‎ 设g(m)＝(n2＋1)m－2n2－2n，m∈[0，1]．‎ 则t＞g(m)max＝g(1)＝－n2－2n＋1‎ 所以t＞－n2－2n＋1，对于n∈[－1，0]恒成立．‎ 设h(n)＝－n2－2n＋1，n∈[－1，0]．‎ 则t＞h(n)max＝h(－1)＝2．‎ 所以t的取值范围是(2，＋∞)．‎ ‎【点睛】‎ 本题考查了函数单调性与奇偶性的综合应用，分离参数法在求取值范围中的用法，恒成立问题中的最值，多次构造函数的综合应用，属于难题。‎