2018-2019学年广东省潮州市高一下学期期末数学试题（解析版）

2018-2019学年广东省潮州市高一下学期期末数学试题（解析版）

2018-2019 学年广东省潮州市高一下学期期末数学试题 一、单选题 1．下列函数中，最小正周期为 的是（ ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】由函数的最小正周期为 ，逐个选项运算即可得解. 【详解】 解:对于选项 A, 的最小正周期为 , 对于选项 B, 的最小正周期为 , 对于选项 C, 的最小正周期为 , 对于选项 D, 的最小正周期为 , 故选 D. 【点睛】 本题考查了三角函数的最小正周期，属基础题. 2．在 中， ， ，则 （ ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】由向量的减法及坐标运算即可得解. 【详解】 解：因为 ， 故选 D. 【点睛】 本题考查了向量差的坐标运算，属基础题. 3．要完成下列两项调查：①从某社区 125 户高收入家庭、280 户中等收入家庭、95 户 低收入家庭中选出 100 户调查社会购买力的某项指标；②从某中学的 15 名艺术特长生 中选出 3 名调查学习负担情况，宜采用的抽样方法依次为(　　) A．①随机抽样法，②系统抽样法 B．①分层抽样法，②随机抽样法 π siny x= cosy x= 1sin 2y x= cos2y x= 2T ω π= siny x= 2π cosy x= 2π 1sin 2y x= 4π cos2y x= π ABC∆ ( )2,4AB = ( )1,3AC = BC = ( )3,7 ( )3,5 ( )1,1 ( )1, 1− − BC = ( )1, 1AC AB− = − −  C．①系统抽样法，②分层抽样法 D．①②都用分层抽样法 【答案】B 【解析】①由于社会购买力与收入有关系，所以应采用分层抽样法；②由于人数少， 可以采用简单随机抽样法 要完成下列二项调查：①从某社区 125 户高收入家庭，280 户中等收入家庭，95 户低 收入家庭中，选出 100 户调查社会 解：∵社会购买力的某项指标，受到家庭收入的影响 而社区中各个家庭收入差别明显 ①用分层抽样法， 而从某中学的 15 名艺术特长生，要从中选出 3 人调查学习负担情况的调查中 个体之间差别不大，且总体和样本容量较小， ∴②用随机抽样法 故选 B 4．若角 的终边与单位圆交于点 ，则 （ ） A． B． C． D．不存在 【答案】B 【解析】由三角函数的定义可得： ，得解. 【详解】 解：在单位圆中， ， 故选 B. 【点睛】 本题考查了三角函数的定义，属基础题. 5．甲、乙、丙三人随机排成一排，乙站在中间的概率是（ ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】先求出甲、乙、丙三人随机排成一排的基本事件的个数，再求出乙站在中间的 基本事件的个数，再求概率即可. α 1 3,2 2P       sinα = 1 2 3 2 3 sin yα = 3sin 2yα = = 1 2 1 3 1 4 1 6 【详解】 解：三个人排成一排的所有情况有:甲乙丙,甲丙乙,乙甲丙,乙丙甲,丙乙甲,丙甲乙共 6 种， 乙在中间有 2 种，所以乙在中间的概率为 ， 故选 B. 【点睛】 本题考查了古典概型，属基础题. 6．将 的图像怎样移动可得到 的图象（ ） A．向左平移 个单位 B．向右平移 个单位 C．向左平移 个单位 D．向右平移 个单位 【答案】C 【解析】因为将 向左平移 个单位可以得到 ， 得解. 【详解】 解：将 向左平移 个单位可以得到 ， 故选 C. 【点睛】 本题考查了函数图像的平移变换，属基础题. 7．如图：样本 A 和 B 分别取自两个不同的总体，他们的样本平均数分别为 和 ， 样本标准差分别为 和 ，则（ ） A． B． 1 3 sin 2y x= sin 2 3y x π = +   3 π 3 π 6 π 6 π sin 2y x= 6 π sin 2 6y x π  = +     sin 2y x= 6 π sin 2 6y x π  = +     sin 2 3x π = +   Ax Bx As Bs ,A B A Bx x s s> > ,A B A Bx x s s C． D． 【答案】B 【解析】从图形中可以看出样本 A 的数据均不大于 10，而样本 B 的数据均不小于 10， A 中数据波动程度较大，B 中数据较稳定，由此得到结论． 【详解】 ∵样本 A 的数据均不大于 10， 而样本 B 的数据均不小于 10， ， 由图可知 A 中数据波动程度较大， B 中数据较稳定， . 故选：B. 8．已知 与 均为单位向量，它们的夹角为 ，那么 等于（ ） A. B. C. D.4 【答案】A 【解析】本题主要考查的是向量的求模公式。由条件可知 = = ，所以应选 A。 9．设 为 所在平面内一点，若 ，则下列关系中正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】【详解】 ∵ ∴ − =3( − )； ∴ = − . 故选：A. ,A B A Bx x s s> < ,A B A Bx x s s< < A Bx x∴ < A Bs s∴ > a b 60° 3a b−  7 10 13 D ABC∆ 3BC CD=  1 4 3 3AD AB AC= − +   1 4 3 3AD AB AC= −   4 1 3 3AD AB AC= +   4 1 3 3AD AB AC= −   3BC CD = AC AB AD AC AD 4 3 AC 1 3 AB 10．已知函数 ，且 的图象向左平移 个单位后所得的图象关于坐标原点对称，则 的最小值为（ ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】由函数图像的平移变换得 的图象向左平移 个单位，得到 ，再结合三角函数的性质运算即可得解. 【详解】 解： ， 将 的图象向左平移 个单位，得到 ， 因为平移后图象关于 对称，所以 ， 可得 ， ， ， ， 因为 ， 所以 的最小值为 ， 故选 C. 【点睛】 本题考查了函数图像的平移变换及三角函数的性质，属基础题. 二、填空题 11．已知扇形的圆心角为 ，半径为 ，则扇形的弧长为______ . 【答案】9 【解析】由扇形的弧长公式运算可得解. 【详解】 解：由扇形的弧长公式得： ， 故答案为 9. ( ) 22 3sin cos 2cos 1f x x x x= − + ( )y f x= ( )0m m > m 3 π 6 π 12 π 5 12 π ( )y f x= m ( ) 2sin 2 2 6g x x m π = + −   ( ) 22 3sin cos 2cos 1f x x x x= − + 3sin 2 cos2 2sin 2 6x x x π = − = −   ( )y f x= m ( ) 2sin 2 2 6g x x m π = + −   ( )0,0 sin 2 06m π − =   2 6m k π π− = k Z∈ 2 12 km π π= + k Z∈ 0m > m 12 π 3 2 rad 6cm cm 3 6 92l rα= = × = 【点睛】 本题考查了扇形的弧长，属基础题. 12．某单位为了了解用电量 度与气温 之间的关系，随机统计了某 天的用电量与 当天气温. 气温（℃） 14 12 8 6 用电量（度） 22 26 34 38 由表中数据得回归直线方程 中 ，据此预测当气温为 5℃时，用电量的 度数约为____. 【答案】40 【解析】【详解】 由表格得 ， 即样本中心点的坐标为 ， 又因为样本中心点 在回归方程 上且 ， 解得： ， 当 时， ，故答案为 40． 【考点】回归方程 【名师点睛】 本题考查线性回归方程，属容易题.两个变量之间的关系，除了函数关系，还存在相关 关系，通过建立回归直线方程，就可以根据其部分观测值，获得对这两个变量之间整体 关系的了解．解题时根据所给的表格做出本组数据的样本中心点，根据样本中心点在线 性回归直线上，利用待定系数法做出 的值，现在方程是一个确定的方程，根据所给的 的值，代入线性回归方程，预报要销售的件数． 13．下图是 2016 年在巴西举行的奥运会上，七位评委为某体操运动员的单项比赛打出 的分数的茎叶统计图，去掉一个最高分和一个最低分后，所剩数据的方差为 __________． y x C 4 y b x a ∧ ∧ ∧ = + 2b ∧ = − 14 12 8 6 22 26 34 3810 304 4x y + + + + + += = = =， 10 0（ ，3 ） 10 0（ ，3 ）  ˆy bx a+＝ ˆ=-2b 30 10 2 a ∧ ∴ = × − +（ ） ， ˆ50 50ˆ2a y x ∧ = ∴ − +， ＝ 5x = 2 5 50 40y = − × + =（ ） a ∧ x 【答案】 【解析】由平均数公式可得 ，故所求数据的方差是 ，应填答案 。 14．已知 sin ＝ ，则 cos ＝________． 【答案】 【解析】【详解】 由 sin ＝ ，得 cos2 ＝1－2sin2 ＝ ， 即 cos ＝ ， 所以 cos ＝cos ＝ ，故答案为 . 三、解答题 15．设 ， ， . （1）若 ，求实数 的值； （2）若 ，求实数 的值. 【答案】(1) ； (2) 【解析】（1）由向量加法的坐标运算可得： ， 再由向量平行的坐标运算即可得解. （2）由向量垂直的坐标运算即可得解. 【详解】 解：（1） ， ， ， ， 180 (3 4 6 7) 855x = + × + + = 2 1 8(1 1 1 1 4)5 5s = + + + + = 8 5 6 πα +   1 3 2 23 π α −   7 9 − 6 πα +   1 3 6 πα +   6 πα +   7 9 2 3 πα +   7 9 2 23 π α −   2 3 ππ α  − +     7 9 − 7 9 − ( )1,1a = − ( )4,3b = ( )5, 2c = − ( )a tb c+    t ( )a tb c+ ⊥   t 3 23t = − 1 2t = ( )1 4 ,1 3a tb t t+ = − + +  ( )1,1a = − ( )4,3b = ( )5, 2c = − ( )1 4 ,1 3a tb t t+ = − + +  ，故 ， 所以 . （2） ， ， ， 所以 . 【点睛】 本题考查了向量加法的坐标运算、向量平行和垂直的坐标运算，属基础题. 16．已知 ， ，求 的值． 【答案】 【解析】【详解】 ∵ ，且 ，∴ ， 则 ， ∴ ＝ ＝ ＝－ ． 【考点】本题考查了三角恒等变换 17．某校举行汉字听写比赛，为了了解本次比赛成绩情况，从得分不低于 50 分的试卷中随机抽取 100 名学生的成绩(得分均为整数，满分 100 分)进行统 计，请根据频率分布表中所提供的数据，解答下列问题： 组号 分组 频数 频率 第 1 组 [50，60) 5 0.05 第 2 组 [60，70) 0.35 第 3 组 [70，80) 30 第 4 组 [80，90) 20 0.20 第 5 组 [90，100] 10 0.10 ( )a tb c+    ( ) ( )5 1 3 2 1 4t t+ = − − + 3 23t = − ( )a tb c+ ⊥   ( ) 0a tb c+ ⋅ =   ( ) ( ) ( )1 4 5 1 3 2 0t t− + × + + × − = 1 2t = 12cos 13 θ = − 3, 2 πθ π ∈   tan 4 πθ −   7 17 − 12cos 13 θ = − 3, 2 πθ π ∈   5sin 13 θ = − 5tan 12 θ = tan 4 πθ −   tan 1 1 tan θ θ − + 5 112 5 112 − + 7 17 a b 合计 100 1.00 （Ⅰ）求 的值； （Ⅱ）若从成绩较好的第 3、4、5 组中按分层抽样的方法抽取 6 人参加市汉 字听写比赛，并从中选出 2 人做种子选手，求 2 人中至少有 1 人是第 4 组的 概率。 【答案】(1) 35，0.30;(2) . 【解析】试题分析：（Ⅰ）直接利用频率和等于 1 求出 b，用样本容量乘以频率求 a 的 值； （Ⅱ）由分层抽样方法求出所抽取的 6 人中第三、第四、第五组的学生数，利用列举法 写出从中任意抽取 2 人的所有方法种数，查出 2 人至少 1 人来自第四组的事件个数，然 后利用古典概型的概率计算公式求解． 试题解析： （Ⅰ）a＝100－5－30－20－10＝35，b＝1－0.05－0.35－0.20－0.10＝0.30 （Ⅱ ）因为第 3、4、5 组共有 60 名学生，所以利用分层抽样在 60 名学生中抽取 6 名 学生， 每组分别为，第 3 组： ×30＝3 人，第 4 组： ×20＝2 人，第 5 组： ×10＝1 人， 所以第 3、4、5 组应分别抽取 3 人、2 人、1 人 设第 3 组的 3 位同学为 A1、A2、A3，第 4 组的 2 位同学为 B1、B2，第 5 组的 1 位 同学为 C1，则从 6 位同学中抽 2 位同学有 15 种可能，如下： (A1，A2)，(A1，A3)，(A1，B1)，(A1，B2)，(A1，C1)，(A2，A3)，(A2，B1)，(A2，B2)， (A2，C1)，(A3，B1)，(A3，B2)，(A3，C1)，(B1，B2)，(B1，C1)，(B2，C1)．其中第 4 组被 入选的有 9 种， 所以其中第 4 组的 2 位同学至少有 1 位同学入选的概率为 ＝ 点睛：古典概型中基本事件数的探求方法 (1)列举法. (2)树状图法：适合于较为复杂的问题中的基本事件的探求.对于基本事件有“有序”与“无 序”区别的题目，常采用树状图法. (3)列表法：适用于多元素基本事件的求解问题，通过列表把复杂的题目简单化、抽象的 题目具体化. a b、 3 5 6 60 6 60 6 60 9 15 3 5 (4)排列组合法：适用于限制条件较多且元素数目较多的题目. 18．在边长为 2 的菱形 中， ， 为 的中点. （1）用 和 表示 ； （2）求 的值. 【答案】(1) ； (2)-1 【解析】（1）由平面向量基本定理可得： . （2）由数量积运算可得： ，运算可得解. 【详解】 解：（1） . （2） . 【点睛】 本题考查了平面向量基本定理及数量积运算，属基础题. 19．如图所示,函数 的图象与 轴交于点 ,且该函数的最小正周期为 . (1)求 和 的值； (2)已知点 ,点 是该函数图象上一点,点 是 的中点,当 时，求 的值. ABCD 60BAD∠ =  E BC AD AB AE AE BD⋅  1 2AE AB AD= +   1 2AE AB AD= +   ( )1 2AE BD AB AD AD AB ⋅ = + ⋅ −         2 21 1 2 2AB AD AB AD= ⋅ − +    1 2AE AB BC= +   1 2AB AD= +  ( )1 2AE BD AB AD AD AB ⋅ = + ⋅ −         2 21 1 2 2AB AD AB AD= ⋅ − +    2 21 1 12 2 2 22 2 2 = × × × − + × 1= − ( )2cos ( , 0.0 )2y x x R πω θ ω θ= + ∈ > ≤ ≤ y ( )0, 3 π θ ω πA ,02      P 0 0( , )Q x y PA 0 0 3 , ,2 2y x π π = ∈   0x 【答案】(1) . .(2) ，或 . 【解析】试题分析： (1)由三角函数图象与 轴交于点 可得 ，则 .由最小正周期公 式可得 . (2)由题意结合中点坐标公式可得点 的坐标为 .代入三角函数式可得 ，结合角的范围求解三角方程可得 ，或 . 试题解析： (1)将 代入函数 中，得 ， 因为 ，所以 . 由已知 ，且 ，得 . (2)因为点 是 的中点， ，所以点 的坐标为 . 又因为点 在 的图象上，且 ， 所以 ，且 ， 从而得 ，或 ，即 ，或 . πθ 6 = ω 2= 0 2 3x π= 0 3 4x π= y ( )0, 3 3cos 2 θ = 6 πθ = 2ω = P 02 , 32x π −   0 5 3cos 4 6 2x π − =   0 2 3x π= 0 3 4x π= 0, 3x y= = ( )2cosy xω θ= + 3cos 2 θ = 0 2 πθ≤ ≤ 6 πθ = T π= 0ω > 2 2 2T π πω π= = = ( )0 0,0 , ,2A Q x y π     PA 0 3 2y = P 02 , 32x π −   P 2cos 2 6y x π = +   02 x π π≤ ≤ 0 5 3cos 4 6 2x π − =   0 7 5 1946 6 6x π π π≤ − ≤ 0 5 114 6 6x π π− = 0 5 134 6 6x π π− = 0 2 3x π= 0 3 4x π=