2019-2020学年浙江省9+1高中联盟高一上学期期中数学试题（解析版）

2019-2020学年浙江省9+1高中联盟高一上学期期中数学试题（解析版）

‎2019-2020学年浙江省9+1高中联盟高一上学期期中数学试题 一、单选题 ‎1．若集合M={x|x≤6}，a=2，则下面结论中正确的是（　　）‎ A． B． C． D．‎ ‎【答案】A ‎【解析】根据元素与集合的关系，以及集合之间的包含关系，即可求解，得到答案．‎ ‎【详解】‎ 根据实数的性质，可得，所以，则，所以B、D不正确；‎ 又根据集合的包含关系可得，即，故选A．‎ ‎【点睛】‎ 本题主要考查了元素与集合，集合与集合的关系的判定，其中解答中熟记元素与集合的关系，以及集合间的包含关系的概念与判定是解答的关键，着重考查推理与运算能力，属于基础题．‎ ‎2．已知幂函数f（x）=xa（a是常数），则（　　）‎ A．的定义域为R B．在上单调递增 C．的图象一定经过点 D．的图象有可能经过点 ‎【答案】C ‎【解析】幂函数f（x）=xa的定义域和单调性都与幂指数a有关，过定点（1,1），易选得A.‎ ‎【详解】‎ 解：（1）对于A，幂函数f（x）=xa的定义域与a有关，不一定为R，A错误； ‎ ‎（2）对于B，a＞0时，幂函数f（x）=xa在（0，+∞）上单调递增， ‎ a＜0时，幂函数f（x）=xa在（0，+∞）上单调递减，B错误； ‎ ‎（3）对于C，幂函数f（x）=xa的图象过定点（1，1），C正确； ‎ ‎（4）对于D，幂函数f（x）=xa的图象一定不过第四象限，D错误． ‎ 故选C．‎ ‎【点睛】‎ 本题考查了幂函数的图像与性质，属于基础题.‎ ‎3．函数 的值域是 （ ）‎ A． B． C． D．‎ ‎【答案】B ‎【解析】【详解】‎ 令，，‎ 则，故选B．‎ ‎4．已知为奇函数，当时，，则在上是（ ）‎ A．增函数，最小值为1 B．增函数，最大值为1‎ C．减函数，最小值为1 D．减函数，最大值为1‎ ‎【答案】D ‎【解析】根据奇函数对称区间上单调性一致可知在上单调递减，从而可求.‎ ‎【详解】‎ 解：∵为奇函数，且当时，在上单调递减， 根据奇函数对称区间上单调性一致可知在上单调递减， 故当时，函数取得最大值， 故选：D.‎ ‎【点睛】‎ 本题主要考查了奇函数对称区间上单调性一致及利用奇函数的单调性求解函数的最值，是基础题.‎ ‎5．若，，则正确的是（ ）‎ A． B． C． D．‎ ‎【答案】B ‎【解析】，，利用指数函数与对数函数的单调性即可判断出正误.‎ ‎【详解】‎ 解：∵，， ‎ ‎，与的大小关系不确定，与的大小关系不确定. 因此只有B正确. 故选：B.‎ ‎【点睛】‎ 本题考查了指数函数与对数函数的单调性、不等式的性质，考查了推理能力与计算能力，属于基础题.‎ ‎6．函数的零点所在区间为（ ）‎ A． B． C． D．‎ ‎【答案】B ‎【解析】由零点存在性定理，，所以零点所在区间为．故选B．‎ ‎7．设函数在R上是增函数，则a的取值范围是（ ）‎ A． B． C． D．‎ ‎【答案】C ‎【解析】利用分段函数每段是增函数，并且并起来也为增函数，列出不等式组，求解即可.‎ ‎【详解】‎ 解：函数在上是增函数， 可得：，解得，‎ 故实数的取值范围是. 故选：C.‎ ‎【点睛】‎ 本题考查分段函数的单调性，注意不仅要关注各段的单调性的情况，还要关注整体单调性的情况，属于易错题.‎ ‎8．已知函数的部分图象如图所示，则的值是（ ）‎ A． B．1 C． D．5‎ ‎【答案】D ‎【解析】由图中函数的单调性可得方程的两根为2和4，利用根与系数的关系结合列式求得的值，则答案可求.‎ ‎【详解】‎ 解：由图可知，函数的减区间为，增区间为， ∴内层函数的减区间为，增区间为， ∴方程的两根为2和4， 又， ，解得. . 故选：D.‎ ‎【点睛】‎ 本题考查函数的图象与图象变换，考查复合函数的单调性，考查数学转化思想方法，是中档题.‎ ‎9．已知函数的图象关于对称，且对，当时，‎ 成立，若对任意的恒成立，则的范围（ ）‎ A． B． C． D．‎ ‎【答案】A ‎【解析】根据对称性以及函数图象的平移变换判断函数是偶函数，根据时，成立判断函数的单调性，从而转化原不等式为对任意的恒成立，分离参数后利用基本不等式求解即可.‎ ‎【详解】‎ 函数的图象关于对称，‎ 向左平移1个单位，得到的图象关于轴对称，‎ 即是偶函数，‎ ‎，成立，‎ 在上递减，在上递增，‎ ‎ 对任意的恒成立，‎ 等价于对任意的恒成立，时不等式成立；‎ 当时，有恒成立，‎ ‎，‎ ‎，故选A.‎ ‎【点睛】‎ 本题主要考查函数的对称性、奇偶性与单调性以及不等式恒成立问题，属于难题．不等式恒成立问题常见方法：① 分离参数恒成立(即可)或恒成立（即可）；② 数形结合( 图象在 上方即可)；③ 讨论最值或恒成立.‎ ‎10．已知函数，则函数的零点个数是（ ）‎ A．2 B．3 C．4 D．5‎ ‎【答案】B ‎【解析】利用换元法将转化为 ‎，求出后再解方程，求出交点个数.‎ ‎【详解】‎ 解：∵， 设即， ∴转化为和的交点.画出图象如图： 由图可知， 又当时，有1个解，当有两个解，‎ 共3个解. 故选：B.‎ ‎【点睛】‎ 本题考查了换元法解方程，数形结合思想，和方程思想，不需要解出方程的根具体值，是中档题.‎ 二、填空题 ‎11．集合，集合，则______，______．‎ ‎【答案】 ‎ ‎【解析】求出集合，直接求它们的交集和并集即可.‎ ‎【详解】‎ 解：由题，‎ 则，，‎ 故答案为：；.‎ ‎【点睛】‎ 本题考查集合的交集，并集运算，要注意集合中的研究对象的具体意义，是基础题.‎ ‎12．若函数的定义域为，值域为，则函数的定义域为______，值域为______．‎ ‎【答案】 ‎ ‎【解析】可看做由的图象向右平移了1个单位，结合已知即可求解函数的定义域及值域.‎ ‎【详解】‎ 解：可看做由的图象向右平移了1个单位， ∵的定义域为，值域为， ∴的定义域为，值域为. 故答案为：；.‎ ‎【点睛】‎ 本题主要考查了函数的定义域及值域的求解，解题的关键是灵活利用函数的图象的平移，是基础题.‎ ‎13．已知函数，则函数的单调递增区间是______，值域为______．‎ ‎【答案】 ‎ ‎【解析】令，求得函数的定义域，根据在其定义域内为单调减函数，求函数的单调递增区间转化为求函数在定义域内的减区间，再利用二次函数的值域求整个函数的值域.‎ ‎【详解】‎ 解：令，可得，故函数的定义域为 ‎. 因为在其定义域内为单调减函数， 故求在定义域内的减区间，又函数在定义域内的减区间为， 所以函数的单调递增区间为， 当时，，则，‎ 即函数的值域为.‎ 故答案为：；.‎ ‎【点睛】‎ 本题主要考查复合函数的单调性，对数函数、二次函数的性质，体现了转化的数学思想，属于基本知识的考查.‎ ‎14．函数（且）图象恒过定点A，则点A的坐标为______；若，则实数a的取值范围是______．‎ ‎【答案】 ‎ ‎【解析】由题意利用对数函数的单调性和特殊点，对数函数的性质，分类讨论，求得的范围.‎ ‎【详解】‎ 解：∵函数（且）图象恒过定点， 令，求得，，可得它的图象经过定点. 当时，函数为减函数，‎ 若，则， 即，即 ，求得. 当时，函数为增函数，‎ 若，则， 即，即 ，求得，又，‎ ‎∴ 综上，实数的取值范围为. 故答案为：；.‎ ‎【点睛】‎ 本题主要考查对数函数的单调性和恒过定点问题，考查了计算能力，属于基础题.‎ ‎15．若是定义在实数集上的偶函数，且，当时，，则的值等于______．‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】根据题意，由分析可得，即函数是周期为10的周期函数，再结合函数的奇偶性以及题中的解析式可求得的值.‎ ‎【详解】‎ 解：根据题意，满足，则有， 即函数是周期为10的周期函数， 则有， 又由为偶函数，则， 当时，且，‎ 则； 故答案为：.‎ ‎【点睛】‎ 本题考查函数的奇偶性与周期性的综合应用，注意分析函数的周期，属于中档题.‎ ‎16．已知函数，若有最大值或最小值，则m的取值范围为______．‎ ‎【答案】或 ‎【解析】分类讨论的范围，利用对数函数、二次函数的性质，进一步求出的范围.‎ ‎【详解】‎ 解：∵函数，若有最大值或最小值， 则函数有最大值或最小值，且取最值时，. 当时，，由于没有最值，故也没有最值，不满足题意. 当时，函数有最小值，没有最大值，有最大值，没有最小值. 故的最小值为，且 ， 求得 ； 当时，函数有最大值，没有最小值，有最小值，没有最大值. 故的最大值为，且 ， 求得. 综上，的取值范围为或. 故答案为：或.‎ ‎【点睛】‎ 本题主要考查复合函数的单调性，二次函数、对数函数的性质，二次函数的最值，属于中档题.‎ ‎17．已知，函数对任意，使得恒成立，则实数a的取值范围为______．‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】根据恒成立，可得或恒成立，然后分和两种情况求出的范围.‎ ‎【详解】‎ 解：∵，‎ ‎， ∵恒成立， ∴或恒成立. 当时，或恒成立， ∴只需或. ∵函数， ∴当时，；当时，， 或，或， 又，‎ 或； 当时，， ∴时，恒成立. 综上，的取值范围为. 故答案为：.‎ ‎【点睛】‎ 本题考查了函数恒成立问题和二次函数求最值，考查了分类讨论思想和转化思想，属难题.‎ 三、解答题 ‎18．（1）已知，，用a，b表示．‎ ‎（2）求值．‎ ‎【答案】（1） ；（2）‎ ‎【解析】（1）指对互化，带入化简；（2）利用指数对数的运算性质求解.‎ ‎【详解】‎ 解：（1），，得， ； （2）原式.‎ ‎【点睛】‎ 本题考察指数与对数运算性质，是基础题.‎ ‎19．已知集合，‎ ‎（1）若;‎ ‎（2）若，求实数a的取值范围．‎ ‎【答案】（1）见解析（2）或 ‎【解析】（1）把代入集合，求解一元二次不等式化简，再由交、并、补集的运算得答案；（2）分为和两类分析，当时，列关于的不等式组求解．‎ ‎【详解】‎ 解：（1）当 ‎（2）若，求实数a的取值范围．‎ ‎①当A=时，有；‎ ‎②当A时，有 又∵，则有或，‎ 解得：或 ‎∴或 综上可知：或．‎ ‎【点睛】‎ 本题考查交集及其运算以及子集的概念，考查数学转化思想方法及分类讨论的数学思想方法，是中档题.‎ ‎20．已知函数是偶函数．‎ ‎（1）求k的值；‎ ‎（2）若函数，是否存在实数m使得的最小值为0？若存在，求出m的值， 不存在，请说明理由．‎ ‎【答案】（1）；（2）存在，‎ ‎【解析】（1）利用偶函数的定义建立方程进行求解即可. （2）求出函数的表达式，利用换元法转化为一元二次函数，利用对称轴与区间的位置关系进行讨论，建立方程关系进行求解判断即可.‎ ‎【详解】‎ 解：（1）∵是偶函数. ∴， 则， 即， 即， 得，得， 得； （2）‎ ‎， 设，则， 则等价为，则对称轴为 ‎， 若，即时，‎ 函数的最小值为，得不成立， 若，即时，‎ 函数的最小值为，得不成立， 若时，即时，‎ 函数的最小值为，得 综上存在使得的最小值为0.‎ ‎【点睛】‎ 本题主要考查函数奇偶性的应用，以及函数最值的求解，利用偶函数的定义以及换元法转化为一元二次函数是解决本题的关键.综合性较强，有一定的难度.‎ ‎21．已知二次函数满足，．‎ ‎（1）求函数的解析式；‎ ‎（2）若关于x的不等式在上有解，求实数m的取值范围；‎ ‎（3）若方程在区间内恰有一解，求实数t的取值范围．‎ ‎【答案】（1）；（2）；（3）或 ‎【解析】（1）由待定系数法求二次函数的解析式； （2）分离变量求最值， （3）分离变量，根据函数的单调性求实数t的取值范围即可.‎ ‎【详解】‎ 解：（1）因为为二次函数，所以设， 因为，所以， 因为，所以，解得， 所以； （2）因为在上有解，所以 ‎， 又因为，所以，‎ 因为，‎ ‎； （3）因为方程在区间内恰有一解，所以， 因为，令 则，即 ‎，‎ 又在单调递减，在单调递增，‎ ‎，，， 所以或.‎ ‎【点睛】‎ 本题主要考查二次函数的图象及性质，关键是参变分离将有解问题或有一个解的问题转化为最值问题，属于中档题.‎ ‎22．已知函数．‎ ‎（1）若关于x的方程在区间上有两个不同的解，．‎ ‎①求a的取值范围；‎ ‎②若，求的取值范围；‎ ‎（2）设函数在区间上的最小值，求的表达式．‎ ‎【答案】（1）①；②；（2）‎ ‎【解析】（1）①求得的分段函数作出函数的图象，求出最值，即可得到所求的范围；②由①消去，可得；（2）求得，对讨论，当时，当时，当时，当时，当时，讨论单调性，可得，即可得到所求的解析式.‎ ‎【详解】‎ 解：（1）①因为，即，‎ 则， 作出函数的图象如图，‎ 的最小值为1，当时，有最大值， 又因为关于的方程在区间有两个不同的解，， 故的取值范围是 ‎； ②因为，所以，，且有，‎ 即有； （2）由题得， 当时，有，则在[0，2]上为减函数， 则； 当时，有，在上为减函数，在上为增函数， 此时； 当时，有，在上为减函数，在上为增函数， 此时， 当时，有，在上为增函数，在上为减函数，在上为增函数， 此时， 当时，有，则在上为增函数， 则，‎ 综上.‎ ‎【点睛】‎ 本题考查分段函数的运用：求取值范围和最值，注意运用绝对值的意义和分类讨论数形结合的思想方法，同时考查函数的单调性的运用，考查化简整理的运算能力，属于难题.‎