初中数学竞赛辅导讲义及习题解答 第12讲 方程与函数

初中数学竞赛辅导讲义及习题解答 第12讲 方程与函数

1 第十二讲 方程与函数 方程思想是指在解决问题时，通过等量关系将已知与未知联系起来，建立方程或方程组， 然后运用方程的知识使问题得以解决的方法；函数描述了自然界中量与量之间的依存关系， 函数思想的实质是剔除问题的非本质特征，用联系和变化的观点研究问题．转化为函数关系 去解决． 方程与函数联系密切，我们可以用方程思想解决函数问题，也可以用函数思想讨论方程 问题，在确定函数解析式中的待定系数、函数图象与坐标轴的交点、函数图象的交点等问题 时，常将问题转化为解方程或方程组；而在讨论方程、方程组的解的个数、解的分布情况等 问题时，借助函数图象能获得直观简捷的解答． 【例题求解】 【例 1】 若关于的方程 mxx 1 有解，则实数 m 的取值范围 ． 思路点拨 可以利用绝对值知识讨论，也可以用函数思想探讨：作函数 xy  1 ， mxy  函 数图象，原方程有解，即两函数图象有交点，依此确定 m 的取值范围． 【例 2】设关于 x 的方程 09)2(2  axaax 有两个不相等的实数根 1x ， 2x ，且 <1< ， 那么 a 取值范围是( ) A． 5 2 7 2  a B． 5 2a C． 7 2a D． 011 2  a 思路点拨 因根的表达式复杂，故把原问题转化为二次函数问题来解决，即求对应的二次函 数与 x 轴的交点满足 <1< 的 a 的值，注意判别式的隐含制约． 【例 3】 已知抛物线 0)21( 22  axaxy ( 0a )与 x 轴交于两点 A( 1x ，0)，B( 2x ， 0)( ≠ )． (1)求 a 的取值范围，并证明 A、B 两点都在原点 O 的左侧； (2)若抛物线与 y 轴交于点 C，且 OA+OB＝OC 一 2，求 的值． 思路点拨 、 是方程 0)21( 22  axax 的两个不等实根，于是二次函数问题就可以转 化为二次方程问题加以解决，利用判别式，根与系数的关系是解题的切入点． 2 【例 4】 抛物线 )1(2)4 5(22 1 2  mxmxy 与 y 轴的正半轴交于点 C，与 x 轴交于 A、B 两点，并且点 B 在 A 的右边，△ABC 的面积是△OAC 面积的 3 倍． (1)求这条抛物线的解析式； (2)判断△OBC 与△OCA 是否相似，并说明理由． 思路点拨 综合运用判别式、根与系数关系等知识，可判定对应方程根的符号特征、两实根 的关系，这是解本例的关键．对于(1)，建立关于 m 的等式，求出 m 的值；对于(2)依 m 的 值分类讨论． 【例 5】 已知抛物线 qpxxy  2 上有一点 M(， 0y )位于 x 轴下方． (1)求证：此抛物线与轴交于两点； (2)设此抛物线与 轴的交点为 A( 1x ，0)，B(，0)，且 < 2x ，求证： < 0x < ． 思路点拨 对于(1)，即要证 042  qp ；对于(2)，即要证 0))(( 2010  xxxx ． 注：(1)抛物线与 轴交点问题常转化为二次方程根的个数、根的符号特征、根的关系来探讨， 需综合运用判别式、韦达定理等知识． (2)对较复杂的二次方程实根分布问题，常转化为用函数的观点来讨论，基本步骤是： 在直角坐标系中作出对应函数图象，由确定函数图象大致位置的约束条件建立不等式组． (3) 一个关于二次函数图象的命题：已知二次函数 cbxaxy  2 （ 0a ）的图象与 轴 交于 A（ ，0）， B(，0)两点，顶点为 C． ①△ABC 是直角三角形的充要条件是：△= 442  acb ． ②△ABC 是等边三角形的充要条件是：△= 1242  acb 3 学历训练 1．已知关于 x 的函数 1)1(2)6( 2  mxmxmy 的图象与 轴有交点，则 m 的取值范围 是 ． 2．已知抛物线 23)1(2  kxkxy 与 轴交于 A ( ，0)，B(  ，0)两点，且 1722   ， 则 k ． 3．已知二次函数 y=kx2+(2k－1)x—1 与 x 轴交点的横坐标为 x1、x2(x1x2，时，y>O；③方程 kx2+l(2k－1)x—l=O 有两个不相等 的实数根 x1、x2；④ x1<－l，x2>－l；⑤ x2－x1= k k 241 ，其中所有正确的结论是 (只 需填写序号) ． 4．设函数 )5(4)1(2  kxkxy 的图象如图所示，它与 轴交于 A、B 两点，且线段 OA 与 OB 的长的比为 1：4，则 k ＝( )． A．8 B．一 4 C．1l D．一 4 或 11 5．已知：二次函数 y＝x2+bx+c 与 x 轴相交于 A(x1,0)、B(x2，0)两点，其顶点坐标为 P(－ 2 b ， 4 b-4c 2 )，AB＝｜x1－x2|，若 S△APB＝1，则 b 与 c 的关系式是 ( ) A．b2－4c+1= 0 B．b2－4c－1=0 C．b2－4c+4=0 D．b2－4c－4=0 6．已知方程 1 axx 有一个负根而且没有正根，那么 a 的取值范围是( ) A． >-1 B． ＝1 C． ≥1 D．非上述答案 7．已知在平面直角坐标系内，O 为坐标原点，A、B 是 x 轴正半轴上的两点，点 A 在点 B 的左侧，如图，二次函数 y=ax2＋bx＋c（a≠0）的图象经过点 A、B，与 y 轴相交于点 C． （1）a、c 的符号之间有何关系？ （2）如果线段 OC 的长度是线段 OA、OB 长度的比例中项，试证 a、c 互为倒数； （3）在（2）的条件下，如果 b=－4，AB=4 3 ，求 a、c 的值． 4 8．已知：抛物线 cbxaxy  2 过点 A(一 1，4)，其顶点的横坐标为 2 1 ，与 x 轴分别交于 B(x1,0)、C(x2，0)两点(其中且 1x < 2x )，且 132 2 2 1  xx ． (1)求此抛物线的解析式及顶点 E 的坐标； (2)设此抛物线与 y 轴交于 D 点，点 M 是抛物线上的点，若△MBO 的面积为△DOC 面积的 3 2 倍，求点 M 的坐标． 9．已知抛物线 mmxxy 22 3 2 1 2  交 x 轴于 A（ 1x ，0）、 B（ 2x ，0），交 y 轴于 C 点，且 ＜0＜ ，   1122  COOBAO . （1）求抛物线的解析式； （2）在 x 轴的下方是否存在着抛物线上的点 P，使∠APB 为锐角，若存在，求出 P 点的横坐 标的范围；若不存在，请说明理由. 10．设 m 是整数，且方程 023 2  mxx 的两根都大于 5 9 而小于 7 3 ，则= . 11．函数 732  xxy 的图象与函数 633 22  xxxxy 的图象的交点个数是 ． 12．已知 a 、b 为抛物线 2))((  dcxcxy 与 x 轴交点的横坐标， ba  ，则 bcca  的值为 ． 13．是否存在这样的实数 k ，使得二次方程 0)23()12(2  kxkx 有两个实数根，且两根 都在 2 与 4 之间?如果有，试确定 的取值范围；如果没有，试述理由． 14．设抛物线 4 52)12(2  axaxy 的图象与 轴只有一个交点． (1)求 的值； (2)求 618 32  aa 的值． 15．已知以 为自变量的二次函数 2384 2  nnxxy ，该二次函数图象与 轴的两个交点 的横坐标的差的平方等于关于 的方程 0)4)(1(2)67(2  nnxnx 的一整数根，求 n 的 5 值． 16．已知二次函数的图象开口向上且不过原点 O，顶点坐标为(1，一 2)，与 x 轴交于点 A， B，与 y 轴交于点 C，且满足关系式 OBOAOC 2 ． (1)求二次函数的解析式； (2)求△ABC 的面积． 17．设 p 是实数，二次函数 ppxxy  22 的图象与 轴有两个不同的交点 A（ 1x ，0）、 B （ 2x ，0）． (1)求证： 032 2 21  pxpx ； (2)若 A、B 两点之间的距离不超过 32 p ，求 P 的最大值． ( 6 参考答案 7