2020年高中数学新教材同步必修第一册 第3章 第2课时 函数的最大(小)值

2020年高中数学新教材同步必修第一册 第3章 第2课时 函数的最大(小)值

第三章　3.2.1　单调性与最大(小)值 学习目标 XUEXIMUBIAO 1.了解函数的最大(小)值的概念及其几何意义. 2.会借助单调性求最值. 3.掌握求二次函数在闭区间上的最值的方法. NEIRONGSUOYIN 内容索引 知识梳理 题型探究 随堂演练 1 知识梳理 PART ONE 最值 条件 几何意义 最大值 ①对于∀x∈I，都有 ， ②∃x0∈I，使得_________ 函数y＝f(x)图象上最高点的纵坐标 最小值 ①对于∀x∈I，都有 ， ②∃x0∈I，使得_________ 函数y＝f(x)图象上最低点的纵坐标 知识点一　函数的最大(小)值及其几何意义 f(x)≤M f(x0)＝M f(x)≥M f(x0)＝M 思考　函数f(x)＝x2＋1≥－1总成立，f(x)的最小值是－1吗？ 答案　f(x)的最小值不是－1，因为f(x)取不到－1. 知识点二　求函数最值的常用方法 1.图象法：作出y＝f(x)的图象，观察最高点与最低点，最高(低)点的纵坐标即为函数 的最大(小)值. 2.运用已学函数的值域. 3.运用函数的单调性： (1)若y＝f(x)在区间[a，b]上是增函数，则ymax＝ ，ymin＝ . (2)若y＝f(x)在区间[a，b]上是减函数，则ymax＝ ，ymin＝ . 4.分段函数的最大(小)值是指各段上的最大(小)值中最大(小)的那个. f(b) f(a) f(a) f(b) 1.函数f(x)在[－2,2]上的图象如图所示，则此函数的最小值为____，最大值为____. 预习小测 自我检验 YU XI XIAO CE ZI WO JIAN YAN －1 2 3.函数y＝2x2＋2，x∈R的最小值是___.2 2 题型探究 PART TWO 一、图象法求函数的最值 解　作出函数f(x)的图象(如图). 由图象可知，当x＝±1时，f(x)取最大值为f(1)＝f(－1)＝1. 当x＝0时，f(x)取最小值为f(0)＝0， 故f(x)的最大值为1，最小值为0. 反思 感悟 图象法求函数最值的一般步骤 跟踪训练1　已知函数y＝－|x－1|＋2，画出函数的图象，确定函数的最值情况，并 写出值域. 图象如图所示， 由图象知，函数y＝－|x－1|＋2的最大值为2，没有最小值， 所以其值域为(－∞，2]. 二、利用函数的单调性求最值 (1)判断函数f(x)的单调性并证明； 解　f(x)是增函数，证明如下： 任取x1，x2∈[3,5]且x10， 所以f(x1)－f(x2)<0，即f(x1)5时，因为函数f(x)单调递减， 所以f(x)1时，f(x)在[t，t＋2]上为增函数， f(x)min＝f(t)＝t2－2t－3. 设函数f(x)的最小值为g(t)，则有 素养 提升 二次函数在指定区间上的最值与二次函数的开口、对称轴有关，求解时 要注意这两个因素.利用二次函数图象，通过直观想象，进行分类讨论. 3 随堂演练 PART THREE 1 2 3 4 5 A.有最大值无最小值 B.有最小值无最大值 C.有最大值也有最小值 D.无最大值也无最小值 √ 1 2 3 4 5 2.函数y＝x2－2x＋2在区间[－2,3]上的最大值、最小值分别是 A.10,5 B.10,1 C.5,1 D.以上都不对 √ 解析　因为y＝x2－2x＋2＝(x－1)2＋1，且x∈[－2,3]， 所以当x＝1时，ymin＝1， 当x＝－2时，ymax＝(－2－1)2＋1＝10.故选B. 1 3 4 52 A.10,6 B.10,8 C.8,6 D.以上都不对 √ 1 3 4 52 4.已知函数f(x)＝2x－3，当x≥1时，恒有f(x)≥m成立，则实数m的取值范围是 A.R B.(－∞，－1] C.[－1，＋∞) D.∅ √ 解析　因为f(x)＝2x－3在x∈[1，＋∞)上为增函数， 所以f(x)min＝－1，故满足f(x)≥－1. 又因为在x≥1时，f(x)≥m恒成立， 所以m≤－1，故m∈(－∞，－1]. 1 3 4 52 2 解析　f(x)的图象如图： 则f(x)的最大值为f(2)＝2. 课堂小结 KE TANG XIAO JIE 1.知识清单：函数的最大值、最小值定义. 2.方法归纳：配方法、分类讨论法、数形结合法. 3.常见误区： (1)最值M一定是一个函数值，是值域中的一个元素. (2)在利用单调性求最值时，勿忘求函数的定义域. 本课结束