高中数学讲义微专题33 向量的模长问题代数法（含模长习题）

高中数学讲义微专题33 向量的模长问题代数法（含模长习题）

- 1 - 微专题 33 向量的模长问题——代数法 一、基础知识： 利用代数方法处理向量的模长问题，主要采取模长平方——数量积和坐标两种方式 1、模长平方：通过 可得： ，将模长问题转化为数量积问题， 从而能够与条件中的已知向量（已知模长，夹角的基向量）找到联系。要注意计算完向量数 量积后别忘记开方 2、坐标运算：若 ，则 。某些题目如果能把几何图形放入坐标系中， 则只要确定所求向量的坐标，即可求出（或表示）出模长 3、有关模长的不等问题：通常考虑利用“模长平方”或“坐标化”得到模长与某个变量间的 函数关系，从而将问题转化为求函数最值问题 二、典型例题 例 1：在 中， 为 中点，若 ，则 _____ 思路：题目条件有 ，进而 可 求，且 可用 表示，所以考虑模长平方转化为数量积 问题 解： 为 中点 可得： 代入可求出： 答案： 例 2：若 均为单位向量，且 ，则 的最大值为（ ） A. B. C. D. 思路：题目中所给条件与模和数量积相关，几何特征较少，所以考虑将 平方，转化 22 cos0a a a a      2 2 a a   ,a x y 2 2a x y  ABC O BC 1, 3, 60AB AC A     OA  1, 3, 60AB AC A     AB AC  OA ,AB AC  O BC   1 2AO AB AC       22 2 2 21 1 22 4AO AO AB AC AB AB AC AC                   3cos 2AB AC AB AC A       2 13= 4AO 13 2AO  13 2 , ,a b c      0, 0a b a c b c           a b c    2 1 1 2 2 a b c    OB C A - 2 - 为数量积问题，再求最值。 解： ① ①转化为 答案：B 例 3 ： 平 面 上 的 向 量 满 足 ， 且 ， 若 ，则 的最小值为___________ 思路：发现所给条件均与 相关，且 可以用 表示，所以考虑 进行模 长平方，然后转化为 的运算。从而求出最小值 解： ，代入可得： 答案： 例 4 ： 已 知 平 面 向 量 满 足 ， 且 与 的 夹 角 为 ， 则 的最小值是（ ） A. B. C. D. 思路：题目所给条件围绕着 与 ，所以考虑所求向量用这两个向量进行表示：     2 0 0a c b c a b b c a c c                      0, 1a b c       1 0 1b c a c b c a c                   2 2 2 2 2 2 2 2a b c a b c a b c a b a c b c                              1 1 1 2 3 2 1b c a c             1a b c      ,MA MB  2 4MA MB   0MA MB   1 2 3 3MC MA MB    MC ,MA MB  MC ,MA MB  MC ,MA MB   22 2 21 2 1 4 43 3 9MC MA MB MA MA MB MB                0MA MB    2 4MA MB     22 21 1 1 63 1 63 74 4 49 9 8 16 9 16 16MC MB MB MB                     min 7 4MC  7 4 ,   2 3       2   150    3 2t t R       3 4 3 3 3 2 3    2   - 3 - ，从而模长平方变成数量积问题，可得： ，将 视为一个 整体，则可配方求出最小值 解： 答案：A 小炼有话说：本题的关键在于选好研究对象，需要把已知的两个向量视为整体，而不是 例 5：已知平面向量 的夹角 ，且 ，若 ， 则 的取值范围是__________ 思路：由 和夹角范围即可得到 的范围，从而可想到将 模长平方， 再利用 转变为关于 的问题，从而得到关于夹角 的函数，求得范 围。      3 1 1 22 2 2t t                           2 2 23 1 3 1 3 2 2 2 2 4t t t                               1 2t              3 1 1 22 2 2t t                             223 1 1 22 2 2t t                                2 21 1 1 12 2 22 2 2 2t t                                                         21 3 1 2 cos1502 4 2t t                                2 21 3 1 3 2 2 2 4t t                       21 3 3 3 2 4 16 16t                  3 3 2 4t         ,   ,OA OB  2,3 3        3OA OB   1 2 3 3OP OA OB    OP 3OA OB   OA OB  OP 1 2 3 3OP OA OB    ,OA OB   - 4 - 解： 答案： 例 6：已知 ， ，则 的最小值是（ ） A. B. C. D. 思路：由条件可得 ，所以考虑将 模长平方，从而 转化为数量积问题，代入 的值可得到关于 的二次函数，进而求出最小值 解： 答案：D 例 7：已知直角梯形 中， ∥ ， 为腰 上的 动点，则 的最小值为__________ 思路：所求 难以找到其几何特点，所以考虑 利用代数手段，在直角梯形中依直角建系，点 的纵坐 标 与 梯 形 的 高 相 关 ， 可 设 高 为 ， ， ， 则 ， 所 以 ， ， 即 22 2 21 2 1 4 4 3 3 9 9 9OP OA OB OA OA OB OB                5 4cos  2,3 3        1 1cos ,2 2        2 3,7OP  3, 7OP       3, 7    2, 6, 2a b a b a         R  a b  4 2 3 2 3   2 2 2 6a b a a b a             a b  , ,a b a b       2 2 2a b a a b a             2 2 6a b a        2 2 2 22 22 36 12 4a b a b a a b b                        2 2236 12 4 6 1 3 3a b            min 3a b    ABCD AD , 90 , 2, 1BC ADC AD BC    P CD 2 3PA PB  2 3PA PB  B h  0,P y    2,0 , 1,A B h    2, , 1,PA y PB h y      2 3 7,3 5PA PB h y     222 3 7 3 5 7PA PB h y      min 2 3 7PA PB   - 5 - 答案： 例 8 ：如图，在边长为 的正三角形 中， 分别是边 上的动点，且满足 ，其中 ， 分别是 的中点，则 的最小值为（ ） A. B. C. D. 思路：等边三角形三边已知，故可以考虑用三边的向量将 进行表示，从而模长平方后 可写成关于 的表 达式，再利用 即可消元。 解： 答案：C 例 9 ：已知 与 的夹角为 ， ， ，且 ， , 在 时取到最小值。当 时， 的取值范围是（ ） A. B. C. D. 思路：本题含两个变量 ，且已知 范围求 的范围，所以考虑建立 和 的关系式， ， 从 而 考 虑 模 长 平 方 ， 向 靠 拢 ， 可 得 ： 7 1 ABC ,E F ,AB AC ,AE mAB AF nAC      , 0,1 , 1m n m n   ,M N ,EF BC MN 2 4 3 3 3 4 5 3 MN 2MN ,m n 1m n   1 112 2MN ME EB BN FE m AB BC                    1 1 1 1 11 12 2 2 2 2AE AF m AB BC mAB nAC m AB AC AB                        1 1 11 12 2 2m AB n AC nAB mAC            22 2 21 1 4 4MN nAB mAC n m mn        1m n        22 2 2 21 1 1 1 3 31 1 14 4 4 2 4 16MN m m m m m m m                         3 4MN  OA OB  =2OA =1OB OP tOA  1OQ t OB  （ ） PQ 0t 0 10 5t   0, 3      ,3 2       2,2 3       20, 3      0,t  0t   0t  1PQ OQ OP t OB tOA         ,OA OB  N M A B C E F - 6 - ，所以当 达到最小 值 时 ， ， 由 可 得 解 得 ， 即 解： 时， 取得最小值 ，所以不等式等价于： 答案：C 例 10：已知 中， ，点 是线段 （含端点）上的一点， 且 ，则 的范围是__________ 思路：本题由垂直和模长条件可考虑建系，从而用坐标来使用数量积的条件。如图建系，设 ，则 ，设 ，则 由 可 得 ， 已 知 条 件 ， 所 求 模 长 平 方 后 可 得 ， 所 以 问 题 转 化 为 已 知 求 的 最 大 值 。 考 虑 ，      2 2 21 5 4cos 2 4cos 1PQ t OB tOA t t              2 PQ 0 1 2cos 5 4cost     0 10 5t  1 2cos 10 5 4cos 5     1 cos 02    2 2 3     1PQ OQ OP t OB tOA              2 2 2 22 21 1 2 1PQ t OB tOA t OB t t OA OB t OA                      2 21 4 1 cos 4t t t t        25 4cos 2 4cos 1t t      0 1 2cos 5 4cost      PQ 0 10 5t  1 2cos 10 5 4cos 5      5 4cos 0    2cos 1 0 1 cos 01 21 2cos 5 4cos5              2,2 3        ABC , 2AB AC AB AC      M BC   1AM AB AC     AM    0, , ,0B b C c  ,AD AB AC c b      ,M x y   1AM AB AC     1cx by  2 22 4AB AC b c      AM 2 2 2AM x y  2 2 1 4 cx by b c      2 2x y   2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2x y b c x c b y x b c y      - 7 - ，寻找两个式子的联系，有 ，所以 ，即 ，从而 ，而 另 一 方 面 ： 由 及 （ 符 合 直 线 的 方 程 ） 可 得 ： ，所以 （ 时取等号），所 以综上可得： 答案： 三、历年好题精选（模长综合） 1、点 是 的重心，若 ，则 的最小值为__________ 2、已知 是两个互相垂直的单位向量，且 ，则对任意的正实数 ， 的最小值为_________ 3、已知 是单位向量，且 ，若 满足 ，则 的范围是_______ 4、在 中， ，如果不等式 恒成立，则实数 的取值范围是_____________ 5、设直角 的三个顶点都在单位圆 上，点 ，则 的最大值是（ ） A． B． C． D． 6、已知向量 满足 与 的夹角为 ， ，则 的最大值为（ ） A. B. C. D. 7、（2016，上海五校联考）在平面直角坐标系 中，已知圆 ，点  2 2 2 2 2 2cx by c x b y bcxy    2 2 2 2 2x b c y bcxy      22 2 2 2x y b c cx by     2 2 2 2 2 2 1 4 cx byAM x y b c      1 2AM  1cx by  1x y c b  M BC   2 21 x y bxy cxycx by x yc b c b           2 2 1x y  0x y  1 12 AM  1 12 AM  G ABC 120 , 2A AB AC       AG ,a b  1, 1, 2c a c b c         t 1c ta bt    ,a b  0a b   c 1c a b     c ABC 1, 2 3, 6AC BC C    BA tBC AC    t ABC 2 2 1x y  1 1( , )2 2M | |MA MB MC    2 1 2 2 3 2 12  3 2 22  , ,a b c   4, 2 2,a b   a b 4  ( ) ( ) 1c a c b        c a  12 2 2 12  2 1 2  2 1 xOy 2 2: 6 5 0C x y x    ,A B - 8 - 在圆上，且 ，则 的取值范围是_________ 8、（2015，湖南）已知点 在圆 上运动，且 ，若点 的坐标为 ，则 的最大值为（ ） A. B. C. D. 9、已知 为非零向量， ，若 ，当且仅当 时， 取到 最小值，则向量 的夹角为_______ 10、（2016，重庆万州二中）已知单位向量 满足 ，且 ，则 的取值范围是（ ） A. B. C. D. 11、（2016，贵阳一中四月考）已知点 是 的重心，若 ， ， 则 的最小值是（ ） A． B． C． D． 2 3AB  OA OB  , ,A B C 2 2 1x y  AB BC P  2,0 PA PB PC    6 7 8 9 ,a b   m a tb t R     1, 2a b   1 4t  m ,a b  ,a b  0a b   2 5c a c b       2c a   1,3 2 2,3   6 5 ,2 25       6 5 ,35       G ABC 120A   2AB AC    AG 3 3 2 2 2 3 3 4 - 9 - 习题答案： 1、答案： 解析： 为 的重心，延长 交 于 ，则 是中线 2、答案： 解析： ，代入已知条件可得： 3、答案： 解析：设 ，因为 是单位向量，且 ，所以 为模长是 的向 量 ， 由 已 知 可 得 ， 所 以 数 形 结 合 可 知 ： ， 从 而 的 范 围 是 2 3 cos 2 4AB AC AB AC A AB AC             G ABC AG BC M AM    2 2 1 1 3 3 2 3AG AM AB AC AB AC             22 2 2 2 21 1 1 2 1 1 4=9 9 9 9 9 9 9AG AB AC AB AC AB AC AB AC                 2 2 2 8AB AC AB AC       2 8 4 4 9 9 9AG    2 3AG  2 2 2 2 2 22 2 1 1 22 2c ta b c t a b tc a c b a bt t t                      2 2 2 2 1 1 2 1 12 2 2c ta b t t t tt t t t t                        t R 1 2t t     2 21 1 12 8,c ta b t tt t t                      1 2 2c ta bt      2 1, 2 1     m c a b      ,a b  0a b   a b  2 1m   c m a b      c 2 1, 2 1    - 10 - 4、答案： 解析：由余弦定理可得： 5、答案：C 解析：由题意， ，当且仅当 共线 同向时，取等号，即 取得最大值，最大值是 ， 6、答案：D 解析：设 ； 以 所 在 直 线 为 轴 ， 为 坐 标 原 点 建 立 平 面 直 角 坐 标 系 ， ∵ 与 的夹角为 ， 则 ， 设 ∵ 即 表 示 以 为 圆 心 ， 以 1 为 半 径 的 圆 ， 表 示 点 A， C 的 距 离 即 圆 上 的 点 与 点 的 距 离 ； ∵ 圆 心 到 B 的 距 离 为 ， ∴ 的 最 大 值 为 ． 7、答案： 解析：设 ， 中点 1 ,12      2 2 2 2 cos 7AB AC BC AC BC C AB        2 2 BA tBC AC BA tBC AC           2 2 222BA BA BC t BC t AC            2 9BA BC BC CA BC BC CA BC               2 2 27 18 12 1 12 18 6 0 2 3 1 0t t t t t t            1 12 t   2 2MA MB MC MA MO MA MO           M O A， ， MA MB MC    2 3 22 1 12 2    , ,OA a OB b OC c        OA x O 4, 2 2,a b   a b 4     4,0 , 2,2A B  ,C x y ( ) ( ) 1c a c b        2 2 6 2 9 0x y x y      ， 2 23 1 1x y   （ ） （ ）  3,1 c a   4,0A 2)01()43( 22  c a  12   4,8    1 1 2 2, , ,A x y B x y AB  0 0,M x y - 11 - 由圆 可得： 在以 为圆心，半径 的圆上 即 8、答案：B 解析：由 可知 为直径，因为该圆为圆心在原点的单位圆，所以 关于原点对 称 ， 设 ， 则 ， 设 ， 所 以 可 得 ： ，所以 ，则 ，因为 在圆上，所以 ，代入可 得 ，故 9、答案： 解析： ，设 ， 因为 时， 取得最小值，所以 的对称轴 ，所以 ，所以 夹角为 10、答案：D 解析：以 为基底建立直角坐标系，可知 ，设 1 2 0 1 2 0 2 2 x xx y yy     2OA OB OM     2 2: 6 5 0C x y x     2 23 4x y    3,0 , 2C CA r   2 2 1 12CM CA AB       M C 1r  2, 4OM OC r OM OC r       2 4OM  4 8OA OB    AB BC AB ,A B  ,A m n  ,B m n   ,C x y      2, , 2, , 2,PA m n PB m n PC x y           6,PA PB PC x y       2 2 26PA PB PC x y       C 2 2 2 21 1x y y x     2 37 12 49PA PB PC x       7PA PB PC     2 3     22 2 22 22 4 2 1m a tb a ta b t b t a b t                     24 2 1f t t a b t     1 4t  2 m  f t  2 1 18 4 a b t a b             1cos , 2 a ba b a b          ,a b  2 3  ,a b     1,0 , 0,1a b    ,c x y - 12 - 即 到 的距离和为 ， 在线段 上， 直线方程为 ，即线段 上动点 到定点 的距离 通过数形结合可得： 所以 的取值范围是 11、答案：C 解析： ，可知 ，设 为底边 上的中线， 由重心性质可得：    2 22 22 1 2 5c a c b x y x y              ,C x y    1,0 , 0,2A B 5 5AB  C AB AB 2 2 0x y    2 22 2c a x y     AB C  2,0D  min 6 62 555D ABc a d       max 2 3c a DA    2c a  6 5 ,35       2 cos 2AB AC cb A       4bc  AD BC    2 2 1 1 3 3 2 3AG AD AB AC AB AC                22 2 2 2 21 1 12 49 9 9AG AB AC AB AC AB AC c b               2 2 2 8b c bc    2 1 48 49 9AG    2 3AG 