上海市嘉定区封浜高中2019-2020学年高二下学期期末考试数学试题

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上海市嘉定区封浜高中2019-2020学年高二下学期期末考试数学试题

上海市嘉定区2019学年第二学期封浜高级中学 高二年级数学期末质量调研 ‎(满分150分,时间120分钟)‎ 一.填空题(本大题满分54分)本大题共有12题,1-6每题4分,7-12每题5分考生应在答题纸相应编号的空格内直接填写结果,每个空格填对得分,否则一律得零分.‎ ‎1.抛物线的焦点坐标为 . ‎ ‎2.平面直角坐标系中点到直线的距离为 . ‎ ‎3.若复数满足(是虚数单位),则的虚部是 . ‎ ‎4.世界杯小组赛,从四支队伍中出线两支队伍,则出线队伍共有 种不同的组合. ‎ ‎5.侧棱长为,底面面积为的正四棱柱的体对角线的长为 . ‎ ‎6.双曲线的两条渐近线的夹角大小为 . ‎ ‎7.底面半径和高均为的圆柱的表面积为 . ‎ ‎8.双曲线的虚轴长是实轴长的倍,则 . ‎ ‎9.已知空间直角坐标系中,某二面角的大小为,,半平面和的一个法向量分别为,,则 .(结果用反三角函数值表示) ‎ ‎10.二项式的展开式中各项系数的和是 . ‎ ‎11.有一个倒圆锥形的容器,它的底面半径是5厘米,高是10厘米,容器内放着49个半径为1厘米的玻璃球,在向容器倒满水后,再把玻璃球全部取出,则此时容器内水面的高度 为 厘米.‎ ‎12.已知定点,点在抛物线上运动,若复数在复平面内分别对应点的位置,且,则的最小值为 . ‎ 二.选择题(本大题满分20分)本大题共有4题,每题有且只有一个正确答案,考生应在答题纸的相应编号上,将代表答案的小方格涂黑,选对得5分,否则一律得零分.‎ ‎13.空间内,异面直线所成角的取值范围是……………………………………( ).‎ ‎(A) ‎ ‎(B) ‎ ‎(C) ‎ ‎(D) ‎ ‎14.“”是“直线与直线相互垂直”‎ 的 ……………………………………………………………………………( ).‎ ‎(A)充分而不必要条件 (B)必要而不充分条件 ‎(C)充要条件 (D)既不充分也不必要条件 ‎15.曲线的图像………………………………………………( ).‎ ‎(A)关于轴对称 (B)关于原点对称,但不关于直线对称 ‎(C)关于轴对称 (D)关于直线对称,也关于直线对称 ‎16.下列命题中,正确的命题是……………………………………………………( ).‎ ‎ (A) 若、,,则. ‎ ‎(B) 若,则不成立. ‎ ‎(C) ,,则或.‎ ‎(D) ,,则且.‎ 三.解答题(本大题满分76分)本大题共有5题,解答下列各题必须在答题纸相应编号的规定区域内写出必要的步骤.‎ ‎17. (本题满分14分)本题共有2个小题,第1小题满分7分,第2小题满分7分.‎ 已知复数,,.‎ ‎(1)若,求实数的取值范围;‎ ‎(2)若是关于的方程的一个根,求实数与的值.‎ ‎ ‎ ‎18.(本题满分14分)本题共2小题,第(1)小题7分,第(2)小题7分.‎ 如图,长方体中,,直线与平面所成的角的大小为.‎ ‎(1)求三棱锥的体积;‎ ‎(2)求异面直线与所成角的大小.‎ ‎19.(本题满分14分)本题共有2个小题,第1小题满分8分,第2小题满分6分.‎ 已知的二项展开式中,第三项的系数为.‎ ‎(1)求证:前三项系数成等差数列;‎ ‎(2)求出展开式中所有有理项(即的指数为整数的项).‎ ‎20.(本题满分16分)本题共3小题,第(1)小题4分,第(2)小题6分,第(3)小题6分.‎ 已知椭圆的左右顶点分别是,点在椭圆上.过该椭圆上任意一点作轴,垂足为,点在的延长线上,且.‎ ‎(1)求椭圆的方程;‎ ‎(2)求动点的轨迹的方程;‎ ‎(3)设直线(点不同于)与直线交于,为线段的中点,证明:直线与曲线相切.‎ ‎21. (本题满分18分)本题共有3个小题,第1小题满分4分,第2小题满分6分,第3小题满分8分.‎ 在平面直角坐标系中,为坐标原点.已知曲线上任意一点(其中)到定点的距离比它到轴的距离大1.‎ ‎(1)求曲线的轨迹方程;‎ ‎(2)若过点的直线与曲线相交于不同的两点,求的值;‎ ‎(3)若曲线上不同的两点、满足求的取值范围.‎ 参考答案 ‎(满分150分,时间120分钟)‎ 考生注意:‎ ‎1.答卷前,考生务必在答题纸上将学校、班级、考试号、姓名等填写清楚.‎ ‎2.请按照题号在答题纸各题答题区域内作答,超出答题区域书写的答案无效;在草稿纸、试题卷上答题无效.‎ ‎3.本试卷共有21道试题,可以使用规定型号计算器.‎ 一.填空题(本大题满分54分)本大题共有12题,1-6每题4分,7-12每题5分考生应在答题纸相应编号的空格内直接填写结果,每个空格填对得分,否则一律得零分.‎ ‎1.抛物线的焦点坐标为 . ‎ ‎2.平面直角坐标系中点到直线的距离为 . ‎ ‎3.若复数满足(是虚数单位),则的虚部是 . ‎ ‎4.世界杯小组赛,从四支队伍中出线两支队伍,则出线队伍共有 种不同的组合.‎ ‎5.侧棱长为,底面面积为的正四棱柱的体对角线的长为 . ‎ ‎6.双曲线的两条渐近线的夹角大小为 . ‎ ‎7.底面半径和高均为的圆柱的表面积为 .‎ ‎8.双曲线的虚轴长是实轴长的倍,则 .‎ ‎9.已知空间直角坐标系中,某二面角的大小为,,半平面和的一个法向量分别为,,则 .(结果用反三角函数值表示) ‎ ‎10.二项式的展开式中各项系数的和是 .‎ ‎11.有一个倒圆锥形的容器,它的底面半径是5厘米,高是10厘米,容器内放着49个半径为1厘米的玻璃球,在向容器倒满水后,再把玻璃球全部取出,则此时容器内水面的高度为 厘米.6‎ ‎12.已知定点,点在抛物线上运动,若复数在复平面内分别对应点的位置,且,则的最小值为 . ‎ 二.选择题(本大题满分20分)本大题共有4题,每题有且只有一个正确答案,考生应在答题纸的相应编号上,将代表答案的小方格涂黑,选对得5分,否则一律得零分.‎ ‎13.空间内,异面直线所成角的取值范围是……………………………………( B ).‎ ‎(A) ‎ ‎(B) ‎ ‎(C) ‎ ‎(D) ‎ ‎14.“”是“直线与直线相互垂直”的 ……………………………………………………………………………( A ).‎ ‎(A)充分而不必要条件 (B)必要而不充分条件 ‎(C)充要条件 (D)既不充分也不必要条件 ‎15.曲线的图像………………………………………………( ).‎ ‎(A)关于轴对称 (B)关于原点对称,但不关于直线对称 ‎(C)关于轴对称 (D)关于直线对称,也关于直线对称 ‎16.下列命题中,正确的命题是……………………………………………………( ).‎ ‎ (A) 若、,,则. ‎ ‎(B) 若,则不成立. ‎ ‎(C) ,,则或.‎ ‎(D) ,,则且.‎ 三.解答题(本大题满分76分)本大题共有5题,解答下列各题必须在答题纸相应编号的规定区域内写出必要的步骤.‎ ‎17. (本题满分14分)本题共有2个小题,第1小题满分7分,第2小题满分7分.‎ 已知复数,,.‎ ‎(1)若,求实数的取值范围;‎ ‎(2)若是关于的方程的一个根,求实数与的值.‎ 解: (1) ………………………………………………………………2分 于是 …………………………4分 又 ,所以 ,解得:. …………6分 所以实数的取值范围为. …………………………………………………7分 ‎(2)因为()是方程的一个根,‎ ‎()也是此方程的一个根,…………………………………………9分 于是 …………………………………………………11分 ‎ 解得 或,且满足……………………13分 所以或 ……………………………………………………………14分 ‎18.(本题满分14分)本题共2小题,第(1)小题7分,第(2)小题7分.‎ 如图,长方体中,,直线与平面所成的角的大小为.‎ ‎(1)求三棱锥的体积;‎ ‎(2)求异面直线与所成角的大小.‎ 解:(1)联结,‎ 因为,‎ 所以就是直线与平面所成的角,………………………………2分 所以,所以 ……………………………………………4分 所以…………………………………………7分 ‎(2)联结,‎ 因为,所以 所以就是异面直线与所成的角或其补角………………………10分 在△中,‎ 所以……………………………………………………………13分 所以异面直线与所成角的大小是…………………………………14分 ‎19.(本题满分14分)本题共有2个小题,第1小题满分8分,第2小题满分6分.‎ 已知的二项展开式中,第三项的系数为.‎ ‎(1)求证:前三项系数成等差数列;‎ ‎(2)求出展开式中所有有理项(即的指数为整数的项).‎ 解:(1)…………………………………2分 ‎,……………………………………………4分 所以前三项分别为,,‎ ‎……………………………………………………7分 所以前三项系数分别为,即前三项系数成等差数列……………………8分 ‎(2)……………10分 时,展开式中的指数为整数,‎ 所以展开式中所有有理项为:、、……………………………………………………………14分 ‎20.(本题满分16分)本题共3小题,第(1)小题4分,第(2)小题6分,第(3)小题6分.‎ 已知椭圆的左右顶点分别是,点在椭圆上.过该椭圆上任意一点作轴,垂足为,点在的延长线上,且.‎ ‎(1)求椭圆的方程;‎ ‎(2)求动点的轨迹的方程;‎ ‎(3)设直线(点不同于)与直线交于,为线段的中点,证明:直线与曲线相切.‎ 解:(1)由题意可知且,……………………2分 所以椭圆方程为……………………4分 ‎(2)设,则由可得, ………………………………6分 又在椭圆上,可知,……………………………9分 所以动点的轨迹的方程是……………………………………………10分 ‎(3)设,,由题意可知三点共线,所以,‎ 因为,,则,即,‎ ‎…………………………………………………………………………12分 ‎,从而,又,‎ 故 ‎ …………………………………14分 则圆心到直线的距离 …………………………………15分 所以直线与曲线相切 …………………………………………………………16分 ‎21. (本题满分18分)本题共有3个小题,第1小题满分4分,第2小题满分6分,第3小题满 分8分.‎ 在平面直角坐标系中,为坐标原点.已知曲线上任意一点(其中)到定点的距离比它到轴的距离大1.‎ ‎(1)求曲线的轨迹方程;‎ ‎(2)若过点的直线与曲线相交于不同的两点,求的值;‎ ‎(3)若曲线上不同的两点、满足求的取值范围.‎ 解:(1)依题意知,动点到定点的距离等于到直线的距离,曲线是以原点为顶点,为焦点的抛物线………2分 ‎ ∵ ∴ ∴ 曲线方程是…………………4分 ‎(2)当平行于轴时,其方程为,由解得、‎ 此时…………………………………………………6分 当不平行于轴时,设其斜率为,‎ 则由 得 设则有,……………………8分 ‎∴‎ ‎……………………………10分 ‎(3)设 ‎ ‎∴ ………………………………12分 ‎∵‎ ‎∴‎ ‎∵,化简得………………………………14分 ‎∴……………………………………14分 当且仅当 时等号成立………………………………16分 ‎∵‎ ‎∴当的取值范围是………18分
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