高中数学高考总复习基本不等式重要不等式均值定理习题及详解
高中数学高考总复习基本不等式重要不等式均值定理习题及详解
一、选择题
1．(2010·山东东营质检)在下列各函数中，最小值等于2的函数是( )
A．y＝x＋
B．y＝cosx＋
C．y＝
D．y＝ex＋－2
[答案] D
[解析] x<0时，y＝x＋≤－2，故A错；∵0
0，y>0，且＋＝1，若x＋2y>m2＋2m恒成立，则实数m的取值范围是( )
A．m≥4或m≤－2 B．m≥2或m≤－4
C．－20，y>0，且＋＝1，
∴x＋2y＝(x＋2y)(＋)＝4＋＋≥4＋2＝8，当且仅当＝，即x＝2y时取等号，又＋＝1，∴x＝4，y＝2，∴(x＋2y)min＝8，要使x＋2y>m2＋2m恒成立，只需(x＋2y)min>m2＋2m，即8>m2＋2m，解得－40，a7＝a6＋2a5，设{an}的公比为q，则a6q＝a6＋，∴q2－q－2＝0，∵q>0，∴q＝2，
∵＝4a1，∴a12·qm＋n－2＝16a12，∴m＋n－2＝4，
∴m＋n＝6，
∴＋＝(m＋n)＝≥＝，等号在＝，即n＝2m＝4时成立．
3．(2010·茂名市模考)“a＝”是“对任意的正数x，均有x＋≥1”的( )
A．充分非必要条件
B．必要非充分条件
C．充要条件
D．既非充分也非必要条件
[答案] A
[解析] ∵a＝，x>0时，x＋≥2＝1，等号在x＝时成立，又a＝4时，x＋＝x＋
≥2＝4也满足x＋≥1，故选A.
4．(2010·广西柳州市模考)设a，b∈R，则“a＋b＝1”是“4ab≤1”的( )
A．充分不必要条件
B．必要不充分条件
C．充要条件
D．既不是充分条件也不是必要条件
[答案] A
[解析] a，b中有一个不是正数时，若a＋b＝1，显然有4ab≤1成立，a，b都是正数时，由1＝a＋b≥2得4ab≤1成立，故a＋b＝1⇒4ab≤1，但当4ab≤1成立时，未必有a＋b＝1，如a＝－5，b＝1满足4ab≤1，但－5＋1≠1，故选A.
5．若a>0，b>0，a，b的等差中项是，且α＝a＋，β＝b＋，则α＋β的最小值为( )
A．2 B．3 C．4 D．5
[答案] D
[解析] ∵为a、b的等差中项，∴a＋b＝×2＝1.
a＋＋b＋⇒1＋＋＝1＋＝1＋，
∵≤，∴ab≤＝.∴原式≥1＋4.
∴α＋β的最小值为5.故选D.
6．(文)若直线2ax－by＋2＝0(a>0，b>0)被圆x2＋y2＋2x－4y＋1＝0截得的弦长为4，则＋的最小值是( )
A．1 B．2
C．3 D．4
[答案] D
[解析] 圆(x＋1)2＋(y－2)2＝4，∵弦长为4，故为直径，即直线过圆心(－1,2)，∴a＋b＝1.
∴＋＝(a＋b)＝2＋＋≥4.
当且仅当a＝b＝时取等号．
(理)半径为4的球面上有A、B、C、D四点，AB，AC，AD两两互相垂直，则△ABC、△ACD、△ADB面积之和S△ABC＋S△ACD＋S△ADB的最大值为( )
A．8 B．16 C．32 D．64
[答案] C
[解析] 根据题意可知，设AB＝a，AC＝b，AD＝c，则可知AB，AC，AD为球的内接长方体的一个角．故a2＋b2＋c2＝64，而S△ABC＋S△ACD＋S△ADB＝(ab＋ac＋bc)≤＝＝32.
等号在a＝b＝c＝时成立．
7．(文)已知c是椭圆＋＝1(a>b>0)的半焦距，则的取值范围是( )
A．(1，＋∞) B．(，＋∞)
C．(1，) D．(1，]
[答案] D
[解析] 由题设条件知，a1，
∵a2＝b2＋c2，∴＝≤＝2，∴≤.故选D.
(理)已知F1、F2分别为双曲线－＝1(a>0，b>0)的左、右焦点，P
为双曲线右支上的任意一点，若的值为8a，则双曲线的离心率e的取值范围是( )
A．(1，＋∞) B．(1,2]
C．(1，] D．(1,3]
[答案] D
[解析] ＝＝＋|PF2|＋4a≥4a＋4a＝8a，当且仅当＝|PF2|，即|PF2|＝2a时取等号．这时|PF1|＝4a.由|PF1|＋|PF2|≥|F1F2|得6a≥2c，即e＝≤3，∴e∈(1,3]．
8．(2010·南昌市模拟)已知a，b∈R＋，a＋b＝1，M＝2a＋2b，则M的整数部分是( )
A．1 B．2
C．3 D．4
[答案] B
[解析] ∵a，b∈R＋，a＋b＝1，∴0b>0，则集合M等于( )
A．E∩F B．E∪F
C．E∩(∁RF) D．(∁RE)∩F
[答案] C
[解析] ∵a>b>0，
∴a＝>>>＝b，
如图可见集合M在E中，不在F中，故M＝E∩∁RF.
10．(文)(2010·衡水市模考)已知△ABC中，点D是BC的中点，过点D的直线分别交直线AB、AC于E、F两点，若＝λ(λ>0)，＝μ(μ>0)，则＋的最小值是( )
A．9 B.
C．5 D.
[答案] D
[解析] ＝－＝(＋)－
＝(λ＋μ)－＝＋，
＝－.
∵与共线，且与不共线，∴＝，
∴λ＋μ＝2，∴＋＝(λ＋μ)
＝≥，等号在μ＝，λ＝时成立．
(理)(2010·广东省高考调研)如图在等腰直角△ABC中，点P是斜边BC的中点，过点P的直线分别交直线AB、AC于不同的两点M、N，若＝m，＝n，则mn的最大值为( )
A. B．1
C．2 D．3
[答案] B
[解析] 以AC、AB为x、y轴建立直角坐标系，设等腰直角△ABC的腰长为2，则P点坐标为(1,1)，B(0,2)、C(2,0)，∵＝m，＝n，
∴＝，＝，∴M、N，
∴直线MN的方程为＋＝1，
∵直线MN过点P(1,1)，∴＋＝1，∴m＋n＝2，
∵m＋n≥2，∴mn≤＝1，当且仅当m＝n＝1时取等号，∴mn的最大值为1.
二、填空题
11．(2010·山东聊城、山东邹平一中模考)已知b>0，直线b2x＋y＋1＝0与ax－(b2＋4)y＋2＝0互相垂直，则ab的最小值为________．
[答案] 4
[解析] ∵两直线垂直，∴ab2－(b2＋4)＝0，∴a＝，∵b>0，∴ab＝＝b＋≥4，等号在b＝，即b＝2时成立．
12．(文)(2010·重庆文，12)已知t>0，则函数y＝的最小值为________．
[答案] －2
[解析] y＝＝t＋－4
因为t>0，y＝t＋－4≥2－4＝－2.
等号在t＝，即t＝1时成立．
(理)(2010·安徽合肥六中质检)已知三个函数y＝2x，y＝x2，y＝的图象都过点A，且点A在直线＋＝1(m>0，n>0)上，则log2m＋log2n的最小值为________．
[答案] 4
[解析] 由题易得，点A的坐标为(2,4)，因为点A在直线＋＝1(m>0，n>0)上，所以1＝＋≥2，∴mn≥16，所以log2m＋log2n＝log2(mn)≥4，故log2m＋log2n的最小值为4.
13．(文)(2010·南充市)已知正数a，b，c满足：a＋2b＋c＝1则＋＋
的最小值为________．
[答案] 6＋4
[解析] ＋＋＝＋＋＝＋＋＋4≥2＋2＋2＋4＝6＋4，
等号在＝，＝，＝同时成立时成立．
即a＝c＝b＝1－时等号成立．
(理)(2010·北京延庆县)已知x>0，y>0，lg2x＋lg8y＝lg2，则xy的最大值是________．
[答案]
[解析] ∵lg2x＋lg8y＝lg2，∴2x·8y＝2，即2x＋3y＝2，∴x＋3y＝1，∴xy＝x·(3y)≤·2＝，等号在x＝3y，即x＝，y＝时成立．
14．(文)(2010·重庆一中)设M是△ABC内一点，且·＝2，∠BAC＝30°，定义f(M)＝(m，n，p)，其中m，n，p分别是△MBC，△MCA，△MAB的面积．若f(M)＝，则＋的最小值是________．
[答案] 18
[解析] ∵·＝||·||cos30°
＝|AB|·|AC|＝2，∴|AB|·|AC|＝4，
由f(M)的定义知，S△ABC＝＋x＋y，
又S△ABC＝|AB|·|AC|·sin30°＝1，
∴x＋y＝(x>0，y>0)
∴＋＝2(x＋y)＝2≥2(5＋2)＝18，等号在＝，即y＝2x＝时成立，∴min＝18.
(理)(2010·江苏无锡市调研)设圆x2＋y2＝1的一条切线与x轴、y轴分别交于点A，B，则AB的最小值为______．
[答案] 2
[解析] 由条件知切线在两轴上的截距存在，且不为零，故设切线方程为＋＝1，则＝1，
∴a2b2＝a2＋b2≥2ab，切线与两轴交于点A(a,0)和(0，b)，不妨设a>0，b>0，∴ab≥2，则AB＝|AB|＝≥≥2.
三、解答题
15．已知α、β都是锐角，且sinβ＝sinαcos(α＋β)．
(1)当α＋β＝，求tanβ的值；
(2)当tanβ取最大值时，求tan(α＋β)的值．
[解析] (1)∵由条件知，sinβ＝sin，
整理得sinβ－cosβ＝0，
∵β为锐角，∴tanβ＝.
(2)由已知得sinβ＝sinαcosαcosβ－sin2αsinβ，
∴tanβ＝sinαcosα－sin2αtanβ，
∴tanβ＝＝
＝＝≤＝.
当且仅当＝2tanα时，取“＝”号，
∴tanα＝时，tanβ取得最大值，
此时，tan(α＋β)＝＝.
16．(文)(2010·江苏盐城调研)如图，互相垂直的两条公路AM、AN旁有一矩形花园ABCD，现欲将其扩建成一个更大的三角形花园APQ，要求P在射线AM上，Q在射线AN上，且PQ过点C，其中AB＝30米，AD＝20米．记三角形花园APQ的面积为S.
(1)当DQ的长度是多少时，S最小？并求S的最小值．
(2)要使S不小于1600平方米，则DQ的长应在什么范围内？
[解析] (1)设DQ＝x米(x>0)，则AQ＝x＋20，
∵＝，∴＝，
∴AP＝，则S＝×AP×AQ＝
＝15(x＋＋40)≥1200，当且仅当x＝20时取等号．
(2)∵S≥1600，∴3x2－200x＋1200≥0，
∴0b>0)以双曲线－y2
＝1的焦点为顶点，其离心率与双曲线的离心率互为倒数．
(1)求椭圆C的方程；
(2)若椭圆C的左、右顶点分别为点A，B，点M是椭圆C上异于A，B的任意一点．
①求证：直线MA，MB的斜率之积为定值；
②若直线MA、MB与直线x＝4分别交于点P、Q，求线段PQ长度的最小值．
[分析] 由两曲线关系可求得椭圆方程中的系数a、b，即可写出椭圆方程，进而可求得点A，B坐标，设出M点坐标，可列出kMA·kMB的表达式，利用M在椭圆上可消元，通过计算验证结果为常数，再根据点A、M、P三点共线和M、B、Q三点共线就可以找到点P、Q的纵坐标之间的关系，即可求出线段PQ长度的最小值．
[解析] (1)易知双曲线－y2＝1的焦点为(－2,0)，(2,0)，离心率为，故在椭圆C中a＝2，e＝，∴c＝，b＝1，故椭圆C的方程为＋y2＝1.
(2)①设M(x0，y0)，(x0≠±2)，由题易知A(－2,0)，B(2,0)，则kMA＝，kMB＝，
故kMA·kMB＝·＝，
点M在椭圆C上，则＋y02＝1，
即y02＝1－＝－(x02－4)，故kMA·kMB＝＝－，直线MA，MB的斜率之积为定值．
②解法一：设P(4，y1)，Q(4，y2)，则kMA＝kPA＝，kMB＝kBQ＝，由①得·＝－，即y1y2＝－3，当y1>0，y2<0时，|PQ|＝|y1－y2|≥2＝2，当且仅当y1＝，y2＝－时等号成立，同理可得，当y1<0，y2>0时，当且仅当y1＝－，y2＝时，|PQ|有最小值2.
解法二：设直线MA的斜率为k，直线MA的方程为y＝k(x＋2)，从而P(4,6k)，由①知直线MB的斜率为－，直线MB的方程为y＝－(x－2)，故得Q，故|PQ|＝|6k＋|≥2，当且仅当k＝±时等号成立．
