【数学】2020届一轮复习（理）江苏专版10-4直接证明与间接证明学案

【数学】2020届一轮复习（理）江苏专版10-4直接证明与间接证明学案

第四节直接证明与间接证明 ‎1．直接证明 直接证明中最基本的两种证明方法是综合法和分析法．‎ ‎(1)综合法：从已知的条件出发，以已知的定义、公理、定理为依据，逐步下推，直到推出要证明的结论为止．‎ ‎(2)分析法：从问题的结论出发，追溯导致结论成立的条件，逐步上溯，直到使结论成立的条件和已知条件或已知事实吻合为止．‎ ‎(3)综合法与分析法的推证过程如下：‎ 综合法——⇒…⇒…⇒；‎ 分析法——⇐…⇐…⇐.‎ ‎2．间接证明 反证法：一般地，假设原命题不成立，经过正确的推理，最后得出矛盾，因此说明假设错误，从而证明了原命题成立，这样的证明方法叫做反证法．‎ ‎[小题体验]‎ ‎1．判断下列结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”)‎ ‎(1)综合法是直接证明，分析法是间接证明．(　　)‎ ‎(2)分析法是从要证明的结论出发，逐步寻找使结论成立的充要条件．(　　)‎ ‎(3)用反证法证明结论“a＞b”时，应假设“a≤b”．(　　)‎ ‎(4)反证法是指将结论和条件同时否定，推出矛盾．(　　)‎ 答案：(1)×　(2)×　(3)√　(4)×‎ ‎2．设a＝lg 2＋lg 5，b＝ex(x＜0)，则a与b的大小关系为________．‎ 答案：a＞b ‎3．下列条件：①ab＞0，②ab＜0，③a＞0，b＞0，④a＜0，b＜0，其中能使＋≥2成立的条件的个数是________．‎ 解析：要使＋≥2成立，‎ 则＞0，即a与b同号，‎ 故①③④均能使＋≥2成立．‎ 答案：3‎ ‎1．用分析法证明数学问题时，要注意书写格式的规范性，常常用“要证(欲证)……”“即要证……”“就要证……”等分析到一个明显成立的结论P，再说明所要证明的数学问题成立．‎ ‎2．利用反证法证明数学问题时，没有用假设命题推理而推出矛盾结果，其推理过程是错误的．‎ ‎[小题纠偏]‎ ‎1.－2与－的大小关系是________．‎ 解析：假设－2＞－，由分析法可得，要证－2＞－，只需证＋＞＋2，即证13＋2＞13＋4，即＞2.因为42＞40，所以－2＞－成立．‎ 答案：－2＞－ ‎2．(2019·南通调研)用反证法证明命题：“若(a－1)(b－1)·(c－1)＞0，则a，b，c中至少有一个大于1”时，要做的假设是“假设a，b，c________”．‎ 答案：都不大于1‎ 　 ‎[题组练透]‎ ‎1．(2019·南通模拟)已知m＞0，a，b∈R，求证：2≤.‎ 证明：∵m＞0，∴1＋m＞0，‎ ‎∴要证2≤，‎ 即证(a＋mb)2≤(1＋m)(a2＋mb2)，‎ 即证m(a2－2ab＋b2)≥0，‎ 即证(a－b)2≥0，‎ 而(a－b)2≥0显然成立，‎ 故2≤.‎ ‎2．(易错题)已知△ABC的三个内角A，B，C成等差数列，A，B，C的对边分别为a，b，c.‎ 求证：＋＝.‎ 证明：要证＋＝，‎ 即证＋＝3，‎ 也就是＋＝1，‎ 只需证c(b＋c)＋a(a＋b)＝(a＋b)(b＋c)，‎ 需证c2＋a2＝ac＋b2，‎ 又△ABC三内角A，B，C成等差数列，故B＝60°，‎ 由余弦定理，得 b2＝c2＋a2－2accos 60°，‎ 即b2＝c2＋a2－ac，故c2＋a2＝ac＋b2成立．‎ 于是原等式成立．‎ ‎[谨记通法]‎ ‎1．利用分析法证明问题的思路 分析法的证明思路：先从结论入手，由此逐步推出保证此结论成立的充分条件，而当这些判断恰恰都是已证的命题(定义、公理、定理、法则、公式等)或要证命题的已知条件时命题得证．‎ ‎2．分析法证明问题的适用范围 当已知条件与结论之间的联系不够明显、直接，或证明过程中所需用的知识不太明确、具体时，往往采用分析法，特别是含有根号、绝对值的等式或不等式，常考虑用分析法．‎ 　 ‎[典例引领]‎ ‎　(2019·徐州检测)设a，b是非负实数，求证：a3＋b3≥(a2＋b2)．‎ 证明：因为a3＋b3－(a2＋b2)＝a2(－)＋b2·(－)＝(－)[()5－()5]，‎ 当a≥b时，≥，从而()5≥()5，‎ 得(－)[()5－()5]≥0；‎ 当a＜b时，＜，从而()5＜()5，‎ 得(－)[()5－()5]＞0.‎ 所以a3＋b3≥(a2＋b2)．‎ ‎[由题悟法]‎ 综合法证明问题的思路 ‎(1)分析条件选择方向 分析题目的已知条件及已知与结论之间的联系，选择相关的定理、公式等，确定恰当的解题方法 ‎(2)转化条件组织过程 把已知条件转化成解题所需要的语言，主要是文字、符号、图形三种语言之间的转化 ‎(3)适当调整回顾反思 回顾解题过程，可对部分步骤进行调整，并对一些语言进行适当的修饰，反思总结解题方法的选取 ‎[即时应用]‎ 在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知sin Asin B＋sin Bsin C＋cos 2B＝1.‎ ‎(1)求证：a，b，c成等差数列．‎ ‎(2)若C＝，求证5a＝3b.‎ 证明：(1)由已知得sin Asin B＋sin Bsin C＝2sin2B，‎ 因为sin B≠0，所以sin A＋sin C＝2sin B，‎ 由正弦定理，有a＋c＝2b，即a，b，c成等差数列．‎ ‎(2)由C＝，c＝2b－a及余弦定理得 ‎(2b－a)2＝a2＋b2＋ab，即有5ab－3b2＝0，‎ 所以＝，即5a＝3b.‎ 　 ‎[典例引领]‎ 设a＞0，b＞0，且a＋b＝＋.证明：‎ ‎(1)a＋b≥2；‎ ‎(2)a2＋a＜2与b2＋b＜2不可能同时成立．‎ 证明：由a＋b＝＋＝，a＞0，b＞0，‎ 得ab＝1.‎ ‎(1)由基本不等式及ab＝1，‎ 有a＋b≥2＝2，即a＋b≥2.当且仅当a＝b时取等号．‎ ‎(2)假设a2＋a＜2与b2＋b＜2同时成立，‎ 则由a2＋a＜2及a＞0，得0＜a＜1；‎ 同理，0＜b＜1，从而ab＜1，这与ab＝1矛盾．‎ 故a2＋a＜2与b2＋b＜2不可能同时成立．‎ ‎[由题悟法]‎ 反证法证明问题的3步骤 ‎(1)反设：假定所要证的结论不成立，而设结论的反面(否定命题)成立；(否定结论)‎ ‎(2)归谬：将“反设”作为条件，由此出发经过正确的推理，导出矛盾——与已知条件、已知的定义、公理、定理及明显的事实矛盾或自相矛盾；(推导矛盾)‎ ‎(3)立论：因为推理正确，所以产生矛盾的原因在于“反设”的谬误．既然原命题结论的反面不成立，从而肯定了原命题成立．(命题成立)‎ ‎[即时应用]‎ 等差数列{an}的前n项和为Sn，a1＝1＋，S3＝9＋3.‎ ‎(1)求数列{an}的通项an与前n项和Sn.‎ ‎(2)设bn＝(n∈N*)，求证：数列{bn}中任意不同的三项都不可能成为等比数列．‎ 解：(1)设等差数列{an}的公差为d.‎ 由已知得 所以d＝2，故an＝2n－1＋，Sn＝n(n＋)．‎ ‎(2)证明：由(1)得bn＝＝n＋，‎ 假设数列{bn}中存在三项bp，bq，br(p，q，r∈N*，且互不相等)成等比数列，则b＝bpbr.‎ 即(q＋)2＝(p＋)(r＋)，‎ 所以(q2－pr)＋(2q－p－r)＝0，‎ 因为p，q，r∈N*，‎ 所以 所以2＝pr，(p－r)2＝0，‎ 所以p＝r，与p≠r矛盾，‎ 所以数列{bn}中任意不同的三项都不可能成等比数列．‎ 一保高考，全练题型做到高考达标 ‎1．(2019·海门中学检测)用反证法证明命题“若a2＋b2＝0，则a，b全为0”，其反设为“________”．‎ 解析：命题“若a2＋b2＝0，则a，b全为0”，‎ 其题设为“a2＋b2＝0”，结论是“a，b全为0”，‎ 用反证法证明该命题时，其反设为“a，b不全为0”．‎ 答案：a，b不全为0‎ ‎2．(2018·徐州模拟)若P＝＋，Q＝＋(a≥0)，则P，Q 的大小关系是________．‎ 解析：因为P2＝2a＋7＋2·＝2a＋7＋2，Q2＝2a＋7＋2·＝2a＋7＋2，所以P2＜Q2，所以P＜Q.‎ 答案：P＜Q ‎3．(2018·江阴调研)设a，b是两个实数，给出下列条件：①a＋b＞2；②a2＋b2＞2.其中能推出：“a，b中至少有一个大于1”的条件的是________(填序号)．‎ 解析：①中，假设a≤1，b≤1，则a＋b≤2与已知条件a＋b＞2矛盾，故假设不成立，所以a，b中至少有一个大于1，①正确；②中，若a＝－2，b＝－3，则a2＋b2＞2成立，故②不能推出：“a，b中至少有一个大于1”．‎ 答案：①‎ ‎4．设f(x)是定义在R上的奇函数，且当x≥0时，f(x)单调递减，若x1＋x2＞0，则f(x1)＋f(x2)________0(填“＞”“＜”或“＝”)．‎ 解析：由f(x)是定义在R上的奇函数，‎ 且当x≥0时，f(x)单调递减，‎ 可知f(x)是R上的单调递减函数，‎ 由x1＋x2＞0，可知x1＞－x2，f(x1)＜f(－x2)＝－f(x2)，‎ 则f(x1)＋f(x2)＜0.‎ 答案：＜‎ ‎5．(2019·吕四中学检测)若0＜a＜1,0＜b＜1，且a≠b，则在a＋b,2，a2＋b2和2ab中最大的是________．‎ 解析：因为0＜a＜1,0＜b＜1，且a≠b，所以a＋b＞2，a2＋b2＞2ab，a＋b－(a2＋b2)＝a(1－a)＋b(1－b)＞0，所以a＋b最大．‎ 答案：a＋b ‎6．如果a＋b＞a＋b，则a，b应满足的条件是__________．‎ 解析：a＋b＞a＋b，即(－)2(＋)＞0，需满足a≥0，b≥0且a≠b.‎ 答案：a≥0，b≥0且a≠b ‎7．已知点An(n，an)为函数y＝图象上的点，Bn(n，bn)为函数y＝x图象上的点，其中n∈N*，设cn＝an－bn，则cn与cn＋1的大小关系为________．‎ 解析：由条件得cn＝an－bn＝－n＝，‎ 所以cn随n的增大而减小，所以cn＋1＜cn.‎ 答案：cn＋1＜cn ‎8．已知x，y，z是互不相等的正数，且x＋y＋z＝1，求证：＞8.‎ 证明：因为x，y，z是互不相等的正数，且x＋y＋z＝1，‎ 所以－1＝＝＞，①‎ －1＝＝＞， ②‎ －1＝＝＞， ③‎ 又x，y，z为正数，由①×②×③，‎ 得＞8.‎ ‎9．已知等差数列{an}的前n项和为Sn，a3＝5，S8＝64.‎ ‎(1)求数列{an}的通项公式；‎ ‎(2)求证：＋＞(n≥2，n∈N*)．‎ 解：(1)设等差数列{an}的公差为d，‎ 则解得a1＝1，d＝2.‎ 故所求的通项公式为an＝2n－1.‎ ‎(2)证明：由(1)可知Sn＝n2，‎ 要证原不等式成立，只需证＋＞，‎ 即证[(n＋1)2＋(n－1)2]n2＞2(n2－1)2，‎ 只需证(n2＋1)n2＞(n2－1)2，‎ 即证3n2＞1.‎ 而3n2＞1在n≥2时恒成立，‎ 从而不等式＋＞(n≥2，n∈N*)恒成立．‎ ‎10.如图，在四棱锥PABCD中，PC⊥底面ABCD，ABCD是直角梯形，AB⊥AD，AB∥CD，AB＝2AD＝2CD＝2，E是PB的中点．‎ ‎(1)求证：EC∥平面PAD；‎ ‎(2)求证：平面EAC⊥平面PBC.‎ 证明：(1)作线段AB的中点F，连结EF，CF(图略)，则AF＝CD，AF∥CD，‎ 所以四边形ADCF是平行四边形，‎ 则CF∥AD.‎ 又EF∥AP，且CF∩EF＝F，所以平面CFE∥平面PAD.‎ 又EC⊂平面CEF，所以EC∥平面PAD.‎ ‎(2)因为PC⊥底面ABCD，所以PC⊥AC.‎ 因为四边形ABCD是直角梯形，‎ 且AB＝2AD＝2CD＝2，‎ 所以AC＝，BC＝.‎ 所以AB2＝AC2＋BC2，所以AC⊥BC，‎ 因为PC∩BC＝C，所以AC⊥平面PBC，‎ 因为AC⊂平面EAC，所以平面EAC⊥平面PBC.‎ 二上台阶，自主选做志在冲刺名校 ‎1．(2019·南通调研)已知数列{an}各项均为正数，且不是常数列．‎ ‎(1)若数列{an}是等差数列，求证：＋＜2；‎ ‎(2)若数列{an}是等比数列，求证：1－an,1－an＋1,1－an＋2不可能成等比数列．‎ 证明：(1)要证＋＜2，‎ 只需证a1＋a3＋2＜4a2，‎ ‎∵数列{an}是等差数列，‎ ‎∴a1＋a3＝2a2，‎ ‎∴只需证 ＜a2，‎ 即证a1a3＜a＝2，‎ ‎∵数列{an}各项均为正数，‎ ‎∴a1a3＜a＝2成立，‎ ‎∴＋＜2.‎ ‎(2)假设1－an,1－an＋1,1－an＋2成等比数列，‎ 则(1－an＋1)2＝(1－an)(1－an＋2)，‎ 即1－2an＋1＋a＝1＋anan＋2－(an＋an＋2)，‎ ‎∵数列{an}是等比数列，‎ ‎∴a＝anan＋2，‎ ‎∴2an＋1＝an＋an＋2，‎ ‎∴数列{an}是等差数列，‎ ‎∴数列{an}是常数列，这与已知相矛盾，‎ 故假设不成立，‎ ‎∴1－an,1－an＋1,1－an＋2不可能成等比数列．‎ ‎2．若无穷数列{an}满足：只要ap＝aq(p，q∈N*)，必有ap＋1＝aq＋1，则称{an}具有性质P.‎ ‎(1)若{an}具有性质P，且a1＝1，a2＝2，a4＝3，a5＝2，a6＋a7＋a8＝21，求a3；‎ ‎(2)若无穷数列{bn}是等差数列，无穷数列{cn}是公比为正数的等比数列，b1＝c5＝1，b5＝‎ c1＝81，an＝bn＋cn，判断{an}是否具有性质P，并说明理由；‎ ‎(3)设{bn}是无穷数列，已知an＋1＝bn＋sin an(n∈N*)，求证：“对任意a1，{an}都具有性质P”的充要条件为“{bn}是常数列”．‎ 解：(1)因为a5＝a2，所以a6＝a3，a7＝a4＝3，a8＝a5＝2，‎ 于是a6＋a7＋a8＝a3＋3＋2.‎ 又因为a6＋a7＋a8＝21，所以a3＝16.‎ ‎(2)由题意，得数列{bn}的公差为20，{cn}的公比为，‎ 所以bn＝1＋20(n－1)＝20n－19，‎ cn＝81·n－1＝35－n，‎ an＝bn＋cn＝20n－19＋35－n.‎ a1＝a5＝82，但a2＝48，a6＝，a2≠a6，‎ 所以{an}不具有性质P.‎ ‎(3)证明：充分性：‎ 当{bn}为常数列时，an＋1＝b1＋sin an.‎ 对任意给定的a1，若ap＝aq，则b1＋sin ap＝b1＋sin aq，即ap＋1＝aq＋1，充分性得证．‎ 必要性：‎ 假设{bn}不是常数列，则存在k∈N*，使得b1＝b2＝…＝bk＝b，而bk＋1≠b.‎ 下面证明存在满足an＋1＝bn＋sin an的数列{an}，使得a1＝a2＝…＝ak＋1，但ak＋2≠ak＋1.‎ 设f(x)＝x－sin x－b，取m∈N*，使得mπ＞|b|，‎ 则f(mπ)＝mπ－b＞0，f(－mπ)＝－mπ－b＜0，‎ 故存在c使得f(c)＝0.‎ 取a1＝c，因为an＋1＝b＋sin an(1≤n≤k)，‎ 所以a2＝b＋sin c＝c＝a1，‎ 依此类推，得a1＝a2＝…＝ak＋1＝c.‎ 但ak＋2＝bk＋1＋sin ak＋1＝bk＋1＋sin c≠b＋sin c，‎ 即ak＋2≠ak＋1.‎ 所以{an}不具有性质P，矛盾．‎ 必要性得证．‎ 综上，“对任意a1，{an}都具有性质P”的充要条件为“{bn}是常数列”．‎