河南省十所名校2019—2020学年高三毕业班阶段性测试（六）数学（理科）

河南省十所名校2019—2020学年高三毕业班阶段性测试（六）数学（理科）

‎ ‎ 河南省十所名校2019—2020学年高中毕业班阶段性测试（六）‎ 理科数学 考生注意：‎ ‎1. 答题前，考生务必将自己的姓名、考生号填写在试卷和答题卡上，并将考生号条形码粘贴在答题卡上的指定位置.‎ ‎2. 回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上.写在本试卷上无效.‎ ‎3. 考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回.‎ 一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.‎ ‎1. 已知集合，，则图中阴影部分表示的集合的元素个数为（ ）‎ A. 4 B. 3 C. 2 D. 1‎ ‎2. 在复平面内，复数的共轭复数对应的向量为（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎3. 若双曲线与双曲线：有共同的渐近线，且过点，则双曲线的方程为（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎4. 记等差数列的前项和为，且，，则（ ）‎ A. 9 B. 11 C. 19 D. 21‎ ‎5. 已知正方体中，，分别为，的中点，点，分别在线段，‎ ‎ ‎ 上，且，则在，，这三点中任取两点确定的直线中，与平面平行的条数为（ ）‎ A. 0 B. 1 C. 2 D. 3‎ ‎6. 2020年2月，受新冠肺炎的影响，医卫市场上出现了“一罩难求”的现象.在政府部门的牵头下，部分工厂转业生产口罩.已知某工厂生产口罩的质量指标，单位为.该厂每天生产的质量在的口罩数量为818600件，则可以估计该厂每天生产的质量在以上的口罩数量为（ ）‎ A. 158700 B. 22750 C. 2700 D. 1350‎ 参考数据：若，则，，.‎ ‎7. 已知定义域为的函数的图象关于原点对称，且，当时，，则（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎8. 2020年2月，全国掀起了“停课不停学”的热潮，各地教师通过网络直播、微课推送等多种方式来指导学生线上学习.为了调查学生对网络课程的热爱程度，研究人员随机调查了相同数量的男、女学生，发现有的男生喜欢网络课程，有的女生不喜欢网络课程，且有的把握但没有的把握认为是否喜欢网络课程与性别有关，则被调查的男、女学生总数量可能为（ ）‎ A. 130 B. 190 C. 240 D. 250‎ 附：，其中.‎ ‎0.1‎ ‎0.05‎ ‎0.01‎ ‎0.001‎ ‎2.706‎ ‎3.841‎ ‎6.635‎ ‎10.828‎ ‎9. 已知函数满足对任意，，则函数在上的零点个数不可能为（ ）‎ A. 5 B. 9 C. 21 D. 23‎ ‎ ‎ ‎10. 已知，，，则（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎11. 已知中，点在线段上，，且.若，则（ ）‎ A. B. C. 27 D. 18‎ ‎12. 已知直三棱柱中，，，若点在线段上运动，则四棱锥外接球半径的取值范围为（ ）‎ A. B. ‎ C. D. ‎ 二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.‎ ‎13. 已知实数，满足，则的最大值为______.‎ ‎14. 运行如图所示的程序框图，则输出的的值为______.‎ ‎15. 已知抛物线：的焦点到准线的距离为4，过点和的直线与抛物线交于，两点.若，则______.‎ ‎ ‎ ‎16. 已知数列满足，，记，则______，使得取得最大值的的值为______.‎ 三、解答题：共70分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.第17~21题为必考题，每个试题考生都必须作答.第22，23题为选考题，考生根据要求作答.‎ ‎（一）必考题：共60分.‎ ‎17. 已知中，角，，所对的边分别为，，，且，，（为的面积）.‎ ‎（Ⅰ）求的值；‎ ‎（Ⅱ）已知点在线段上，求的最小值.‎ ‎18. 已知四棱锥中，四边形是菱形，且，为等边三角形，平面平面.‎ ‎（Ⅰ）求证：；‎ ‎（Ⅱ）若点是线段上靠近的三等分点，求直线与平面所成角的正弦值.‎ ‎19. 已知椭圆：过点，顺次连接椭圆的4个顶点，得到的四边形的面积为4.‎ ‎（Ⅰ）求椭圆的方程；‎ ‎（Ⅱ）已知直线：与椭圆交于，两点，若为锐角（为坐标原点），求实数的取值范围.‎ ‎20. 某24小时便利店计划购进一款盒装寿司（保质期为2天），已知该款寿司的进价为10元/盒，售价为15元/盒，如果2天之内无法销售，就当做垃圾处理，且2天内的销售情况相互独立.若该便利店每两天购进一批新做寿司，连续200天该款寿司的日销售情况如下表所示：‎ 日销售量/盒 ‎25‎ ‎26‎ ‎27‎ ‎28‎ ‎29‎ ‎ ‎ 天数 ‎40‎ ‎10‎ ‎80‎ ‎50‎ ‎20‎ ‎（Ⅰ）求便利店该款寿司这200天的日销售量的方差；‎ ‎（Ⅱ）若表示该便利店某日的寿司进货量，用这200天的日销售量频率代替对应日需求量的概率，以连续两天的销售总利润为决策依据，判断和哪一种进货量更加合适，并说明理由.‎ 参考数据：，.‎ ‎21. 已知函数.‎ ‎（Ⅰ）求函数在上的最值；‎ ‎（Ⅱ）若函数在上有两个零点，求实数的取值范围.‎ ‎（二）选考题：共10分.请考生在第22，23题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分.‎ ‎22. [选修4-4：坐标系与参数方程]‎ 在平面直角坐标系中，曲线的参数方程为（为参数），曲线的参数方程为（为参数）.以坐标原点为极点，轴的正半轴为极轴建立极坐标系，已知点的极坐标为，直线：与交于点，其中.‎ ‎（Ⅰ）求曲线的极坐标方程以及曲线的普通方程；‎ ‎（Ⅱ）过点的直线与交于，两点，若，且，求的值.‎ ‎23. [选修4-5：不等式选讲]‎ 已知正数，，满足.‎ ‎（Ⅰ）比较与的大小关系，并说明理由；‎ ‎（Ⅱ）若，求的最大值.‎ ‎2019—2020学年高中毕业班阶段性测试（六）‎ 理科数学·答案 一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分.‎ ‎ ‎ ‎1-5：BADCB 6-10：DABDA 11-12：CC 二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.‎ ‎13. 11 14. 1011 15. 9 16. 25；10‎ 三、解答题：共70分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.‎ ‎17.【命题意图】本题考查正弦定理、余弦定理、三角形的面积公式，考查数学运算、逻辑推理的核心素养.‎ ‎【解析】（Ⅰ）依题意，，即.‎ 易知，所以.‎ 因为，故.‎ 由正弦定理，得，解得.‎ 因为，故，则.‎ 故.‎ ‎（Ⅱ）在中，由余弦定理，得，‎ 解得或（舍去）.‎ 在中，由正弦定理，得，‎ 由（Ⅰ）可知，，为锐角.‎ 所以当时，点在线段上，取得最小值.‎ 故的最小值为.‎ ‎18.【命题意图】本题考查空间线面的位置关系、向量法求空间角，考在数学运算、直观想象、逻辑推理的核心素养.‎ ‎【解析】（Ⅰ）如图，取的中点，连接，，.‎ 因为为等边三角形，故.‎ ‎ ‎ 而四边形是菱形，且，故为等边三角形，‎ 故.‎ 而，平面，平面，故平面.‎ 因为平面，故.‎ ‎（Ⅱ）因为平面平面，平面平面，，平面，故平面.‎ 又因为，所以，，两两垂直，故以点为坐标原点，，，所在直线分别为轴、轴、轴建立如图所示的空间直角坐标系.‎ 不妨设，则，，，‎ 所以，.‎ 设平面的一个法向量为.由得.‎ 所以可取.‎ 因为，故.‎ 而，则.‎ 设直线与平面所成的角为，则.‎ ‎19.【命题意图】本题考查椭圆的方程、直线与椭圆的位置关系，考查数学运算、逻辑推理的核心素养.‎ ‎【解析】（Ⅰ）依题意，，‎ ‎ ‎ 所以，，故椭圆的方程为.‎ ‎（Ⅱ）联立，消去，整理得.‎ 由，得或.‎ 设，，所以，.‎ 所以.‎ 因为为锐角，所以，‎ 所以，即.‎ 所以.‎ 综上所述，实数的取值范围为.‎ ‎20.【命题意图】本题考查样本的数字特征、相互独立事件的概率、离散型随机变量的分布列以及数学期望，考查数学运算、数学建模的核心素养.‎ ‎【解析】（Ⅰ）日销售量为25，26，27，28，29时，对应的频率分别为0.2，0.05，0.4，0.25，0.1，‎ 则，‎ 故.‎ ‎（Ⅱ）依题意，连续两天需求量的可能情况如下表：‎ 两天需求量/盒 ‎50‎ ‎51‎ ‎52‎ ‎53‎ ‎54‎ ‎55‎ ‎56‎ ‎57‎ ‎58‎ 概率 ‎0.04‎ ‎0.02‎ ‎0.1625‎ ‎0.14‎ ‎0.225‎ ‎0.21‎ ‎0.1425‎ ‎0.05‎ ‎0.01‎ 设当和时连续两天的销售总利润分别为，元.‎ 当时，连续两天的销售总利润的分布列如下所示：‎ ‎ ‎ ‎260‎ ‎245‎ ‎230‎ ‎0.94‎ ‎0.02‎ ‎0.04‎ 故.‎ 当时，连续两天的销售总利润的分布列如下所示：‎ ‎265‎ ‎250‎ ‎235‎ ‎220‎ ‎0.7775‎ ‎0.1625‎ ‎0.02‎ ‎0.04‎ 故.‎ 因为，故更加合适.‎ ‎21.【命题意图】本题考查利用导数研究函数的性质，考查数学运算、推理论证的核心素养.‎ ‎【解析】（Ⅰ）依题意，，‎ 故函数在上单调递增，‎ 故函数的最小值为，最大值为.‎ ‎（Ⅱ）因为，故.‎ ‎①当时，，在上为增函数，故函数在上不可能有两个零点.‎ ‎②当时，易知在上为增函数，‎ ‎，.‎ ‎（i）当时，，时，，时，，‎ 故在上为减函数，在上为增函数，，‎ 故在上有且仅有一个零点.‎ ‎（ii）当时，，，‎ 故，使得.‎ 所以在上，，在上，，‎ 所以在上为减函数，在上为增函数.‎ 所以，‎ ‎ ‎ 又，‎ 根据零点存在性定理，可知在上有且只有一个零点.‎ 又在上有且只有一个零点0，‎ 故当时，在上有两个零点.‎ ‎（iii）当时，，，‎ 所以，使得.‎ 所以在上，，在上，，‎ 所以在上为减函数，在上为增函数.‎ 因为在上有且只有一个零点0，‎ 若在上有两个零点，则在上有且只有一个零点.‎ 又，所以，‎ 即，故.‎ 即当时，在上有两个零点.‎ 综上所述，实数的取值范围为.‎ ‎22.【命题意图】本题考查三种方程的转化、直线参数方程的应用，考查逻辑推理的核心素养.‎ ‎【解析】（Ⅰ）依题意，得曲线的普通方程为，‎ 即.‎ 由，，得曲线的极坐标方程为，‎ 即曲线的极坐标方程为.‎ 由曲线的参数方程（为参数），得，‎ 又，‎ ‎ ‎ 故曲线的普通方程为.‎ ‎（Ⅱ）因为的极坐标为，故的直角坐标为.‎ 设：（为参数），.则直线：（为参数），‎ 联立：与的方程，得.‎ 联立：与的方程，得.‎ 设，，对应的参数分别为，，，则 ‎，.‎ 由，且，得，‎ 即.‎ 又，故.‎ ‎23.【命题意图】本题考查基本不等式、绝对值不等式的性质，考查逻辑推理的核心素养.‎ ‎【解析】（Ⅰ）因为，而，‎ 即，当且仅当时等号成立.‎ 所以.‎ 而，‎ 所以.‎ ‎（Ⅱ）因为，故，即.‎ 故，当且仅当时等号成立.‎ 因为，故，则，则.‎ ‎ ‎ 所以的最大值是.‎