2013-2017高考数学分类汇编-第十章第1节 椭圆及其性质

2013-2017高考数学分类汇编-第十章第1节 椭圆及其性质

第十章 圆锥曲线 第一节 椭圆及其性质 题型115 椭圆的定义与标准方程 ‎2013年 ‎1．（2013广东文9）已知中心在原点的椭圆的右焦点为，离心率等于，则的方程是 A． B． C． D．‎ ‎2014年 ‎1.（2014大纲文9）已知椭圆C：的左、右焦点为，，离心率为，过的直线交C于A，B两点，若的周长为，则C的方程为（ ）.‎ A． B． C． D．‎ ‎2.（2014辽宁文15）已知椭圆：，点与的焦点不重合，若关于的焦点的对称点分别为，，线段的中点在上，则 .‎ ‎3.（2014辽宁文20）如图所示，圆的切线与轴正半轴，‎ 轴正半轴围成一个三角形，当该三角形面积最小时，切点为.‎ ‎（1）求点的坐标；‎ ‎（2）焦点在轴上的椭圆过点，且与直线交于，两点，若的面积为，求的标准方程.‎ ‎4.（2014天津文18）设椭圆的左、右焦点分别为，右顶点为，上顶点为.已知.‎ ‎（1）求椭圆的离心率；‎ ‎（2）设为椭圆上异于其顶点的一点，以线段为直径的圆经过点，经过点的直线与该圆相切于点，.求椭圆的方程.‎ ‎5. （2014新课标Ⅱ文20） 设分别是椭圆C：的左、右焦点，是上一点且与轴垂直.直线与的另一个交点为.‎ ‎（1）若直线的斜率为，求的离心率；‎ ‎（2）若直线在轴上的截距为，且，求.‎ ‎2015年 ‎1.（2015广东文8）已知椭圆（）的左焦点为，则（ ）.‎ A． B． C． D．‎ ‎1.解析 由左焦点为，可得. 由，即，得.‎ 又，所以.故选B.‎ 评注 本题考查椭圆的简单几何性质．‎ ‎2016年 ‎1.（2016山东文21（1））已知椭圆的长轴长为，焦距为，求椭圆的方程. ‎ ‎1. 解析 设椭圆的半焦距为，由题意知，所以，‎ 所以椭圆的方程为.‎ ‎2.（2016四川文20（1））已知椭圆：的一个焦点与短轴的两个端点是正三角形的三个顶点，点在椭圆上，求椭圆的方程.‎ ‎2. 解析 由已知得，‎ 又椭圆过点，故，解得 所以椭圆的方程是 ‎3.（2016天津文19（1））设椭圆（）的右焦点为，右顶点为，已知，其中 为原点，为椭圆的离心率，求椭圆的方程.‎ ‎3.解析 （1）由，即，可得.‎ 又，所以，因此，所以椭圆的方程为 ‎2017年 ‎1.（2017全国1文12）设，是椭圆长轴的两个端点，若上存在点满足，则的取值范围是（ ）.‎ A. B. C. D.‎ ‎1.解析 因为在上存在点，满足，所以.当点位于短轴端点时，取得最大值.‎ ① 当时，如图1所示，有，则，所以 ‎，解得；‎ ‎ 图1 图2‎ ① 当时，如图2示，有，则，所以 ‎，解得.‎ 综上可得，的取值范围是.故选A.‎ 评注：先研究“椭圆，是长轴两端点，位于短轴端点时，最大”这一结论.‎ ‎ 图3‎ 如图3所示，因为，‎ 所以.‎ 设，因为（中点弦的一个结论），所以（当且仅当，即时等号成立，此时位于短轴端点处）.‎ ‎2.（2017山东卷文21）在平面直角坐标系中，椭圆的离心率为，椭圆截直线所得线段的长度为.‎ ‎（1）求椭圆的方程；‎ ‎（2）动直线交椭圆于，两点，交轴于点.点是点关于的对称点，圆的半径为. 设为的中点，，与圆分别相切于点，，求的最小值.‎ ‎2.解析 （1） 由椭圆的离心率为 ，得，‎ 又当时，，得，所以，.‎ 因此椭圆方程为.‎ ‎(2) 设，，联立方程 ，‎ 得，由，得 .‎ 且，因此，所以，‎ 又，所以，‎ 因为，所以.‎ 令，故.所以.‎ 令 ，所以.‎ 当 时，，从而在上单调递增.‎ 因此，等号当且仅当时成立，此时，所以 ，.‎ 设，则 ，所以的最小值为.‎ 从而的最小值为，此时直线的斜率为.‎ 综上所述，当，时，取得最小值为.‎ 题型116 椭圆离心率的值及取值范围 ‎2013年 1. ‎（2013四川文9）从椭圆上一点向轴做垂线，垂足恰为左焦 点，是椭圆与轴正半轴的交点，是椭圆与轴正半轴的交点，且（是坐标原点），则该椭圆的离心率是（ ）.‎ A. B. C. D. ‎ ‎2.（2013江苏12）在平面直角坐标系中，椭圆的标准方程为，‎ 右焦点为，右准线为，短轴的一个端点为，设原点到直线的距离为，到的 距离为，若，则椭圆的离心率为 .‎ 2. ‎(2013福建文15）椭圆的左、右焦点分别为 ‎ 若直线 与椭圆的一个交点满足则该椭圆的离心率等于 .‎ ‎3.（2014北京文19）已知椭圆C：.‎ ‎（1）求椭圆C的离心率；‎ ‎（2）设O为原点，若点A在直线上，点B在椭圆C上，且，求线段AB长度的最小值.‎ F1‎ F2‎ O x y B C A ‎4.（2014江苏17）如图所示，在平面直角坐标系中，，，分别是椭圆的左、右焦点，顶点的坐标为，连接并延长交椭圆于点，过点作轴的垂线交椭圆于另一点，连接．‎ ‎（1）若点的坐标为，且，求椭圆的方程；‎ ‎（2）若，求椭圆离心率的值．‎ ‎2014年 ‎1.（2014江西文14）设椭圆的左、右焦点为，过作轴的垂线与相交于两点，与轴相交于点，若，则椭圆的离心率等于 .‎ ‎2. （2014安徽文21）设，分别是椭圆：的左、右焦点，过点的直线交椭圆于两点，.‎ ‎（1）若的周长为16，求；‎ ‎（2）若，求椭圆的离心率.‎ ‎2015年 ‎1.（2015福建文11）已知椭圆：的右焦点为．短轴的一个端 点为，直线交椭圆于两点．若，点到直线的 距离不小于，则椭圆的离心率的取值范围是（ ）.‎ A． B． C． D．‎ ‎1. 解析 设左焦点为，连接，，则四边形是平行四边形，故，‎ 所以，所以.设，则，故.‎ 所以，，，所以椭圆的离心率的取值范围为.‎ 故选A.‎ 评注 1. 椭圆的定义和简单几何性质；2. 点到直线距离公式．‎ ‎2.（2015浙江文15）椭圆（）的右焦点关于直线的 对称点在椭圆上，则椭圆的离心率是 ．‎ ‎2. 解析 解法一:设，则，所以，又，‎ 所以 ，所以，所以，‎ 不妨取，所以中点，代入，‎ 得，化简得或，所以.‎ 解法二:取左焦点，则：，所以原点到的距离.‎ 又到的距离，由题意知，，所以，所以.‎ ‎3.（2015重庆文21）如图所示，椭圆的左、右焦点分别为，，‎ 过的直线交椭圆于，两点，且.‎ ‎（1）若，，求椭圆的标准方程.‎ ‎（2）若，且，‎ 试确定椭圆离心率的取值范围.‎ ‎3. 解析 （1）由椭圆的定义，，故.‎ 设椭圆的半焦距为，由已知，‎ 因此，‎ 即，从而. 故所求椭圆的标准方程为.‎ ‎（2）由，，得.‎ 由椭圆的定义，，，‎ 进而.于是，‎ 解得，故.‎ 由勾股定理得，‎ 从而，‎ 两边除以，得.‎ 若记，则上式变为.‎ 由，并注意到关于的单调性，得，‎ 即.进而，即.‎ ‎2016年 ‎1.（2016全国乙文5）直线经过椭圆的一个顶点和一个焦点，若椭圆中心到的距离为其短轴长的，则该椭圆的离心率为（ ）.‎ A. B. C. D.‎ ‎1. B 解析 由等面积法可得，故，从而.故选B.‎ ‎2.（2016江苏10）如图所示，在平面直角坐标系中，是椭圆的右焦点，直线与椭圆交于两点，且，则该椭圆的离心率是 .‎ ‎2. 解析 由题意得，直线与椭圆方程联立，可得，‎ ‎.‎ 由，可得，，，‎ 则，由，可得，则.‎ ‎2017年 ‎1.（2017全国3文11）已知椭圆的左、右顶点分别为，，且以线段为直径的圆与直线相切，则的离心率为（ ）.‎ A． B． C． D．‎ ‎1.解析 因为直线与圆相切，即，整理得.令，则有，，，.故选A.‎ 评注 本题考查直线与圆的位置关系，点到直线的距离公式，以及圆锥曲线的离心率公式和圆的方程，考查的知识点比较多，但总的难度不大，属于跨板块的综合类问题，基础中偏上的学生一般都能搞定.‎ ‎2.（2017浙江卷2）椭圆的离心率是（ ）.‎ A. B. C. D. ‎ ‎2.解析 由椭圆方程可得，，所以，所以，，‎ ‎.故选B．‎ 题型117 椭圆的焦点三角形 ‎2014年 ‎1.（2014重庆文21）如图所示，设椭圆的左、右焦点分别为，点在椭圆上，，‎ ‎，的面积为.‎ （1） 求该椭圆的标准方程；‎ （2） 是否存在圆心在轴上的圆，使圆在轴的上方与椭圆有两个交点，且圆在这两个交点处的两条切线相互垂直并分别过不同的焦点？若存在，求出圆的方程，若不存在，请说明理由.‎