上海市向明中学2019-2020学年高二上学期10月月考数学试题

上海市向明中学2019-2020学年高二上学期10月月考数学试题

‎2019-2020年向明中学高二上10月月考 一.填空题 ‎1.线性方程组的增广矩阵为，则该线性方程组的解是________‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 由增广矩阵写出原二元线性方程组，根据方程解出，，即可得解.‎ ‎【详解】由二元线性方程组的增广矩阵为，‎ 可得到二元线性方程组的表达式，‎ 故答案为：‎ 点睛】本题的考点是二元一次方程组的矩阵形式，主要考查二元线性方程组的增广矩阵的定义，计算量小，属于较容易的题型．‎ ‎2.设，，，若，则________‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 由向量相等得，解方程即得解.‎ ‎【详解】因为，‎ 所以，‎ 所以，‎ 所以，‎ 所以.‎ 故.‎ 故答案为：‎ ‎【点睛】本题主要考查向量的坐标运算，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平.‎ ‎3.为非零向量，，，且，则四边形的形状是____‎ ‎【答案】等腰梯形 ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 先通过向量证明,再证明,即可判断四边形ABCD的形状.‎ ‎【详解】因为，，‎ 所以,‎ 所以，‎ 因为，‎ 所以AD=BC,‎ 所以四边形ABCD是等腰梯形.‎ 故答案为：等腰梯形 ‎【点睛】本题主要考查共线向量，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平.‎ ‎4.已知向量、满足，，，则与的夹角的大小为________‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 直接代向量的夹角公式即得与的夹角的大小.‎ ‎【详解】由题得与的夹角的余弦为，‎ 所以与夹角为.‎ 故答案为：‎ ‎【点睛】本题主要考查向量的夹角的求法，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平和计算能力.‎ ‎5.在等比数列中，已知，公比，且，，则_____‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 由题得，解方程即得的值.‎ ‎【详解】由题得，‎ 所以，‎ 所以，‎ 所以.‎ 故答案为：11‎ ‎【点睛】本题主要考查等比数列的性质和通项，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平.‎ ‎6.若，，则在方向上的投影是________‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 直接代在方向上的投影公式即得解.‎ ‎【详解】由题得在方向上的投影为.‎ 故答案为：-2‎ ‎【点睛】本题主要考查在方向上的投影的计算，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平.‎ ‎7.设数列（）的首项且项和为，已知向量，，满足，则该数列的各项和是________‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 由得，所以数列为等比数列，再利用等比数列各项的和公式求解.‎ ‎【详解】由得，‎ 所以，‎ 所以数列是一个公比为的等比数列，‎ 所以该数列的各项的和为.‎ 故答案为：‎ ‎【点睛】本题主要考查向量垂直的坐标表示，考查等比数列的性质的判定，考查等比数列各项的和，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平.‎ ‎8.已知数列满足，，且是递增数列，则实数的取值范围是________‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 由数列是递增数列得到且且，解不等式即得解.‎ ‎【详解】因为是递增数列，‎ 所以且且，‎ 所以，‎ 所以.‎ 故答案为：‎ ‎【点睛】本题主要考查数列的单调性和分段函数的单调性，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平.‎ ‎9.如图，正方形的边长为2，为中点，，为正方形的边上的一个动点，则的最大值为________‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 以点A为坐标原点，建立坐标系，对点M的位置分四种情况讨论，求出的最大值.‎ ‎【详解】‎ 如图所示，以点A为坐标原点，建立坐标系，则.所以.‎ ‎(1)当点M在边AB上时，设,则，‎ 所以，所以当时，的最大值为2；‎ ‎（2）当点M在边BC上时，设,则，‎ 所以，所以当时，的最大值为2；‎ ‎（3）当点M在边CD上时，设,则，‎ 所以，所以当时，的最大值为0；‎ ‎（4）当点M在边AD上时，设,则，‎ 所以，所以当时，的最大值为1.‎ 综上所述，的最大值为2.‎ 故答案为:2‎ ‎【点睛】本题主要考查平面向量的坐标表示和运算，考查数量积的坐标表示，考查函数的最值的求法，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平.‎ ‎10.设、、都是非零向量，其中任意两个都不平行，已知∥，∥，关于的方程的解________‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 根据，即可得出，存在实数，，使得，①②即可得出，从而可求出，这样即可得出，③④即可得出，代入即可得出，从而求出．‎ ‎【详解】，且、、都是非零向量，其中任意两个都不平行；‎ 根据共线向量基本定理得，存在实数，，使：；‎ ‎①②得：；‎ 根据平面向量基本定理得，，；‎ ‎③，④；‎ ‎③④得：；‎ ‎；‎ 由得：；‎ ‎；‎ ‎．‎ 故答案为：．‎ ‎【点睛】本题主要考查共线向量和平面向量基本定理，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平.‎ ‎11.设为单位向量，非零向量，若的夹角为，则的最大值等于 ．‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】‎ 试题分析：由题意，得，则 ‎，即，所以的最大值为.‎ 考点：1.平面向量的模长；2.二次函数的最值.‎ ‎12.定义域为，且对任意实数、都满足不等式的所有函数组成的集合记为，例如，试写出一个函数，使得数列极限，，则________‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 验证函数，满足条件即可．‎ ‎【详解】由题意知，函数，‎ 当时，‎ ‎，‎ 所以.‎ 当时，‎ ‎，‎ 所以 所以函数.‎ 且极限，‎ ‎．‎ 故答案为：．‎ ‎【点睛】本题主要考查了新定义的函数与极限的应用问题，也考查了分类讨论思想，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平.．‎ 二.选择题 ‎13.某人在超市一次性购买了20斤大米和10斤食用油，大米的价格是1.9元/斤，食用油的价格是15元/斤，则购买这两种商品的总花费可以用下列哪个算式计算得到（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】D ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 先计算出购买这两种商品的总花费，再计算矩阵比较即得解.‎ ‎【详解】由题得购买这两种商品的总花费为，‎ 又=，‎ 故选：D ‎【点睛】本题主要考查矩阵的计算，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平.‎ ‎14.已知（），则（ ）‎ A. B. ‎ C. D. ‎ ‎【答案】B ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 先计算出，再求得解.‎ ‎【详解】由题得，‎ ‎，‎ 所以.‎ 故选：B ‎【点睛】本题主要考查数学归纳法，意在考查学生对该知识理解掌握水平.‎ ‎15.给出下列结论：‎ ‎①若，，则；‎ ‎②、为不共线的非零向量，则；‎ ‎③若，则；‎ ‎④若非零向量、满足，则与垂直 其中真命题的个数为（ ）‎ A. 0 B. 1 C. 2 D. 3‎ ‎【答案】B ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 对于①，或，所以该命题是假命题；对于②，利用数量积公式证明；对于③，如果，则 不一定相等，所以该命题是假命题；对于④，利用数量积公式证明是真命题.‎ ‎【详解】对于①，若，，则或，所以该命题是假命题；‎ 对于②，，而，由于、为不共线的非零向量，所以，所以，所以该命题是假命题；‎ 对于③，若，如果，则不一定相等，所以该命题是假命题；‎ 对于④，若非零向量、满足，，所以，则与垂直.所以该命题是真命题.‎ 故选：B ‎【点睛】本题主要考查平面向量的数量积和运算，考查平面向量的位置关系，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平和分析推理能力.‎ ‎16.已知（）是以（）为首项，以（）为公比的等比数列，设，，，，则、、、中最大的取值为（ ）‎ A. B. 与 C. D. ‎ ‎【答案】C ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 分别计算，，，，再作差比较大小即可．‎ ‎【详解】由题意，‎ ‎，‎ 最大 故选：．‎ ‎【点睛】‎ 本题考查数列的极限，关键是利用无穷等比数列和的极限公式，考查大小比较，属于基础题．‎ 三.解答题 ‎17.若是公差不为0的等差数列的前n项和，且成等比数列.‎ ‎（1）求数列的公比.‎ ‎（2）若，求的通项公式.‎ ‎【答案】（1）公比为4；（2）‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎（1）设，然后根据相关条件去计算公比；（2）由（1）的结论计算的表达式，然后再计算的通项公式.‎ ‎【详解】（1）设.∴，‎ ‎∴，.‎ ‎∴，即的公比为4‎ ‎（2）∵，∴，即，‎ 当时，，当时，符合，‎ ‎∴‎ ‎【点睛】（1）已知等差数列的三项成等比数列，可利用首项和公差将等式列出，找到首项和公差的关系；‎ ‎（2）利用计算通项公式时，要注意验证的情况.‎ ‎18.已知向量，，.‎ ‎（1）试将向量表示成、线性组合；‎ ‎（2）若向量（），当与的夹角为钝角时，求的取值范围.‎ ‎【答案】（1）；（2）且.‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎（1）设，利用向量相等，列方程组求解即可；（2）由题得，由题得，解不等式组即得解.‎ ‎【详解】（1）设 所以，所以.所以.‎ ‎（2）由题得，‎ 因为与的夹角为钝角，‎ 所以，‎ 所以且.‎ ‎【点睛】本题主要考查向量的线性运算和基底法，考查向量的夹角的计算，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平和分析推理计算能力.‎ ‎19.如图所示，设正方形的面积为1，正方形的面积为，正方形的面积为，它们的面积都比前者缩小，无限地作这种正方形.‎ ‎（1）求所有这种正方形面积的和；‎ ‎（2）点、、、、、，当无限增大时，求点无限地趋近哪一个点？‎ ‎（3）点、、、、、，写出点的坐标，当无限增大时，求点 无限地趋近哪一个点？‎ ‎【答案】（1）2；（2）点无限地趋近点；（3），点无限地趋近于.‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎（1）由题得所有的正方形的面积组成以1为首项，以为公比的等比数列，即得解；（2）‎ 由题得点的横坐标是一个以1为首项，以为公比的等比数列，再求点无限地趋近的点的坐标；（3）由题得点的横坐标是一个以1为首项，以为公比的等比数列，、、、、、，纵坐标是一个以1为首项，以为公比的等比数列，再利用等比数列求解.‎ ‎【详解】（1）由题得所有的正方形的面积组成以1为首项，以为公比的等比数列，‎ 所以所有这种正方形面积的和为.‎ ‎(2)由题得点,,‎ 所以点的横坐标是一个以1为首项，以为公比的等比数列，‎ 当无限增大时，的横坐标无限趋近，‎ 所以当无限增大时，点无限地趋近点.‎ ‎（3）由题得点,,‎ 所以点的横坐标是一个以1为首项，以为公比的等比数列，、、、、、，纵坐标是一个以1为首项，以为公比的等比数列，‎ 所以点的横坐标为，点的纵坐标为.‎ 所以.‎ 当无限增大时，点无限地趋近点.‎ ‎【点睛】本题主要考查等比数列的判断和求和，考查等比数列各项的和和极限，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平和分析推理能力.‎ ‎20.把一系列向量（）按次序排成一排，称之向量列，记作，向量列满足：，（）.‎ ‎（1）求数列的通项公式；‎ ‎（2）设，问数列中是否存在最小项？若存在，求出最小项，若不存在，请说明理由；‎ ‎（3）设（）表示向量与的夹角，为与轴正方向的夹角，且，若存在正整数，使得不等式成立，求实数的取值范围.‎ ‎【答案】（1）；（2）存在最小项，最小项为；（3）.‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎（1）通过向量模的定义计算可知，再利用等比数列求数列的通项；（2）通过假设数列中的第项最小，找出数列的单调性计算即得结论．（3）通过向量数量积的定义可知，进而，则问题转化为解不等式，计算即得结论；‎ ‎【详解】（1）证明：由题得 ，，，‎ ‎，‎ 数列是等比数列.‎ 因为，所以，‎ 所以.‎ ‎（2）结论：数列中存在最小项，最小项是．‎ 理由如下：‎ ‎，‎ 假设数列中的第项最小，‎ ‎，，‎ ‎，‎ 当时，有，‎ 即，‎ 整理得：，‎ 所以.‎ 所以 由，得，‎ 所以 又，‎ 故数列中存在最小项，最小项是．‎ ‎（3）‎ ‎，‎ ‎，，‎ 不等式恒成立，即恒成立，‎ 记，‎ 所以 要使成立，只需，‎ 解得，‎ 使不等式对于任意正整数恒成立的的取值范围是：.‎ ‎【点睛】本题是一道关于数列与向量、不等式的综合题，考查运算求解能力，考查分析问题、解决问题的能力，注意解题方法的积累，属于中档题．‎ ‎21.我们知道，在平面内，有公共原点且互相垂直的两条数轴构成平面直角坐标系，同样地，在平面内有公共原点且不垂直的两条数轴构成的坐标系，我们称之为“斜坐标系”.如图，在斜坐标系中，两条坐标轴的公共原点称为斜坐标系的原点，其坐标记为，点是斜坐标系中的任意一点，与直角坐标系相类似，过点分别作两坐标轴的平行线，与轴、轴交于点、，若、在轴、轴上分别对应实数、，则有序数对叫做点在斜坐标系中的坐标，记为.若点、是斜坐标系（）中任意两点.‎ ‎（1）求点、之间的距离（用坐标表示）；‎ ‎（2）若点分有向线段成定比，请你推导点坐标在斜坐标系中的定比分点公式.‎ ‎【答案】（1）；（2）.‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎（1）过点A,B分别作坐标轴的平行线，则，,再利用余弦定理求；（2）设,设，所以，解方程组即得点P的坐标.‎ ‎【详解】‎ ‎（1）如图所示，过点A,B分别作坐标轴的平行线，‎ 则，,‎ 在△ABC中，由余弦定理得.‎ ‎（2）如图，设,设，‎ 所以，‎ 所以，‎ 所以 故点P的坐标为.‎ ‎【点睛】本题主要考查平面向量的坐标运算和定比分点，考查余弦定理解三角形和新定义，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平和分析推理能力.‎ ‎ ‎