数学人教版八年级上册课件12-3角平分线的性质(第1课时)

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数学人教版八年级上册课件12-3角平分线的性质(第1课时)

第十二章 全等三角形 12.3角平分线的性质 第1课时 1.通过操作、验证等方式,探究并掌握角平分线的性 质定理.(难点) 2.能运用角的平分线性质解决简单的几何问题. (重 点) 学习目标 问题1:在纸上画一个角,你能得到这个角的平分线吗? 导入新课 用量角器度量,也可用折纸的方法.   问题2:如果把前面的纸片换成木板、钢板等,还能用对折 的方法得到木板、钢板的角平分线吗? 问题3:如图,是一个角平分仪,其中AB=AD,BC= DC.将点A放在角的顶点,AB和AD沿着角的两边放下,沿 AC画一条射线AE,AE就是角平分线,你能说明它的道 理吗? A B C(E) D 其依据是SSS,两全等三角形的 对应角相等. 问题:如果没有此仪器,我们用数学作图工具,能实现该仪器 的功能吗? A BO 做一做:请大家找到用尺规作角的平分线的方法,并说明 作图方法与仪器的关系. 提示: (1)已知什么?求作什么? (2)把平分角的仪器放在角的两边,仪器 的顶点与角的顶点重合,且仪器的两边相 等,怎样在作图中体现这个过程呢? (3)在平分角的仪器中,BC=DC,怎样在作 图中体现这个过程呢? (4)你能说明为什么OC是∠AOB的平分线吗? 尺规作角平分线 A B M C O 已知:∠AOB. 求作:∠AOB的平分线. 仔细观察步骤 作角平分线是最基 本的尺规作图,大家 一定要掌握噢! 作法: (1)以点O为圆心,适当 长为半径画弧,交OA于 点M,交OB于点N. (2)分别以点MN为圆心,大 于 MN的长为半径画弧,两 弧在∠AOB的内部相交于点C. (3)画射线OC.射线OC即为所 求. 1 2 已知:平角∠AOB. 求作:平角∠AOB的角平分线. 结论:作平角的平分线的方法就是过直线上一点 作这条直线的垂线的方法. AB O C 1. 操作测量:取点P的三个不同的位置,分别过点P作 PD⊥OA,PE ⊥OB,点D、E为垂足,测量PD、PE的长.将三 次数据填入下表: 2. 观察测量结果,猜想线段PD与PE的大小关系,写 出结:__________ PD PE 第一次 第二次 第三次 C O B A PD=PE p D E 实验:OC是∠AOB的平分线,点P是射线OC上的任意一点 猜想:角的平分线上的点到角的两边的距离相等. 角平分线的性质 验证猜想 已知:如图, ∠AOC= ∠BOC,点P在OC上, PD⊥OA,PE⊥OB,垂足分别为D,E.求证:PD=PE. P A O B C D E 证明:∵ PD⊥OA,PE⊥OB, ∴ ∠PDO= ∠PEO=90 °. 在△PDO和△PEO中, ∠PDO= ∠PEO, ∠AOC= ∠BOC, OP= OP, ∴ △PDO ≌△PEO(AAS). ∴PD=PE. 角的平分线上的点到角的两边的距离相等 一般情况下,我们要证明一个几何命题时,可 以按照类似的步骤进行,即 1.明确命题中的已知和求证; 2.根据题意,画出图形,并用数学符号表 示已知和求证; 3.经过分析,找出由已知推出要证的结论的途径, 写出证明过程. 方法归纳 u 性质定理:角的平分线上的点到角的两边的距离相等. 应用所具备的条件: (1)角的平分线; (2)点在该平分线上; (3)垂直距离. 定理的作用: 证明线段相等. u应用格式: ∵OP 是∠AOB的平分线, ∴PD = PE 推理的理由有三个, 必须写完全,不能 少了任何一个. 知识要点 PD⊥OA,PE⊥OB, B AD O P E C 判一判:(1)∵ 如下左图,AD平分∠BAC(已知), ∴ = , ( ) 在角的平分线上的点到这个角的两边的距离相等 BD CD × B A D C (2)∵ 如上右图, DC⊥AC,DB⊥AB (已知). ∴ = , ( ) 在角的平分线上的点到这个角的两边的距离相等 BD CD × B A D C 例1:已知:如图,在△ABC中,AD是它的角平分线,且 BD=CD,DE⊥AB, DF⊥AC.垂足分别为E,F. 求证:EB=FC. A B CD E F 证明: ∵AD是∠BAC的角平分线, DE⊥AB, DF⊥AC, ∴ DE=DF, ∠DEB=∠DFC=90 °. 在Rt△BDE 和 Rt△CDF中, DE=DF, BD=CD, ∴ Rt△BDE ≌ Rt△CDF(HL). ∴ EB=FC. 典例精析 例2:如图,AM是∠BAC的平分线,点P在AM上, PD⊥AB,PE⊥AC,垂足分别是D、E,PD=4cm, 则PE=______cm. B A C P M D E 4 温馨提示:存在两条垂线段———直接应用 典例精析 A B C P 变式:如 图,在Rt△ABC中,AC=BC,∠C=90°, AP平分∠BAC交BC于点P,若PC=4, AB=14. (1)则点P到AB的距离为_______. D 4 温馨提示:存在一条垂线段———构造应用 A B C P 变式:如图,在Rt △ABC中,AC=BC,∠C=900,AP平分 ∠BAC交BC于点P,若PC=4,AB=14. (2)求△APB的面积. D 14 PDBC PD PB DB PC PB DB BC DB AD DB AB              (3)求∆PDB的周长. ·AB·PD=28. 1 2PDBS  由垂直平分线的性质,可知,PD=PC=4, = 1.应用角平分线性质: 存在角平分线 涉及距离问题 2.联系角平分线性质: 面积 周长 条件 知识与方法 利用角平分线的性 质所得到的等量关 系进行转化求解 当堂练习 2.△ABC中, ∠C=90°,AD平分∠CAB,且 BC=8,BD=5,则点D到AB的距离 是 . A B C D 3 E 1. 如图,DE⊥AB,DF⊥BG,垂足 分别是E,F, DE =DF, ∠EDB= 60°,则 ∠EBF= 度, BE= . 60 BF E B D F A C G 3.用尺规作图作一个已知角的平分线的示意图如图所 示,则能说明∠AOC=∠BOC的依据是( ) A.SSS B.ASA C.AAS D.角平分线上的点到角两边的距离相等 A B M C O A 4.如图,AD是△ABC的角平分线,DE⊥AB,垂足为E, S△ABC=7,DE=2,AB=4,则AC的长是(  ) A.6 B.5 C.4 D.3 D B C EA D 解析:过点D作DF⊥AC于F, ∵AD是△ABC的角平分线, DE⊥AB, ∴DF=DE=2, 解得AC=3. F 1 14 2 2 7,2 2ABCS AC       方法总结:利用角平分线的性质作辅助线构造三角形的高, 再利用三角形面积公式求出线段的长度是常用的方法. E D CB A 6 8 10 5.在Rt△ABC中,BD平分∠ABC,DE⊥AB于E,则: (1)哪条线段与DE相等?为什么? (2)若AB=10,BC=8,AC=6,求BE,AE的长和△AED的周 长. 解:(1)DC=DE.理由如下:角平分线上的 点到角两边的距离相等. (2)在Rt△CDB和Rt△EDB中, DC=DE,DB=DB, ∴Rt△CDB≌Rt△EDB(HL), ∴BE=BC=8. ∴ AE=AB-BE=2. ∴△AED的周长=AE+ED+DA=2+6=8. 6.如图,已知AD∥BC,P是∠BAD与 ∠ABC的平分线的交点, PE⊥AB于E,且PE=3,求AD与BC之间的距离. 解:过点P作MN⊥AD于点M,交BC于点N. ∵ AD∥BC, ∴ MN⊥BC,MN的长即为AD与BC之间 的距离. ∵ AP平分∠BAD, PM⊥AD , PE⊥AB, ∴ PM= PE. 同理, PN= PE. ∴ PM= PN= PE=3. ∴ MN=6.即AD与BC之间的距离为6. 7.如图所示,D是∠ACG的平分线上的一点.DE⊥AC, DF⊥CG,垂足分别为E,F.求证:CE=CF. 证明:∵CD是∠ACG的平分 线,DE⊥AC,DF⊥CG, ∴DE=DF. 在Rt△CDE和Rt△CDF中, ∴Rt△CDE≌Rt△CDF(HL), ∴CE=CF. , , CD CD DE DF     课堂小结 角平分 线 尺 规 作 图 属于基本作图,必须熟练掌握 性 质 定 理 一个点:角平分线上的点; 二距离:点到角两边的距离; 两相等:两条垂线段相等 辅 助 线 添 加 过角平分线上一点向两 边作垂线段
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