北师大版八年级上册数学总复习课件，高分必备2套

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八年级上册数学 总复习 第一 章 勾股定理 a 2 b 2 c 2 a 2 +b 2 =c 2 勾股定理 　直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方．如果 a ， b 和 c 分别表示直角三角形的两直角边和斜边，那么 a 2 + b 2 = c 2 ． 30° 5 ? ? 在直角三角形中 ,30° 度角所对的 直角边 等于 斜边 的 一半 . 即: 斜边:10 另一直角边:5 3 a a a a b b b b c c c c 验证方法一： 毕达哥拉斯证法 大正方形的面积可以表示为 ; 也可以表示为 . ( a + b ) 2 c 2 +4 • ab ∵ ( a + b ) 2 = c 2 + 4 • ab a 2 +2 ab + b 2 = c 2 +2 ab ∴ a 2 + b 2 = c 2 c a b c a b 验证方法二：赵爽弦图 c a b c 大正方形的面积可以表示为 ; 也可以表示为 . ∵ c 2 = 4 • ab +( b - a ) 2 =2 ab + b 2 -2 ab + a 2 = a 2 + b 2 ∴ a 2 + b 2 = c 2 c 2 4 • ab +( b - a ) 2 勾股定理的逆定理 如果三角形的三边长 a 、 b 、 c 满足 a 2 + b 2 = c 2 那么这个三角形是直角三角形 . A C B a b c 勾股定理的逆定理是直角三角形的 判定定理 ，即已知三角形的三边长，且满足两条 较小边 的平方和等于 最长边 的平方，即可判断此三角形为直角三角 ， 最长边所对角为直角 . 特别说明： 满足 a 2 + b 2 = c 2 的三个正整数 a 、 b 、 c ，称为 勾股数 . B A d A B A' A B B A O 想一想： 蚂蚁走哪一条路线最近？ A' 蚂蚁 A→B 的路线 立体图形 平面图形 转化 展开 1 、求下列直角三角形中未知边的长 : 8 x 17 12 5 x 解：由勾股定理可得： 8 2 + x 2 =17 2 即 : x 2 =17 2 -8 2 x =15 解 : 由勾股定理可得： 5 2 + 12 2 = x 2 即： x 2 =5 2 + 12 2 x =13 2. 一高为 2.5 米的木梯 , 架在高为 2.4 米的墙上 ( 如图 ), 这时梯脚与墙的距离是多少 ? A B C 解：在 Rt△ABC 中，根据勾股定理，得： BC 2 =AB 2 -AC 2 =2.5 2- 2.4 2 =0.49 ， 所以 BC=0.7 . 答：梯脚与墙的距离是0. 7 米. 3 、已知 ∠ACB=90°,CD⊥AB,AC=3,BC=4. 求 CD 的长 . 解：由勾股定理可得， AB 2 =AC 2 +BC 2 =25 ， 即 AB=5. 根据三角形面积公式， ∴ AC×BC= AB×CD. ∴ CD= . A D B C 3 4 第 二 章 实 数 无理数 2.236067978... 1.25992105... 3.14159265... 0.585885888588885… 无限不循环小数叫做 无理数 。 LOREM IPSUM DOLOR 这一组数有什么特点？ 有理数和无理数统称为 实数 无理数： 无限不循环小数 有理数： 有限小数或无限循环小数 实数 分数 整数 开方开不尽的数 有规律但不循环的数 正实数 负 实数 数实 负 有理数 正有理数 按大小分类： 0 负 无理数 正无理数 0 正实数 负实数 算术平方根 一般地，如果一个正数 x 的平方等于 a ，即 x 2 ＝ a ，那么这个正数 x 就叫做 a 的 算术平方根 ，记作 “ ” ，读作 “ 根号 a ”. 算术平方根的性质： 非负数 算术平方根具有双重非负性 ( a ≥0) 特别地，我们规定： 0 的算术平方根是 0 ，即 平方根 分别各有几个平方根？ 正数　　　 ０　　　　　 负数 一般地，如果一个数 x 的平方等于 a ，即 x 2 = a ，那么这个数 x 就叫做 a 的 平方根 （或二次方根） . 根号 被开方数 （ a 是 非负数 ） 读作：正、负根号 a 平方根的性质： 1. 正数有两个平方根，两个平方根互为相反数 . 2.0 的平方根还是 0. 3. 负数没有平方根 . 求一个数 a 的平方根的运算，叫做 开平方 ， a 叫做 被开方数 . 开平方的定义： 立方根的概念 一般地，一个数的立方等于 a ，这个数就叫做 a 的立方根，也叫做 a 的三次方根．记作 　　 . 立方根的表示 一个数 a 的立方根可以表示为 : 根指数 被开方数 其中 a 是被开方数， 3 是根指数， 3 不能省略 . 读作 : 三次根号 a ， 立方根 求一个数 a 的立方根的运算叫做 开立方 ， a 叫做 被开方数 实 数 2 - 3 1 5 3 0 π 2 相反数 倒数 5 3 3 0 - 绝对值 在 实数 范围内， 相反数 、 倒数 、 绝对值 的意义和 有理数 范围内的 相反数 、倒 数 、 绝对值 的意义 完全一样 。 π 0 1 2 4 3 -1 -2 边长为 1 的正方形 , 对角线长为多少 ? 每一个实数都可以用数轴上的一个点来表示；反过来，数轴上的每一点都表示一个实数．即实数和数轴上的点是一一对应的． 二次根式的定义 一般地，我们把形如 的式子叫做二次根式 . “ ” 称为二次根号， a 叫做被开方数 . 二次根 式 运算 最简二次根式的条件： ①是二次根式； ②被开方数中不含分母； ③被开方数中不含能开得尽方的因数或因式． 中无理数的个数是（ ） A. 2 B. 3 C. 4 D. 5 A 1. 下列各数 0 2. 下列运算中，正确的是（ ） A 3 ．下列计算结果正确的是（ ） 4 ．下列各式中，正确的是（ ） 5 ．化简 6 、 B D 位置的确定 第三章 平面直角坐标系 -1 5 2 1 3 6 4 -6 -5 -4 -3 -2 y X 7 6 4 3 1 2 5 -4 -5 -7 0 -2 -1 -3 -6 在平面内 , 两条 互相垂直且有公共原点的 数轴组成的 图形 叫 平面直角坐标系 . ( 4 , -6 ) ． p 对于平面内任意一点 p ，过点 p 分别向 x 轴、 y 轴作 垂线 ， 垂足 在 x 轴、 y 轴上对应的数 4 、 -6 分别叫做点 p 的横坐标、纵坐标，有 序数对 （ 4 ， -6 ）叫做点 p 的 坐标 。 请读出各点的 坐标 X 7 6 4 3 1 2 5 -4 -5 -7 0 -2 -1 -3 -6 -1 5 2 1 3 6 4 -6 -5 -4 -3 -2 y A G F E D C B A ( 7 , 0 ) G ( 4 , -5 ) C ( -4, -5 ) F ( -6, 0 ) B ( -4 , 3 ) E ( 0 , 2 ) D ( 6 , 6 ) H H ( -3, 0 ) 各象限内的点的坐标的特征 点的位置 横坐标的符号 纵坐标的 符号 第 一 象限 第 二 象限 第 三 象限 第 四 象限 + + + - - - + - A y O x -1 -2 -3 -1 -2 -3 -4 1 2 3 4 1 2 3 4 5 -4 B C D E 点的位置 横坐标的符号 纵坐标的 符号 在 x 轴的 正 半轴上 在 x 轴的 负 半轴上 在 y 轴的 正 半轴上 在 y 轴的 负 半轴上 0 + + - - 0 0 0 A y O x -1 -2 -3 -1 -2 -3 -4 1 2 3 4 1 2 3 4 5 -4 B C E 各坐标轴上的点的坐标的特征 在 y 轴上 的点的 横坐标是 0 在 x 轴上 的点的 纵坐标是 0 与坐标轴平行的直线上的点的坐标特征： (1) 与 x 轴平行的直线上各点的 _______ 坐标都相同； (2) 与 y 轴平行的直线上各点的 _______ 坐标都相同． 纵 横 A y O x -1 -2 -3 -1 -2 -3 -4 1 2 3 4 1 2 3 4 5 -4 B C 请找出 p 点分别关于 x 轴 、 y 轴 、 原点 对称的 点 A 、 B 、 C 及其 坐标 X 7 6 4 3 1 2 5 -4 -5 -7 0 -2 -1 -3 -6 -1 5 2 1 3 6 4 -6 -5 -4 -3 -2 y ． p ( 5 , 3 ) ( -5 , -3 ) ( -5 , 3 ) ( 5 , -3 ) ． A ． B ． C 1 . 关于 y 轴 对称 的两个图形上 点的坐标 特征： ( x , y ) (- x , y ) 2 . 关于 x 轴 对称 的两个图形上 点的坐标 特征： ( x , y ) ( x , -y ) 横 坐标 相同 ， 纵 坐标互为 相反数 横 坐标互为 相反数 ， 纵 坐标 相同 3. 关于 原点 对称 的两个图形上 点的坐标 特征： ( x , y ) ( - x , -y ) 横 坐标、 纵 坐标都互为 相反数 两点对称规律 1. 已知点 M （ m ， -5 ） .① 点 M 到 x 轴的距离是 ____ ； ②若点 M 到 y 轴的距离是 4 ；那么 m 为 ____. 5 ± 4 2 、点（ m ， - 1 ）和点（ 2 ， n ）关于 x 轴对称，则 m n 等于 ( )  A.- 2 B.2 C.1 D.- 1 B 3 、点 P 到 x 轴的距离是 2.5 ；到 y 轴的距离是 4.5. 求点 P 的坐标 . (4.5 ， 2.5) 或 (-4.5 ， 2.5) 或 (-4.5 ， -2.5) 或 (4.5 ， -2.5) 4 ．如图，是一台雷达探测器测的结果．图中显示，在A、B、C、D处有目标出现，请用适当方式分别表示每个目标的位置． 5 ．对于边长为 6 的正三角形 ABC ，建立适当的直角坐标系，写出各个顶点的坐标． A B C 一次函数 第 四 章 函 数 S=5t L=12b S=πR 2 S= V 2 300 一般地，如果在一个变化过程中有两个变量 x 和 y ，并且对于变量 x 的每一个值，变量 y 都有 唯一 的值与它对应，那么我们称 y 是 x 的函数 ，其中 x 是自变量 . 注意： 函数不是数，它是指某一变化过程中两个变量之间的关系 . 一次函数和正比例函数 S=5t+3 L=12b y=9 x +8 S= V 2 300 若两个变量 x 、 y 之间的关系可以表示成 y = kx + b ( k, b 为常数， k 不等于 0 ）的形式，则称 y 是 x 的一次函数 . （ x 为自变量， y 为因变量 . ） 当 b =0 时，称 y 是 x 的正比例函数 . 即： y=kx 正比例函数图像 步骤： 列表、描点、连线。 y = kx ( k 是常数， k ≠0) 的图象是一条 经过原点 的 直线 y = kx ( k ≠0) 经过的象限 k ＞ 0 第 一、三 象限 k ＜ 0 第 二、四 象限 y=k 1 x y=k 2 x x y o | k | 越大， 直线越陡， 直线越靠近 y 轴. 一次函数图像 函数 字母取值 （ k >0 ） 图象 经过的象限 函数性质 y ＝ kx + b ( k ≠0) b >0 y 随 x 增大而 增大 b <0 一、二、三象限 一、三、四象限 函数 字母取值 （ k<0 ） 图象 经过的象限 函数性质 y ＝ kx+b ( k≠0 ) b>0 ________ y 随 x 增大而 减小 b <0 ________ 一、二、四象限 二、三、四象限 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 一次函数 和 正比例函数 图象的 特点 y = x y = x +2 y = x -2 y 2 O x 2 ● ● 一次函数 y = kx + b （ k ≠0 ）的图象经过点（ 0 ， b ），可以由正比例函数 y = kx 的图象平移 个单位长度得到（当 b ＞ 0 时，向 平移；当 b ＜ 0 时，向 平移） . 下 上 两一次函数表达式中 k 相等 时，两函数图像 平行 根据图象确定一次函数的表达式的方法：从图象上选取 两个已知点的坐标 ，然后运用 待定系数法 将两点的横、纵坐标代入所设表达式中求出待定系数，从而求出函数的表达式． 求一次函数的表达式的方法 确定正比例函数的 表达式 6 4 3 1 2 5 -4 -5 0 -2 -1 -3 -6 X y -1 5 2 1 3 6 4 -6 -5 -4 -3 -2 观察图象 , 确定函数表达式 1. 从图得知 , 此函数是正比例函数 . 且过点 (-2 , 4) 2. 设其函数表达式为 y=kx 3. 有方程 : 4=k·(-2) 4. 解这个方程得 : k=-2. 5. 所以此正比例函数的表达式为 : y=-2x 确定正比例的函数 表达式 需 几个点 的坐标 ? 一 个点的坐标 确定一次函数 表达式 6 4 3 1 2 5 -4 -5 0 -2 -1 -3 -6 X y -1 5 2 1 3 6 4 -6 -5 -4 -3 -2 观察图象 , 确定函数表达式 1 、 从图得知 , 此函数是一次函数，且过点 (0 , 4) 和 (2 , 0) 2 、 设其函数表达式为 y=kx+b 3 、 有方程组 4=k · 0 + b 0=2k + b 4 、 解这个方程得 : b=4,k=-2. 5 、 所以此一次函数的表达式为 : y=-2x+4 确定一次函数的 表达式 需 几个点 的坐标 ? 两 个点的坐标 x -1 0 1 2 3 y 3 0 -3 -6 -9 1 ．根据下表，写出 x 与 y 之间的一个函数关系式． 2 ．作出一次函数 y ＝ 2 x － 1 的图象，根据图象回答： (1) 图象与 x 轴交点坐标是 （ ） ，与 y 轴的交点坐标是 （ ） ； (2) 当 x 时， y ＞ 0 ，当 x 时， y ＜ 0 ． 3 ．写出下图中，直线 l 所表示的变量 x 与 y 之间的函数关系式． 5 ．如图， l 1 表示某汽车销售公司一天的销售收入与销售量的关系， l 2 表示该公司一天的销售成本与销售量的关系．根据图象回答： ⑴ x ＝ 1 时，销售收入＝ 万元， 销售成本＝ 万元，利润＝ 万元； （利润＝收入－成本） ⑵ 一天销售 辆时，销售收入等于 销售成本． ⑶ l 1 对应的函数表达式是 ． ⑷ 你能写出利润与销售量间的函数表达式吗？ 二元一次方程组 第 五 章 二元一次方程 x-y=2; x+1=2(y-1); x+y=8; 5x+3y=34 定义 : 二元一次方程 组 有几组解 ? 二元一次方程有多少组解 ? ( 无数组 ) 含有 两个未知数 , 并且所 含未知数的项的次数都是 1 的方程叫做 二元一次方程 . 像这样共含有 两个未知数 的两个 一次方程 所组成的一组方程，叫做 二元一次方程组 . 二元一次方程定义 x ＋ y ＝ 8 5 x ＋ 3 y ＝ 34 注意： 方程组各方程中同一字母必须代表同一个量 . 解二元一次方程组 ____ 代入法 2x+3y=16 x+4y=13 1 2 解 : 由 得 : x=13-4y 2 3 将 代入 得 2(13-4y)+3y=16 1 3 26-8y+3y=16 -5y=-10 y=2 将 y=2 代入 , 得 x=5 3 所以原方程组的解是 X=5 y=2 分析 : 何时可用 代入法 来解 ? 当有一个未知数的系数是 1 或 -1 检验 其基本思路是“ 消元 ”把“ 二元 ”变为“ 一元 ” . 步骤 : 1. 将其中一个方程中的某个未知数用含有另一个未知数的代数式表示出来 ; 2. 并代入另一个方程中 , 消去一个未知数 , 化二元方程组为一元一次方程 . 此法 称为 代入消元法 , 简称 代入法 . 解二元一次方程组 ____ 加减法 3x + 5y=21 2x - 5y=-11 1 2 解 : 由 + 得 : 5x=10 1 2 x=2 将 x=2 代入 , 得 2x2-5y=-11 2 y=3 所以原方程组的解是 X=2 y=3 - 2x-5y=7 - 2x+3y=-1 1 2 解 : 由 - 得 : 8y= -8 2 1 y=-1 将 y=-1 代入 , 得 -2x+3·(-1)=-1 2 x=-1 所以原方程组的解是 X=-1 y=-1 以上思路也是“ 消元 ” , 步骤 : 通过两式相加 ( 减 ) 消去其中一个未知数 , 此法叫 加减消元法 , 简称 加减法 . 当有一个相同未知数的系数 相同 或 相反 时 ! 相同 时用 减法 ; 相反 时用 加法 . 分析 : 何时可用 加减法 来解 ? 解方程组 2x+3y=12 3x+4y=17 1 2 解 : 由 x 3 得 : 6x+9y= 36 1 3 由 x 2 得 : 6x+8y= 34 2 4 - 得 y=2 3 4 将 y=2 代入 , 得 2x+3 x2=12 1 x=3 所以原方程组的解是 X=3 y=2 检验哦 ! 划哪一个未知数的系数相同才最方便 ? 肯定是 相对 系数 较小 的那个 同一未知数系数 不相等也不互为相反数 时，利用等式的性质，使得 未知数的数相等或互为相反数 。 找系数的最小公倍数 二元一次方程组的 运用 甲、乙两人从相距 36 千米的两地相向而行，如果甲比乙先走 2 时，那么他们在乙出发 2.5 时后相遇；如果乙比甲先走 2 时，那么他们在甲出发 3 时后相遇。甲、乙两人每时各走多少千米？ 解：设甲、乙两人每时各走 x 、 y 千米。 甲先走： 36 千米 甲 乙 2 时 2.5 时 2.5 时 36 千米 甲 乙 2x 2.5x + 2y 2.5y = = + 36 3 时 3 时 2 时 乙先走： + + 3y 3x 36 解原方程组得 : X=3 y=2 答 : 甲、乙两人每时各走 3 千米和 2 千米 . 1. 设未知数 2. 表示相关的量 3. 找等量关系 4. 列方程组 5. 解方程并作答 用二元一次方程组解应用题 , 最重要的是要 在题中找到两个等量关系 来列方程组 . 步骤呢 ? 二元一次方程与一次函数 x 0 1 y=2x-1 -1 1 6 4 3 1 2 5 -4 -5 0 -2 -1 -3 -6 X y -1 5 2 1 3 6 4 -6 -5 -4 -3 -2 x+y=5 2x-y=1 1 2 1. 解方程组 解 : 由 + 得 : 3x=6 1 2 x=2 将 x=2 代入 , 得 2+y=5 1 y=3 所以原方程组的解是 X=2 y=3 2. 以以上方程组中的两个方程为函数 , 画出图象 . x+y=5 2x-y=1 y=-x+5 y=2x-1 x 0 5 y=-x+5 5 0 ． ． ． ． ． p (2 , 3) 你发现什么了吗 ? 发现二元一次方程组的 解 刚好是这两个方程直线的 交点坐标 . 6 4 3 1 2 5 -4 -5 0 -2 -1 -3 -6 X y -1 5 2 1 3 6 4 -6 -5 -4 -3 -2 所有的二元一次组都有 解 吗 ? X 0 1 y=4x-1 -1 3 X 0 -1 Y=4x+4 4 0 4x-y=1 4x-y=-4 1 2 1. 解方程组 解 : 由 - 得 : 0=-5 2 1 所以原方程组无解 2. 以以上方程组中的两个方程为函数 , 画出图象 . 4x-y=1 4x-y=-4 y=4x-1 y=4x+4 ． ． ． ． 无解 的方程组 , 它们的方程直线是 平行 的 , 没有交点 . 我还 发现 : 原方程组中的 相同 未知数的系数是 相同 的 . 看图求方程 6 4 3 1 2 5 -4 -5 0 -2 -1 -3 -6 X y -1 5 2 1 3 6 4 -6 -5 -4 -3 -2 l 2 l 1 ． ． ． 1. 从图得知 , l 1 是一次函数 , 且过点 ( 0 , -1 ) 和 ( 2 , 3 ); l 2 也是一次函数 . 且过点 ( 0 , 1 ) 和 ( 2 , 3 ). 2 、设其函数表达式分别为 : y=kx+b , y=kx+b . A 、 有方程组 -1=k · 0 +b 3=k · 2+b 解这个方程得 : b=-1 , k=2 . 所以 函数 l 1 的表达式为 : y=2x-1 B. 有方程组 1=k · 0 +b 3=k · 2 +b 解这个方程得 : b=1 , k=1 . 所以 函数 l 2 的表达式为 : y=x+1 其方程为 : y-2x=-1 其方程为 : y-x=1 因为 l 1 、 l 2 有相交 , 所以这两条直线的 方程 可以组成一个 二元一次方程组 ： y-2x=-1 y-x=1 3 ．解下列方程组： 4 ．甲、乙两种商品原来的单价和为 100 元．因市场变化，甲商品降价 10% ，乙商品提价 40% ，调价后两种商品的单价和比原来的单价和提高了 20% ．甲、乙两种商品原来的单价各是多少？ 5 ．某校有两种类型的学生宿舍 30 间，大的宿舍每间可住 8 人，小的宿舍每间可住 5 人．该校 198 个住宿生恰好住满这 30 间宿舍．大、小宿舍各有多少间？ 数据的代表 第六章 平均数 日常生活中，我们常用平均数表示一组数据的“ 平均水平 ” . 一般地，对于 n 个数 x 1 ， x 2 ，…， x n ， 我们把 ( x 1 + x 2 +…+ x n ) / n 叫做这 n 个数的 算术平均数 ，简称平均数 . 记为 x . 加权平均数 在实际问题中，一组数据里的各个数据的 “ 重要程度 ” 未必相同 . 因而，在计算这组数据的平均数时，往往给每个数据一个 “ 权 ” ． 　　 一般地，若 n 个数 x 1 ， x 2 ， … ， x n 的权分别 是 w 1 ， w 2 ， … ， w n ，则 叫做这 n 个数的加权平均数． =83( 分 ) 加权平均数 权 重 70× 30% + 90× 60% 30%+60% 中位数 和 众数 如一组数据 1.5 , 1.6 , 1.5 , 1.65 , 1.7 , 1.7 , 1.75 , 1.8 的 中位数 是 ( 1.65+1.7 ), 即 1.675 ; 这组数据的 众数 是 1.5 和 1.7 . 1 2 我们把一组数据中出现 次数最多的那个数据 叫做这组数据的 众数 . 一般地， n 个数据按大小顺序 排列 ，处于 最中间 位置的一个数据（或 最中间两个数据的平均数 ）叫做这组数据的 中位数 . 将一组数据按照由 小到大（或由大到小） 的顺序排列： 如果数据的个数是 奇数 ，则称处于 中间位置 的数为这组数据的中位数； 如果数据的个数是 偶数 ，则称 中间两个数据的平均数 为这组数据的中位数． 注意： 如果一组数据中 有极端数据 ， 中位数 能比平均数更合理地反映该组数据的 整体水平 ． 思考 1 ： 中位数怎么确定？ 思考 2 ： 众数是否唯一？ 一组数据的 众数可能不止一个 . 如 1 ， 1 ， 2 ， 3 ， 3 ， 5 中众数是 1 和 3 . (2)条形统计图中， (3)扇形统计图中， (1)折线统计图中， 众数：同一水平线上出现次数最多的数据； 中位数：从上到下（或从下到上）找中间点所对的数； 平均数：可以用中位数与众数估测平均数． 众数：是柱子最高的数据； 中位数：从左到右（或从右到左）找中间数； 平均数：可以用中位数与众数估测平均数． 众数：为扇形面积最大的数据； 中位数：按顺序，看相应百分比，第50%与51%两个数据的平均数； 平均数：可以利用加权平均数进行计算． 从统计图分析数据的集中趋势 数学上，数据的离散程度还可以用 方差或标准 差来刻画 . 方差 是 各个数据与平均数之差 的平方的平均数 , 即 其中，是 x 1,, x 2,…… ， x n 的平均数， s 2 是方差，而 标准差就是方差的算术平方根 . 离散程度 即它们相对于 平均水平的偏离情况 . 极差 就是刻画数据离散程度的一个统计量 . 极差 是指一组数据中 最大数据与最小数据的差 . 数据的离散程度 . 一般而言 , 一组数据的极差、方差或标准差 越小 , 这组数据就 越稳定，波动越小 . 1 ．数据 18 ， 14 ， 20 ， 16 ， 12 的平均数是 ． 2 ．数据 1 ， 0 ，－ 3 ， 2 ， 3 ， 2 ，－ 2 的中位数是 ，众数是 ． 3 ．某电视台举办青年歌手演唱大赛， 7 位评委给 1 号选手的评分如下： 9.3 8.9 9.2 9.5 9.2 9.7 9.4 按规定，去掉一个最高分和一个最低分后，将其余得分的平均数作为选手的最后得分．那么， 1 号选手的最后得分是 分． 4 ．数学老师布置了 10 道计算题作为课堂练习，小明将全班同学的解题情况绘成了下面的条形统计图．根据图表，求平均每个学生做对了几道题？ 5 ．某公司员工的月工资统计如下： 月工资 / 元 5000 4000 2000 1000 800 500 人数 1 2 5 12 30 6 求该公司员工月工资的平均数、中位数和众数． 6 ．某超市招聘收银员一名，对三名申请人进行了三项素质测试．下面是三名候选人的素质测试成绩： 素质测试 测试成绩 小赵 小钱 小孙 计 算 机 70 90 65 商品知识 50 75 55 语 言 80 35 80 公司根据实际需要，对计算机、商品知识、语言三项测试成绩分别赋予权重 4 、 3 、 2 ，这三人中谁将被录用？ 67 第十一章 全等三角形复习 一、全等三角形 1 、能够完全重合的两个三角形叫做全等三角形。一个三角形经过平移、翻折、旋转可以得到它的全等形。 2 、全等三角形有哪些性质 （ 1 ）：全等三角形的对应边相等、对应角相等。 （ 2 ）：全等三角形的周长相等、面积相等。 （ 3 ）：全等三角形的对应边上的对应中线、角平分线、高线分别相等。 68 3 、全等三角形的判定 边边边：三边对应相等的两个三角形全等（可简写成“ SSS”) 边角边 : 两边和它们的夹角对应相等两个三角形全等（可简写成“ SAS”) 角边角 : 两角和它们的夹边对应相等的两个三角形全等（可简写成“ ASA”) 角角边 : 两角和其中一角的对边对应相等的两个三角形全等（可简写成“ AAS”) 斜边 . 直角边：斜边和一条直角边对应相等的两个直角三角形全等（可简写成“ HL”) 第十一章 全等三角形复习 69 第十一章 全等三角形复习 二、角的平分线： 1 、（性质）角的平分线上的点到角的两边的距离相等 . 2 、（判定）角的内部到角的两边的距离相等的点在角的平分线上。 三、学习全等三角形应注意以下几个问题： （ 1): 要正确区分“对应边”与“对边”，“对应角”与 “对角”的不同含义； （ 2 ）：表示两个三角形全等时，表示对应顶点的字母要写在对应的位置上； （ 3 ）：“有三个角对应相等 (AAA)” 或“有两边及其中一边的对角对应相等 (SSA)” 的两个三角形不一定全等； （ 4 ）：时刻注意图形中的隐含条件，如 “公共角” 、“公共边”、“对顶角” 70 第十一章 全等三角形复习 4 、证明两个三角形全等的基本思路： 71 一、轴对称图形 1. 把一个图形沿着一条直线折叠，如果直线两旁的部分能够完全重合，那么这个图形就叫做轴对称图形。这条直线就是它的对称轴。这时我们也说这个图形关于这条直线（成轴）对称。 2. 把一个图形沿着某一条直线折叠，如果它能与另一个图形完全重合，那么就说这两个图关于这条直线对称。这条直线叫做对称轴。折叠后重合的点是对应点 , 叫做对称点 第十二章 轴对称 72 第十二章 轴对称 73 4. 轴对称的性质 ①关于某直线对称的两个图形是全等形。 ②如果两个图形关于某条直线对称，那么对称轴是任何一对对应点所连线段的垂直平分线。 ③轴对称图形的对称轴，是任何一对对应点所连线段的垂直平分线。 ④如果两个图形的对应点连线被同条直线垂直平分，那么这两个图形关于这条直线对称。 第十二章 轴对称 74 二、线段的垂直平分线 1. 经过线段中点并且垂直于这条线段的直线，叫做这条线段的垂直平分线，也叫中垂线。 2. 线段垂直平分线上的点与这条线段的两个端点的距离相等 ( 性质 ) 3. 与一条线段两个端点距离相等的点，在线段的垂直平分线上 （判定） 第十二章 轴对称 75 三、用坐标表示轴对称小结： 1. 在平面直角坐标系中，关于 x 轴对称的点横坐标相等 , 纵坐标互为相反数 . 关于 y 轴对称的点横坐标互为相反数 , 纵坐标相等 . 点（ x, y ）关于 x 轴对称的点的坐标为 ______. 点（ x, y ）关于 y 轴对称的点的坐标为 ______. 2. 三角形三条边的垂直平分线相交于一点，这个点到三角形三个顶点的距离相等（ 交点为外心 ） 3. 三角形的外心，内心，垂心，旁心，中心。 第十二章 轴对称 76 四、（等腰三角形 ) 知识点回顾 1. 等腰三角形的性质 ① . 等腰三角形的两个底角相等。（等边对等角） ② . 等腰三角形的顶角平分线、底边上的中线、底边上的高互相重合。（三线合一） 2 、等腰三角形的判定： 如果一个三角形有两个角相等，那么这两个角所对的边也相等。（等角对等 边） 第十二章 轴对称 77 五、（等边三角形）知识点回顾 1. 等边三角形的性质： 等边三角形的三个角都相等，并且每一个角都等于 60° 。 2 、等边三角形的判定： ①三个角都相等的三角形是等边三角形。 ②有一个角是 60 ° 的等腰三角形是等边三角形。 3. 在直角三角形中，如果一个锐角等于 30 ° ，那么它所对的直角边等于斜边的一半。 4. 在直角三角形中，斜边上的中线等于斜边的一半。 5. 勾股定理（ a 2 +b 2 =c 2 ， 其中 a 和 b 为直角边， c 为斜边） 第十二章 轴对称 78 第十三章 实数知识要点归纳 一、实数的分类： 79 2 、数轴：规定了 原点 、 正方向 和 单位长度 的直线叫做数轴 ( 画数轴时，要注童上述规定的三要素缺一个不可 ) ， 实数与数轴上的点是一一对应的。 数轴上任一点对应的数总大于这个点左边的点对应的数。 3 、相反数与倒数； 第十三章 实数知识要点归纳 80 4 、绝对值 5 、近似数与有效数字； 6 、科学记数法、非负数的性质： 若几个非负数之和为零 ，则这几个数都等于零 （“ 0”+“0” 型 题的考察） 7 、平方根与算术平方根、立方根； 第十三章 实数知识要点归纳 81 二、复习方案二 1. 无理数：无限不循环小数（或含有无理因子的数 如 π 等 ） 2. 有理数：整数和分数 第十三章 实数知识要点归纳 82 第十三章 实数知识要点归纳 83 第十三章 实数知识要点归纳 84 一 . 常量、变量： 在一个变化过程中 , 数值发生变化的量叫做 变量 ；数值始终不变的量叫做 常量 ； 二、函数的概念： 函数的定义：一般的，在一个变化过程中 , 如果有两个变量 x 与 y ，并且对于 x 的每一个确定的值， y 都有唯一确定的值与其对应，那么我们就说 x 是自变量， y 是 x 的函数． 第十四章 一次函数 85 三、函数中自变量取值范围的求法： （ 1 ） . 用整式表示的函数，自变量的取值范围是全体实数。 （ 2 ）用分式表示的函数，自变量的取值范围是使分母不为 0 的一切实数。 （ 3 ）用奇次根式表示的函数，自变量的取值范围是全体实数。 用偶次根式表示的函数，自变量的取值范围是使被开方数为非负数的一 切实数。 （ 4 ）若解析式由上述几种形式综合而成，须先求出各部分的取值范围，然后再求其公共范围，即为自变量的取值范围。 （ 5 ）对于与实际问题有关系的，自变量的取值范围应使实际问题有意义。 第十四章 一次函数 86 四、 函数图象的定义：一般的，对于一个函数，如果把自变量与函数的每对对应值分别作为点的横、纵坐标，那么在坐标平面内由这些点组成的图形，就是这个函数的图象． 五、用描点法画函数的图象的一般步骤 1 、列表（表中给出一些自变量的值及其对应的函数值。） 注意：列表时自变量由小到大，相差一样，有时需对称。 2 、描点：（在直角坐标系中，以自变量的值为横坐标，相应的函数值为纵坐标，描出表格中数值对应的各点。 3 、连线：（按照横坐标由小到大的顺序把所描的各点用平滑的曲线连接起来）。 第十四章 一次函数 87 六、函数有三种表示形式： （ 1 ）列表法 （ 2 ）图像法 （ 3 ）解析式法 七、正比例函数与一次函数的概念： 一般地，形如 y=kx(k 为常数，且 k≠0) 的函数叫做正比例函数 . 其中 k 叫做比例系数。 一般地，形如 y=kx+b(k,b 为常数，且 k≠0) 的函数叫做一次函数 . 当 b =0 时 ,y=kx+b 即为 y=kx, 所以正比例函数，是一次函数的特例 . 第十四章 一次函数 88 八、正比例函数的图象与性质： （ 1) 图象 : 正比例函数 y= kx (k 是常数， k≠0)) 的图象是经过原点的一条直线，我们称它为直线 y= kx 。 (2) 性质 : 当 k>0 时 , 直线 y= kx 经过第一，三象限，从左向右上升，即随着 x 的增大 y 也增大；当 k<0 时 , 直线 y= kx 经过二 , 四象限，从左向右下降，即随着 x 的增大 y 反而减小。 第十四章 一次函数 89 九、求函数解析式的方法 : 待定系数法：先设出函数解析式，再根据条件确定解析式中未知的系数，从而具体写出这个式子的方法。 1. 一次函数与一元一次方程：从 “数”的角度 看 x 为何值时函数 y= ax+b 的值为 0 ． 2. 求 ax + b =0( a , b 是常数， a ≠0) 的解，从 “形”的角度 看，求直线 y= ax+b 与 x 轴交点的横坐标 3. 一次函数与一元一次不等式： 解不等式 ax + b ＞ 0( a ， b 是常数， a ≠0) ．从“数”的角度看 ， x 为何值时函数 y= ax+b 的值大于 0 ． 4. 解不等式 ax + b ＞ 0( a ， b 是常数， a ≠0) ． 从“形”的角度看， 求直线 y= ax+b 在 x 轴上方的部分（射线）所对应的的横坐标的取值范围 第十四章 一次函数 90 十、一次函数与正比例函数的图象与性质 　 　概　念 如果 y=kx+b （ k 、 b 是常数， k≠0 ），那么 y 叫 x 的一次函数 . 当 b=0 时，一次函数 y=kx （ k≠0 ）也叫正比例函数 . 　图　像 一条直线 　性　质 k ＞ 0 时， y 随 x 的增大 ( 或减小 ) 而增大 ( 或减小 ) ； k ＜ 0 时， y 随 x 的增大 ( 或减小 ) 而减小 ( 或增大 ). 直线 y=kx+b （ k≠0 ）的位置与 k 、 b 符号之间的关系 . （ 1 ） k>0 ， b ＞ 0 ； （ 2 ） k>0 ， b ＜ 0 ； （ 3 ） k>0 ， b ＝ 0 （ 4 ） k ＜ 0 ， b ＞ 0 ； （ 5 ） k ＜ 0 ， b ＜ 0 （ 6 ） k ＜ 0 ， b ＝ 0 一次函数表达式的确定 求一次函数 y=kx+b （ k 、 b 是常数， k≠0 ）时，需要由两个点来确定；求正比例函数 y=kx （ k≠0 ）时，只需一个点即可 . 第十四章 一次函数 91 第十四章 一次函数 5. 一次函数与二元一次方程组： 解方程组 从“数”的角度看，自变量（ x ） 为何值时两个函数的值相等．并求出这个函数值 解方程组 从“形”的角度看，确定两直线交点的坐标 . 92 第十五章 整式乘除与因式分解 一．回顾知识点 1 、主要知识回顾： 幂的运算性质： 同底数幂相乘，底数不变，指数相加． a m ·a n ＝ a m ＋ n （ m 、 n 为正整数） 幂的乘方，底数不变，指数相乘． (a m ) n ＝ a mn （ m 、 n 为正整数） 积的乘方等于各因式乘方的积． (ab) n =a n b n （ n 为正整数） 同底数幂相除，底数不变，指数相减． a m ÷a n ＝ a m － n （ a≠0 ， m 、 n 都是正整数，且 m ＞ n ） 93 零指数幂的概念： a 0 ＝ 1 （ a≠0 ） 任何一个不等于零的数的零指数幂都等于 l ． 负指数幂的概念： a － p ＝ a 1/p （ a≠0 ， p 是正整数） 任何一个不等于零的数的－ p （ p 是正整数）指数幂，等于这个数的 p 指数幂的倒数． 第十五章 整式乘除与因式分解 94 单项式的乘法法则： 单项式相乘，把系数、同底数幂分别相乘，作为积的因式；对于只在一个单项式里含有的字母，则连同它的指数作为积的一个因式． 单项式与多项式的乘法法则： 单项式与多项式相乘，用单项式和多项式的每一项分别相乘，再把所得的积相加． 多项式与多项式的乘法法则： 多项式与多项式相乘，先用一个多项式的每一项与另一个多项式的每一项相乘，再把所得的积相加． 第十五章 整式乘除与因式分解 95 单项式的除法法则： 单项式相除，把系数、同底数幂分别相除，作为商的因式：对于只在被除式里含有的字母，则连同它的指数作为商的一个因式． 多项式除以单项式的法则： 多项式除以单项式，先把这个多项式的每一项除以这个单项式，再把所得的商相加． 第十五章 整式乘除与因式分解 96   2 、乘法公式： ①平方差公式 (a+b)(a-b) ＝ a 2 － b 2 ②完全平方公式 ：（ a ＋ b ） 2 ＝ a 2 ＋ 2ab ＋ b 2 （ a － b ） 2 ＝ a 2 － 2ab ＋ b 2 ③ 立方和（差）公式： a 3 +b 3 =(a+b)(a 2 -ab+b 2 ) a 3 -b 3 =(a-b)(a 2 +ab+b 2 ) 第十五章 整式乘除与因式分解 97 3 、因式分解： 因式分解的定义． 把一个多项式化成几个整式的 乘积 的形式，这种变形叫做把这个多项式因式分解． 掌握其定义应注意以下几点： （ 1 ）分解对象是多项式，分解结果必须是积的形式，且积的因式必须是整式，这三个要素缺一不可； （ 2 ）因式分解必须是恒等变形； （ 3 ）因式分解必须分解到每个因式都不能分解为止． 弄清因式分解与整式乘法的内在的关系． 因式分解与整式乘法是互逆变形，因式分解是把和差化为积的形式，而整式乘法是把积化为和差的形式． 第十五章 整式乘除与因式分解 98 二、熟练掌握因式分解的常用方法． 1 、提公因式法 （ 1 ）掌握提公因式法的概念； （ 2 ）提公因式法的关键是找出公因式，公因式的构成一般情况下有三部分：①系数 —— 各项系数的最大公约数；②字母 —— 各项含有的相同字母；③指数 —— 相同字母的最低次数； （ 3 ）提公因式法的步骤：第一步是找出公因式；第二步是提取公因式并确定另一因式．需注意的是，提取完公因式后，另一个因式的项数与原多项式的项数一致，这一点可用来检验是否漏项． （ 4 ）注意点：①提取公因式后各因式应该是最简形式，即分解到“底”；②如果多项式的第一项的系数是负的，一般要提出“－”号，使括号内的第一项的系数是正的． 第十五章 整式乘除与因式分解 99   2 、公式法 运用公式法分解因式的实质是把整式中的乘法公式反过来使用； 常用的公式： ①平方差公式： a² － b² ＝ （ a ＋ b ）（ a － b ） ②完全平方公式： a² ＋ 2ab ＋ b² ＝（ a ＋ b ） ² a² － 2ab ＋ b² ＝（ a － b ） ²  ③ 立方和（差）公式： (a+b)(a 2 -ab+b 2 ) =a 3 +b 3 (a-b)(a 2 +ab+b 2 ) =a 3 -b 3 第十五章 整式乘除与因式分解