2021届课标版高考文科数学一轮复习教师用书：第十四章 推理与证明
第十四章 推理与证明
1.[改编题]下面结论正确的个数是( )
(1)综合法是直接证明,分析法是间接证明.
(2)分析法是从要证明的结论出发,逐步寻找使结论成立的充要条件.
(3)用反证法证明结论“a>b”时,应假设“a
0),则1+1t=t,t2 - t - 1=0,取正值得t=5+12.用类似方法可得12+12+12+…= .
考法1 合情推
命题角度1 归纳推理的应用
1[2019湖南省长郡中学模拟]有这样一首诗:“挑水砍柴不堪苦,请归但求穿墙术.得诀自诩无所阻,额上坟起终不悟.”在这里,我们称形如以下形式的等式具有“穿墙术”: 223=223,338=338,4415=4415,5524=5524,…,则按照以上规律,若99n=99n具有“穿墙术”,则n=
A.25 B.48 C.63 D.80
观察已知四个等式的特点,即可得出其规律,从而求出n的值.
由223=223,338=338,4415=4415,5524=5524,…, …(观察各个等式的特征,根号内与根号外、分子、分母的数字特点)
可得若99n=99n具有“穿墙术”,则n=92 - 1=80.
D
命题角度2 类比推理的应用
2在正项等差数列{an}中有a41+a42+…+a6020=a1+a2+…+a100100成立,则在正项等比数列{bn}中,类似的结论为 .
利用等差数列和等比数列的性质,类比等差数列的结论,即可得等比数列的类似的结论.
由等差数列的性质知,a41+a42+…+a6020=10(a41+a60)20=a1+a1002,a1+a2+…+a100100=50(a1+a100)100=a1+a1002,
所以a41+a42+…+a6020=a1+a2+…+a100100.
在正项等比数列{bn}中,类似的有:
20b41b42b43…b60=20(b41b60)10=20(b1b100)10=b1b100,(“和”类比“积”,“算术平均数”类比“几何平均数”)
100b1b2b3…b100=100(b1b100)50=b1b100,
所以20b41b42b43…b60=100b1b2b3…b100,
所以在正项等比数列{bn}中,类似的结论为20b41b42b43…b60=
100b1b2b3…b100.
考法2 演绎推理
3 [2019全国卷Ⅱ,5,5分][文]在“一带一路”知识测验后,甲、乙、丙三人对成绩进行预测.
甲:我的成绩比乙高.
乙:丙的成绩比我和甲的都高.
丙:我的成绩比乙高.
成绩公布后,三人成绩互不相同且只有一个人预测正确,那么三人按成绩由高到低的次序为
A.甲、乙、丙 B.乙、甲、丙 C.丙、乙、甲 D.甲、丙、乙
解法一 若甲预测正确,则乙、丙预测错误,则甲比乙成绩高,丙比乙成绩低,故3人成绩由高到低依次为甲,乙,丙;
若乙预测正确,则丙预测也正确,不符合题意;
若丙预测正确,则甲必预测错误,可得丙比乙的成绩高,乙比甲成绩高,即丙比甲、乙成绩都高,即乙预测正确,不符合题意.
解法二 看选项,判断有几个人预测正确.
对于选项A,三人按成绩由高到低的次序为甲、乙、丙,则甲对乙错丙错,符合题意;
对于选项B,三人按成绩由高到低的次序为乙、甲、丙,则甲错乙错丙错,不符合题意;
对于选项C,三人按成绩由高到低的次序为丙、乙、甲,则甲错乙对丙对,不符合题意;
对于选项D,三人按成绩由高到低的次序为甲、丙、乙,则甲对乙错丙对,不符合题意.
A
本题将数学知识与“一带一路”结合,让考生感觉到数学来源于生活.主要考查推理判断能力,考查了逻辑推理等核心素养.题目虽有一定难度,但由于这是一道选择题,若能用解法二去判断,便可轻松破解.
1.[2017全国卷Ⅱ,9,5分][文]甲、乙、丙、丁四位同学一起去向老师询问成语竞赛的成绩.老师说:你们四人中有2位优秀,2位良好,我现在给甲看乙、丙的成绩,给乙看丙的成绩,给丁看甲的成绩.看后甲对大家说:我还是不知道我的成绩.根据以上信息,则( )
A.乙可以知道四人的成绩 B.丁可以知道四人的成绩
C.乙、丁可以知道对方的成绩 D.乙、丁可以知道自己的成绩
考法3 直接证明
4已知x+y+z=1,求证:x2+y2+z2≥13.
利用基本不等式进行整理变形,然后利用x+y+z=1即可得证.
∵x2+y2≥2xy,x2+z2≥2xz,y2+z2≥2yz,
∴2x2+2y2+2z2≥2xy+2xz+2yz,
∴3x2+3y2+3z2≥x2+y2+z2+2xy+2xz+2yz,
即3(x2+y2+z2)≥(x+y+z)2.
∵x+y+z=1,∴(x+y+z)2=1,
∴3(x2+y2+z2)≥1,即x2+y2+z2≥13.
综合法是不等式证明的常用方法之一,即充分利用已知条件,经过推理论证推导出正确结论,属于由因导果法.其逻辑依据是三段论式的演绎推理方法,只有保证前提正确,推理合乎规律,才能保证结论的正确.
2.设不等式||x+1| - |x - 1||<2的解集为A.
(1)求集合A.
(2)若a,b,c∈A,求证:|1 - abcab - c|>1.
考法4 间接证明
5已知函数f (x)=ax+sin b - 3x+1(a,b∈R,且a>1)的图象过点(0, - 1).
(1)证明:函数f (x)在( - 1,+∞)上为增函数.
(2)用反证法证明:函数f (x)没有负零点.
(1)利用函数f (x)的图象过点(0, - 1),求出sin b的值.欲证函数f (x)在( - 1,+∞)上为增函数,只需证在( - 1,+∞)上, f '(x)>0即可.(2)假设函数f (x)有负零点x0,
利用函数的单调性得出矛盾,即可说明假设不成立,从而证出函数f (x)没有负零点.
(1)由于函数f (x)=ax+sin b - 3x+1(a,b∈R,且a>1)的图象过点(0, - 1),
所以f (0)= - 1,即a0+sin b - 30+1= - 1,解得sin b=1,
所以f (x)=ax+1 - 3x+1(a>1),
所以f '(x)=axln a+3(x+1)2(x≠ - 1),
所以当x∈( - 1,+∞)时, f '(x)>0,
故函数f (x)在( - 1,+∞)上为增函数.
(2)解法一 假设函数f (x)有负零点x0,(“没有”的反面是“有”,注意不要漏掉“负”字)
则f (x0)=0,故ax0+1=3x0+1 ①.(研究等式①是否成立)
由于函数y=ax+1(a>1)在R上是增函数,且a0+1=2,
所以ax0+1<2.(判断等式①左边的取值范围)
由于函数y=3x+1在( - 1,+∞)上是减函数,
当x0∈( - 1,0)时,3x0+1>3,(判断等式①右边的取值范围)
所以当x0∈( - 1,0)时,等式①不可能成立.
由于函数y=3x+1在( - ∞, - 1)上是减函数,
当x0∈( - ∞, - 1)时,3x0+1<0,
而当x0∈( - ∞, - 1)时,ax0+1>1,所以等式①不可能成立.
综上可得,等式①不可能成立,即假设错误,故函数f (x)没有负零点.
解法二 假设函数f (x)有负零点x0,则f (x0)=0,故ax0+1=3x0+1.
由于函数y=ax+1(a>1)在R上是增函数,且a0+1=2,所以ax0+1<2,所以10),两边平方得,12+12+12+12+…=m2,即12+m=m2,解得m=4.
1.D 依题意,由于甲看后还是不知道自己的成绩,说明乙、丙两人必是一个优秀、一个良好,则甲、丁两人必是一个优秀、一个良好,因此乙看了丙的成绩就可以知道自己的成绩,丁看了甲的成绩就可以知道自己的成绩,综合以上信息可知,乙、丁可以知道自己的成绩.
2.(1)由已知,令f(x)=|x+1| - |x - 1|=2,x≥1,2x, - 11,只需证|1 - abc|>|ab - c|,
只需证1+a2b2c2>a2b2+c2,只需证1 - a2b2>c2(1 - a2b2),
只需证(1 - a2b2)(1 - c2)>0.
由a,b,c∈A,得a2b2<1,c2<1,
所以(1 - a2b2)(1 - c2)>0恒成立.
综上所述,|1 - abcab - c|>1.
