【数学】2020届一轮复习人教B版三角函数图象与性质的综合应用学案

【数学】2020届一轮复习人教B版三角函数图象与性质的综合应用学案

考查角度1　三角函数图象与性质的综合应用 ‎　　分类透析一　三角函数的图象及解析式 ‎　　　　　　　　　　　　　　　　　　‎ 例1 已知函数f(x)=Asin(ωx+φ)其中A>0,ω>0,0<φ<π‎2‎的图象与x轴的交点中,相邻两个交点之间的距离为π‎2‎,且图象上的一个最低点为M‎2π‎3‎‎,-2‎.‎ ‎(1)求f(x)的解析式;‎ ‎(2)画出函数y=f(x)在[0,π]上的图象.‎ 分析 (1)x轴上相邻两个交点之间的距离是半个周期,由周期可确定ω,由图象过点M可确定A,φ.(2)用“五点法”作图,先做变量代换,然后列表、描点、连线.‎ 解析 (1)由最低点为M‎2π‎3‎‎,-2‎,得A=2.‎ 由x轴上相邻两个交点之间的距离为π‎2‎,得T‎2‎=π‎2‎,即T=π,‎ ‎∴ω=‎2πT=‎2ππ=2.‎ 又点M‎2π‎3‎‎,-2‎在函数f(x)的图象上,‎ ‎∴2sin2×‎2π‎3‎+φ=-2,即sin‎4π‎3‎‎+φ=-1,‎ ‎∴‎4π‎3‎+φ=2kπ+‎3π‎2‎,k∈Z,解得φ=2kπ+π‎6‎(k∈Z).‎ 又φ∈‎0,‎π‎2‎,∴φ=π‎6‎.‎ 故f(x)的解析式为f(x)=2sin2x+π‎6‎.‎ ‎(2)列表如下:‎ ‎2x+‎π‎6‎ π‎6‎ π‎2‎ π ‎3π‎2‎ ‎2π ‎13π‎6‎ x ‎0‎ π‎6‎ ‎5π‎12‎ ‎2π‎3‎ ‎11π‎12‎ π f(x)‎ ‎1‎ ‎2‎ ‎0‎ ‎-2‎ ‎0‎ ‎1‎ ‎　　其图象如图所示.‎ ‎　　‎ 方法技巧 (1)求函数表达式,比较难求的是φ,可以用“五点法”中的第一个点‎-φω,0‎作为突破口或者将已知点的坐标代入解析式,要尽量选最值点.‎ ‎(2)作函数图象一般用“五点法”.若用图象变换来作图,常常先平移后伸缩,这样就不容易出错,但考题中也有先伸缩后平移的,无论哪种变形,切记每个变换总是对x而言.‎ ‎　　分类透析二　三角函数的性质 例2 已知函数f(x)=(sin x+cos x)2+2cos2x-2.‎ ‎(1)求函数f(x)图象的对称轴方程;‎ ‎(2)求f(x)在x∈[0,π]上的单调递减区间;‎ ‎(3)当x∈π‎4‎‎,‎‎3π‎4‎时,求函数f(x)的最大值和最小值.‎ 分析 (1)化简函数解析式,求出对称轴方程.(2)根据正弦函数的单调递减区间,求函数f(x)在x∈[0,π]上的单调递减区间.(3)先确定ωx+φ的范围,然后根据范围求最值.‎ 解析 (1)f(x)=1+sin 2x+1+cos 2x-2=sin 2x+cos 2x=‎2‎sin‎2x+‎π‎4‎.‎ 令2x+π‎4‎=kπ+π‎2‎,k∈Z,则x=kπ‎2‎+π‎8‎,‎ 所以函数f(x)图象的对称轴方程是x=kπ‎2‎+π‎8‎,k∈Z.‎ ‎(2)令2kπ+π‎2‎≤2x+π‎4‎≤2kπ+‎3π‎2‎,k∈Z,则kπ+π‎8‎≤x≤kπ+‎5π‎8‎,k∈Z.‎ 又x∈[0,π],令k=0,得π‎8‎≤x≤‎5π‎8‎,‎ 所以f(x)在x∈[0,π]上的单调递减区间为π‎8‎‎,‎‎5π‎8‎.‎ ‎　　(3)因为x∈π‎4‎‎,‎‎3π‎4‎,‎ 所以‎3π‎4‎≤2x+π‎4‎≤‎7π‎4‎,所以-1≤sin2x+π‎4‎≤‎2‎‎2‎,‎ 所以-‎2‎≤f(x)≤1.‎ 故当x∈π‎4‎‎,‎‎3π‎4‎时,函数f(x)的最大值为1,最小值为-‎2‎.‎ 方法技巧 (1)求三角函数的周期、单调区间、最值及判断三角函数的奇偶性等问题时,往往先在定义域内化简三角函数式,尽量先化为y=Asin(ωx+φ)+B的形式,然后再求解.‎ ‎(2)讨论函数y=Asin(ωx+φ)+B的单调性、值域时,可以利用换元思想设t=ωx+φ,转化成y=Asin t+B的形式,再结合函数的图象求解.‎ ‎　　分类透析三　三角函数图象与性质的综合应用 例3 已知函数f(x)=Acos(ωx+φ)A>0,ω>0,|φ|<π‎2‎的部分图象如图所示.‎ ‎(1)求函数f(x)的解析式;‎ ‎(2)在△ABC中,角A,B,C的对边分别是a,b,c,若(2a-‎3‎c)cos B=‎3‎bcos C,求fA‎2‎+sin C的取值范围.‎ 分析 (1)先利用函数的图象,求出A,再通过函数的周期求出ω,最后通过函数的图象经过点π‎6‎‎,2‎,求出φ,即可解出函数f(x)的解析式.‎ ‎(2)由(2a-‎3‎c)cos B=‎3‎bcos C,结合正弦定理,求出cos B,利用函数的解析式求fA‎2‎+sin C的表达式,通过A的范围求出函数的取值范围. ‎ ‎　　解析 (1)由图象知,A=2,T=2‎2π‎3‎‎-‎π‎6‎=π,∴ω=‎2πT=2.‎ 由图象可知,fπ‎6‎=2,∴2cos‎2×π‎6‎+φ=2,‎ ‎∴cosπ‎3‎+φ=1,∴π‎3‎+φ=2kπ,φ=-π‎3‎+2kπ,k∈Z.‎ 又∵|φ|<π‎2‎,∴φ=-π‎3‎,‎ ‎∴f(x)=2cos‎2x-‎π‎3‎.‎ ‎(2)∵(2a-‎3‎c)cos B=‎3‎bcos C,‎ ‎∴(2sin A-‎3‎sin C)cos B=‎3‎sin Bcos C,‎ 即2sin Acos B=‎3‎(sin Bcos C+cos Bsin C)=‎3‎sin(B+C)=‎3‎sin A,∵sin A≠0,∴cos B=‎3‎‎2‎.‎ 又B∈(0,π),∴B=π‎6‎,∴A+C=‎5π‎6‎.‎ 由(1)知, fA‎2‎+sin C=2cosA-‎π‎3‎+sin C=cos A+‎3‎sin A+sin‎5π‎6‎‎-A ‎=cos A+‎3‎sin A+‎1‎‎2‎cos A+‎3‎‎2‎sin A=3sinA+‎π‎6‎.‎ 又∵A∈‎0,‎‎5π‎6‎,∴A+π‎6‎∈π‎6‎‎,π,∴sinA+‎π‎6‎∈(0,1],‎ ‎∴fA‎2‎+sin C的取值范围是(0,3].‎ 方法技巧 三角形中取值范围问题的解题思路:建立所求量(或式子)与已知角或边的关系,把角或边作为自变量,所求量(或式子)的值作为函数值,转化为函数关系,将原问题转化为求函数的值域问题.注意利用条件中的范围限制,以及三角形自身范围限制,要尽量把角或边的范围(也就是函数的定义域)找完善,避免结果的范围过大.‎ ‎1.(2017年浙江卷,18改编)已知函数f(x)=2sin x·sinπ‎6‎-x.‎ ‎(1)求fπ‎3‎及f(x)的最小正周期T的值.‎ ‎(2)求f(x)在区间‎-π‎6‎,‎π‎4‎上的最大值和最小值.‎ 解析 (1)fπ‎3‎=2sinπ‎3‎sinπ‎6‎‎-‎π‎3‎=2×‎3‎‎2‎×‎-‎‎1‎‎2‎=-‎3‎‎2‎.‎ 因为f(x)=2sin xsinπ‎6‎‎-x ‎=2sin xsinπ‎6‎cos x-cosπ‎6‎sin x ‎=sin xcos x-‎3‎sin2x=‎1‎‎2‎sin 2x-‎3‎×‎‎1-cos2x‎2‎ ‎=‎1‎‎2‎sin 2x+‎3‎‎2‎cos 2x-‎3‎‎2‎=sin‎2x+‎π‎3‎-‎3‎‎2‎,‎ 所以T=‎2π‎2‎=π.‎ ‎(2)因为-π‎6‎≤x≤π‎4‎,所以0≤2x+π‎3‎≤‎5π‎6‎,‎ 所以-‎3‎‎2‎≤sin‎2x+‎π‎3‎-‎3‎‎2‎≤1-‎3‎‎2‎,‎ 所以-‎3‎‎2‎≤f(x)≤1-‎3‎‎2‎,‎ 故f(x)在区间‎-π‎6‎,‎π‎4‎上的最大值为1-‎3‎‎2‎,最小值为-‎3‎‎2‎.‎ ‎2.(2018年上海卷,18改编)已知函数f(x)=2sin ωxcos ωx+2‎3‎sin2ωx-‎3‎(ω>0)的最小正周期为π.‎ ‎(1)求函数f(x)的单调递增区间.‎ ‎(2)将函数f(x)的图象向左平移π‎6‎个单位长度,再向上平移1个单位长度,得到函数y=g(x)的图象,若y=g(x)在[0,b](b>0)上至少含有10个零点,求b的最小值.‎ 解析 (1)f(x)=2sin ωxcos ωx+‎3‎(2sin2ωx-1)‎ ‎=sin 2ωx-‎3‎cos 2ωx=2sin‎2ωx-‎π‎3‎.‎ 由最小正周期为π,得ω=1,所以f(x)=2sin‎2x-‎π‎3‎.‎ 由2kπ-π‎2‎≤2x-π‎3‎≤2kπ+π‎2‎,k∈Z,整理得kπ-π‎12‎≤x≤kx+‎5π‎12‎,k∈Z,‎ 所以函数f(x)的单调递增区间是kπ-π‎12‎,kπ+‎‎5π‎12‎,k∈Z.‎ ‎(2)将函数f(x)的图象向左平移π‎6‎个单位长度,再向上平移1个单位长度,得到函数y=2sin 2x+1的图象,‎ 所以g(x)=2sin 2x+1.‎ 令g(x)=0,得x=kπ+‎7π‎12‎或x=kπ+‎11π‎12‎(k∈Z).‎ 若y=g(x)在[0,b]上至少含有10个零点,则b不小于第10个零点的横坐标.所以b的最小值为4π+‎11π‎12‎=‎59π‎12‎.‎ ‎3.(2015年山东卷,理16改编)已知函数f(x)=‎3‎sin 2x+cos 2x+3.‎ ‎(1)求函数f(x)的最小正周期与单调递减区间;‎ ‎(2)在△ABC中,a,b,c分别是角A,B,C的对边,若a=‎3‎,f(A)=4,求△ABC周长的最大值.‎ 解析 (1)∵f(x)=‎3‎sin 2x+cos 2x+3=2sin2x+π‎6‎+3,‎ ‎∴函数f(x)的最小正周期T=‎2π‎2‎=π.‎ 由2kπ+π‎2‎≤2x+π‎6‎≤2kπ+‎3π‎2‎,k∈Z,得kπ+π‎6‎≤x≤kπ+‎2π‎3‎,k∈Z,‎ ‎∴函数f(x)的单调递减区间为kπ+π‎6‎,kπ+‎‎2π‎3‎,k∈Z.‎ ‎(2)由f(A)=4,得2sin‎2A+‎π‎6‎+3=4,‎ ‎∴sin2A+π‎6‎=‎1‎‎2‎.‎ ‎∵00)的最小正周期为π.‎ ‎(1)求函数f(x)的单调递减区间;‎ ‎(2)若f(x)>‎2‎‎2‎,求x的取值范围.‎ 解析 (1)f(x)=‎3‎cos2ωx+sin ωxcos ωx-‎3‎‎2‎=‎3‎‎2‎(1+cos 2ωx)+‎1‎‎2‎sin 2ωx-‎3‎‎2‎=‎3‎‎2‎cos 2ωx+‎1‎‎2‎sin 2ωx=sin2ωx+π‎3‎, ‎ 因为f(x)的最小正周期为π,所以ω=1,‎ 故f(x)=sin‎2x+‎π‎3‎.‎ 由π‎2‎+2kπ≤2x+π‎3‎≤‎3π‎2‎+2kπ,k∈Z,得π‎12‎+kπ≤x≤‎7π‎12‎+kπ,k∈Z,‎ 故函数f(x)的单调递减区间为π‎12‎‎+kπ,‎7π‎12‎+kπ,k∈Z.‎ ‎(2)因为f(x)>‎2‎‎2‎,所以sin‎2x+‎π‎3‎>‎2‎‎2‎.‎ 由正弦函数的性质得π‎4‎+2kπ<2x+π‎3‎<‎3π‎4‎+2kπ,k∈Z,解得-π‎24‎+kπ0)的最小正周期为π.‎ ‎(1)求ω的值及函数f(x)的单调递增区间.‎ ‎(2)求f(x)在区间‎0,‎‎7π‎12‎上的最大值和最小值.‎ 解析 (1)f(x)=sin‎2ωx-‎π‎6‎+2cos2ωx-1‎ ‎=sin 2ωxcosπ‎6‎-cos 2ωxsinπ‎6‎+cos 2ωx ‎=sin 2ωx·‎3‎‎2‎+cos 2ωx·‎1‎‎2‎=sin‎2ωx+‎π‎6‎,‎ 因为f(x)的最小正周期为π,所以ω=1,‎ 故f(x)=sin‎2x+‎π‎6‎.‎ 由-π‎2‎+2kπ≤2x+π‎6‎≤π‎2‎+2kπ,得-π‎3‎+kπ≤x≤π‎6‎+kπ,k∈Z.‎ ‎　　故f(x)的单调递增区间为‎-π‎3‎+kπ,π‎6‎+kπ,k∈Z.‎ ‎(2)由(1)得f(x)=sin‎2x+‎π‎6‎,因为0≤x≤‎7π‎12‎,所以π‎6‎≤2x+π‎6‎≤‎4π‎3‎,‎ 所以f(x)在区间‎0,‎‎7π‎12‎上的最大值为1,最小值为-‎3‎‎2‎.‎ ‎4.(2018年湖北模拟)已知函数f(x)=Asin(ωx+φ)A>0,ω>0,|φ|<π‎2‎的图象(部分)如图所示.‎ ‎(1)求函数f(x)的解析式;‎ ‎(2)求函数f(x)在区间‎-‎1‎‎2‎,‎‎1‎‎2‎上的最大值与最小值.‎ 解析 (1)由图可知A=2,T=4‎5‎‎6‎‎-‎‎1‎‎3‎=2,∴ω=‎2πT=π.‎ 由f‎1‎‎3‎=2sinπ‎3‎‎+φ=2,可得π‎3‎+φ=2kπ+π‎2‎,解得φ=2kπ+π‎6‎,k∈Z.‎ 又|φ|<π‎2‎,∴φ=π‎6‎,∴f(x)=2sinπx+‎π‎6‎.‎ ‎(2)∵x∈‎-‎1‎‎2‎,‎‎1‎‎2‎,∴πx+π‎6‎∈‎-π‎3‎,‎‎2π‎3‎,‎ ‎∴-‎3‎≤2sinπx+‎π‎6‎≤2,即f(x)的最大值是2,最小值是-‎3‎.‎