【数学】2018届一轮复习人教A版9-6双曲线学案
§9.6 双曲线
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1.了解双曲线的定义、几何图形和标准方程，知道它的简单几何性质．
2．了解圆锥曲线的简单应用、了解双曲线的实际背景、了解双曲线在刻画现实世界或解决实际问题中的作用．
3．理解数形结合的思想．
考点1 双曲线的定义
双曲线的定义
平面内与两个定点F1，F2的________等于常数(小于|F1F2|)的点的轨迹叫做双曲线．这两个定点叫做________，两焦点间的距离叫做________．
集合P＝{M|||MF1|－|MF2||＝2a}，|F1F2|＝2c，其中a，c为常数且a>0，c>0.
(1)当________时，P点的轨迹是双曲线；
(2)当________时，P点的轨迹是两条射线；
(3)当________时，P点不存在．
答案：距离的差的绝对值 双曲线的焦点 双曲线的焦距 (1)a
c
(1)[教材习题改编]已知双曲线两个焦点分别为F1(－5,0)，F2(5,0)．双曲线上一点P到F1，F2距离之差的绝对值等于6，则双曲线的标准方程为________．
答案：－＝1
解析：由已知可知，双曲线的焦点在x轴上，且c＝5，a＝3，∴b＝4，故所求方程为－＝1.
(2)[教材习题改编]双曲线的方程为x2－2y2＝1，则它的右焦点坐标为________．
答案：
解析：将双曲线方程化为标准方程为x2－＝1，∴a2＝1，b2＝，∴c2＝a2＋b2＝，
∴c＝，故右焦点坐标为.
双曲线的定义：关注定义中的条件．
(1)动点P到两定点A(0，－2)，B(0,2)的距离之差的绝对值等于4，则动点P的轨迹是________．
答案：两条射线
解析：因为||PA|－|PB||＝4＝|AB|，
所以动点P的轨迹是以A，B为端点，且没有交点的两条射线．
(2)动点P到点A(－4,0)的距离比到点B(4,0)的距离多6，则动点P的轨迹是________．
答案：双曲线的右支，即－＝1(x≥3)
解析：依题意有|PA|－|PB|＝6<8＝|AB|，
所以动点P的轨迹是双曲线，但由|PA|－|PB|＝6知，
动点P的轨迹是双曲线的右支，即－＝1(x≥3)．
[典题1] (1)已知圆C1：(x＋3)2＋y2＝1和圆C2：(x－3)2＋y2＝9，动圆M同时与圆C1及圆C2相外切，则动圆圆心M的轨迹方程为________．
[答案] x2－＝1(x≤－1)
[解析] 如图所示，设动圆M与圆C1及圆C2分别外切于A和B.
根据两圆外切的条件，
得|MC1|－|AC1|＝|MA|，
|MC2|－|BC2|＝|MB|，
因为|MA|＝|MB|，
所以|MC1|－|AC1|＝|MC2|－|BC2|，
即|MC2|－|MC1|＝|BC2|－|AC1|＝2，
所以点M到两定点C1，C2的距离的差是常数且小于|C1C2|.
根据双曲线的定义，得动点M的轨迹为双曲线的左支(点M与C2的距离大，与C1的距离小)，
其中a＝1，c＝3，则b2＝8.
故点M的轨迹方程为x2－＝1(x≤－1)．
(2)已知F是双曲线－＝1的左焦点，A(1,4)，P是双曲线右支上的动点，则|PF|＋|PA|的最小值为________．
[答案] 9
[解析] 如图所示，
设双曲线的右焦点为E，则E(4,0)．
由双曲线的定义及标准方程得|PF|－|PE|＝4，
则|PF|＋|PA|＝4＋|PE|＋|PA|.
由图可得，当A，P，E三点共线时，
(|PE|＋|PA|)min＝|AE|＝5，
从而|PF|＋|PA|的最小值为9.
[点石成金] 双曲线定义的应用主要有两个方面：一是判定平面内动点与两定点的轨迹是否为双曲线，进而根据要求可求出曲线方程；二是在“焦点三角形”中，常利用正弦定理、余弦定理，经常结合||PF1|－|PF2||＝2a，运用平方的方法，建立与|PF1|，|PF2|的联系．
考点2 双曲线的标准方程与性质
双曲线的标准方程和几何性质
标准方程
－＝1
－＝1
(a＞0，b＞0)
(a＞0，b＞0)
图形
性
质
范围
x≤－a或
x≥a，y∈R
y≤－a或
y≥a，x∈R
对称性
对称轴：________
对称中心：________
顶点
顶点坐标：A1______，
A2______
顶点坐标：A1______，A2______
渐近线
y＝±x
y＝±x
离心率
e＝，e∈(1，＋∞)
a，b，c
的关系
c2＝________
实虚轴
线段A1A2叫做双曲线的实轴，它的长|A1A2|＝________；
线段B1B2叫做双曲线的虚轴，它的长|B1B2|＝________；
a叫做双曲线的实半轴长，b叫做双曲线的虚半轴长
答案：坐标轴 原点 (－a,0) (a,0) (0，－a) (0，a) a2＋b2 2a 2b
(1)[教材习题改编]若实数k满足00，b>0)．
由已知可知＝，b＝，
所以a2＝1，即所求方程为x2－＝1.
当实轴在y轴上时，设双曲线的方程为－＝1(a>0，b>0)．
由已知可得b＝，＝，
所以a2＝9，即所求方程为－＝1.
求双曲线的标准方程：待定系数法．
对称轴为坐标轴，经过点P(3,2)，Q(－6,7)的双曲线是________．
答案：－＝1
解析：由于不能确定双曲线的焦点在哪个轴上，故可设双曲线方程为Ax2＋By2＝1(AB＜0)．
∵所求双曲线经过P(3,2)，Q(－6,7)，
∴解得A＝，B＝－.
故所求双曲线方程为－＝1.
[考情聚焦] 双曲线的标准方程和几何性质是每年高考命题的热点，尤其是渐近线与离心率问题，考查的力度比较大．
主要有以下几个命题角度：
角度一
求双曲线的标准方程
[典题2] (1)过双曲线C：－＝1(a＞0，b＞0)的右顶点作x轴的垂线，与C的一条渐近线相交于点A.若以C的右焦点为圆心、半径为4的圆经过A，O两点(O为坐标原点)，则双曲线C的方程为( )
A.－＝1 B.－＝1
C.－＝1 D.－＝1
[答案] A
[解析] 由双曲线方程知右顶点为(a,0)，
设其中一条渐近线方程为y＝x，
可得点A的坐标为(a，b)．
设右焦点为F(c,0)，由已知可知c＝4，且|AF|＝4，即(c－a)2＋b2＝16，
所以有(c－a)2＋b2＝c2，
又c2＝a2＋b2，则c＝2a，即a＝＝2，
所以b2＝c2－a2＝42－22＝12.
故双曲线的方程为－＝1，故选A.
(2)[2017·辽宁沈阳四校联考]设双曲线与椭圆＋＝1有共同的焦点，且与椭圆相交，一个交点的坐标为(，4)，则此双曲线的标准方程是________．
[答案] －＝1
[解析] 解法一：椭圆＋＝1的焦点坐标是(0，±3)，
设双曲线方程为－＝1(a>0，b>0)，
根据定义知2a＝|－|＝4，
故a＝2.又b2＝32－a2＝5，
故所求双曲线的方程为－＝1.
解法二：椭圆＋＝1的焦点坐标是(0，±3)．
设双曲线方程为－＝1(a>0，b>0)，
则a2＋b2＝9，
又点(，4)在双曲线上，所以－＝1，
解得a2＝4，b2＝5.
故所求双曲线的方程为－＝1.
解法三：设双曲线的方程为＋＝1(27<λ<36)，
由于双曲线过点(，4)，故＋＝1，
解得λ1＝32，λ2＝0(舍去)．
故所求双曲线方程为－＝1.
[点石成金] 求双曲线标准方程的一般方法
(1)待定系数法：设出双曲线方程的标准形式，根据已知条件，列出参数a，b，c的方程，并求出a，b，c的值．与双曲线－＝1有相同渐近线时，可设所求双曲线方程为－＝λ(λ≠0)．
(2)定义法：依定义得出距离之差的等量关系式，求出a的值，由定点位置确定c的值．
角度二
已知离心率求渐近线方程
[典题3] 若双曲线－＝1的离心率为，则其渐近线方程为( )
A．y＝±2x B．y＝±x
C．y＝±x D．y＝±x
[答案] B
[解析] 在双曲线中离心率e＝＝ ＝，可得＝，故所求的双曲线的渐近线方程是y＝±x.
角度三
已知渐近线求离心率
[典题4] [2017·苏北四市联考改编]已知双曲线的一条渐近线方程为2x－y＝0，则该双曲线的离心率为________．
[答案] 或
[解析] 根据双曲线的渐近线方程知＝2或＝2.则e＝＝或.
角度四
由离心率或渐近线方程求双曲线方程
[典题5] 下列双曲线中，焦点在y轴上且渐近线方程为y＝±2x的是( )
A．x2－＝1 B.－y2＝1
C.－x2＝1 D．y2－＝1
[答案] C
[解析] 由双曲线焦点在y轴上，排除选项A，B，选项C中双曲线的渐近线方程为y＝±2x，故选C.
角度五
利用渐近线与已知直线位置关系求离心率范围
[典题6] 已知双曲线－＝1与直线y＝2x有交点，则双曲线离心率的取值范围为( )
A．(1，) B．(1， ]
C．(，＋∞) D．[，＋∞)
[答案] C
[解析] ∵双曲线的一条渐近线方程为y＝x，则由题意得＞2，
∴e＝＝ ＞＝.
即双曲线离心率的取值范围为(，＋∞)．
[点石成金] 解决有关渐近线与离心率关系问题的两个注意点
(1)已知渐近线方程y＝mx，若焦点位置不明确要分|m|＝或|m|＝讨论．
(2)注意数形结合思想在求渐近线夹角、离心率范围中的应用．
考点3 直线与双曲线的位置关系
[典题7] 若双曲线E：－y2＝1(a＞0)的离心率等于，直线y＝kx－1与双曲线E的右支交于A，B两点．
(1)求k的取值范围；
(2)若|AB|＝6，点C是双曲线上一点，且＝m(＋)，求k，m的值．
[解] (1)由得
故双曲线E的方程为x2－y2＝1.
设A(x1，y1)，B(x2，y2)，由
得(1－k2)x2＋2kx－2＝0.①
∵直线与双曲线右支交于A，B两点，
∴
即
∴1＜k＜.
故k的取值范围为(1，)．
(2)由①得x1＋x2＝，x1x2＝，
∴|AB|＝·
＝2＝6，
整理得28k4－55k2＋25＝0，
∴k2＝或k2＝.
又1＜k＜，∴k＝，
∴x1＋x2＝4，y1＋y2＝k(x1＋x2)－2＝8.
设C(x3，y3)，由＝m(＋)，
得(x3，y3)＝m(x1＋x2，y1＋y2)＝(4m,8m)．
∵点C是双曲线上一点，
∴80m2－64m2＝1，得m＝±.
故k＝，m＝±.
[点石成金] 研究直线与双曲线位置关系问题的通法：将直线方程代入双曲线方程，消元，得关于x或y的一元二次方程．当二次项系数等于0时，直线与双曲线相交于某支上一点，这时直线平行于一条渐近线；当二次项系数不等于0时，用判别式Δ来判定.
已知双曲线E的中心为原点，F(3,0)是E的焦点，过F的直线l与E相交于A，B两点，且AB的中点为N(－12，－15)，求双曲线E的方程．
解：设双曲线E的标准方程为－＝1(a>0，b>0)，
由题意知c＝3，a2＋b2＝9，
设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则有
两式作差，得
＝＝＝，
又AB的斜率是＝1，
所以将4b2＝5a2代入a2＋b2＝9得a2＝4，b2＝5.
所以双曲线E的标准方程是－＝1.
[方法技巧] 1.双曲线标准方程的求法
(1)当已知双曲线的焦点不明确而又无法确定时，其标准方程可设为－＝1(mn>0)，这样可避免讨论和复杂的计算；也可设为Ax2＋By2＝1(AB<0)，这种形式在解题时更简便；
(2)当已知双曲线的渐近线方程bx±ay＝0，求双曲线方程时，可设双曲线方程为b2x2－a2y2＝λ(λ≠0)，据其他条件确定λ的值；
(3)与双曲线－＝1有相同的渐近线的双曲线方程可设为－＝λ(λ≠0)，据其他条件确定λ的值．
2．已知双曲线的标准方程求双曲线的渐近线方程时，只要令双曲线的标准方程中“1”为“0”就得到两渐近线方程，即方程－＝0就是双曲线－＝1(a>0，b>0)的两条渐近线方程．
3．双曲线为等轴双曲线⇔双曲线的离心率e＝⇔双曲线的两条渐近线互相垂直(位置关系)．
4．过双曲线的一个焦点且与实轴垂直的弦的长为.
5．过双曲线焦点F1的弦AB与双曲线交在同支上，则AB与另一个焦点F2构成的△ABF2的周长为4a＋2|AB|.
[易错防范] 1.在运用双曲线的定义解题时，应特别注意定义中的条件“差的绝对值”，弄清是指整条双曲线还是双曲线的某一支．
2．双曲线－＝1(a>0，b>0)的渐近线方程是y＝±x，－＝1(a>0，b>0)的渐近线方程是y＝±x.
3．直线与双曲线交于一点时，不一定相切，例如：当直线与双曲线的渐近线平行时，直线与双曲线相交于一点，但不是相切；反之，当直线与双曲线相切时，直线与双曲线仅有一个交点．
4．要牢记在双曲线中c2＝a2＋b2，离心率e>1这两点是不同于椭圆的．
真题演练集训
1．[2016·新课标全国卷Ⅰ]已知方程－＝1表示双曲线，且该双曲线两焦点间的距离为4，则n的取值范围是( )
A．(－1,3) B．(－1，)
C．(0,3) D．(0，)
答案：A
解析：由题意，得(m2＋n)(3m2－n)>0，解得－m21)与双曲线C2：－y2＝1(n>0)的焦点重合，e1，e2分别为C1，C2的离心率，则( )
A．m>n且e1e2>1 B．m>n且e1e2<1
C．m1 D．mn，又(e1e2)2＝·＝·＝＝1＋>1，所以e1e2>1.故选A.
5．[2016·北京卷]双曲线－＝1(a＞0，b＞0)的渐近线为正方形OABC的边OA，OC所在的直线，点B为该双曲线的焦点．若正方形OABC
的边长为2，则a＝________.
答案：2
解析：双曲线－＝1的渐近线方程为y＝±x，由已知可得两条渐近线方程互相垂直，由双曲线的对称性可得＝1.又正方形OABC的边长为2，所以c＝2，所以a2＋b2＝c2＝(2)2，解得a＝2.
6．[2016·山东卷]已知双曲线E：－＝1(a＞0，b＞0)，若矩形ABCD的四个顶点在E上，AB，CD的中点为E的两个焦点，且2|AB|＝3|BC|，则E的离心率是________．
答案：2
解析： 如图，由题意不妨设|AB|＝3，则|BC|＝2.设AB，CD的中点分别为M，N，则在Rt△BMN中，
|MN|＝2c＝2，
故|BN|＝
＝＝.
由双曲线的定义可得2a＝|BN|－|BM|＝－＝1，而2c＝|MN|＝2，所以双曲线的离心率e＝＝2.
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求双曲线离心率的易错点
[典例] [2016·天津模拟]已知双曲线－＝1(mn>0)的一条渐近线方程为y＝±x，则该双曲线的离心率为________．
[易错分析] (1)未考虑m，n的取值，易漏掉焦点在另一坐标轴上的情况；
(2)易将弄错，从而导致失分．
[解析] 当m>0，n>0时，
则有＝，所以＝，
e＝＝＝；
当m<0，n<0时，
则有＝，所以＝，
e＝＝＝，
综上可知，该双曲线的离心率为或.
[答案] 或
温馨提醒
(1)对于方程－＝1表示的曲线一定要视m，n的不同取值进行讨论，m，n的取值不同表示的曲线就不同．
(2)对于双曲线－＝1(mn>0)的焦点位置不同，则的值就不一样，一定要注意区分．
