河南省新野县第一高级中学校2019-2020学年高二下学期周考数学（理）试题

河南省新野县第一高级中学校2019-2020学年高二下学期周考数学（理）试题

‎2020学年高二（下）第二次周考数学试卷（理科）‎ 一、选择题（本大题共20小题，每小题5分，共100分）‎ ‎1．在复平面内，复数+（1+i）2的共轭复数对应的点位于（　　）‎ A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 ‎2．用反证法证明命题：“三角形的内角中至少有一个不大于60度”时，假设正确的是（　　）‎ A．假设三内角都不大于60度 B．假设三内角都大于60度 C．假设三内角至多有一个大于60度 D．假设三内角至多有两个大于60度 ‎3．已知a，b∈R，i是虚数单位，若a﹣i与2+bi互为共轭复数，且z=（a+bi）2，则z的模为（　　）．‎ A．5 B．‎25 ‎C．1 D．‎ ‎4．已知f'（x0）=a，则的值为（　　）‎ A．﹣‎2a B．‎2a C．a D．﹣a ‎5．已知函数f（x）=x3+ax2+（a+6）x+1有极大值和极小值，则实数a的取值范围是（　　）‎ A．﹣1＜a＜2 B．﹣3＜a＜‎6 ‎ C．a＜﹣3或a＞6 D．a＜﹣1或a＞2‎ ‎6．已知函数f（x）的导函数为f’(x)，且满足f（x）=2xf’(e)+lnx，则f′（e）=（ 　）‎ A．1 B．﹣‎1 ‎C．﹣e﹣1 D．﹣e ‎7．若f（x）=x2+‎2‎f（x）dx，则f（x）dx=（　　）‎ A．﹣1 B．﹣ C． D．1‎ ‎8.设圆柱的表面积为S，当圆柱体积最大时，圆柱的高为（　　）‎ A． B． C． D．3π ‎9．若a=，b=，c=，则a，b，c大小关系是（　　）‎ A．a＜c＜b B．a＜b＜c C．c＜b＜a D．c＜a＜b ‎10．已知结论：“在正三角形ABC中，若D是边BC的中点，G是三角形ABC的重心，则”，若把该结论推广到空间，则有结论：“在棱长都相等的四面体ABCD中，若△BCD的中心为M，四面体内部一点O到四面体各面的距离都相等，则＝（　　）‎ A．1 B．‎2 ‎C．3 D．4‎ ‎11．已知函数f（x）=lnx，g（x）=x2+a（a为常数），直线m与函数f（x），g（x）的图象都相切，且m与函数f（x）图象的切点的横坐标为1，则a的值为（　　）‎ A．1 B．﹣ C．﹣1 D．2‎ ‎12．用数学归纳法证明（n+1）（n+2）…（n+n）=2n•1•3…（2n﹣1）（n∈N+）时，由“n=k→n=k+‎1”‎等式两边需同乘一个代数式，它是（　 　）‎ A．2k+2 B．（2k+1）（2k+2） C． D．‎ ‎13．如果复数z满足|z+2i|+|z﹣2i|=4，则|z+i+1|的最小值为（　　）‎ A．1 B． C．2 D．‎ ‎14．已知函数f（x）=x（x﹣m）3在x=2处取得极小值，则常数m的值为（　　）‎ A．2 B．‎8 C．2或8 D．以上答案都不对 ‎15．已知函数f（x）定义域为R，f（﹣1）=2，任意x∈R，f′（x）＞2，则f（x）＞2x+4的解集为（　　）‎ A．（﹣1，1） B．（﹣1，+∞） C．（﹣∞，﹣1） D．（﹣∞，+∞）‎ ‎16．已知点列如下：P1（1，1），P2（1，2），P3（2，1），P4（1，3），P5（2，2），P6（3，1），‎ P7（1，4），P8（2，3），P9（3，2），P10（4，1），P11（1，5），P12（2，4），…，‎ 则P60的坐标为（　　）‎ A．（3，8） B．（4，7） C．（4，8） D．（5，7）‎ ‎17.（5分）已知f（x）＝x3﹣6x2+9x﹣abc，a＜b＜c，且f（a）＝f（b）＝f（c）＝0．‎ 现给出如下结论：‎ ‎①f（0）f（1）＞0；‎ ‎②f（0）f（1）＜0；‎ ‎③f（0）f（3）＞0；‎ ‎④f（0）f（3）＜0．‎ 其中正确结论的序号是（　 　）‎ A．②③ B．①④ C．①③ D．②④‎ ‎18．已知f（x）为定义在（﹣∞，+∞）上的可导函数，且f（x）＞f′（x）对于x∈R恒成立（e为自然对数的底），则（　　）‎ A．e2019•f（2020）＞e2020•f（2019） B．e2019•f（2020）=e2020•f（2019）‎ C．e2019•f（2020）＜e2020•f（2019） D．e2019•f（2020）与e2020•f（2019）大小不确定 ‎19.已知函数f（x+1）是偶函数，且x＞1时，f′（x）＜0恒成立，又f（4）=0，‎ 则（x+3）f（x+4）＜0的解集为（　　）‎ A．（﹣∞，﹣2）∪（4，+∞） B．（﹣6，﹣3）∪（0，4）‎ C．（﹣∞，﹣6）∪（4，+∞） D．（﹣6，﹣3）∪（0，+∞）‎ ‎20.定义在R上的可导函数f（x），且f（x）图象连续不断，f′（x）是f（x）的导数，‎ 当x≠0时，f′（x）+＞0，则函数g（x）=f（x）+的零点的个数（　　）‎ A．0 B．‎1 ‎C．2 D．0或2　‎ 二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分）‎ ‎21．若等差数列{an}的公差为d，前n项的和为Sn，则数列为等差数列，公差为．类似地，若各项均为正数的等比数列{bn}的公比为q，前n项的积为Tn，则数列为等比数列，公比为　 　．‎ ‎22．若不等式|x+1|+|x﹣3|≥a对任意的实数x恒成立，则实数a的取值范围是 　．‎ ‎23．由曲线y=，直线y=x﹣4以及x轴所围成的图形绕x轴旋转一周所得旋转体的体积为　 　．‎ ‎24．已知函数f（x）=ax3﹣3x2+1，若f（x）存在唯一的零点x0，且x0＞0．则a的取值范围是　 　．‎ 三、解答题：本大题共2小题，共30分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．‎ ‎25．（1）（5分）△ABC的三边a，b，c的倒数成等差数列，求证：B＜；（提示：可以利用反证法证明）‎ ‎（2）（5分）设x＞0，y＞0，求证：（x2+y2）＞（x3+y3）．‎ ‎（3）（5分）已知a、b、c∈R+，且a+b+c=1．求证：．‎ ‎26．（15分）已知函数f（x）=ex﹣1﹣x．‎ ‎（1）求y=f（x）在点（1，f（1））处的切线方程；‎ ‎（2）若存在，使a﹣ex+1+x＜0成立，求a的取值范围；‎ ‎（3）当x≥0时，f（x）≥tx2恒成立，求t的取值范围．‎ ‎　‎ ‎2020高二（下）第二次周考数学试卷（理科）答案 ‎1--5 CBABC 6--10 CBCDC 11-15 BDABB 16--20 DACDA ‎21. 22.（﹣∞，4] 23. 24.（﹣∞，﹣2） ‎ ‎25.证明：（1）假设，故在△ABC中角B是最大角，从而b＞a，b＞c，‎ 所以，于是.由题意得：．互相矛盾． 故；‎ （2） ‎∵x＞0，y＞0，∴要证明：（x2+y2）＞（x3+y3），‎ 只需证明：（x2+y2）3＞（x3+y3）2． 即证x2y2（3x2﹣2xy+3y2）＞0，‎ 只需证明3x2﹣2xy+3y2＞0，∵3x2﹣2xy+3y2=2x2+2y2+（x﹣y）2＞0， ∴不等式成立．‎ ‎（3）a、b、c∈R+，且a+b+c=1，‎ 可得﹣1=≥，当且仅当b=c时等号成立 同理：﹣1=≥，当且仅当a=c时等号成立， ‎ ‎ ﹣1=≥，当且仅当a=b时等号成立，‎ 相乘可得，••≥••=8，当且仅当a=b=c时等号成立 则有．‎ ‎26.解（1）∵函数f（x）=ex﹣1﹣x．‎ f′（x）=ex﹣1，f（1）=e﹣2，f′（1）=e﹣1．‎ ‎∴f（x）在（1，f（1））处的切线方程为y﹣e+2=（e﹣1）（x﹣1），‎ 即y=（e﹣1）x﹣1．............................4分 ‎（2）a＜ex﹣1﹣x，即a＜f（x）． 令f′（x）=ex﹣1=0，x=0．‎ ‎∵x＞0时，f′（x）＞0，x＜0时，f′（x）＜0．‎ ‎∴f（x）在（﹣∞，0）上减，在（0，+∞）上增．‎ 又时， ∴f（x）的最大值在区间端点处取到................6分 ‎，，‎ ‎∴，∴f（x）在上最大值为，‎ 故a的取值范围是，...........................8分 ‎（3）由已知得x≥0时，ex﹣x﹣1﹣tx2≥0恒成立，‎ 设g（x）=ex﹣x﹣1﹣tx2 则g′（x）=ex﹣1﹣2tx．‎ 由（2）知ex≥1+x，当且仅当x=0时等号成立，‎ 故g′（x）≥x﹣2tx=（1﹣2t）x，从而当1﹣2t≥0，‎ 即时，g′（x）≥0（x≥0），‎ ‎∴g（x）为增函数，又g（0）=0，‎ 于是当x≥0时，g（x）≥0，即f（x）≥tx2，‎ ‎∴时符合题意．..............................................13分 由ex＞1+x（x≠0）可得e﹣x＞1﹣x（x≠0），从而当时，g′（x）＜ex﹣1+2t（e﹣x﹣1）=e﹣x（ex﹣1）（ex﹣2t），‎ 故当x∈（0，ln2t）时，g′（x）＜0，‎ ‎∴g（x）为减函数，又g（0）=0，‎ 于是当x∈（0，ln2t）时，g（x）＜0，即f（x）≤tx2，‎ 故，不符合题意．综上可得t的取值范围为 ...............15分