上海市进才中学2019-2020学年高二上学期10月月考数学试题

上海市进才中学2019-2020学年高二上学期10月月考数学试题

‎2019-2020年进才中学高二上10月月考 一.填空题 ‎1.已知，，则的单位向量是________.‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 写出的坐标，求出的模长，利用即可求出的单位向量.‎ 详解】‎ 即 故答案为：‎ ‎【点睛】本题主要考查了向量的坐标运算，考查学生对模长和数量积的坐标表示，属于基础题.‎ ‎2.若向量、满足，且与夹角为，则在上的投影为________.‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 利用即可求解.‎ ‎【详解】 ‎ 即在上的投影为 故答案为：‎ ‎【点睛】本题主要考查了向量的投影，属于基础题.‎ ‎3.若，则________．‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 利用结合题意即可求解.‎ ‎【详解】‎ 故答案为：‎ ‎【点睛】本题主要考查了向量的运算性质，属于基础题.‎ ‎4.已知中，，，，则________.‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 利用，表示，结合三角形法则求出.‎ ‎【详解】， ‎ ‎ ‎ 故答案：‎ ‎【点睛】本题主要考查了平面向量的基本定理，属于基础题.‎ ‎5.已知G是的重心，若A、B、C的坐标分别为、、，则点G的坐标为________.‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 利用重心坐标公式即可求解.‎ ‎【详解】G是的重心 ‎ ‎ 故答案为：‎ ‎【点睛】本题主要考查了重心坐标公式，属于基础题.‎ ‎6.已知，，，则向量、的夹角大小为________.‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】‎ 分析】‎ 利用模长公式以及数量积公式对进行化简，即可求解.‎ ‎【详解】 ‎ 设向量、的夹角为 即 ，解得 ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ 故答案为：‎ ‎【点睛】本题主要考查了向量的模长以及数量积、向量的夹角的求法，属于基础题.‎ ‎7.向量，，且、的夹角为锐角，则实数k的取值范围是________.‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 利用模长以及数量积公式求出，，，，结合题意得到，化简即可求出实数k的取值范围.‎ ‎【详解】,‎ ‎ ‎ 由于、的夹角为锐角 则，解得：或 ‎ 故答案为：‎ ‎【点睛】本题主要考查了向量的模长以及数量积、向量的夹角的求法，属于中等题.‎ ‎8.已知平面内三点A、B、C满足，，，则的值为________.‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】‎ 分析】‎ 由勾股定理得到，从而得到，利用向量运算法则及向量的运算律求出值..‎ ‎【详解】 ‎ ‎,即 所以 故答案为：‎ ‎【点睛】本题主要考查平面向量的数量积以及向量的运算法则，属于基础题.‎ ‎9.在边长为1的等边三角形ABC中,设=2=3,则=_____.‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】‎ 试题分析：因为，所以为的中点即，∵，‎ ‎∴，‎ ‎∴‎ 考点：向量线性运算与数量积的几何运算.‎ ‎10.如图，O为直线外一点，若、、、、…、中任意相邻两点的距离相等，设，，用、表示________.‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 设为线段的中点,利用平行四边形法则求出，即可求解.‎ ‎【详解】设为线段的中点，则也为线段，的中点 由平行四边形法则可知 ‎ ‎ ‎ ‎ 所以 故答案为：‎ ‎【点睛】本题主要考查了向量的运算性质，利用平行四边形法则求解是解题的关键,属于中档题.‎ ‎11.已知点、、，平面区域P是由所有满足的点M组成的区域，若区域P的面积为16，则m的值为________.‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 利用数量积公式求出，根据题意画出符合条件的组成的区域是平行四边形，利用面积建立等量关系，化简即可求解.‎ ‎【详解】设，，，，‎ 所以，‎ 令，以为邻边作平行四边形 令，以为邻边作平行四边形 因为，‎ 所以符合条件的组成的区域是平行四边形，如图所示 所以 ，解得：‎ 故答案为：‎ ‎【点睛】本题主要考查了平面向量的基本定理以及平行四边形法则，属于中等题.‎ ‎12.已知C为线段AB上一点，P为直线AB外一点，I为线段PC上一点，满足，，，且，，则的值为_______.‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 由题设条件，得出点为三角形的内心，根据内心的性质结合数量积的公式求解即可.‎ ‎【详解】由题中已知条件可知，，所以在、两个向量方向上的投影相等，所以在的角平分线上；‎ 又因为，，所以，，即在的角平分线上；‎ 又因为在上，所以为三角形内心，作各边的垂线，如下图所示：‎ 由内心的性质可知，设，，，因为，，所以得到，解得，则 故答案为：‎ ‎【点睛】本题考查向量在几何中的应用，本题解题的关键是正确理解条件中所给的几个关系式，注意把条件转化成我们所熟悉的条件，本题是一个比较好的题目．‎ 二.选择题 ‎13.下列命题中，正确的命题是（ ）‎ A. 若，则或 B. 的充要条件是 C. 若，则 D. 若，，，则、方向相反 ‎【答案】D ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 由时，有可能，判断A选项；模长相等不一定向量相等，判断B选项；由时，满足，判断C选项，利用模长公式以及数量积公式求出，判断D选项.‎ ‎【详解】A项，当时，有可能，故A错误；‎ B项，说明向量，的模长相等，向量，不一定相等，故B错误;‎ C项，当时，满足，但是，不一定相等，故C错误；‎ D项，，则， ，即向量，的夹角为，故D正确.‎ 故选：D.‎ ‎【点睛】本题主要考查了平面向量的基本性质，属于基础题.‎ ‎14.若，则三角形ABC必定是（ ）三角形 A. 锐角 B. 直角 C. 钝角 D. 等腰直角 ‎【答案】B ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 由得到，，即可求解.‎ ‎【详解】‎ ‎，即 ‎ 所以三角形ABC必定是直角三角形 故选：B ‎【点睛】本题主要考查了平面向量的基本运算，属于基础题.‎ ‎15.已知非零在非零方向上的投影是，，下列说法正确的是（ ）‎ A. 在方向上的投影定是 B. 在方向上的投影定是 C. 在方向上的投影定是 D. 在方向上的投影定是 ‎【答案】C ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 利用数量积公式将非零在非零方向上的投影写为，再写出在方向上的投影，讨论的值，即可判断.‎ ‎【详解】因为非零在非零方向上的投影为 所以在方向上的投影为 当时，在方向上的投影为 当时，在方向上的投影为 故选：C ‎【点睛】本题主要考查了平面向量的数量积公式以及投影的概念，属于基础题.‎ ‎16.设、、、…、是平面上给定的2019个不同点，则使成立的点M的个数为（ ）‎ A. 0 B. 1 C. 5 D. 无数个 ‎【答案】B ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 将、、、…、、表示为坐标，利用向量的坐标运算，即可求解.‎ ‎【详解】在平面坐标系内，是，， ，，。因为 所以 解得， ‎ 因为、、、…、给定，则固定，所以只有一个 故选：B ‎【点睛】本题主要考查平面向量的线性运算，关键是利用坐标来解决问题，属于基础题.‎ 三.解答题 ‎17.已知、都是单位向量，与满足，其中.‎ ‎(1)用k表示；‎ ‎(2)求的最小值，并求此时、的夹角的大小.‎ ‎【答案】(1)；(2)，‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎(1)对两边平方，化简即可求解;‎ ‎(2)利用基本不等式求出的最小值，再结合数量积公式求出此时、的夹角.‎ ‎【详解】(1)‎ ‎ ‎ 即 ‎(2)由(1)可知 ‎ 当且仅当时，取最小值 此时、的夹角的余弦值为，‎ 所以的最小值为，此时、的夹角为.‎ ‎【点睛】本题主要考查了平面向量的数量积公式以及夹角的求法，属于中档题.‎ ‎18.已知，，且和的夹角为，设，.‎ ‎（1）求y的值；‎ ‎（2）若，求实数的值.‎ ‎【答案】（1）；（2）‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎(1)利用数量积公式即可求解；‎ ‎(2)利用两向量垂直，数量积为0，列出方程，化简即可求解.‎ ‎【详解】(1),,‎ ‎ ,,解得：‎ ‎(2) ‎ ‎，则 即 ，解得：‎ ‎【点睛】本题主要考查了数量积公式以及坐标运算，属于中等题.‎ ‎19.设，，，. ‎ ‎（1）若且，求x、y的值；‎ ‎（2）若成立，是否存在唯一的x、y满足上述条件？若存在，写出x、y的值；若不存在，请说明理由.‎ ‎【答案】（1），；（2）不存在，与k有关 ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎(1)当时，写出，，，结合，利用待定系数法即可求解；‎ ‎(2)将表示为坐标形式，建立方程组，得到，根据的取值，即可判断.‎ ‎【详解】(1)当时，，，‎ 因为，所以 ‎ 则，解得：，‎ ‎(2)因为 ‎ 所以 则 ，得到 当时，等式不成立 所以 因为，所以的值不唯一，即，的值不唯一 即不存在唯一的x、y，使成立.‎ ‎【点睛】本题主要考查了向量坐标的运算，考查学生的计算能力以及分析和解决问题的能力，运算时，要细心，属于中档题.‎ ‎20.平面直角坐标系xOy内，点，动点和Q关于原点O对称，，. ‎ ‎（1）以原点O和点A为顶点作等腰直角三角形ABO，使，求向量坐标；‎ ‎（2）若且P、M、A三点共线，求的最小值；‎ ‎（3）若，且，，求直线AQ的解析式.‎ ‎【答案】（1）或；（2）；（3）‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎(1)设出点B坐标，利用等腰直角三角形的两腰相等且两腰相互垂直，结合平面向量的坐标表示建立方程组求解即可;‎ ‎(2)根据与共线，利用坐标运算列出方程得到，利用模长公式表示，结合二次函数的性质即可求出最小值；‎ ‎(3)将，且，，表示为坐标的形式，列出方程组，求出点Q的坐标，再求出对应的斜率，利用点斜式写出方程即可.‎ ‎【详解】（1）设，则， ‎ 由题意可得： ‎ 解得： 或 ‎ 则向量坐标为或 ‎（2） ， ‎ 因为与共线，所以 得：‎ ‎ ‎ 当 时，取最小值 ‎ ‎（3）因为，所以 设 ，则，， ‎ ‎ ， ‎ 因为，且，‎ 所以， ， ‎ 解得 或 即或 当时，,所以直线AQ的方程为，即 当时，,所以直线AQ的方程为，即 综上所述，直线AQ的解析式为 ‎【点睛】本题主要考查了平面向量的坐标运算、向量垂直的坐标表示、直线的方程以及模长公式，题目较为综合，着重考查了学生的计算和求解能力，属于难题.‎ ‎21.已知平面内n个不同的单位向量、、…、，且n边形为凸多边形. ‎ ‎（1）当且时，求证：三角形是正三角形；‎ ‎（2）记，求的值.‎ ‎【答案】（1）证明见解析；（2）‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎(1)将变形，然后两边平方化简得到，，，将表示为，求出，同理得出，，即可判断三角形的形状；‎ ‎(2) 将化简为，结合、、…、为单位向量，得到n边形内接于半径为的圆，当 时，为半径为1的圆的周长，求出半径为1的圆的周长即为的值.‎ ‎【详解】(1)‎ ‎,得到 同理可得：，‎ 则 即三角形是正三角形 ‎(2) ‎ 由于、、…、为单位向量，则n边形内接于半径为的圆 表示n边形的周长 当 时，为半径为1的圆的周长 则 ‎【点睛】本题主要考查了平面向量的运算性质，模长公式以及平面向量的数量积公式，难度较大，综合性强，属于难题.‎ ‎ ‎