【数学】2018届一轮复习人教A版函数的应用学案

【数学】2018届一轮复习人教A版函数的应用学案

‎1.几类函数模型及其增长差异 ‎(1)几类函数模型 函数模型 函数解析式 一次函数模型 f(x)＝ax＋b (a、b为常数，a≠0)‎ 反比例函数模型 f(x)＝＋b (k，b为常数且k≠0)‎ 二次函数模型 f(x)＝ax2＋bx＋c ‎(a，b，c为常数，a≠0)‎ 指数函数模型 f(x)＝bax＋c ‎(a，b，c为常数，b≠0，a>0且a≠1)‎ 对数函数模型 f(x)＝blogax＋c ‎(a，b，c为常数，b≠0，a>0且a≠1)‎ 幂函数模型 f(x)＝axn＋b (a，b为常数，a≠0)‎ ‎(2)三种函数模型的性质 函数 性质 y＝ax(a>1)‎ y＝logax(a>1)‎ y＝xn(n>0)‎ 在(0，＋∞)上的增减性 单调递增 单调递增 单调递增 增长速度 越来越快 越来越慢 相对平稳 图像的变化 随x的增大逐渐表现为与y轴平行 随x的增大逐渐表现为与x轴平行 随n值变化而各有不同 值的比较 存在一个x0，当x>x0时，有logax1)的增长速度会超过并远远大于y＝xa(a>0)的增长速度.(　√　)‎ ‎(5)“指数爆炸”是指数型函数y＝a·bx＋c(a≠0，b>0，b≠1)增长速度越来越快的形象比喻.(　×　)‎ ‎(6)指数函数模型，一般用于解决变化较快，短时间内变化量较大的实际问题.(　√　)‎ ‎1.(2015·北京)某辆汽车每次加油都把油箱加满，下表记录了该车相邻两次加油时的情况.‎ 加油时间 加油量(升)‎ 加油时的累计里程(千米)‎ ‎2015年5月1日 ‎12‎ ‎35 000‎ ‎2015年5月15日 ‎48‎ ‎35 600‎ 注“累计里程”指汽车从出厂开始累计行驶的路程.‎ 在这段时间内，该车每‎100千米平均耗油量为(　　)‎ A‎.6升 B‎.8升 C‎.10升 D‎.12升 答案　B 解析　由表知汽车行驶路程为35 600－35 000＝‎600千米，耗油量为‎48升，∴每‎100千米耗油量‎8升.‎ ‎2.如图是张大爷晨练时所走的离家距离(y)与行走时间(x)之间函数关系的图像，若用黑点表示张大爷家的位置，则张大爷散步行走的路线可能是(　　)‎ 答案　D 解析　由图可知，张大爷开始匀速离家直线行走，中间一段离家距离不变，说明在以家为圆心的圆周上运动，最后匀速回家.故选D.‎ ‎3.某市生产总值连续两年持续增加.第一年的增长率为p，第二年的增长率为q，则该市这两年生产总值的年平均增长率为(　　)‎ A. B. C. D.－1‎ 答案　D 解析　设年平均增长率为x，则(1＋x)2＝(1＋p)(1＋q)，‎ ‎∴x＝－1.‎ ‎4.一水池有2个进水口，1个出水口，两个进水口的进水速度如图甲、乙所示，出水口的排水速度如图丙所示，某天0点到6点，该水池的蓄水量如图丁所示.‎ 给出以下3个论断①0点到3点只进水不出水；②3点到4点不进水只出水；③4点到6点不进水不出水.则一定正确的论断序号是________.‎ 答案　①②‎ 解析　从0点到3点，两个进水口的进水量为9，故①正确；由排水速度知②正确；4点到6点可以是不进水，不出水，也可以是开一个进水口(速度快的)、一个排水口，故③不正确.‎ ‎5.(2015·四川)某食品的保鲜时间y(单位小时)与储藏温度x(单位℃)满足函数关系y＝ekx＋b(e＝2.718…为自然对数的底数，k，b为常数).若该食品在‎0 ℃‎的保鲜时间是192小时，在‎22 ℃‎的保鲜时间是48小时，则该食品在‎33 ℃‎的保鲜时间是________小时.‎ 答案　24‎ 解析　由题意得∴e22k＝＝，∴e11k＝，∴x＝33时，y＝e33k＋b＝(e11k)3·eb＝3·eb＝×192＝24.‎ 题型一　用函数图像刻画变化过程 例1　(1)小明骑车上学，开始时匀速行驶，途中因交通堵塞停留了一段时间，后为了赶时间加快速度行驶.与以上事件吻合得最好的图像是(　　)‎ ‎(2)物价上涨是当前的主要话题，特别是菜价，我国某部门为尽快实现稳定菜价，提出四种绿色运输方案.据预测，这四种方案均能在规定的时间T内完成预测的运输任务Q0，各种方案的运输总量Q与时间t的函数关系如图所示，在这四种方案中，运输效率(单位时间的运输量)逐步提高的是(　　)‎ 答案　(1)C　(2)B 解析　‎ ‎(1)小明匀速运动时，所得图像为一条直线，且距离学校越来越近，故排除A.因交通堵塞停留了一段时间，与学校的距离不变，故排除D.后来为了赶时间加快速度行驶，故排除B.故选C.‎ ‎(2)由运输效率(单位时间的运输量)逐步提高得，曲线上的点的切线斜率应该逐渐增大，故函数的图像应一直是下凹的，故选B.‎ 思维升华　判断函数图像与实际问题变化过程相吻合的两种方法 ‎(1)构建函数模型法当根据题意易构建函数模型时，先建立函数模型，再结合模型选图像.‎ ‎(2)验证法当根据题意不易建立函数模型时，则根据实际问题中两变量的变化快慢等特点，结合图像的变化趋势，验证是否吻合，从中排除不符合实际的情况，选择出符合实际情况的答案.‎ ‎　已知正方形ABCD的边长为4，动点P从B点开始沿折线BCDA向A点运动.设点P运动的路程为x，△ABP的面积为S，则函数S＝f(x)的图像是(　　)‎ 答案　D 解析　依题意知当0≤x≤4时，f(x)＝2x；当440时，W＝xR(x)－(16x＋40)‎ ‎＝－－16x＋7 360.[2分]‎ 所以W＝[4分]‎ ‎(2)①当040时，W＝－－16x＋7 360，‎ 由于＋16x≥2＝1 600，‎ 当且仅当＝16x，‎ 即x＝50∈(40，＋∞)时，取等号，‎ 所以W取最大值为5 760.[10分]‎ 综合①②知，‎ 当x＝32时，W取得最大值6 104万元.[12分]‎ 解函数应用题的一般程序 第一步(审题)弄清题意，分清条件和结论，理顺数量关系；‎ 第二步(建模)将文字语言转化成数学语言，用数学知识建立相应的数学模型；‎ 第三步(解模)求解数学模型，得到数学结论；‎ 第四步(还原)将用数学方法得到的结论还原为实际问题的意义；‎ 第五步(反思)对于数学模型得到的数学结果，必须验证这个数学结果对实际问题的合理性.‎ 温馨提醒　(1)此类问题的关键是正确理解题意，建立适当的函数模型.(2)分段函数主要是每一段自变量变化所遵循的规律不同，可以先将其当作几个问题，将各段的变化规律分别找出来，再将其合到一起，要注意各段自变量的范围，特别是端点值.‎ ‎[方法与技巧]‎ ‎1.认真分析题意，合理选择数学模型是解决应用问题的基础.‎ ‎2.实际问题中往往解决一些最值问题，我们可以利用二次函数的最值、函数的单调性、基本不等式等求得最值.‎ ‎3.解函数应用题的五个步骤①审题；②建模；③解模；④还原；⑤反思.‎ ‎[失误与防范]‎ ‎1.函数模型应用不当，是常见的解题错误.所以，要正确理解题意，选择适当的函数模型.‎ ‎2.要特别关注实际问题的自变量的取值范围，合理确定函数的定义域.‎ ‎3.注意问题反馈.在解决函数模型后，必须验证这个数学结果对实际问题的合理性.‎ A组　专项基础训练 ‎ (时间45分钟)‎ ‎1.下表是函数值y随自变量x变化的一组数据，它最可能的函数模型是(　　)‎ x ‎4‎ ‎5‎ ‎6‎ ‎7‎ ‎8‎ ‎9‎ ‎10‎ y ‎15‎ ‎17‎ ‎19‎ ‎21‎ ‎23‎ ‎25‎ ‎27‎ A.一次函数模型 B.幂函数模型 C.指数函数模型 D.对数函数模型 答案　A 解析　根据已知数据可知，自变量每增加1函数值增加2，因此函数值的增量是均匀的，故为一次函数模型.‎ ‎2.某家具的标价为132元，若降价以九折出售(即优惠10%)，仍可获利10%(相对进货价)，则该家具的进货价是(　　)‎ A.118元 B.105元 C.106元 D.108元 答案　D 解析　设进货价为a元，由题意知132×(1－10%)－a＝10%·a，解得a＝108.‎ ‎3.某工厂6年来生产某种产品的情况是前3年年产量的增长速度越来越快，后3年年产量保持不变，则该厂6年来这种产品的总产量C与时间t(年)的函数关系图像正确的是(　　)‎ 答案　A 解析　前3年年产量的增长速度越来越快，说明呈高速增长，只有A，C图像符合要求，而后3年年产量保持不变，故选A.‎ ‎4.设函数f1(x)＝x，f2(x)＝log2 015x，ai＝ (i＝1,2，…，2 015)，记Ik＝|fk(a2)－fk(a1)|＋|fk(a3)－fk(a2)|＋…＋|fk(a2 015)－fk(a2 014)|，k＝1,2，则(　　)‎ A.I1I2‎ D.I1与I2的大小关系无法确定 答案　A 解析　依题意知，f1(ai＋1)－f1(ai)＝ai＋1－ai＝－＝，‎ 因此I1＝|f1(a2)－f1(a1)|＋|f1(a3)－f1(a2)|＋…＋|f1(a2 015)－f1(a2 014)|＝.‎ 因为f2(ai＋1)－f2(ai)＝log2 015ai＋1－log2 015ai＝log2 015－log2 015>0，所以I2＝|f2(a2)－f2(a1)|＋|f2(a3)－f2(a2)|＋…＋|f2(a2 015)－f2(a2 014)|＝＋＋…＋ ‎＝log2 015－log2 015＝1，因此I1＝≈21.8，‎ ‎∴n≥21.‎ ‎12.某厂有许多形状为直角梯形的铁皮边角料，如图，为降低消耗，开源节流，现要从这些边角料上截取矩形铁片(如图中阴影部分)备用，当截取的矩形面积最大时，矩形两边长x、y应为(　　)‎ A.x＝15，y＝12 B.x＝12，y＝15‎ C.x＝14，y＝10 D.x＝10，y＝14‎ 答案　A 解析　由三角形相似得＝，得x＝(24－y)，‎ ‎∴S＝xy＝－(y－12)2＋180，‎ ‎∴当y＝12时，S有最大值，此时x＝15.‎ ‎13.某种病毒经30分钟繁殖为原来的2倍，且知病毒的繁殖规律为y＝ekt(其中k为常数，t表示时间，单位小时，y表示病毒个数)，则k＝___，经过5小时，1个病毒能繁殖为____个.‎ 答案　2ln 2　1 024‎ 解析　当t＝0.5时，y＝2，∴2＝，‎ ‎∴k＝2ln 2，∴y＝e2tln 2，‎ 当t＝5时，y＝e10ln 2＝210＝1 024.‎ ‎14.商家通常依据“乐观系数准则”确定商品销售价格，即根据商品的最低销售限价a，最高销售限价b(b>a)以及实数x(010时，W＝xR(x)－(10＋2.7x)‎ ‎＝98－－2.7x.‎ ‎∴W＝ ‎(2)①当00，当x∈(9,10]时，W′<0，‎ ‎∴当x＝9时，W取极大值，即最大值，‎ 且Wmax＝8.1×9－×93－10＝38.6.‎ ‎②当x>10时，W＝98－ ‎≤98－2＝38，‎ 当且仅当＝2.7x，即x＝时，W＝38，‎ 故当x＝时，W取最大值38(当1 000x取整数时，W一定小于38).‎ 综合①②知，当x＝9时，W取最大值，故当年产量为9千件时，该公司在这一品牌服装生产中所获年利润最大.‎