高考物理大二轮总复习与增分策略专题六圆周运动万有引力定律

高考物理大二轮总复习与增分策略专题六圆周运动万有引力定律

专题六 圆周运动 万有引力定律 [考纲解读] 章 内容 考试要求 说明 必考 加试 曲线 运动 圆周运动 d d 1.不要求分析变速圆周运动的加速度问题 2.不要求掌握向心加速度公式的推导方法 3.不要求用“等效圆”处理一般曲线运动 4.变速圆周运动和曲线运动的切向分力和 切向加速度不作定量计算要求 5.不要求求解提供向心力的各力不在同一 直线上的圆周运动问题 6.不要求对离心运动进行定量计算 7.不要求分析与计算两个物体连接在一起 (包括不接触)做圆周运动时的问题 向心加速度 d d 向心力 d d 生活中的圆周 运动 c 万有引力 与航天 行星的运动 a 8.不要求掌握人类对行星运动规律认识的 细节 9.不要求用开普勒三定律求解实际问题 10.不要求掌握太阳与行星间引力表达式 的推导方法 11.不要求计算空心球体与质点间的万有 引力 12.不要求分析重力随纬度变化的原因 太阳与行星间 的引力 a 万有引力定律 c 万有引力理论 的成就 c 宇宙航行 c 经典力学的局 限性 a 一、描述圆周运动的物理量 1.线速度：描述物体圆周运动快慢的物理量. v＝Δs Δt ＝2πr T . 2.角速度：描述物体绕圆心转动快慢的物理量. ω＝Δθ Δt ＝2π T . 3.周期和频率：描述物体绕圆心转动快慢的物理量. T＝2πr v ，T＝1 f . 4.向心加速度：描述速度方向变化快慢的物理量. an＝v2 r ＝rω2＝ωv＝4π2 T2 r. 5.相互关系：(1)v＝ωr＝2π T r＝2πrf. (2)an＝v2 r ＝rω2＝ωv＝4π2 T2 r＝4π2f2r. 6.常见的三种传动方式及特点 (1)皮带传动：如图 1 中甲、乙所示，皮带和两轮之间无相对滑动时，两轮边缘线速度大小相 等，即 vA＝vB. (2)摩擦传动：如图丙所示，两轮边缘接触，接触点无打滑现象时，两轮边缘线速度大小相等， 即 vA＝vB. (3)同轴传动：如图丁所示，两轮固定在一起绕同一转轴转动，两轮转动的角速度大小相等， 即ωA＝ωB. 图 1 二、匀速圆周运动的向心力 1.作用效果：产生向心加速度，只改变线速度的方向，不改变线速度的大小. 2.大小：F＝mv2 r ＝mrω2＝m4π2r T2 ＝mωv＝m·4π2f2r. 3.方向：始终沿半径方向指向圆心. 4.来源：向心力可以由一个力提供，也可以由几个力的合力提供，还可以由一个力的分力提 供. 三、离心现象 1.定义：做圆周运动的物体，在所受合外力突然消失或不足以提供圆周运动所需向心力的情 况下，所做的沿切线飞出或逐渐远离圆心的运动现象. 2.受力特点(如图 2 所示) 图 2 (1)当 Fn＝mω2r 时，物体做匀速圆周运动. (2)当 Fn＝0 时，物体沿切线方向飞出. (3)当 Fnmω2r 时，物体将逐渐靠近圆心，做近心运动. 四、万有引力定律 1.内容：自然界中任何两个物体都相互吸引，引力的方向在它们的连线上，引力的大小与物 体的质量 m1 和 m2 的乘积成正比，与它们之间距离 r 的平方成反比. 2.表达式：F＝Gm1m2 r2 G 为引力常量：G＝6.67×10－11 N·m2/kg2. 3.适用条件 (1)公式适用于质点间的相互作用.当两个物体间的距离远大于物体本身的大小时，物体可视 为质点. (2)质量分布均匀的球体可视为质点，r 是两球心间的距离. 五、环绕速度 1.三个宇宙速度 (1)第一宇宙速度 v1＝7.9 km/s，卫星在地球表面附近绕地球做匀速圆周运动的速度，又称环绕速度. (2)第二宇宙速度 v2＝11.2 km/s，使卫星挣脱地球引力束缚的最小地面发射速度，又称脱离速度. (3)第三宇宙速度 v3＝16.7 km/s，使卫星挣脱太阳引力束缚的最小地面发射速度，也叫逃逸速度. 2.第一宇宙速度的推导 方法一：由 GMm R2 ＝m v2 1 R 得 v1＝ GM R ＝7.9×103 m/s. 方法二：由 mg＝m v2 1 R 得 v1＝ gR＝7.9×103 m/s. 第一宇宙速度是发射人造卫星的最小速度，也是人造卫星的最大环绕速度，此时它的运行周 期最短，Tmin＝2π R g ＝5 075 s≈85 min. 1.(2013·浙江 6 月学考)如图 3 所示，小强正在荡秋千.关于绳上 a 点和 b 点的线速度和角速 度，下列关系正确的是( ) 图 3 A.va＝vb B.va>vb C.ωa＝ωb D.ωa<ωb 答案 C 解析 绳子绕 O 点转动，a、b 两点角速度相等，ωa＝ωb，D 错，C 对.因 rava，A、 B 均错. 2.如图 4 所示，质量为 m 的木块从半径为 R 的半球形碗口下滑到碗的最低点的过程中，如果 由于摩擦力的作用使木块的速率不变，那么( ) 图 4 A.加速度为零 B.加速度恒定 C.加速度大小不变，方向时刻改变，但不一定指向圆心 D.加速度大小不变，方向时刻指向圆心 答案 D 解析 木块做的是匀速圆周运动，加速度大小不变，但方向时刻指向圆心，加速度时刻改变， 故选项 A、B、C 错误，D 正确. 3.(2016·诸暨市期末)如图 5 所示，拱形桥的半径为 40 m，质量为 1.0×103 kg 的汽车行驶 到桥顶时的速度为 10 m/s，假设重力加速度为 10 m/s2，则此时汽车对桥的压力为( ) 图 5 A.1.0×104 N B.7.5×103 N C.5.0×103 N D.2.5×103 N 答案 B 解析 对汽车由牛顿第二定律得 mg－FN＝m v2 R 得 FN＝7.5×103 N， 又由牛顿第三定律知汽车对轿的压力也为 7.5×103 N. 4.如图 6 所示为某行星绕太阳运行的椭圆轨道，其中 F1 和 F2 是椭圆轨道的两个焦点，已知该 行星在 A 点的速率比在 B 点的大，则太阳是位于下列哪一位置( ) 图 6 A.F1 B.F2 C.O D.在 F1 与 F2 之间 答案 A 解析 vA>vB，由开普勒定律知，太阳处于椭圆轨道的焦点 F1 处. 5.2013 年 6 月 11 日 17 时 38 分，“神舟十号”飞船在酒泉卫星发射中心发射升空，航天员 王亚平进行了首次太空授课.在飞船进入圆形轨道环绕地球飞行时，它的线速度大小( ) A.等于 7.9 km/s B.介于 7.9 km/s 和 11.2 km/s 之间 C.小于 7.9 km/s D.介于 7.9 km/s 和 16.7 km/s 之间 答案 C 解析 卫星在圆形轨道上运动的速度 v＝ GM r .由于 r>R，所以 v< GM R ＝7.9 km/s，C 正 确 . 圆周运动中的动力学分析 1.向心力的来源 向心力是按力的作用效果命名的，可以是重力、弹力、摩擦力等各种力，也可以是几个力的 合力或某个力的分力，因此在受力分析中要避免再另外添加一个向心力. 2.向心力的确定 (1)先确定圆周运动的轨道所在的平面，确定圆心的位置. (2)再分析物体的受力情况，找出所有的力沿半径方向指向圆心的合力就是向心力. 3.解决圆周运动问题的主要步骤 (1)审清题意，确定研究对象；明确物体做圆周运动的平面是至关重要的一环； (2)分析物体的运动情况，即物体的线速度是否变化、轨道平面、圆心位置、半径大小等； (3)分析物体的受力情况，画出受力分析图，确定向心力的来源； (4)根据牛顿运动定律及向心力公式列方程. 例 1 摆式列车是集电脑、自动控制等高新技术于一体的新型高速列车.当列车转弯时，在 电脑控制下，车厢会自动倾斜，抵消离心力的作用；行走在直线上时，车厢又恢复原状，就 像玩具“不倒翁”一样.假设有一超高速列车在水平面内行驶，以 360 km/h 的速度拐弯，拐 弯半径为 1 km，则质量为 50 kg 的乘客，在拐弯过程中所受到的火车给他的作用力为(g 取 10 m/s2)( ) A.500 N B.1 000 N C.500 2 N D.0 答案 C 解析 乘客所需的向心力：Fn＝mv2 R ＝500 N，而乘客的重力为 500 N，故火车对乘客的作用力 大小为 500 2 N，C 正确. 解决动力学问题的三个分析 (1)几何关系的分析：确定圆周运动的圆心、半径等. (2)运动分析：确定圆周运动的线速度、角速度. (3)受力分析：利用力的合成与分解知识，表示出物体做圆周运动时，外界所提供的向心力. 变式题组 1.如图 7 所示，质量相等的 a、b 两物体放在圆盘上，到圆心的距离之比是 2∶3，圆盘绕圆 心做匀速圆周运动，两物体相对圆盘静止，a、b 两物体做圆周运动的向心力之比是( ) 图 7 A.1∶1 B.3∶2 C.2∶3 D.9∶4 答案 C 解析 a、b 随圆盘转动，角速度相同，由 Fn＝mω2r 知向心力正比于半径，C 正确. 2.(2016·诸暨市调研)如图 8 所示，半径为 r 的圆筒，绕竖直中心轴 OO′旋转，小物块 a 靠 在圆筒的内壁上，它与圆筒内壁间的动摩擦因数为μ，最大静摩擦力与滑动摩擦力相同，要 使 a 不下落，则圆筒转动的角速度ω至少为( ) 图 8 A. μgr B. μg C. g r D. g μr 答案 D 解析 对物块受力分析知 Ff＝mg，Fn＝FN＝mω2r，又由于 Ff≤μFN，所以解这三个方程得角速 度ω至少为 g μr ，D 选项正确. 3.(多选)公路急转弯处通常是交通事故多发地带.如图 9，某公路急转弯处是一圆弧，当汽车 行驶的速率为 v 时，汽车恰好没有向公路内外两侧滑动的趋势.则在该弯道处( ) 图 9 A.路面外侧高内侧低 B.车速只要低于 v，车辆便会向内侧滑动 C.车速虽然高于 v，但只要不超出某一最高限度，车辆便不会向外侧滑动 D.当路面结冰时，与未结冰时相比，v 的值变小 答案 AC 解析 当汽车行驶的速度为 v 时，路面对汽车没有摩擦力，路面对汽车的支持力与汽车重力 的合力提供向心力，此时要求路面外侧高内侧低，选项 A 正确.当速度稍大于 v 时，汽车有向 外侧滑动的趋势，因而受到向内侧的摩擦力，当摩擦力小于最大静摩擦力时，车辆不会向外 侧滑动，选项 C 正确.同样，速度稍小于 v 时，车辆不会向内侧滑动，选项 B 错误.v 的大小 只与路面的倾斜程度和转弯半径有关，与地面的粗糙程度无关，D 错误. 竖直面内圆周运动的临界问题 1.在竖直平面内做圆周运动的物体，按运动到轨道最高点时的受力情况可分为两类：一是无 支撑(如球与绳连接、沿内轨道运动的过山车等)，称为“绳(环)约束模型”，二是有支撑(如 球与杆连接、在弯管内的运动等)，称为“杆(管)约束模型”. 2.绳、杆模型涉及的临界问题 绳模型 杆模型 常见类型 均是没有支撑的小球 均是有支撑的小球 过最高点的临 界条件 由 mg＝m v2 r 得 v 临＝ gr 由小球恰能做圆周运动得 v 临＝0 讨论分析 (1)过最高点时，v≥ gr，F＋mg＝ mv2 r ，绳、圆轨道对球产生弹力 F (2)不能过最高点时，v< gr，在到 达最高点前小球已经脱离了圆轨道 (1)当 v＝0 时，FN＝mg，FN 为支持 力，沿半径背离圆心(2)当 0 gr时，FN＋mg＝mv2 r ，FN 指向圆心并随 v 的增大而增大 例 2 一辆质量 m＝2 t 的轿车，驶过半径 R＝90 m 的一段凸形桥面，g 取 10 m/s2，求： (1)轿车以 10 m/s 的速度通过桥面最高点时，对桥面的压力是多大？ (2)在最高点对桥面的压力等于轿车重力的一半时，车的速度大小是多少？ 答案 (1)1.78×104 N (2)15 2 m/s 解析 (1)轿车通过凸形桥面最高点时，受力分析如图所示 合力 Fn＝mg－FN，由向心力公式得 mg－FN＝mv2 R 故轿车受到桥面的支持力大小 FN＝mg－mv2 R ＝(2 000×10－2 000×102 90 ) N≈1.78×104 N 根据牛顿第三定律，轿车在桥的顶点时对桥面压力的大小为 1.78×104 N. (2)对桥面的压力等于轿车重力的一半时，向心力 Fn′＝mg－FN′＝0.5mg，而 Fn′＝mv′2 R ， 所以此时轿车的速度大小 v′＝ 0.5gR＝ 0.5×10×90 m/s＝15 2 m/s. 竖直面内圆周运动类问题的解题技巧 1.定模型：首先判断是绳模型还是杆模型，两种模型过最高点的临界条件不同. 2.确定临界点：抓住绳模型中最高点 v≥ gR及杆模型中 v≥0 这两个临界条件. 3.研究状态：通常情况下竖直平面内的圆周运动只涉及最高点和最低点的运动情况. 4.受力分析：对物体在最高点或最低点时进行受力分析，根据牛顿第二定律列出方程，F 合＝ F 向. 5.过程分析：应用动能定理或机械能守恒定律将初、末两个状态联系起来列方程. 变式题组 4.如图 10 所示，乘坐游乐园的翻滚过山车时，质量为 m 的人随车在竖直平面内旋转，下列说 法正确的是( ) 图 10 A.过山车在最高点时人处于倒坐状态，全靠保险带拉住，没有保险带，人就会掉下来 B.人在最高点时对座位不可能产生大小为 mg 的压力 C.人在最低点时对座位的压力等于 mg D.人在最低点时对座位的压力大于 mg 答案 D 解析 人在最高点时，由牛顿第二定律和向心力公式可得：F＋mg＝mv2 R ，由此可知，当 v＝ gR 时，人只受重力作用；当 v> gR时，重力和座位对人向下的压力提供向心力；当 v< gR时， 除受重力外，人还受保险带向上的拉力，选项 A 错误.当 v＝ 2gR时，座位对人向下的压力等 于重力 mg，由牛顿第三定律知，人对座位的压力等于 mg，选项 B 错误.人在最低点时，受到 重力和支持力，由牛顿第二定律和向心力公式可得：F－mg＝mv2 R ，即 F＝mg＋mv2 R >mg，故选项 C 错误，D 正确. 5.(多选)如图 11 所示，竖直放置的光滑圆轨道被固定在水平地面上，半径 r＝0.4 m，最低 点处有一小球(半径比 r 小很多)，现给小球一水平向右的初速度 v0，则要使小球不脱离圆轨 道运动，v0 应当满足(取 g＝10 m/s2)( ) 图 11 A.v0≥0 B.v0≥4 m/s C.v0≥2 5 m/s D.v0≤2 2 m/s 答案 CD 解析 当 v0 较大时，小球能够通过最高点，这时小球在最高点处需要满足的条件是 mg≤mv2 r ， 又根据机械能守恒定律有 1 2 mv2＋2mgr＝1 2 mv2 0，得 v0≥2 5 m/s，C 正确.当 v0 较小时，小球不 能通过最高点，这时对应的临界条件是小球上升到与圆心等高位置处时速度恰好减为零，根 据机械能守恒定律有 mgr＝1 2 mv2 0，得 v0≤2 2 m/s，D 正确. 万有引力定律的理解和应用 1.解决天体(卫星)运动问题的基本思路 (1)天体运动的向心力来源于天体之间的万有引力，即 GMm r2 ＝man＝mv2 r ＝mω2r＝m4π2r T2 . (2)在中心天体表面或附近运动时，万有引力近似等于重力，即 GMm R2 ＝mg(g 表示天体表面的重 力加速度). 2.天体质量和密度的估算 (1)利用天体表面的重力加速度 g 和天体半径 R. 由于 GMm R2 ＝mg，故天体质量 M＝gR2 G ， 天体密度ρ＝M V ＝ M 4 3 πR3 ＝ 3g 4πGR . (2)通过观察卫星绕天体做匀速圆周运动的周期 T 和轨道半径 r. ①由万有引力等于向心力，即 GMm r2 ＝m4π2 T2 r，得出中心天体质量 M＝4π2r3 GT2 ； ②若已知天体半径 R，则天体的平均密度 ρ＝M V ＝ M 4 3 πR3 ＝3πr3 GT2R3 . 3.卫星的各物理量随轨道半径变化的规律 例 3 “嫦娥一号”是我国首次发射的探月卫星，它在距月球表面高度为 h 的圆形轨道上运 行，运行周期为 T.已知引力常量为 G，月球的半径为 R.利用以上数据估算月球质量的表达式 为( ) A.4π2R3 GT2 B.4π2 R＋h GT2 C.4π2 R＋h 2 GT2 D.4π2 R＋h 3 GT2 答案 D 解 析 “ 嫦 娥 一 号 ” 绕 月 球 做 匀 速 圆 周 运 动 ， 由 牛 顿 第 二 定 律 得 G· Mm R＋h 2 ＝ m4π2 R＋h T2 ，解得月球的质量为 M＝4π2 R＋h 3 GT2 ，选项 D 正确. 应用万有引力定律时应注意的问题 1.估算天体质量和密度时应注意的问题 (1)利用万有引力提供天体做圆周运动的向心力估算天体质量时，估算的只是中心天体的质 量，并非环绕天体的质量. (2)区别天体半径 R 和卫星轨道半径 r，只有在天体表面附近的卫星才有 r≈R；计算天体密度 时，V＝4 3 πR3 中的 R 只能是中心天体的半径. 2.运动参量 an、v、ω、T 均与卫星质量无关，只由轨道半径 r 和中心天体质量共同决定.所 有参量的比较，最终归结到半径的比较. 变式题组 6.(2016·浙江 10 月学考·12)如图 12 所示，“天宫二号”在距离地面 393 km 的近圆轨道运 行.已知万有引力常量 G＝6.67×10－11 N·m2/kg2，地球质量 M＝6.0×1024 kg，地球半径 R＝ 6.4×103 km.由以上数据可估算( ) 图 12 A.“天宫二号”的质量 B.“天宫二号”的运行速度 C.“天宫二号”受到的向心力 D.地球对“天宫二号”的引力 答案 B 7.(2016·浙江 4 月选考)2015 年 12 月，我国暗物质粒子探测卫星“悟空”发射升空进入高 为 5.0×102 km 的预定轨道.“悟空”卫星和地球同步卫星的运动均可视为匀速圆周运动.已 知地球半径 R＝6.4×103 km.下列说法正确的是( ) A.“悟空”卫星的线速度比同步卫星的线速度小 B.“悟空”卫星的角速度比同步卫星的角速度小 C.“悟空”卫星的运行周期比同步卫星的运行周期小 D.“悟空”卫星的向心加速度比同步卫星的向心加速度小 答案 C 解析 地球同步卫星距地心的距离大于“悟空”卫星距地心的距离，由 GMm r2 ＝mv2 r 可得，v＝ GM r ，由此可知，“悟空”的线速度大，所以 A 错.由 GMm r2 ＝mω2r 可知，“悟空”的角速度 大，即周期小，由 GMm r2 ＝man 可知，“悟空”的向心加速度大，因此 C 对. 图 13 8.(2015·浙江 10 月选考)在同一轨道平面上绕地球做匀速圆周运动的卫星 A、B、C，某时刻 恰好在同一过地心的直线上，如图 13 所示，当卫星 B 经过一个周期时( ) A.A 超前于 B，C 落后于 B B.A 超前于 B，C 超前于 B C.A、C 都落后于 B D.各卫星角速度相等，因而三颗卫星仍在同一直线上 答案 A 解析 由 GMm r2 ＝mr 4π2 T2 可得 T＝2π r3 GM ，故轨道半径越大，周期越大.当 B 经过一个周期时， A 已经完成了一个多周期，而 C 还没有完成一个周期，所以选项 A 正确，B、C、D 错误. 宇宙航行 1.宇宙速度与运动轨迹的关系 (1)v 发＝7.9 km/s 时，卫星绕地球做匀速圆周运动. (2)7.9 km/sωB C.vAvB 答案 D 解析 由于 A、B 两处在人自转的过程中周期一样，所以根据ω＝2π T 可知，A、B 两处的角 速度一样，所以 A、B 选项错误.根据 v＝rω 可知 A 处转动半径大，所以 A 处的线速度大， 即选项 D 正确. 4.(2016·绍兴市模拟)如图 2 所示，质量相等的 A、B 两物体紧贴在匀速转动的圆筒的竖直内 壁上，随圆筒一起做匀速圆周运动，则下列关系中正确的有( ) 图 2 A.线速度 vATB C.它们受到的摩擦力 FfA>FfB D.筒壁对它们的弹力 FNA>FNB 答案 D 解析 由于两物体角速度相等，而 rA>rB，所以 vA＝rAω>vB＝rBω，A 项错；由于ω相等，则 T 相等，B 项错；因竖直方向受力平衡，Ff＝mg，所以 FfA＝FfB，C 项错；弹力等于向心力，故 FNA＝mrAω2>FNB＝mrBω2，D 项对. 5.(多选)如图 3 所示，水平放置的两个用相同材料制成的轮 P 和 Q 靠摩擦传动，两轮的半径 R∶r＝2∶1.当主动轮 Q 匀速转动时，在 Q 轮边缘上放置的小木块恰能相对静止在 Q 轮边缘上， 此时 Q 轮转动的角速度为ω1，木块的向心加速度为 a1；若改变转速，把小木块放在 P 轮边缘 也恰能静止，此时 Q 轮转动的角速度为ω2，木块的向心加速度为 a2，则( ) 图 3 A.ω1 ω2 ＝ 2 2 B.ω1 ω2 ＝ 2 1 C.a1 a2 ＝1 1 D.a1 a2 ＝1 2 答案 AC 解析 根据题述，a1＝ω2 1r，ma1＝μmg，联立解得μg＝ω2 1r，小木块放在 P 轮边缘也恰能静 止，μg＝ω2R＝2ω2r，ωR＝ω2r，联立解得ω1 ω2 ＝ 2 2 ，选项 A 正确，B 错误；a2＝μg＝ω2R， a1 a2 ＝1 1 ，选项 C 正确，D 错误. 6.一轻杆一端固定质量为 m 的小球，以另一端 O 为圆心，使小球在竖直面内做半径为 R 的圆 周运动，如图 4 所示，则下列说法正确的是( ) 图 4 A.小球过最高点时，杆所受到的弹力可以等于零 B.小球过最高点的最小速度是 gR C.小球过最高点时，杆对球的作用力一定随速度增大而增大 D.小球过最高点时，杆对球的作用力一定随速度增大而减小 答案 A 解析 轻杆可对小球产生向上的支持力，小球经过最高点的速度可以为零，当小球过最高点 的速度 v＝ gR时，杆所受的弹力等于零，A 正确，B 错误；若 v< gR，则杆在最高点对小球 的弹力竖直向上，mg－F＝mv2 R ，随 v 增大，F 减小，若 v> gR，则杆在最高点对小球的弹力竖 直向下，mg＋F＝mv2 R ，随 v 增大，F 增大，故 C、D 均错误. 7.如图 5 所示，光滑固定的水平圆盘中心有一个光滑的小孔，用一细绳穿过小孔连接质量分 别为 m1、m2 的小球 A 和 B，让 B 球悬挂，A 球在光滑的圆盘面上绕圆盘中心做匀速圆周运动， 角速度为ω，半径为 r，则关于 r 和ω关系的图象正确的是( ) 图 5 答案 B 解析 根据 m2g＝m1rω2 得：r＝m2g m1 · 1 ω2，可知 r 与 1 ω2成正比，与ω2 成反比.故 A 错误，B 正 确.因为1 r ＝ m1 m2g ω2，则1 r 与ω2 成正比.故 C、D 错误. 8.(多选)(2015·浙江·19)如图 6 所示为赛车场的一个水平“U”形弯道，转弯处为圆心在 O 点的半圆，内外半径分别为 r 和 2r.一辆质量为 m 的赛车通过 AB 线经弯道到达 A′B′线，有 如图所示的①、②、③三条路线，其中路线③是以 O′为圆心的半圆，OO′＝r.赛车沿圆弧 路线行驶时，路面对轮胎的最大径向静摩擦力为 Fmax.选择路线，赛车以不打滑的最大速率通 过弯道(所选路线内赛车速率不变，发动机功率足够大)，则( ) 图 6 A.选择路线①，赛车经过的路程最短 B.选择路线②，赛车的速率最小 C.选择路线③，赛车所用时间最短 D.①、②、③三条路线的圆弧上，赛车的向心加速度大小相等 答案 ACD 解析 由几何关系可得，路线①、②、③赛车通过的路程分别为：(πr＋2r)、(2πr＋2r) 和 2πr，可知路线①的路程最短，选项 A 正确；圆周运动时的最大速率对应着最大静摩擦力 提供向心力的情形，即μmg＝mv2 R ，可得最大速率 v＝ μgR，则知②和③的速率相等，且大 于①的速率，选项 B 错误；根据 t＝s v ，可得①、②、③所用的时间分别为 t1＝π ＋2 r μgr ， t2＝2rπ ＋1 2μgr ， t3＝ 2rπ 2μgr ，其中 t3 最小，可知线路③所用时间最短，选项 C 正确；在 圆弧轨道上，由牛顿第二定律可得：μmg＝man，an＝μg，可知三条路线上的向心加速度大小 均为μg，选项 D 正确. 9.(2015·浙江 10 月选考)2015 年 9 月 20 日“长征六号”火箭搭载 20 颗小卫星成功发射.如 图 7 所示，在多星分离时，小卫星分别在高度不同的三层轨道被依次释放.假设释放后的小卫 星均做匀速圆周运动，则下列说法正确的是( ) 图 7 A.20 颗小卫星的轨道半径均相同 B.20 颗小卫星的线速度大小均相同 C.同一圆轨道上的小卫星的周期均相同 D.不同圆轨道上的小卫星的角速度均相同 答案 C 解析 三层轨道高度不同，故 r 不同，A 错；由 GMm r2 ＝mv2 r ＝mω2r＝m 2π T 2r 可知，轨道半径 不同，线速度大小、角速度不同，B、D 错；同一轨道，轨道半径相同，周期相同，C 正确. 10.a、b、c、d 是在地球大气层外的圆形轨道上运行的四颗人造卫星.其中 a、c 的轨道相交 于 P，b、d 在同一个圆轨道上，b、c 的轨道在同一平面上.某时刻四颗卫星的运行方向及位 置如图 8 所示，下列说法中正确的是( ) 图 8 A.a、c 的加速度大小相等，且大于 b 的加速度 B.b、c 的角速度大小相等，且小于 a 的角速度 C.a、c 的线速度大小相等，且小于 d 的线速度 D.a、c 存在 P 点相撞的危险 答案 A 解析 由 GMm r2 ＝mv2 r ＝mω2r＝m4π2 T2 r＝man 可知，选项 A 正确，B、C 错误；因 a、c 的轨道半径 相同，周期相同，只要图示时刻不撞，以后就不可能相撞了. 11.(2016·诸暨市期末)月球是地球以外人类亲身到过唯一的自然天体.假设月球表面重力加 速度为 g，月球半径为 R，引力常量为 G，则月球质量表达式为( ) A.M＝gR2 B.M＝gR2 G C.M＝ G gR D.M＝gR G 答案 B 12.如图 9，若两颗人造卫星 a 和 b 均绕地球做匀速圆周运动，a、b 到地心 O 的距离分别为 r1、r2，线速度大小分别为 v1、v2，则( ) 图 9 A.v1 v2 ＝ r2 r1 B.v1 v2 ＝ r1 r2 C.v1 v2 ＝(r2 r1 )2 D.v1 v2 ＝(r1 r2 )2 答案 A 解析 由题意知，两颗人造卫星绕地球做匀速圆周运动，万有引力提供向心力，根据 GMm r2 ＝ mv2 r ，得 v＝ GM r ，所以v1 v2 ＝ r2 r1 ，故 A 正确，B、C、D 错误. 13.(2016·湖州市调研)在高级沥青铺设的高速公路上，汽车的设计时速是 108 km/h.汽车在 这种路面上行驶时，它的轮胎与地面的最大静摩擦力等于车重的 0.6 倍. (1)如果汽车在这种高速公路的水平弯道上拐弯，假设弯道的路面是水平的，其弯道的最小半 径是多少？ (2)如果高速公路上设计了圆弧拱形立交桥，要使汽车能够以设计时速安全通过圆弧拱桥，这 个圆弧拱形立交桥的半径至少是多少？(取 g＝10 m/s2) 答案 (1)150 m (2)90 m 解析 (1)汽车在水平路面上拐弯，可视为汽车做匀速圆周运动，其向心力由车与路面间的静 摩擦力提供，当静摩擦力达到最大值时，由向心力公式可知这时的半径最小，有 Fmax＝0.6mg ＝m v2 rmin ，由速度 v＝108 km/h＝30 m/s 得，弯道半径 rmin＝150 m. (2)汽车过圆弧拱桥，可看做在竖直平面内做匀速圆周运动，到达最高点时，根据向心力公式 有：mg－FN＝mv2 R .为了保证安全通过，车与路面间的弹力 FN 必须大于等于零，有 mg≥mv2 R ，则 R≥90 m. 14.(2016·诸暨市期末)“水上乐园”中有一巨大的水平转盘，人在其上随盘子一起转动，给 游客带来无穷乐趣.如图 10 所示，转盘的半径为 R，离水平面的高度为 H，可视为质点的游客 的质量为 m，现转盘以角速度ω匀速转动，游客在转盘边缘保持相对静止，不计空气阻力. 图 10 (1)求转盘转动的周期； (2)求游客受到摩擦力的大小和方向； (3)若转盘突然停止转动，求游客落水点到转动轴的水平距离. 答案 (1)2π ω (2)mω2R，沿半径方向指向圆心 O (3)R 2Hω2 g ＋1 解析 (1)转盘转动的周期：T＝2π ω (2)游客受到摩擦力的大小：Ff＝mω2R 游客受到摩擦力的方向沿半径方向指向圆心 O. (3)游客转动时的线速度，即平抛运动的初速度：v＝ωR 游客落水的时间：t＝ 2H g 游客做平抛运动的水平位移：x＝ωR 2H g 游客落水点到转动轴的距离：s＝ x2＋R2＝R 2Hω2 g ＋1.