上海市中考数学试题分类解析专题函数的图像与性质

上海市中考数学试题分类解析专题函数的图像与性质

‎2001-2012年上海市中考数学试题分类解析汇编（12专题）‎ 专题6：函数的图象与性质 锦元数学工作室 编辑 一、 选择题 ‎1. （上海市2004年3分）在函数的图象上有三点、，已知，则下列各式中，正确的是【 】‎ ‎ A. B. ‎ ‎ C. D. ‎ ‎【答案】 C。‎ ‎【考点】反比例函数图象上点的坐标特征，反比例函数的性质。‎ ‎【分析】根据题意画出图形，再根据函数的增减性解答即可：‎ ‎∵＞0，函数图象如图，‎ ‎∴图象在第一、三象限，在每个象限内，随的增大而减小。‎ ‎∵，∴。‎ 故选C。‎ ‎2.（上海市2006年4分）二次函数图像的顶点坐标是【 】‎ ‎（A.） （－1，3） （B）. （1，3） （C）.（－1，－3） （ D）. （1，－3）‎ ‎【答案】B。‎ ‎【考点】二次函数的性质。‎ ‎【分析】根据二次函数的顶点式的特点，直接写出顶点坐标：（1，3）。故选B。‎ ‎3.（上海市2007年4分）如果一次函数的图象经过第一象限，且与轴负半轴相交，那么【 】A．， B．， C．， D．，‎ ‎【答案】B。‎ ‎【考点】一次函数图象与系数的关系。‎ ‎【分析】一次函数的图象有四种情况：‎ ‎①当，时，函数的图象经过第一、二、三象限，y的值随x的值增大而增大；‎ ‎②当，时，函数的图象经过第一、三、四象限，y的值随x的值增大而增大；‎ ‎③当，时，函数的图象经过第一、二、四象限，y的值随x的值增大而减小；‎ ‎④当，时，函数的图象经过第二、三、四象限，y的值随x的值增大而减小。‎ ‎ 由题意得，函数的图象经过第一、三、四象限，，。故选B。‎ ‎4.（上海市2008年4分）在平面直角坐标系中，直线经过【 】‎ A．第一、二、三象限 B．第一、二、四象限 C．第一、三、四象限 D．第二、三、四象限 ‎【答案】A。‎ ‎【考点】一次函数图象与系数的关系。‎ ‎【分析】一次函数的图象有四种情况：‎ ‎①当，时，函数的图象经过第一、二、三象限，y的值随x的值增大而增大；‎ ‎②当，时，函数的图象经过第一、三、四象限，y的值随x的值增大而增大；‎ ‎③当，时，函数的图象经过第一、二、四象限，y的值随x的值增大而减小；‎ ‎④当，时，函数的图象经过第二、三、四象限，y的值随x的值增大而减小。‎ ‎ 由题意得，函数的，，故它的图象经过第一、二、三象限。故选A。‎ ‎5.（上海市2008年Ⅰ组4分）在平面直角坐标系中，抛物线与轴的交点的个数是【 】‎ A．3 B．‎2 ‎ C．1 D．0‎ ‎【答案】B。‎ ‎【考点】抛物线与轴的交点。‎ ‎【分析】抛物线与轴的交点的个数即方程不相等实数根的个数，有2个，故选B。‎ ‎6.（上海市2009年4分）抛物线（是常数）的顶点坐标是【 】‎ A． B． C． D．‎ ‎【答案】B。‎ ‎【考点】抛物线的性质。‎ ‎【分析】因为抛物线是顶点式，根据顶点式的坐标特点，它的顶点坐标是。‎ 故选B。‎ ‎7.（上海市2010年4分）在平面直角坐标系中，反比例函数 图像的两支分别在【 】‎ A.第一、三象限 B.第二、四象限 C.第一、二象限 D.第三、四象限 ‎【答案】B。‎ ‎【考点】反比例函数的性质。‎ ‎【分析】根据反比例函数的性质：当时，图象分别位于第一、三象限；当时，图象分别位于第二、四象限：‎ ‎ ∵反比例函数的系数，‎ ‎ ∴图象两个分支分别位于第二、四象限。‎ 故选B。‎ ‎8.（上海市2011年4分）抛物线＝－(＋2)2－3的顶点坐标是【 】‎ ‎(A) （2，－3）； (B) （－2，3）； (C) （2，3）； (D) （－2，－3） ．‎ ‎【答案】Ｄ。‎ ‎【考点】二次函数的顶点坐标。‎ ‎【分析】由二次函数的顶点式表达式＝－(＋2)2－3直接得到其顶点坐标是（－2，－3）。故选Ｄ。‎ 二、填空题 ‎1. （2001上海市2分）如果正比例函数的图象经过点（2，4），那么这个函数的解析式为 ▲ ．‎ ‎【答案】。‎ ‎【考点】待定系数法，曲线上点的坐标与方程的关系。‎ ‎【分析】设正比例函数的解析式为，‎ ‎ ∵正比例函数的图象经过点（2，4），‎ ‎ ∴根据点在直线上，点的坐标满足方程的关系，得，解得。‎ ‎ ∴这个函数的解析式为。‎ ‎2. （上海市2002年2分）抛物线的顶点坐标是 ▲ ．‎ ‎【答案】（3，－6）。‎ ‎【考点】二次函数的性质 ‎【分析】把抛物线解析式的一般式配方为顶点式，再根据顶点式直接写出顶点坐标：‎ ‎∵，∴抛物线的顶点坐标是（3，－6）。‎ ‎3.（上海市2003年2分）在平面直角坐标系内，从反比例函数的图象上的一点分别作x、y轴的垂线段，与x、y轴所围成的矩形面积是12，那么该函数解析式是 ▲ 。‎ ‎【答案】。‎ ‎【考点】反比例函数系数k的几何意义。‎ ‎【分析】因为过双曲线上任意一点引x轴、y轴垂线，所得矩形面积S是个定值，即S=|k|：‎ 根据题意，知|k|=12，k=±12，‎ 又∵k＞0，∴k=12。‎ ‎∴该函数关系式为：。‎ ‎4.（上海市2005年3分）点A(2，4)在正比例函数的图象上，这个正比例函数的解析式是 ▲ ‎ ‎【答案】。‎ ‎【考点】待定系数法求正比例函数解析式，曲线上的点与坐标的关系。‎ ‎【分析】设这个正比例函数的解析式是，因为点A（2，4）在该正比例函数的图象上，所以有4=2 ，从而可求出 =2。从而得这个正比例函数的解析式是。‎ ‎5.（上海市2005年3分）如果将二次函数的图象沿y轴向上平移1个单位，那么所得图象的函 数解析式是 ▲ ‎ ‎【答案】。‎ ‎【考点】二次函数图象与平移变换。‎ ‎【分析】直接利用平移的规律“左加右减，上加下减”，在原函数上加1可得新函数解析式。‎ ‎6.（上海市2006年3分）某型号汽油的数量与相应金额的关系如图所示，‎ 那么这种汽油的单价是每升 ▲ 元。‎ ‎【答案】5.09。‎ ‎【考点】函数的图象。‎ ‎【分析】根据图象知道‎100升油花费了509元，由此即可求出这种汽油的单价：单价=509÷100=5.09元。‎ ‎7.（上海市2007年3分）如图，正比例函数图象经过点，该函数解析式是 ▲ ．‎ ‎【答案】。‎ ‎【考点】待定系数法求正比例函数解析式。‎ ‎【分析】设该正比例函数的解析式为，‎ ‎ 由图象可知，该函数图象过点A（1，3），∴。‎ ‎ ∴该正比例函数的解析式为。‎ ‎8.（上海市2008年4分）在平面直角坐标系中，如果双曲线经过点，那么 ‎ ▲ ．‎ ‎【答案】－2。‎ ‎【考点】曲线上点的坐标与方程的关系。‎ ‎【分析】因为双曲线经过点，所以满足方程，即，从而。‎ ‎9.（上海市2009年4分）反比例函数图像的两支分别在第 ▲ 象限．‎ ‎【答案】一、三。‎ ‎【考点】反比例函数的性质。‎ ‎【分析】根据反比例函数的性质：当时，图象分别位于第一、三象限；当时，图象分别位于第二、四象限：∵反比例函数的系数，∴图象两个分支分别位于第一、三象限。‎ ‎10.（上海市2010年4分）一辆汽车在行驶过程中，路程 y（千米）与时间 x ‎（小时）之间的函数关系如图所示 当 0≤x≤1时，y关于x的函数解析式为 ‎ y = 60 x，那么当 1≤x≤2时，y关于x的函数解析式为 ▲ .‎ ‎【答案】y=100x－40。‎ ‎【考点】函数图象，直线上点的坐标与方程的关系。‎ ‎【分析】在0≤x≤1时，把x=1代入y = 60 x，则y=60，那么当 1≤x≤2时由两点坐标（1,60）与（2,160）‎ 得当1≤x≤2时的函数解析式为y=100x－40。‎ ‎11.（上海市2011年4分）如果反比例函数（是常数，≠0）的图像经过点(－1，2)，那么这个函数的解析式是 ▲ ．‎ ‎【答案】。‎ ‎【考点】曲线上的点与方程的关系。‎ ‎【分析】根据点在曲线图上点的坐标满足方程的关系，把(－1，2)代入，得，即，那么这个函数的解析式是。‎ 三、解答题 ‎1. （2001上海市10分）如图，已知抛物线y＝2x2－4x＋m与x轴交于不同的两点A、B，其顶点是C，点D是抛物线的对称轴与x轴的交点．‎ ‎（1）求实数m的取值范围；‎ ‎（2）求顶点C的坐标和线段AB的长度（用含有m的式子表示）；‎ ‎（3）若直线分别交x轴、y轴于点E、F，问△BDC与△EOF是否有可能全等，如果可能，请证明；如果不可能，请说明理由．‎ ‎【答案】解：（1）令y=0，则有2x2－4x＋m=0，依题意有，△=16－‎8 m＞0，∴m＜2。‎ 又∵抛物线与y轴的交点在y轴正半轴上，∴m＞0.‎ 因此实数m的取值范围为0＜m＜2。‎ ‎（2）∵，∴C（1，m－2）。‎ 令y=0，2x2－4x＋m =0，则（由（1）知）。‎ ‎∴AB＝。‎ ‎（3）在中令y=0，得x＝ ，∴E（，0）。‎ 令x=0，得y＝1，∴F（0，1）。‎ ‎∴OE=，OF=1。‎ 由（2）可得BD=， CD=2－m。‎ 当OE=BD时，，解得m =1。‎ 此时OF=DC=1。‎ 又∵∠EOF=∠CDB=90°，∴△BDC≌△EOF（SAS）。∴两三角形有可能全等。‎ ‎【考点】二次函数综合题，一元二次方程的根的判别式和根与系数的关系，二次函数的性质和应用，全等三角形的判定。‎ ‎【分析】（1）由图象可知，抛物线与x轴有两个交点，因此对应的一元二次方程的根的判别式△＞0，求解即可。‎ ‎（2）直接根据顶点式得到顶点坐标和与x轴的交点坐标，再求AB的长度。‎ ‎（3）要求判定△BDC与△EOF是否有可能全都，即指探索全都的可能性，本题已有∠CDE=∠EOF=90°，BD与OE或OF都可能是对应边，证出其中一种情形成立即可。‎ ‎2.（上海市2002年10分）如图，直线y＝x＋2分别交x、y轴于点A、C，P是该直线上在第一象限内的一点，PB⊥x轴，B为垂足，S△ABP＝9．‎ ‎　　（1）求点P的坐标；‎ ‎　　（2）设点R与点P的同一个反比例函数的图象上，且点R在直线PB的右侧，作RT⊥x轴，T为垂足，当△BRT与△AOC相似时，求点R的坐标.‎ ‎【答案】解：（1）由题意，得点C（0，2），点A（－4，0）。‎ ‎　　 设点P的坐标为（a，a＋2），其中a＞0。‎ 由题意，得S△ABP＝（a＋4）（a＋2）＝9，‎ ‎　　 解得a＝2或a＝－10（舍去）。‎ ‎　 　而当a＝2时，a＋2＝3，∴点P的坐标为（2，3）。‎ ‎　　 （2）设反比例函数的解析式为。‎ ‎　　 ∵点P在反比例函数的图象上，∴，k＝6 。 ‎ ‎∴反比例函数的解析式为。‎ 设点R的坐标为（b，），点T的坐标为（b，0）其中b＞2，那么BT＝b－2，RT＝。‎ ‎①当△RTB∽△AOC时，，即，‎ ‎∴，解得b＝3或b＝－1（舍去）。‎ ‎∴点R 的坐标为（3，2）。　　　　　　　　　　　　　　‎ ②当△RTB∽△COA时，，即，　‎ ‎∴　，解得b＝1＋或b＝1－（舍去）。‎ ‎∴点R 的坐标为（1＋，）。　‎ 综上所述，点R的坐标为（3，2）或（1＋，）。‎ ‎【考点】一次函数综合题，曲线上点的坐标与方程的关系，相似三角形的判定和性质，解一元二次方程。‎ ‎【分析】（1）根据点在直线上，点的坐标满足方程的性质，求出BP，AB的值从而可求出点 P的坐标。‎ ‎（2）设R点坐标为（x，y），求出反比例函数．又因为△BRT∽△AOC，利用线段比联立方程组求出x，y的值。‎ ‎3.（上海市2003年10分）卢浦大桥拱形可以近似看作抛物线的一部分，在大桥截面1∶11000的比例图上，跨度AB＝‎5cm，拱高OC＝‎0.9cm，线段DE表示大桥拱内桥长，DE∥AB。如图，在比例图上，以直线AB为x轴，抛物线的对称轴为y轴，以‎1cm作为数轴的单位长度，建立平面直角坐标系，如图：‎ ‎（1）求出图上以这一部分抛物线为图像的函数解析式，写出函数定义域；‎ ‎ （2）如果DE与AB的距离OM＝‎0.45cm，求卢浦大桥拱内实际桥长（备用数据：≈1.4，计算结果精确到‎1米）‎ ‎【答案】解：（1）∵顶点C在y轴上，∴设以这部分抛物线为图象的函数解析式为。‎ ‎∵点A（，0）在抛物线上，∴，得。‎ ‎∴所求函数解析式为：。‎ ‎（2）∵点D、E的纵坐标为，∴，得。‎ ‎∴点D的坐标为（，），点E的坐标为（，）。‎ ‎∴DE=－()=。‎ 因此月河河流宽度为×11000×0.01=（米）。‎ ‎【考点】二次函数的应用，曲线上的点与方程的关系。‎ ‎【分析】（1）因为C在y轴上，故设抛物线的解析式为，把A点坐标代入解析式求出a即可。‎ ‎（2）因为点D、E的纵坐标相同，易求DE的长。 ‎ ‎4.（上海市2003年10分）已知在平面直角坐标系内，O为坐标原点，A、B是轴正半轴上的两点，点A在点B的左侧，如图，二次函数的图象经过点A、B，与轴相交于点C。‎ ‎ （1）、的符号之间有何关系？‎ ‎ （2）如果线段OC的长度是线段OA、OB长度的比例中项，试证、互为倒数；‎ ‎ （3）在（2）的条件下，如果＝－4，AB＝，求、的值。‎ ‎【答案】解：（1）由图可知：当抛物线开口向下，即＜0时，＜0（如图）；‎ 当抛物线开口向上，即＞0时，＞0；‎ 因此、同号。‎ ‎（2）设A（m，0），B（n，0），‎ 抛物线的解析式中，令=0，得：。‎ ‎∴OA•OB=mn=，OC2=。‎ ‎∵OA•OB=OC2，∴=，解得=1。‎ 所以、互为倒数。‎ ‎（3）由题意知：，则m＋n=，mn=。‎ ‎∵AB=，∴AB2=48。‎ ‎∴（n－m）2=48，即（m+n）2－4mn=48，。‎ 解得。∴。‎ 因此、的值分别为：、2或－、－2。‎ ‎【考点】二次函数综合题，一元二次方程根与系数的关系。‎ ‎【分析】（1）根据A、B点的位置即可判断出当抛物线开口向下时，函数图象与y轴交于负半轴，当抛物线开口向上时，函数图象与轴交于正半轴，即、同号。‎ ‎（2）当CO2=OA•OB时，可用表示出OC，用、表示出OA•OB，代入上式即可求得、是否为倒数关系。‎ ‎（3）沿用（2）的思路，首先将值代入抛物线的解析式中，可依据韦达定理表示出AB的长，几何、的倒数关系，即可求得、的值。 ‎ ‎5.（上海市2004年12分）数学课上，老师出示图和下面框中条件。‎ 如图，在平面直角坐标系中，O为坐标原点，A点的坐标为（1，0），点B在轴上，且在点A的右侧，AB=OA，过点A和B作轴的垂线，分别交二次函数的图象于点C和D，直线OC交BD于点M，直线CD交轴于点H，记点C、D的横坐标分别为，点H的纵坐标为．‎ ‎ 同学发现两个结论：‎ ‎ ①；‎ ‎ ②数值相等关系：。‎ ‎ （1）请你验证结论①和结论②成立；‎ ‎ （2）请你研究：如果将上述框中的条件“A点坐标（1，0）”改为“A点坐标为”，其他条件不变，结论①是否仍成立？（请说明理由）‎ ‎ （3）进一步研究：如果将上述框中的条件“A点坐标（1，0）”改为“A点坐标为”，又将条件“”改为“”，其他条件不变，那么和有怎么样的数值关系？（写出结果并说明理由）‎ ‎【答案】解：（1）由已知可得点的坐标为（2，0），点C的坐标为（1，1），点D的坐标为（2，4），由点C坐标为（1，1）易得直线OC的函数解析式为 ‎ ∴点M的坐标为（2，2），‎ ‎∴。‎ ‎ ∴， 即结论①成立。‎ ‎ 设直线CD的函数解析式为 ‎ 则，得 ‎ ∴直线CD的函数解析式为；‎ ‎ 由上述可得，点H的坐标为（0，－2），。‎ ‎ ∵，∴，即结论②成立。‎ ‎ （2）结论①仍成立，理由如下：‎ ‎ ∵点A的坐标为，则点B坐标为（），从而点C坐标为，点D坐标为，设直线OC的函数解析式为，则，得。‎ ‎ ∴直线OC的函数解析式为。‎ ‎ 设点M的坐标为（），‎ ‎ ∵点M在直线OC上， ∴当时，，点M的坐标为（）。‎ ‎ ∴。‎ ‎ ∴结论①仍成立。‎ ‎ （3），理由如下：‎ ‎ 由题意，当二次函数的解析式为，且点A坐标为（t，0）（）时，点C坐标为（），点D坐标为（），设直线CD的函数解析式为 ‎ 则 ‎ ∴直线CD的函数解析式为。‎ ‎ 则点H的坐标为（），。‎ ‎ ∵，∴。‎ ‎【考点】二次函数综合题，曲线上点的坐标与方程的关系。‎ ‎【分析】（1）可先根据AB=OA得出B点的坐标，然后根据抛物线的解析式和A，B的坐标得出C，D两点的坐标，再依据C点的坐标求出直线OC的解析式．进而可求出M点的坐标，然后根据C、D两点的坐标求出直线CD的解析式进而求出D点的坐标，然后可根据这些点的坐标进行求解即可。‎ ‎（2）（3）的解法同（1）完全一样。‎ ‎6.（上海市2005年10分）在直角坐标平面中，O为坐标原点，二次函数 的图象与x轴的负半轴相交于点C（如图），点C的坐标为（0，－3），且BO＝CO 一、 求这个二次函数的解析式；‎ 二、 设这个二次函数的图象的顶点为M，求AM的长.‎ ‎【答案】解：（1）∵C（0，－3），OC=|－3|=3，∴=－3。‎ ‎ 又∵OC=BO，∴BO=3，∴B（3，0）。‎ ‎ ∴9＋3－3=0，=－2。‎ ‎ ∴这个二次函数的解析式为。‎ ‎ （2）∵，∴M（1，－4）。‎ ‎ 又由解得 A（－1，0）， ‎ ‎ ∴AM=。‎ ‎【考点】二次函数综合题，曲线上点的坐标与方程的关系，勾股定理。‎ ‎【分析】（1）由已知可得B（3，0），又C（0，－3），代入抛物线解析式可求、。‎ ‎ （2）求抛物线顶点坐标和A点坐标，在直角三角形中用勾股定理可求AM的长。‎ ‎7.（上海市2006年12分）如图，在直角坐标系中，为原点．点在第一象限，它的纵坐标是横坐标的3倍，反比例函数的图象经过点．‎ ‎（1）求点的坐标（5分）；‎ ‎（2）如果经过点的一次函数图象与轴的正半轴交于点，且，求这个一次函数的解析式（7分）。‎ ‎【答案】解：（1）由题意，设点的坐标为，．‎ ‎　　　 ∵点在反比例函数的图象上，得，解得，。‎ ‎　　　 经检验，是原方程的根，但不符合题意，舍去。‎ ‎　　 　∴点的坐标为。‎ ‎　　　 （2）由题意，设点的坐标为．‎ ‎　　　 ∵ ，∴，　解得，经检验是原方程的根。‎ ‎ ∴点的坐标为。‎ ‎　　 　设一次函数的解析式为，‎ ‎　　 ∵一次函数图象过点，∴，得。‎ ‎　　　 ∴所求一次函数的解析式为。‎ ‎【考点】反比例函数综合题，待定系数法，曲线上点的坐标与方程的关系。‎ ‎【分析】（1）根据点位置及坐标特点，代入反比例函数解析式解方程即可求出的坐标。 （2）根据题意求B点坐标，再求解析式。‎ ‎8.（上海市2007年12分）如图，在直角坐标平面内，函数（，是常数）的图象经过，，其中．过点作轴垂线，垂足为，过点作轴垂线，垂足为，连结，，．‎ ‎（1）若的面积为4，求点的坐标；‎ ‎（2）求证：；‎ ‎（3）当时，求直线的函数解析式．‎ ‎【答案】解：（1）∵函数，是常数）图象经过，∴。‎ ‎ 设交于点，据题意，可得点的坐标为，点的坐标为，‎ 点的坐标为。‎ ‎ ∵，∴，。‎ ‎ 由的面积为4，即，得，∴点的坐标为。‎ ‎ （2）证明：根据题意，点的坐标为，则。‎ ‎ ∵，易得，，‎ ‎ ∴，。∴。‎ ‎ ∴。‎ ‎ （3）∵，∴当时，有两种情况：‎ ‎ ①当时，四边形是平行四边形，‎ ‎ 由（2）得，，∴，得。‎ ‎ ∴点的坐标是（2，2）。‎ ‎ 设直线的函数解析式为，把点的坐标代入，‎ ‎ 得解得。‎ ‎ ∴直线的函数解析式是。‎ ‎ ②当与所在直线不平行时，四边形是等腰梯形，‎ ‎ 则，∴，∴点的坐标是（4，1）。‎ ‎ 设直线的函数解析式为，把点的坐标代入，‎ ‎ 得解得。‎ ‎ ∴直线的函数解析式是。‎ ‎ 综上所述，所求直线的函数解析式是或。‎ ‎【考点】曲线上点的坐标与方程的关系，待定系数法，两直线平行的判定，平行四边形的判定和性质，等腰梯形的判定和性质。‎ ‎【分析】（1）由函数（，是常数）的图象经过，根据点在曲线上点的坐标满足方程的关系，求出函数关系式，从而由的面积为4求出点的坐标。‎ ‎ （2）由已知，求出，即可证得。‎ ‎ （3）分和与所在直线不平行两种情况讨论即可。‎ ‎9.（上海市2008年12分）如图，在平面直角坐标系中，为坐标原点．二次函数的图像经过点，顶点为．‎ ‎（1）求这个二次函数的解析式，并写出顶点的坐标（5分）；‎ ‎（2）如果点的坐标为，，垂足为点，点在直线上，，求点的坐标（7分）．‎ ‎【答案】解：（1）∵二次函数的图像经过点，‎ ‎ ∴，得。所求二次函数的解析式为。[来源:中.考.资.源.网]‎ ‎ 则这个二次函数图像顶点的坐标为。‎ ‎ （2）过点作轴，垂足为点。‎ ‎ 在中，，，，‎ ‎ ∴。‎ ‎ 在中，，又，可得。∴。‎ ‎ 过点作轴，垂足为点。由题意知，点在点的右侧，‎ ‎ 易证．∴。‎ ‎ 其中，。设点的坐标为，则，。‎ ‎ ①若点在的延长线上，则，得，‎ ‎ ∴ ，。∴点的坐标为。‎ ‎ ②若点在线段上，则，得，‎ ‎ ∴ ，。∴点的坐标为。‎ ‎ 综上所述，点的坐标为或。‎ ‎【考点】曲线上点的坐标与方程的关系，二次函数的顶点坐标，锐角三角函数定义，相似三角形的判定和性质。‎ ‎【分析】（1）根据点在曲线上，点的坐标满足方程的关系，由二次函数的图像经过点，可求得，从而得到二次函数的解析式。把二次函数的解析式化为顶点式，可得这个二次函数图像顶点的坐标为。 ‎ ‎ （2）过点作轴，垂足为点，过点作轴，垂足为点。分点在的延长线上和点在线段上两种情况分别求出点的坐标为或。‎ ‎10.（上海市2010年12分）如图，已知平面直角坐标系xOy，抛物线y＝－x2＋bx＋c过点A(4,0)、B(1,3) .‎ ‎（1）求该抛物线的表达式，并写出该抛物线的对称轴和顶点坐标；‎ ‎（2）记该抛物线的对称轴为直线l，设抛物线上的点P(m,n)在第四象限，点P关于直线l的对称点为E，‎ 点E关于y轴的对称点为F，若四边形OAPF的面积为20，求m、n的值.‎ ‎【答案】解：（1）将A(4,0)、B(1,3)两点坐标代入抛物线的方程得：‎ ‎ ，解之得：b=4，c=0‎ ‎ ∴抛物线的表达式为：。‎ ‎ 将抛物线的表达式配方得：‎ ‎ ∴该抛物线的对称轴为x=2，顶点坐标为（2，4）。‎ ‎ （2）点p（m，n）关于直线x=2的对称点为点E（4－m，n），点E关于y轴的对称点为点F（4－m,－n）。[来源:学.科.网]‎ ‎ 则四边形OAPF可以分为：△OFA与△OAP，‎ ‎ ∴= + = =20‎ ‎ ∴=5。‎ ‎ ∵点P为第四象限的点，∴n<0，∴n= －5。‎ ‎ 代入抛物线方程得m=5。‎ ‎【考点】曲线上点的坐标与方程的关系，抛物线的性质，轴对称的性质。‎ ‎【分析】（1）根据点在曲线上，点的坐标满足方程的关系，将点A、B的坐标代入函数关系式即可求出b=4，c=0，得到抛物线的表达式。将表达式化为顶点式即可得到该抛物线的对称轴和顶点坐标。‎ ‎ （2）根据轴对称的性质可得到点E和F的坐标，由已知四边形OAPF的面积为20，列式求出n，‎ 代入抛物线方程求得m。‎ ‎11.（上海市2011年12分）已知平面直角坐标系O（如图1），一次函数的图 像与轴交于点A，点M在正比例函数的图像上，且MO＝MA．二次函数＝2＋b＋c的图像经过点A、M．‎ ‎（1）求线段AM的长；‎ ‎（2）求这个二次函数的解析式；‎ ‎（3）如果点B在轴上，且位于点A下方，点C在上述二次函数的图像上，点D在一次函数的图像上，且四边形ABCD是菱形，求点C的坐标． ‎ ‎【答案】解：（1）在一次函数中，当=0时，=3。∴A（0，3）。‎ ‎∵MO=MA，∴M为OA垂直平分线上的点，而OA垂直平分线的解析式为。‎ 又∵点M在反比例函数 上，∴M（1，）。‎ 又∵A（0，3）．∴AM= 。‎ ‎（2）∵二次函数＝2＋b＋c的图象经过点A、M．可得 ‎，解得。∴这个二次函数的解析式＝2－＋3。‎ ‎（3）∵点D在一次函数 y=的图象上，‎ 则可设D（n， ），设B（0，m）（m＜3），C（n， ）。‎ ‎∵四边形ABDC是菱形，‎ ‎∴| AB |=3—m，| DC |= = －（）= 。‎ ‎| AD |=‎ ‎∵ | AB |=| DC |，∴3－m= ①。‎ ‎∵| AB |=| AD |，∴3－m= ②。‎ 解①②得，n 1=0（舍去），n 2=2。‎ 将n=2，代入C（n， ）。∴点C的坐标为C（2，2）。‎ ‎【考点】二次函数综合题，线段垂直平分线的性质，曲线上的点与方程的关系，待定系数法，菱形的性质，勾股定理。‎ ‎【分析】（1）先求出根据OA垂直平分线上的解析式，再根据两点的距离公式求出线段AM的长。‎ ‎（2）二次函数＝2＋b＋c的图象经过点A、M．由待定系数法即可求出二次函数的解析式。‎ ‎（3）可设D（n， ），，C（n， ）且点C在二次函数＝2－‎ ‎＋3上，根据菱形的性质得出| AB |=| DC |，| AB |=| AD |，得到方程求解即可。‎ ‎12.（2012上海市10分）某工厂生产一种产品，当生产数量至少为10吨，但不超过50吨时，每吨的成本y（万元/吨）与生产数量x（吨）的函数关系式如图所示．‎ ‎（1）求y关于x的函数解析式，并写出它的定义域；‎ ‎（2）当生产这种产品的总成本为280万元时，求该产品的生产数量．‎ ‎（注：总成本=每吨的成本×生产数量）‎ ‎【答案】解：（1）利用图象设y关于x的函数解析式为y=kx+b，‎ 将（10，10）（50，6）代入解析式得：，解得：。‎ ‎∴y关于x的函数解析式为y=x+11（10≤x≤50）。‎ ‎（2）当生产这种产品的总成本为280万元时，‎ x（x+11）=280，解得：x1=40，x2=70（不合题意舍去）。‎ ‎∴该产品的生产数量为40吨。‎ ‎【考点】一次函数的应用，待定系数法，直线上点的坐标与方程的关系，解二元一次方程组和一元二次方程。‎ ‎【分析】（1）利用待定系数法求出一次函数解析式即可，根据当生产数量至少为10吨，但不超过50吨时，得出x的定义域。‎ ‎（2）根据总成本=每吨的成本×生产数量，利用（1）中所求得出即可。‎ ‎13.（2012上海市12分）如图，在平面直角坐标系中，二次函数y=ax2+6x+c的图象经过点A（4，0）、B（﹣1，0），与y轴交于点C，点D在线段OC上，OD=t，点E在第二象限，∠ADE=90°，tan∠DAE=，EF⊥OD，垂足为F．‎ ‎（1）求这个二次函数的解析式；‎ ‎（2）求线段EF、OF的长（用含t的代数式表示）；‎ ‎（3）当∠ECA=∠OAC时，求t的值．‎ ‎【答案】解：（1）二次函数y=ax2+6x+c的图象经过点A（4，0）、B（﹣1，0），‎ ‎∴，解得。‎ ‎∴这个二次函数的解析式为：y=﹣2x2+6x+8。‎ ‎（2）∵∠EFD=∠EDA=90°，∴∠DEF+∠EDF=90°，∠EDF+∠ODA=90°。∴∠DEF=∠ODA。‎ ‎∴△EDF∽△DAO。∴。‎ ‎∵，∴。‎ ‎∵OD=t，∴，∴EF=。‎ 同理，∴DF=2，∴OF=t﹣2。‎ ‎（3）∵抛物线的解析式为：y=﹣2x2+6x+8，∴C（0，8），OC=8。‎ 如图，连接EC、AC，过A作EC的垂线交CE于G点．‎ ‎∵∠ECA=∠OAC，∴∠OAC=∠GCA（等角的余角相等）。‎ 在△CAG与△OCA中，‎ ‎∵∠OAC=∠GCA，AC=CA，∠ECA=∠OAC，[来源:中.考.资.源.网WWW.ZK5U.COM]‎ ‎∴△CAG≌△OCA（ASA）。∴CG=AO=4，AG=OC=8。‎ 如图，过E点作EM⊥x轴于点M，‎ 则在Rt△AEM中，EM=OF=t﹣2，AM=OA+AM=OA+EF=4+，‎ 由勾股定理得： 。‎ 在Rt△AEG中，由勾股定理得：。‎