【数学】2020届一轮复习人教B版（文）18平面向量的数量积及应用作业

【数学】2020届一轮复习人教B版（文）18平面向量的数量积及应用作业

天天练18　平面向量的数量积及应用 小题狂练⑱‎ 一、选择题 ‎1．[2019·遂宁模拟]给出下列命题：‎ ‎①＋＝0；②0·＝0；③若a与b共线，则a·b＝|a||b|；④(a·b)·c＝a·(b·c)．‎ 其中正确命题的个数是(　　)‎ A．1 B．2‎ C．3 D．4‎ 答案：A 解析：①∵＝－，∴＋＝－＋＝0，∴该命题正确；②∵数量积是一个实数，不是向量，∴该命题错误；③∵a与b共线，当方向相反时，a·b＝－|a||b|，∴该命题错误；④当c与a不共线，且a·b≠0，b·c≠0时，(a·b)·c≠a·(b·c)，∴该命题错误．故正确命题的个数为1.故选A.‎ ‎2．已知向量a＝(1,3)，b＝(2，－5)．若向量c满足c⊥(a＋b)，且b∥(a－c)，则c＝(　　)‎ A. B. C. D. 答案：A 解析：设出c的坐标，利用平面向量的垂直关系和平行关系得出两个方程，联立两个方程求解即可．‎ 设c＝(x，y)，由c⊥(a＋b)，得c·(a＋b)＝(x，y)·(3，－2)＝3x－2y＝0，　①‎ 又b＝(2，－5)，a－c＝(1－x,3－y)，且b∥(a－c)，所以2(3－y)－(－5)×(1－x)＝0.　②‎ 联立①②，解得x＝，y＝，所以c＝.故选A.‎ ‎3．[2018·全国卷Ⅱ]已知向量a，b满足|a|＝1，a·b＝－1，则a·(2a－b)＝(　　)‎ A．4 B．3‎ C．2 D．0‎ 答案：B 解析：a·(2a－b)＝2a2－a·b＝2|a|2－a·b.‎ ‎∵ |a|＝1，a·b＝－1，∴ 原式＝2×12＋1＝3.‎ 故选B.‎ ‎4．[2019·安徽马鞍山模拟]已知平面向量a＝(2,1)，b＝(m，－2)，且a⊥b，则|a－b|＝(　　)‎ A. B．5‎ C. D．10‎ 答案：C 解析：∵a⊥b，∴a·b＝(2,1)·(m，－2)＝2m－2＝0，∴m＝1，∴b＝(1，－2)，∴a－b＝(1,3)，则|a－b|＝＝，故选C.‎ ‎5．[2019·长郡中学选考]在菱形ABCD中，A(－1,2)，C(2,1)，则·＝(　　)‎ A．5 B．－5‎ C．－ D．－ 答案：B 解析：设菱形ABCD的对角线交于点M，则＝＋，⊥，＝－，又＝(3，－1)，所以·＝(＋)·＝－2＝－5.‎ ‎6．[2019·沈阳质量检测(一)]已知平面向量a＝(－2，x)，b＝(1，)，且(a－b)⊥b，则实数x的值为(　　)‎ A．－2 B．2 C．4 D．6 答案：B 解析：由(a－b)⊥b，得(a－b)·b＝0，即(－3，x－)·(1，)＝－3＋x－3＝0，即x＝6，解得x＝2，故选B.‎ ‎7．已知＝(2,1)，点C(－1,0)，D(4,5)，则向量在 方向上的投影为(　　)‎ A．－ B．－3 C. D．3 答案：C 解析：因为点C(－1,0)，D(4,5)，所以＝(5,5)，又＝(2,1)，所以向量在方向上的投影为||cos〈，〉＝＝＝.‎ ‎8．[2019·泰安质检]已知非零向量a，b满足|a|＝|b|＝|a＋b|，则a与2a－b夹角的余弦值为(　　)‎ A. B. C. D. 答案：D 解析：不妨设|a|＝|b|＝|a＋b|＝1，则|a＋b|2＝a2＋b2＋2a·b＝2＋2a·b＝1，所以a·b＝－，所以a·(2a－b)＝2a2－a·b＝，又|a|＝1，|2a－b|＝＝＝，所以a与2a－b夹角的余弦值为＝＝.‎ 二、非选择题 ‎9．[2019·河南南阳一中考试]已知向量a，b的夹角为120°，且|a|＝1，|2a＋b|＝2，则|b|＝________.‎ 答案：4‎ 解析：∵|2a＋b|＝2，|a|＝1，∴(2a＋b)2＝4a2＋4a·b＋b2＝4＋4×1×|b|×cos120°＋b2＝4－2|b|＋b2＝12，整理得b2－2|b|－8＝0，解得|b|＝4或|b|＝－2(舍去)，∴|b|＝4.‎ ‎10．[2019·长春质量监测(一)]已知平面内三个不共线向量a，‎ b，c两两夹角相等，且|a|＝|b|＝1，|c|＝3，则|a＋b＋c|＝________.‎ 答案：2‎ 解析：由平面内三个不共线向量a，b，c两两夹角相等，可得夹角均为，所以|a＋b＋c|2＝a2＋b2＋c2＋2a·b＋2b·c＋2a·c＝1＋1＋9＋2×1×1×cos＋2×1×3×cos＋2×1×3×cos＝4，所以|a＋b＋c|＝2.‎ ‎11．[2019·益阳市、湘潭市调研]已知向量a，b满足|a|＝1，|b|＝2，a＋b＝(1，)，记向量a，b的夹角为θ，则tanθ＝________.‎ 答案：－ 解析：∵|a|＝1，|b|＝2，a＋b＝(1，)，∴(a＋b)2＝|a|2＋|b|2＋2a·b＝5＋2a·b＝1＋3，∴a·b＝－，∴cosθ＝＝－，∴sinθ＝＝，∴tanθ＝＝－.‎ ‎12．[2019·湖北四地七校联考]已知平面向量a，b的夹角为120°，且|a|＝1，|b|＝2.若平面向量m满足m·a＝m·b＝1，则|m|＝________.‎ 答案： 解析：如图，设＝a，＝b，A(1,0)，B(－1，)．设m＝(x，y)，由m·a＝m·b＝1，‎ 得解得 ‎∴|m|＝＝.‎ 课时测评⑱‎ 一、选择题 ‎1．已知|a|＝3，|b|＝5，且a＋λb与a－λb垂直，则λ＝(　　)‎ A. B．± C．± D．± 答案：B 解析：根据a＋λb与a－λb垂直，可得(a＋λb)·(a－λb)＝0，整理可得a2－λ2·b2＝0，即λ2＝＝＝，所以λ＝±，选B.‎ ‎2．在平面直角坐标系xOy中，已知四边形ABCD是平行四边形，＝(1，－2)，＝(2,1)，则·＝(　　)‎ A．5 B．4‎ C．3 D．2‎ 答案：A 解析：因为四边形ABCD为平行四边形，所以＝＋＝(1，－2)＋(2,1)＝(3，－1)，所以·＝2×3＋(－1)×1＝5，故选A.‎ ‎3．[2019·安徽蚌埠模拟]已知非零向量m，n满足3|m|＝2|n|，〈m，n〉＝60°.若n⊥(tm＋n)，则实数t的值为(　　)‎ A．3 B．－3‎ C．2 D．－2‎ 答案：B 解析：∵非零向量m，n满足3|m|＝2|n|，〈m，n〉＝60°，‎ ‎∴cos〈m，n〉＝.又∵n⊥(tm＋n)，∴n·(tm＋n)＝tm·n＋n2＝t|m||n|×＋|n|2＝|n|2＋|n|2＝0，解得t＝－3.故选B.‎ ‎4．[2019·辽宁葫芦岛第六高级中学模拟]已知在△ABC中，G为重心，记a＝，b＝，则＝(　　)‎ A.a－b B.a＋b C.a－b D.a＋b 答案：A 解析：∵G为△ABC的重心，∴＝(＋)＝a＋b，∴＝＋＝－b＋a＋b＝a－b.故选A.‎ ‎5．[2019·河南天一大联考测试]已知在等边三角形ABC中，BC＝3，＝2＝，则·＝(　　)‎ A．4 B. C．5 D. 答案：D 解析：根据题意，·＝＋＋＝·＋·＋·－2＝||·||cos＋·(－)－2＝＋2＝.故选D.‎ ‎6．[2019·广东五校协作体模拟]已知向量a＝(λ，1)，b＝(λ＋2,1)．若|a＋b|＝|a－b|，则实数λ的值为(　　)‎ A．－1 B．2‎ C．1 D．－2‎ 答案：A 解析：根据题意，对于向量a，b，若|a＋b|＝|a－b|，则|a＋b|2＝|a－b|2，变形可得a2＋2a·b＋b2＝a2－2a·b＋b2，即a·b＝0.又由向量a＝(λ，1)，b＝(λ＋2,1)，得λ(λ＋2)＋1＝0，解得λ＝－1.故选A.‎ ‎7．[2019·上饶模拟]已知向量，的夹角为60°，||＝||＝2，若＝2＋，则△ABC为(　　)‎ A．等腰三角形 B．等边三角形 C．直角三角形 D．等腰直角三角形 答案：C 解析：根据题意，由＝2＋，可得－＝＝2，则||＝2||＝4，由＝－，可得||2＝|－|2＝2－2·＋OA2＝4，故||＝2，由＝－＝(2＋)－＝＋，得||2＝|＋|2＝2＋2·＋2＝12，可得||＝2.在△ABC中，由||＝4，||＝2，||＝2，可得||2＝||2＋||2，则△ABC为直角三角形．故选C.‎ ‎8．[2019·福州四校联考]已知向量a，b为单位向量，且a·b＝－，向量c与a＋b共线，则|a＋c|的最小值为(　　)‎ A．1 B. C. D. 答案：D 解析：解法一　∵向量c与a＋b共线，∴可设c＝t(a＋b)(t∈R)，∴a＋c＝(t＋1)a＋tb，∴(a＋c)2＝(t＋1)2a2＋2t(t＋1)a·b＋t2b2.∵向量a，b为单位向量，且a·b＝－，∴(a＋c)2＝(t＋1)2－t(t＋1)＋t2＝t2＋t＋1≥，∴|a＋c|≥，∴|a＋c|的最小值为，故选D.‎ 解法二　∵向量a，b为单位向量，且a·b＝－，∴向量a，b的夹角为120°.在平面直角坐标系中，不妨设向量a＝(1,0)，b＝，则a＋b＝.∵向量c与a＋b共线，∴可设c＝t(t∈R)，∴a＋c＝，∴|a＋c|＝＝‎ eq r(t2＋t＋1)≥，∴|a＋c|的最小值为，故选D.‎ 二、非选择题 ‎9．如图，在等腰直角三角形ABC中，∠C＝90°，AC＝2，D为BC的中点，则·＝________.‎ 答案：6‎ 解析：解法一　由题意知，AC＝BC＝2，AB＝2，∴·＝·(＋)＝·＋·＝||·||cos45°＋||·||＝cos45°＝2×2×＋2×1×＝6.‎ 解法二　建立如图所示的平面直角坐标系，由题意得A(0,2)，B(－2,0)，D(－1,0)，∴＝(－2,0)－(0,2)＝(－2，－2)，＝(－1,0)－(0,2)＝(－1，－2)，∴·＝－2×(－1)＋(－2)×(－2)＝6.‎ ‎10．[2019·安徽皖西高中教学联盟模拟]平面向量a满足(a＋b)·b＝7，|a|＝，|b|＝2，则向量a与b的夹角为________．‎ 答案： 解析：∵(a＋b)·b＝7，∴a·b＋b2＝7，∴a·b＝7－4＝3，‎ ‎∴cos〈a，b〉＝＝＝，〈a，b〉∈(0，π)‎ ‎∴〈a，b〉＝.‎ ‎11．在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，已知向量m＝，n＝，且2m·n＋|m|＝，·＝1.‎ ‎(1)求角A的大小；‎ ‎(2)求△ABC的面积S.‎ 解析：(1)因为2m·n＝2sincos－2cos2＝sinA－(cosA＋1)＝sin－1，又|m|＝1，所以2m·n＋|m|＝sin＝，即sin＝.因为0

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