【数学】2020届一轮复习人教B版　函数的零点、方程的根及其应用学案

【数学】2020届一轮复习人教B版　函数的零点、方程的根及其应用学案

考查角度3　函数的零点、方程的根及其应用 ‎　　分类透析一　函数零点所在区间的确定 ‎　　　　　　　　　　　　　　　　　　‎ ‎　　例1 已知函数f(x)=-log2x,在下列区间中,包含f(x)零点的区间是(　　).‎ A.(0,1) B.(1,2) C.(2,4) D.(4,+∞)‎ 解析 由题意知,函数f(x)在(0,+∞)上为减函数,又f(1)=6-0=6>0,f(2)=3-1=2>0,f(4)=-log24=-2=-<0,‎ 由零点存在性定理,可知函数f(x)在区间(2,4)上必存在零点.‎ 答案 C 方法技巧 判断函数在某个区间上是否存在零点,要根据具体题目灵活处理.当能直接求出零点时,就直接求出进行判断;当不能直接求出时,可根据零点存在性定理判断;当用零点存在性定理也无法判断时,可画出图象判断.‎ ‎　　分类透析二　函数零点个数的问题 例2 (1)已知f(x)是定义在R上的奇函数,当x≥0时,f(x)=x2-3x,则函数g(x)=f(x)-x+3的零点的集合为(　　).‎ A.{1,3} B.{-3,-1,1,3}‎ C.{2-,1,3} D.{-2-,1,3}‎ ‎(2)若定义在R上的偶函数f(x)满足f(x+2)=f(x),且当x∈[0,1]时,f(x)=x,则方程f(x)=log3|x|的解的个数是(　　).‎ A.0 B.2 C.4 D.6‎ 解析 (1)令x<0,则-x>0,‎ 所以f(-x)=(-x)2+3x=x2+3x.‎ 因为f(x)是定义在R上的奇函数,‎ 所以f(-x)=-f(x).‎ 所以当x<0时,f(x)=-x2-3x.‎ 所以当x≥0时,g(x)=x2-4x+3.‎ 令g(x)=0,即x2-4x+3=0,‎ 解得x=1或x=3.‎ 当x<0时,g(x)=-x2-4x+3.‎ 令g(x)=0,即x2+4x-3=0,‎ 解得x=-2+>0(舍去)或x=-2-.‎ ‎　　所以函数g(x)有三个零点,‎ 故其集合为{-2-,1,3}.‎ ‎(2)画出周期函数f(x)和y=log3|x|的图象,如图所示,‎ 故方程f(x)=log3|x|的解的个数为4.‎ 答案 (1)D　(2)C 方法技巧 判断函数y=f(x)零点个数的三种常用方法:(1)直接法.令f(x)=0,则方程实根的个数就是函数零点的个数.(2)零点存在性定理法.判断函数在区间[a,b]上是连续不断的曲线,且f(a)·f(b)<0,再结合函数的图象与性质(如单调性、奇偶性、周期性、对称性)可确定函数的零点个数.(3)数形结合法.转化为两个函数的图象的交点个数问题(画出两个函数的图象,其交点的个数就是函数零点的个数).‎ ‎　　分类透析三　由函数零点求参数的取值范围 例3 已知函数f(x)=则使函数g(x)=f(x)+x-m有零点的实数m的取值范围是(　　).‎ A.[0,1)‎ B.(-∞,1)‎ C.(-∞,1]∪(2,+∞)‎ D.(-∞,0]∪(1,+∞)‎ 解析 函数g(x)=f(x)+x-m的零点就是方程f(x)+x=m的根,画出h(x)=f(x)+x=的大致图象(图略).‎ 观察它与直线y=m的图象,得知当m≤0或m>1时,有交点,即函数g(x)=f(x)+x-m有零点.‎ 答案 D 方法技巧 根据函数零点的情况求参数有三种常用方法.‎ ‎(1)直接法:直接根据题设条件构建关于参数的不等式,再通过解不等式确定参数范围.‎ ‎(2)分离参数法:通过将参数分离,转化成求函数值域问题解决.‎ ‎(3)数形结合法:先对解析式变形,在同一平面直角坐标系中画出函数的图象,然后利用数形结合求解.‎ ‎1.(2018年全国Ⅰ卷,理9改编)若函数f(x)=有两个不同的零点,则实数a的取值范围是　　　　. ‎ ‎　　　　　　　　　　　　　　　　　　‎ 解析 当x>0时,由f(x)=ln x=0,得x=1.‎ 因为函数f(x)有两个不同的零点,‎ 所以当x≤0时,函数f(x)=2x-a有一个零点,令f(x)=0得a=2x.‎ 因为0<2x≤20=1,所以00,‎ 解得a<-1或a>.‎ 答案 B ‎3.(2016年山东卷,文15改编)已知函数f(x)=若函数g(x)=f(x)-m有3个零点,则实数m的取值范围是　　　　. ‎ 解析 ‎ 画出函数f(x)=的图象,如图所示.‎ 已知函数g(x)=f(x)-m有3个零点,结合图象得00时,可知x=是函数f(x)的一个零点,‎ 故方程2x-a=0在(-∞,0]上也只有一个解,‎ 再根据当x∈(-∞,0]时,0<2x<20=1,可得1≥a>0.‎ 故选A.‎ 答案 A ‎4.(西南名校联盟2018届适应性月考卷)已知x0是函数f(x)=3x+log3x的零点,若00 D.f(m)的符号不确定 解析 函数f(x)=3x+log3x在(0,+∞)上是增函数,‎ 故零点是唯一的,‎ 又00)有唯一零点,则a的取值范围是(　　).‎ A.(0,1) B. C. D.‎ 解析 　‎ ‎∵x<0,∴-x>0,‎ ‎∴f(x)=f(-x)=·e-x.‎ 画出函数f(x)=与函数u(x)=ax+a(a>0)的图象如图所示,可知只有当1,即a>1.‎ 不妨设x11),‎ 则x1=-,x2=ln t,‎ ‎∴x1+x2=ln t-,‎ 令g(t)=ln t-(t>1),‎ 则g'(t)=-=, ‎ ‎∴当10,当t>4时,g'(t)<0,‎ ‎∴当t=4时,g(t)取得最大值g(4)=ln 4-2=2ln 2-2.‎ ‎∴x1+x2≤2ln 2-2.‎ 故选C.‎ 答案 C ‎10.(吉林省梅河口市第五中学2018届第二次模拟)已知函数f(x)=x3-3x,且函数g(x)=f(f(x)-a)恰有9个零点,则a的取值范围为(　　).‎ A.(-2,2-) B.(-2,2-)‎ ‎ C.(-2,2) D.‎ 解析 因为f'(x)=3x2-3=3(x-1)(x+1),‎ 令f'(x)>0,解得x<-1或x>1,‎ 令f'(x)<0,解得-1

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