2018-2019学年浙江省杭州市八校联盟高一上学期期中考试数学试题(解析版)

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2018-2019学年浙江省杭州市八校联盟高一上学期期中考试数学试题(解析版)

‎2018-2019学年浙江省杭州市八校联盟高一上学期期中考试数学试题 一、单选题 ‎1.设集合,则( )‎ A. B. C. D.‎ ‎【答案】D ‎【解析】根据元素和集合的关系可得解.‎ ‎【详解】‎ 由集合,又,所以集合.‎ 故选D.‎ ‎【点睛】‎ 本题主要考查了元素和集合的关系,属于基础题.‎ ‎2.函数 的定义域为( )‎ A. B. C. D.‎ ‎【答案】C ‎【解析】由函数可知,解不等式组即可得定义域.‎ ‎【详解】‎ 由函数,‎ 可得,解得.‎ 所以函数的定义域为:.‎ 故选C.‎ ‎【点睛】‎ 本题主要考查了具体函数的定义域,属于基础题.‎ ‎3.已知,且,则函数与函数的图象可能是( )‎ A. B.‎ C. D.‎ ‎【答案】B ‎【解析】由函数与函数互为反函数,图像关于对称易得解.‎ ‎【详解】‎ 由函数与函数互为反函数,则图像关于对称,从而排除A,C,D.‎ 易知当时,两函数图像与B相同.‎ 故选B.‎ ‎【点睛】‎ 本题主要考查了指数函数与对数函数互为反函数的性质,属于基础题.‎ ‎4.已知函数,若,则 ( )‎ A. B. C. D.‎ ‎【答案】D ‎【解析】由函数的解析式结合对数的运算法则可得,从而代入条件可得解.‎ ‎【详解】‎ 函数,可得.‎ 从而有:.‎ 所以由,可得.‎ 故选D.‎ ‎【点睛】‎ 本题主要考查了部分奇偶性的应用,利用对数的运算法则可得中心对称性,属于基础题.‎ ‎5.函数的定义域为R,则实数的取值范围是( )‎ A. B. C. D.‎ ‎【答案】C ‎【解析】【详解】‎ 函数的定义域为R,即为在R上恒成立.‎ 当时,显然不在R上恒成立;‎ 当时,有,解得.‎ 综上.‎ 故选B.‎ ‎【点睛】‎ 本题主要考查了二次函数在R上的恒成立问题,利用抛物线的开口及判别式判断与x轴是否有公共点即可,属于基础题.‎ ‎6.已知函数 ,则( )‎ A. B. C. D.‎ ‎【答案】C ‎【解析】根据自变量函数的范围,结合分段函数的表达式求解即可.‎ ‎【详解】‎ 由函数 ,可得.‎ 所以.‎ 故选C.‎ ‎【点睛】‎ 本题主要考查了分段函数的求值,属于基础题.‎ ‎7.若函数在区间上是增函数,在区间上是减函数,则实数的取值范围是( )‎ A. B. C. D.‎ ‎【答案】B ‎【解析】结合二次函数的图像可知函数对称轴,通过化简函数,利用反比例函数的性质可得在区间上是减函数,有,从而得解.‎ ‎【详解】‎ 由函数在区间上是增函数,可得对称轴,得.‎ 又在区间上是减函数,所以,得.‎ 综上:.‎ 故选B.‎ ‎【点睛】‎ 本题主要考查了二次函数和反比例函数的单调性,属于常考题型.‎ ‎8.已知函数(是常数,且)在区间上有最大值3,最小值,则的值是( )‎ A. B. C. D.‎ ‎【答案】A ‎【解析】通过换元令,然后由单调递减,结合的范围可列方程解得.‎ ‎【详解】‎ 令,最大值为0,最小值为.‎ 则 当时,单调递减.‎ 所以,解得,有,‎ 故选A.‎ ‎【点睛】‎ 本题主要考查了指数型复合函数的最值问题,通常的解题的方法为换元,解题时注意新变元的范围,属于常考题型.‎ 二、填空题 ‎9.比较大小_____.‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】借助于函数为增函数,即可比较大小.‎ ‎【详解】‎ 由函数为增函数,且,‎ 所以.‎ 故答案为:<‎ ‎【点睛】‎ 本题主要考查了指数函数的单调性的应用,属于基础题.‎ ‎10.设,若只有一个子集,则的取值范围是_______.‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】由只有一个子集,知,从而可得.‎ ‎【详解】‎ 若只有一个子集,则必然为空集,即.‎ 由,则.‎ 故答案为:.‎ ‎【点睛】‎ 本题主要考查了集合的子集的个数及集合的交集运算,属于基础题.‎ ‎11.设映射:,在的作用下,A中元素与B中元素对应,则与B中元素对应的A中元素是_______.‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】设A中元素与B中元素,则有,解方程组即可得解.‎ ‎【详解】‎ 根据题意由A中元素与B中元素对应,‎ 设A中元素与B中元素,‎ 则有,解得.‎ 故答案为:.‎ ‎【点睛】‎ 本题主要考查映射的概念和应用,利用条件中的映射关系,建立方程组,解方程即可.‎ ‎12.已知 是偶函数,定义域为 ,则它的单调递减区间是________.‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】由函数为偶函数知定义域关于原点对称,图像关于y轴对称,从而解得,再利用二次函数的性质结合定义域即可得减区间.‎ ‎【详解】‎ 由 是偶函数,易知,即.‎ 定义域为,有,即.‎ 所以,定义域为.‎ 函数为开口向下的抛物线,对称轴为.‎ 所以函数的单调减区间为:.‎ 故答案为:.‎ ‎【点睛】‎ 本题主要考查了偶函数的性质及二次函数的性质,属于基础题.‎ ‎13.已知函数 ,则在区间上的最小值是______.‎ ‎【答案】5‎ ‎【解析】【详解】‎ 当时,有.‎ 又时,.‎ 所以当与时有相同的最小值,而时,,最小值为5.‎ 当时,,所以在区间上的最小值是5.‎ 故答案为:5.‎ ‎【点睛】‎ 本题主要考查函数的奇偶性、周期性的应用. 函数的三个性质:单调性、奇偶性和周期性,在高考中一般不会单独命题,而是常将它们综合在一起考查,其中单调性与奇偶性结合、周期性与抽象函数相结合,并结合奇偶性求函数值,多以选择题、填空题的形式呈现,且主要有以下几种命题角度;‎ ‎(1)函数的单调性与奇偶性相结合,注意函数的单调性及奇偶性的定义,以及奇、偶函数图象的对称性.‎ ‎(2)周期性与奇偶性相结合,此类问题多考查求值问题,常利用奇偶性及周期性进行交换,将所求函数值的自变量转化到已知解析式的函数定义域内求解;‎ ‎(3)周期性、奇偶性与单调性相结合,解决此类问题通常先利用周期性转化自变量所在的区间,然后利用奇偶性和单调性求解.‎ ‎14.已知函数是定义在R上的奇函数,若对任意给定的实数,恒成立,则不等式的解集是_________.‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】整理题中不等式可得,从而得函数是R上的减函数,由函数是定义在R上的奇函数,有,结合函数单调性,不等式转化为或,从而得解.‎ ‎【详解】‎ 对任意给定的实数,恒成立,‎ 整理得:,即.‎ 从而得函数是R上的减函数.‎ 又函数是定义在R上的奇函数,有.‎ 所以当时,,当时,.‎ 所以不等式,有:或.‎ 即或.‎ 解得:.‎ 故答案为:.‎ ‎【点睛】‎ 本题主要考查抽象函数的奇偶性与单调性的应用,属于难题.将奇偶性与单调性综合考查一直是命题的热点,解这种题型往往是根据函数在所给区间上的单调性,根据奇偶性判断出函数在对称区间上的单调性(偶函数在对称区间上单调性相反,奇函数在对称区间单调性相同),然后再根据单调性列不等式求解.‎ 三、解答题 ‎15.函数的图象所经过的定点坐标是_____.‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】由对数的运算,结合函数结构即可得解.‎ ‎【详解】‎ 易知函数满足函数 所以函数图像恒过定点.‎ 故答案为:.‎ ‎【点睛】‎ 本题主要考查了对数的运算,属于基础题.‎ ‎16.设全集,已知集合,,(1)求;(2)记集合,已知集合,若,求实数的取值范围.‎ ‎【答案】(1);(2)‎ ‎【解析】(1)解二次方程可得集合N,再利用补集和交集的定义求解即可;‎ ‎(2)由,可得,从而得,解不等式即可得解.‎ ‎【详解】‎ ‎(1)因为,则,‎ 又因为 ,从而有 ‎ ‎(2)因为,所以,‎ 又因为,所以,解得,即实数的取值范围是 ‎【点睛】‎ 本题主要考查了集合的运算及集合关系,属于基础题.‎ ‎17.计算下列各式的值:‎ ‎(1);‎ ‎(2)‎ ‎【答案】(1)-5;(2)-1‎ ‎【解析】(1)由根式与指数的运算法则运算即可得解;‎ ‎(2)由对数的运算法则运算即可得解.‎ ‎【详解】‎ ‎(1)原式;‎ ‎(2)原式.‎ ‎【点睛】‎ 本题主要考查了指数、根式、对数的运算性质,属于基础题.‎ ‎18.已知幂函数的图象过点,(1)求函数的解析式,并求出它的定义域;(2)若偶函数满足,当时,,写出函数的解析式,并求它的值域.‎ ‎【答案】(1)(2)‎ ‎【解析】(1)由函数为幂函数,可设,代入题中点即可得解析式,从而可得定义域;‎ ‎(2)由偶函数时,,代入求解析式即可,从而可得值域.‎ ‎【详解】‎ ‎(1)设,由条件得,即,‎ 函数的定义域为.‎ ‎(2)当时, ‎ 当时,,故有 ‎ 函数的值域为.‎ ‎【点睛】‎ 利用函数奇偶性求函数解析式3个步骤:‎ ‎1.“求谁设谁”,即在哪个区间上求解析式,就应在哪个区间上设;‎ ‎2.转化到已知区间上,代入已知的解析式;‎ ‎3.利用的奇偶性,写出的解析式.‎ ‎19.已知函数是奇函数,‎ ‎(1)求实数m的值;‎ ‎(2)判断函数的单调性并用定义法加以证明;‎ ‎(3)若函数在上的最小值为,求实数a的值.‎ ‎【答案】(1)m=-1;(2)见解析;(3)或 ‎【解析】(1)由奇函数满足,即可求解m,再检验是否为奇函数即可;‎ ‎(2)利用定义法证明:设是定义在区间上的任意两个数,且,化简和0比较大小即可;‎ ‎(3)由(2)可知函数为增函数,所以当时有最小值,代入解方程即可.‎ ‎【详解】‎ ‎(1)由,得,经检验符合题意.本题也可用恒成立求解.‎ ‎(2)函数是区间上的增函数.‎ 下面用定义法证明:设是定义在区间上的任意两个数,且,‎ 则.‎ 因为,得,.‎ 显然有,从而有.‎ 因为当时,有成立,所以是区间上的增函数.‎ ‎(3)由单调性知,当时有最小值,则,即,‎ 解得或.‎ ‎【点睛】‎ 本题主要考查了奇偶性的应用及利用定义证明函数的单调性,属于中档题.‎ ‎20.已知函数在区间上有最大值0,最小值,‎ ‎(1)求实数的值;‎ ‎(2)若关于x的方程在上有解,求实数k的取值范围;‎ ‎(3)若,如果对任意都有,试求实数a的取值范围。‎ ‎【答案】(1)(2)(3)‎ ‎【解析】(1)由二次函数性质可知在区间上单调递增,从而得,解方程组求解即可;‎ ‎(2)令,则,转化为关于t的方程在区间上有解,记,由的范围,可得,即可得解;‎ ‎(3)分析条件可得恒成立,当时,显然成立,当时,转化为恒成立,即恒成立,从而转化为求不等式中函数的最值,即可得解.‎ ‎【详解】‎ ‎(1)因为,为开口向上的抛物线,对称轴为 所以在区间上单调递增,‎ 所以 ,即,解得 ‎ ‎(2)因为,得关于x的方程在上有解.‎ 令,则,转化为关于t的方程在区间上有解. ‎ 记,易证它在上单调递增,‎ 所以,即,解得.‎ ‎(3)由条件得,因为对任意都有,即恒成立.‎ 当时,显然成立,‎ 当时,转化为恒成立,‎ 即恒成立.‎ 因为,得,所以当时,取得最大值是,得;‎ 当时,取得最小值是,得 综上可知,a的取值范围是.‎ ‎【点睛】‎ 本题主要考查了方程问题和不等式恒成立问题,常用的处理方式为变量分离,通过变量分离,转化为参变量与函数的相等或不等关系,此时只需研究函数即可,属于常考题型.‎
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