高考数学理二轮专练六仿真模拟题目一
仿真模拟题(一)
一、选择题(本大题共10小题，每小题5分，共50分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)
1．设i为虚数单位，则复数z＝在复平面内对应的点位于( )
A．第一象限 B．第二象限
C．第三象限 D．第四象限
2．某雷达测速区规定：凡车速大于或等于80 km/h的汽车视为“超速”，并将受到处罚．如图是某路段的一个检测点对200辆汽车的车速进行检测所得结果的频率分布直方图，则从图中可以看出被处罚的汽车大约有( )
A．20辆 B．40辆
C．60辆 D．80辆
3．下列函数中，既是偶函数，又在区间(1，2)内是增函数的为( )
A．y＝cos2x－sin2x B．y＝lg|x|
C．y＝ D．y＝x3
4．(2013·高考北京卷)若双曲线－＝1的离心率为，则其渐近线方程为( )
A．y＝±2x B．y＝±x
C．y＝±x D．y＝±x
5．(2013·高考安徽卷)
如图所示，程序框图(算法流程图)的输出结果是( )
A.
B.
C.
D.
6．给出下列命题：
①如果不同直线m、n都平行于平面α，则m、n一定不相交；
②如果不同直线m、n都垂直于平面α，则m、n一定平行；
③如果平面α、β互相平行，若直线m⊂α，直线n⊂β，则m∥n；
④如果平面α、β互相垂直，且直线m、n也互相垂直，若m⊥α，则n⊥β.
则真命题的个数是( )
A．3 B．2
C．1 D．0
7．设集合A＝{x|x2＋2x－3>0}，B＝{x|x2－2ax－1≤0，a>0}．若A∩B中恰含有一个整数，则实数a的取值范围是( )
A．(0，) B．[，)
C．[，＋∞) D．(1，＋∞)
8．已知变量x，y满足，若z＝ax＋y的最大值为3a＋9，最小值为3a－3，则实数a的取值范围为( )
A．[－1，0] B．[－1，1]
C．[0，1] D．[－1，0)∪(0，1]
9．(2013·高考山东卷)△ABC的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若B＝2A，a＝1，b＝，则c＝( )
A．2 B．2
C. D．1
10．若函数f(x)＝x3－3x在(a，6－a2)上有最小值，则实数a的取值范围是( )
A．(－，1) B．[－，1)
C．[－2，1) D．(－2，1)
二、填空题(本大题5小题，考生作答4小题，每小题5分，共20分．)
(一)必做题(11～13题)
11．已知圆C的圆心是直线x－y＋1＝0与x轴的交点，且圆C与直线x＋y＋3＝0相切，则圆C的方程为________．
12．已知an＝cos＋(n∈N*)，则数列{an}的最小值是________．
13．已知函数y＝f(x)的图象是开口向下的抛物线，且对任意x∈R，都有f(1－x)＝f(1＋x)，若向量a＝(logm，－1)，b＝(1，－2)，则满足不等式f(a·b)
0，ω>0，－<φ<，x∈R)的部分图象如图所示．
(1)求函数y＝f(x)的解析式；
(2)当x∈[－π，－]时，求f(x)的取值范围．
17．(本小题满分12分)通过随机询问110名性别不同的大学生是否爱好某项运动，得到如下的列表：
男
女
总计
爱好
40
20
60
不爱好
20
30
50
总计
60
50
110
(1)有多少的把握认为“爱好该项运动与性别有关”？
(2)如果采用分层抽样的方法从爱好该项运动的大学生中选取6人，组成一个兴趣小组，求被选取的男女生的人数各是多少？
(3)在上述6人小组中，随机选定2人去做某件事，求这2人中有女生被选中的概率．
数据：
P(K2≥k)
0.050
0.025
0.010
0.005
k
3.841
5.024
6.635
7.879
公式：K2＝
18．(本小题满分14分)在数列{an}中，a1＝1，a2＝，an＋1－an＋an－1＝0(n≥2，且n∈N*)．
(1)若数列{an＋1＋λan}是等比数列，求实数λ；
(2)求数列{an}的通项公式．
19．(本小题满分14分)如图，三棱柱ABCA1B1C1的侧棱AA1⊥底面ABC，∠ACB＝90°，E是棱CC1的中点，F是AB的中点，AC＝BC＝1，AA1＝2.
(1)求证：CF∥平面AB1E；
(2)求三棱锥CAB1E在底面AB1E上的高．
20．(本小题满分14分)已知椭圆E：＋＝1(a>b>0)以抛物线y2＝8x的焦点为顶点，且离心率为.
(1)求椭圆E的方程；
(2)若直线l：y＝kx＋m与椭圆E相交于A、B两点，与直线x＝－4相交于Q点，P是椭圆E
上一点且满足＝＋(其中O为坐标原点)，试问在x轴上是否存在一点T，使得·为定值？若存在，求出点T的坐标及·的值；若不存在，请说明理由．
21．(本小题满分14分)已知函数f(x)＝ax2－ex(a∈R)．
(1)当a＝1时，试判断f(x)的单调性并给予证明；
(2)若f(x)有两个极值点x1，x2(x10}＝{x|x>1或x<－3}，因为函数y＝f(x)＝x2－2ax－1的对称轴为x＝a>0，f(－3)＝6a＋8>0，根据对称性可知，要使A∩B中恰含有一个整数，则这个整数解为2，所以有f(2)≤0且f(3)>0，即，所以，即≤a<，故选B.
8．【解析】选B.作出可行域如图中阴影部分所示，则z在点A处取得最大值，在点C处取得最小值．又kBC＝－1，kAB＝1，∴－1≤－a≤1，即－1≤a≤1.
9．【解析】选B.由正弦定理得：＝，
∵B＝2A，a＝1，b＝，
∴＝.
∵A为三角形的内角，∴sin A≠0.
∴cos A＝.
又03，解得m>8或06.635，
而P(K2≥6.635)≈0.010＝1%，即，认为“爱好该项运动与性别没有关系”的概率是1%，∴有99%以上的把握认为“爱好该项运动与性别有关”．
(2)应抽取男生人数为×40＝4人，应抽取女生人数为×20＝2人．
(3)设6人中2个女生分别为A，B，4个男生分别为c，d，e，f，
则从6人中随机选定2人去做某件事的基本事件为：
AB，Ac，Ad，Ae，Af，Bc，Bd，Be，Bf，cd，ce，cf，de，df，ef，共15个基本事件，其中，有女生被选中的事件为AB，Ac，Ad，Ae，Af，Bc，Bd，Be，Bf，共9个，
∴有女生被选中的概率为P＝＝.
18．【解】(1)设an＋1＋λan＝μ(an＋λan－1)(n≥2)，
∴an＋1＋(λ－μ)an－λμan－1＝0，
∴，
∴λ＝－或λ＝－3.
(2)由(1)知当n≥2时，an－an－1＝3n－1，①
an－3an－1＝，②
由①②得an＝(3n－)．
经验证，n＝1时也成立，
∴an＝(3n－)．
19．【解】
(1)证明：取AB1的中点G，连接EG，FG，
∵F、G分别是AB、AB1的中点，
∴FG∥BB1，FG＝BB1.
∵E为侧棱CC1的中点，
∴FG∥EC，FG＝EC，
∴四边形FGEC是平形四边形，
∴CF∥EG，
∵CF⊄平面AB1E，EG⊂平面AB1E，
∴CF∥平面AB1E.
(2)∵三棱柱ABCA1B1C1的侧棱AA1⊥底面ABC，
∴BB1⊥平面ABC.
又AC⊂平面ABC，∴AC⊥BB1.
∵∠ACB＝90°，∴AC⊥BC.
∵BB1∩BC＝B，∴AC⊥平面EB1C，∴AC⊥CB1，
∴VAEB1C＝S△EB1C·AC＝×(×1×1)×1＝.
∵AE＝EB1＝，AB1＝，∴S△AB1E＝.
∵VCAB1E＝VAEB1C，∴三棱锥CAB1E在底面AB1E上的高为＝.
20．【解】(1)抛物线y2＝8x的焦点为椭圆E的顶点，
即a＝2.
又＝，故c＝1，b＝.
∴椭圆E的方程为＋＝1.
(2)设A(x1，y1)，B(x2，y2)．
联立，
得(4k2＋3)x2＋8kmx＋4m2－12＝0.
由根与系数的关系，
得x1＋x2＝，y1＋y2＝k(x1＋x2)＋2m＝.
将P(，)代入椭圆E的方程，
得＋＝1.
整理，得4m2＝4k2＋3.
设T(t，0)，Q(－4，m－4k)．
∴＝(－4－t，m－4k)，＝(，)．
即·＝＋
＝.
∵4k2＋3＝4m2，
∴·＝＝＋.
要使·为定值，只需[]2＝＝为定值，则1＋t＝0，∴t＝－1，
∴在x轴上存在一点T(－1，0)，使得·为定值.
21．【解】(1)当a＝1时，f(x)＝x2－ex，f(x)在R上单调递减．
f′(x)＝2x－ex，只要证明f′(x)≤0恒成立即可，
设g(x)＝f′(x)＝2x－ex，则g′(x)＝2－ex，
当x＝ln 2时，g′(x)＝0，
当x∈(－∞，ln 2)时，g′(x)>0，
当x∈(ln 2，＋∞)时，g′(x)<0.
∴f′(x)max＝g(x)max＝g(ln 2)＝2ln 2－2<0，
故f′(x)<0恒成立，
∴f(x)在R上单调递减．
(2)①若f(x)有两个极值点x1，x2，
则x1，x2是方程f′(x)＝0的两个根，
故方程2ax－ex＝0有两个根x1，x2，
又x＝0显然不是该方程的根，∴方程2a＝有两个根．
设φ(x)＝，得φ′(x)＝，
当x<0时，φ(x)<0且φ′(x)<0，φ(x)单调递减，
当x>0时，φ(x)>0，当01时，φ′(x)>0，φ(x)单调递增，
要使方程2a＝有两个根，需2a>φ(1)＝e，
故a>且0
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