【数学】2020届一轮复习（理）通用版12推理与证明作业

【数学】2020届一轮复习（理）通用版12推理与证明作业

第十二章　推理与证明 挖命题 ‎【真题典例】‎ ‎【考情探究】‎ 考点 内容解读 ‎5年考情 预测 热度 考题示例 考向 关联考点 合情推理与演绎推理 ‎①了解合情推理的含义,能利用归纳和类比等进行简单的推理,了解合情推理在数学发现中的作用;②了解演绎推理的重要性,掌握演绎推理的基本模式,并能运用它们进行简单的推理;③了解合情推理和演绎推理之间的联系和差异 ‎2017课标全国Ⅱ,9,5分 合情推理 逻辑推理 ‎★★☆‎ ‎2016课标全国Ⅱ,16,5分 合情推理 逻辑推理 ‎2014课标Ⅰ,14,5分 合情推理 逻辑推理 直接证明与间接证明 ‎①了解直接证明的两种基本方法:分析法与综合法,并了解分析法和综合法的思考过程、特点;②了解间接证明的一种基本方法:反证法,并了解反证法的思考过程、特点 ‎2018江苏,20,16分 直接证明 转化,推理 ‎★★☆‎ ‎2014天津,20,14分 直接证明 转化,推理 分析解读　　本部分在高考中主要考查以下几个方面:1.归纳推理与类比推理以选择题、填空题的形式出现,考查学生的逻辑推理能力,而演绎推理多出现在立体几何的证明中;2.直接证明与间接证明作为证明和推理数学命题的方法,常以不等式、立体几何、解析几何、函数为载体,考查综合法、分析法及反证法.本节内容在高考中的分值分配:①归纳推理与类比推理分值为5分左右,属于中档题;②证明问题以解答题形式出现,分值为12分左右,属于中高档题.‎ 破考点 ‎【考点集训】‎ 考点一　合情推理与演绎推理 ‎1.(2018安徽安庆二模,11)对于大于1的自然数的三次幂可以分解成几个奇数的和,比如23=3+5,33=7+9+11,43=13+15+17+19,……,以此规律,453的分解和式中一定不含有(　　)　　　　　　 　　　　　　 　　　　　　 ‎ A.2 069 B.2 039 C.2 009 D.1 979‎ 答案　D　‎ ‎2.(2017江西鹰潭一模,2)用三段论推理:“任何实数的绝对值大于0,因为a是实数,所以a的绝对值大于0”,你认为这个推理(　　)‎ A.大前提错误 B.小前提错误 C.推理形式错误 D.是正确的 答案　A　‎ ‎3.(2017陕西渭南一模,4)古希腊人常用小石子在沙滩上摆成各种形状来研究数,例如:‎ 他们研究过图中的1,3,6,10,…,由于这些数能够表示成三角形,故将其称为三角形数,由以上规律,知这些三角形数从小到大形成一个数列{an},那么a10的值为(　　)‎ A.45 B.55 C.65 D.66‎ 答案　B　‎ 考点二　直接证明与间接证明 ‎1.(2018湖北普通高中联考,7)分析法又叫执果索因法,若使用分析法证明:设a0 B.c-a>0‎ C.(c-b)(c-a)>0 D.(c-b)(c-a)<0‎ 答案　C　‎ ‎2.(2017山西大学附中第二次模拟,17)在等比数列{an}中,a3=‎3‎‎2‎,S3=‎9‎‎2‎.‎ ‎(1)求数列{an}的通项公式;‎ ‎(2)设bn=log2‎6‎a‎2n+1‎,且{bn}为递增数列,若cn=‎1‎bn‎·‎bn+1‎,求证:c1+c2+c3+…+cn<‎1‎‎4‎.‎ 解析　(1)设{an}的公比为q(q≠0).∵a3=‎3‎‎2‎,S3=‎9‎‎2‎,‎ ‎∴S‎3‎‎-a‎3‎=a‎1‎+a‎2‎=a‎1‎(1+q)=3,‎a‎3‎‎=a‎1‎·q‎2‎=‎‎3‎‎2‎⇒q=1,‎a‎1‎‎=‎‎3‎‎2‎或q=-‎1‎‎2‎,‎a‎1‎‎=6,‎ ‎∴an=‎3‎‎2‎或an=6‎-‎‎1‎‎2‎n-1‎.‎ ‎(2)证明:由题意知bn=log2‎6‎a‎2n+1‎=log2‎6‎‎6‎‎-‎‎1‎‎2‎‎2n=log222n=2n,‎ ‎∴cn=‎1‎bn‎·‎bn+1‎=‎1‎‎4n(n+1)‎=‎1‎‎4‎‎1‎n‎-‎‎1‎n+1‎,‎ ‎∴c1+c2+c3+…+cn=‎1‎‎4‎‎1-‎1‎‎2‎+‎1‎‎2‎-‎1‎‎3‎+…+‎1‎n-‎‎1‎n+1‎=‎1‎‎4‎‎1-‎‎1‎n+1‎=‎1‎‎4‎-‎1‎‎4(n+1)‎<‎1‎‎4‎.‎ 炼技法 ‎【方法集训】‎ 方法　归纳推理与类比推理的应用 ‎1.(2018广东肇庆一模,14)观察下列不等式:1+‎1‎‎2‎‎2‎<‎3‎‎2‎,1+‎1‎‎2‎‎2‎+‎1‎‎3‎‎2‎<‎5‎‎3‎,1+‎1‎‎2‎‎2‎+‎1‎‎3‎‎2‎+‎1‎‎4‎‎2‎<‎7‎‎4‎,……,照此规律,第五个不等式为　　　　　　　　　　　　. ‎ 答案　1+‎1‎‎2‎‎2‎+‎1‎‎3‎‎2‎+‎1‎‎4‎‎2‎+‎1‎‎5‎‎2‎+‎1‎‎6‎‎2‎<‎‎11‎‎6‎ ‎2.(2017上海浦东期中联考,12)在Rt△ABC中,两直角边长分别为a、b,设h为斜边上的高,则‎1‎h‎2‎=‎1‎a‎2‎+‎1‎b‎2‎,由此类比:三棱锥P-ABC中的三条侧棱PA、PB、PC两两垂直,且长度分别为a、b、c,设棱锥底面△ABC上的高为h,则　　　　　　　　. ‎ 答案　‎1‎h‎2‎=‎1‎a‎2‎+‎1‎b‎2‎+‎‎1‎c‎2‎ 过专题 ‎【五年高考】‎ A组　统一命题·课标卷题组 ‎1.(2016课标全国Ⅱ,16,5分)有三张卡片,分别写有1和2,1和3,2和3.甲,乙,丙三人各取走一张卡片,甲看了乙的卡片后说:“我与乙的卡片上相同的数字不是2”,乙看了丙的卡片后说:“我与丙的卡片上相同的数字不是1”,丙说:“我的卡片上的数字之和不是5”,则甲的卡片上的数字是　　　　. ‎ 答案　1和3‎ ‎2.(2014课标Ⅰ,14,5分)甲、乙、丙三位同学被问到是否去过A,B,C三个城市时,‎ 甲说:我去过的城市比乙多,但没去过B城市;‎ 乙说:我没去过C城市;‎ 丙说:我们三人去过同一城市.‎ 由此可判断乙去过的城市为　　　　. ‎ 答案　A B组　自主命题·省(区、市)卷题组 考点一　合情推理与演绎推理 ‎1.(2015陕西,16,5分)观察下列等式 ‎1-‎1‎‎2‎=‎‎1‎‎2‎ ‎1-‎1‎‎2‎+‎1‎‎3‎-‎1‎‎4‎=‎1‎‎3‎+‎‎1‎‎4‎ ‎1-‎1‎‎2‎+‎1‎‎3‎-‎1‎‎4‎+‎1‎‎5‎-‎1‎‎6‎=‎1‎‎4‎+‎1‎‎5‎+‎‎1‎‎6‎ ‎……‎ 据此规律,第n个等式可为　　　　　　　　　　　. ‎ 答案　1-‎1‎‎2‎+‎1‎‎3‎-‎1‎‎4‎+…+‎1‎‎2n-1‎-‎1‎‎2n=‎1‎n+1‎+‎1‎n+2‎+…+‎‎1‎‎2n ‎2.(2016山东,12,5分)观察下列等式:‎ sinπ‎3‎‎-2‎‎+sin‎2π‎3‎‎-2‎=‎4‎‎3‎×1×2;‎ sinπ‎5‎‎-2‎‎+sin‎2π‎5‎‎-2‎+sin‎3π‎5‎‎-2‎+sin‎4π‎5‎‎-2‎=‎4‎‎3‎×2×3;‎ sinπ‎7‎‎-2‎‎+sin‎2π‎7‎‎-2‎+sin‎3π‎7‎‎-2‎+…+sin‎6π‎7‎‎-2‎=‎4‎‎3‎×3×4;‎ sinπ‎9‎‎-2‎‎+sin‎2π‎9‎‎-2‎+sin‎3π‎9‎‎-2‎+…+sin‎8π‎9‎‎-2‎=‎4‎‎3‎×4×5;‎ ‎……‎ 照此规律,‎ sinπ‎2n+1‎‎-2‎‎+sin‎2π‎2n+1‎‎-2‎+sin‎3π‎2n+1‎‎-2‎+…+sin‎2nπ‎2n+1‎‎-2‎=　　　　　　. ‎ 答案　‎‎4n(n+1)‎‎3‎ ‎3.(2017北京,14,5分)某学习小组由学生和教师组成,人员构成同时满足以下三个条件:‎ ‎(i)男学生人数多于女学生人数;‎ ‎(ii)女学生人数多于教师人数;‎ ‎(iii)教师人数的两倍多于男学生人数.‎ ‎①若教师人数为4,则女学生人数的最大值为　　　　; ‎ ‎②该小组人数的最小值为　　　　. ‎ 答案　①6　②12‎ 考点二　直接证明与间接证明 ‎1.(2018江苏,20,16分)设{an}是首项为a1,公差为d的等差数列,{bn}是首项为b1,公比为q的等比数列.‎ ‎(1)设a1=0,b1=1,q=2,若|an-bn|≤b1对n=1,2,3,4均成立,求d的取值范围;‎ ‎(2)若a1=b1>0,m∈N*,q∈(1,m‎2‎],证明:存在d∈R,使得|an-bn|≤b1对n=2,3,…,m+1均成立,并求d的取值范围(用b1,m,q表示).‎ 解析　(1)由条件知an=(n-1)d,bn=2n-1.‎ 因为|an-bn|≤b1对n=1,2,3,4均成立,‎ 即|(n-1)d-2n-1|≤1对n=1,2,3,4均成立.‎ 即1≤1,1≤d≤3,3≤2d≤5,7≤3d≤9,得‎7‎‎3‎≤d≤‎5‎‎2‎.‎ 因此,d的取值范围为‎7‎‎3‎‎,‎‎5‎‎2‎.‎ ‎(2)由条件知:an=b1+(n-1)d,bn=b1qn-1.‎ 若存在d∈R,使得|an-bn|≤b1(n=2,3,…,m+1)均成立,‎ 即|b1+(n-1)d-b1qn-1|≤b1(n=2,3,…,m+1).‎ 即当n=2,3,…,m+1时,d满足qn-1‎‎-2‎n-1‎b1≤d≤qn-1‎n-1‎b1.‎ 因为q∈(1,m‎2‎],‎ 所以10,对n=2,3,…,m+1均成立.‎ 因此,取d=0时,|an-bn|≤b1对n=2,3,…,m+1均成立.‎ 下面讨论数列qn-1‎‎-2‎n-1‎的最大值和数列qn-1‎n-1‎的最小值(n=2,3,…,m+1).‎ ‎①当2≤n≤m时,qn‎-2‎n-qn-1‎‎-2‎n-1‎=nqn-qn-nqn-1‎+2‎n(n-1)‎=n(qn-qn-1‎)-qn+2‎n(n-1)‎,‎ 当10.‎ 因此,当2≤n≤m+1时, 数列qn-1‎‎-2‎n-1‎单调递增,‎ 故数列qn-1‎‎-2‎n-1‎的最大值为qm‎-2‎m.‎ ‎②设f(x)=2x(1-x),当x>0时,f '(x)=(ln 2-1-xln 2)2x<0.‎ 所以f(x)单调递减,‎ 从而f(x)‎3‎‎4‎,‎ 所以f(x)>‎3‎‎4‎.‎ 综上,‎3‎‎4‎‎3‎‎4‎得f(x)>‎3‎‎4‎,从而问题得证.‎ ‎2.(2016江苏,20,16分)记U={1,2,…,100}.对数列{an}(n∈N*)和U的子集T,若T=⌀,定义ST=0;若T={t1,t2,…,tk},定义ST=at‎1‎+at‎2‎+…+atk.例如:T={1,3,66}时,ST=a1+a3+a66.现设{an}(n∈N*)是公比为3的等比数列,且当T={2,4}时,ST=30.‎ ‎(1)求数列{an}的通项公式;‎ ‎(2)对任意正整数k(1≤k≤100),若T⊆{1,2,…,k},求证:ST0,n∈N*,‎ 所以ST≤a1+a2+…+ak=1+3+…+3k-1=‎1‎‎2‎(3k-1)<3k.‎ 因此,ST1,a2 016a2 017>1,a‎2 016‎‎-1‎a‎2 017‎‎-1‎<0,下列结论中正确的是(　　)‎ A.q<0‎ B.a2 016a2 018-1>0‎ C.T2 016是数列{Tn}中的最大项 D.S2 016>S2 017‎ 答案　C　‎ ‎4.(2019届福建龙岩期中,6)如图,第n行首尾两数均为n,图中的递推关系类似于杨辉三角,则第19行(n≥2)第2个数是(　　)‎ ‎　　　　　　　　　　　　 　　　　　　　　　　　　 　　　　　　　　　　　　 ‎ A.170 B.172 C.174 D.176‎ 答案　B　‎ ‎5.(2019届福建福州期中,6)某次数学考试成绩公布后,甲、乙、丙、丁四人谈论成绩的情况.甲说:“我们四个人的分数都不一样,但我和乙的成绩之和等于丙、丁两人的成绩之和.”乙说:“丙、丁两人中一人分数比我高,一人分数比我低.”丙说:“我的分数不是最高的.”丁说:“我的分数不是最低的.”则四人中成绩最高的是(　　)‎ A.甲 B.乙 C.丙 D.丁 答案　D　‎ ‎6.(2019届湖北孝感期中,5)因为余弦函数是偶函数,而f(x)=cos(x2+1)是余弦函数,所以f(x)=cos(x2+1)是偶函数,以上推理(　　)‎ A.结论不正确 B.大前提不正确 C.小前提不正确 D.全不正确 答案　C　‎ ‎7.(2019届北京朝阳期中,8)将正奇数数列1,3,5,7,9,…依次按两项、三项分组,得到分组序列如下:(1,3),(5,7,9),(11,13),(15,17,19),……,若称(1,3)为第1组,(5,7,9)为第2组,……,依此类推,则原数列中的2 019位于分组序列中的(　　)‎ A.第404组 B.第405组 C.第808组 D.第809组 答案　A　‎ 二、填空题(每小题5分,共20分)‎ ‎8.(2018江西上饶第二次模拟,13)二维空间中,圆的一维测度(周长)l=2πr,二维测度(面积)S=πr2;三维空间中,球的二维测度(表面积)S=4πr2,三维测度(体积)V=‎4‎‎3‎πr3.应用合情推理,若四维空间中,“特级球”的三维测度V=12πr3,则其四维测度W=　　　　. ‎ 答案　3πr4‎ ‎9.(2018河北衡水中学第十次模拟考试,16)观察下列各式:‎ ‎13=1;‎ ‎23=3+5;‎ ‎33=7+9+11;‎ ‎43=13+15+17+19;‎ ‎……‎ 若m3(m∈N*)按上述规律展开后,发现等式右边含有“2 017”这个数,则m的值为　　　　. ‎ 答案　45‎ ‎10.(2018河北衡水中学模拟,16)数列{an}满足an+1=‎1‎‎2‎an‎,an是正偶数,‎‎3an+1,an是正奇数,‎已知a7=2,{an}的前7项和的最大值为S,把a1的所有可能取值按从小到大排成一个新数列{bn},{bn}所有项的和为T,则S-T=　　　　. ‎ 答案　64‎ ‎11.(2018豫南九校第六次质量考评,15)已知函数f(x)=‎1‎x+‎1‎x+1‎+‎1‎x+2‎,由f(x-1)=‎1‎x-1‎+‎1‎x+‎1‎x+1‎是奇函数,可得函数f(x)的图象关于点(-1,0)对称,类比这一结论,可得函数g(x)=x+2‎x+1‎+x+3‎x+2‎+…+x+7‎x+6‎的图象关于点　　　　对称. ‎ 答案　‎‎-‎7‎‎2‎,6‎