中考数学一轮复习讲义 三角形边角问题

中考数学一轮复习讲义 三角形边角问题

‎2018届中考数学一轮复习讲义 第15讲三角形边角问题 ‎【知识巩固】‎ 一、三角形的有关概念 ‎ 1.三角形：由不在同一直线上的三条线段首尾顺次相接组成的图形叫三角形。‎ ‎ 三角形的特征：①不在同一直线上；②三条线段；③首尾顺次相接；④三角形具有稳定性。‎ ‎ 2.三角形中的三条重要线段：角平分线、中线、高 ‎ （1‎ ‎）角平分线：三角形的一个内角的平分线与这个角的对边相交，这个角的顶点和交点之间的线段叫做三角形的角平分线。‎ ‎ （2）中线：在三角形中，连接一个顶点和它的对边中点的线段叫做三角形的中线。‎ ‎ （3‎ ‎）高：从三角形的一个顶点向它的对边所在直线作垂线，顶点和垂足间的线段叫做三角形的高。‎ ‎ 说明：①三角形的角平分线、中线、高都是线段；‎ ‎ ②‎ 三角形的角平分线、中线都在三角形内部且都交于一点；三角形的高可能在三角形的内部 ‎（锐角三角形）、外部（钝角三角形），也可能在边上（直角三角形），它们（或延长线）相交于一点。‎ 二、三角形的边角 ‎1、三角形中的主要线段 ‎（1）三角形的一个角的平分线与这个角的对边相交，这个角的顶点和交点间的线段叫做三角形的角平分线。‎ ‎（2）在三角形中，连接一个顶点和它对边的中点的线段叫做三角形的中线。‎ ‎（3）从三角形一个顶点向它的对边做垂线，顶点和垂足之间的线段叫做三角形的高线（简称三角形的高）。‎ ‎2、三角形的三边关系定理及推论 ‎（1）三角形三边关系定理：三角形的两边之和大于第三边。‎ 推论：三角形的两边之差小于第三边。‎ ‎（2）三角形三边关系定理及推论的作用：‎ ‎①判断三条已知线段能否组成三角形 ‎②当已知两边时，可确定第三边的范围。‎ ‎③证明线段不等关系。‎ ‎3、三角形的内角和定理及推论 三角形的内角和定理：三角形三个内角和等于180°。‎ 推论：‎ ‎①直角三角形的两个锐角互余。‎ ‎②三角形的一个外角等于和它不相邻的来两个内角的和。‎ ‎③三角形的一个外角大于任何一个和它不相邻的内角。‎ 注：在同一个三角形中：等角对等边；等边对等角；大角对大边；大边对大角。‎ ‎【典例解析】‎ 典例一、三角形三边关系 下列各组线段的长为边，能组成三角形的是（　　）‎ A．2cm，3cm，4cm B．2cm，3cm，5cm C．2cm，5cm，10cm D．8cm，4cm，4cm ‎【考点】三角形三边关系．‎ ‎【分析】根据在三角形中任意两边之和大于第三边，任意两边之差小于第三边．即可求解．‎ ‎【解答】解：根据三角形任意两边的和大于第三边，可知 A、2+3＞4，能组成三角形，故A正确；‎ B、2+3=5，不能组成三角形，故B错误；‎ C、2+5＜10，不能够组成三角形，故C错误；‎ D、4+4=8，不能组成三角形，故D错误；‎ 故选A．‎ ‎【点评】本题考查了能够组成三角形三边的条件，其实用两条较短的线段相加，如果大于最长的那条就能够组成三角形．‎ ‎【变式训练】‎ 下列每组数分别表示三根木棒的长度，将它们首尾连接后，能摆成三角形的一组是（　　）‎ A．1，2，6 B．2，2，4 C．1，2，3 D．2，3，4‎ ‎【考点】三角形三边关系．‎ ‎【分析】根据三角形的三边关系：三角形两边之和大于第三边，计算两个较小的边的和，看看是否大于第三边即可．‎ ‎【解答】解：A、1+2＜6，不能组成三角形，故此选项错误；‎ B、2+2=4，不能组成三角形，故此选项错误；‎ C、1+2=3，不能组成三角形，故此选项错误；‎ D、2+3＞4，能组成三角形，故此选项正确；‎ 故选：D．‎ ‎【点评】此题主要考查了三角形的三边关系，关键是掌握三角形的三边关系定理．‎ 典例二、三角形的角平分线、高线、中线 ‎（2017毕节）如图，Rt△ABC中，∠ACB=90°，斜边AB=9，D为AB的中点，F为CD上一点，且CF=CD，过点B作BE∥DC交AF的延长线于点E，则BE的长为（　　）‎ A．6 B．4 C．7 D．12‎ ‎【考点】KX：三角形中位线定理；KP：直角三角形斜边上的中线．‎ ‎【分析】先根据直角三角形的性质求出CD的长，再由三角形中位线定理即可得出结论．‎ ‎【解答】解：∵Rt△ABC中，∠ACB=90°，斜边AB=9，D为AB的中点，‎ ‎∴CD=AB=4.5．‎ ‎∵CF=CD，‎ ‎∴DF=CD=×4.5=3．‎ ‎∵BE∥DC，‎ ‎∴DF是△ABE的中位线，‎ ‎∴BE=2DF=6．‎ 故选A．‎ ‎【变式训练】‎ ‎（2017广西河池）三角形的下列线段中能将三角形的面积分成相等两部分的是（　　）‎ A．中线 B．角平分线 C．高 D．中位线 ‎【考点】K3：三角形的面积；K2：三角形的角平分线、中线和高．‎ ‎【分析】根据等底等高的三角形的面积相等解答．‎ ‎【解答】解：∵三角形的中线把三角形分成两个等底同高的三角形，‎ ‎∴三角形的中线将三角形的面积分成相等两部分．‎ 故选A．‎ 典例三、三角形的内角和与外角和 ‎（2017广西百色）多边形的外角和等于（　　）‎ A．180° B．360° C．720° D．（n﹣2）•180°‎ ‎【考点】L3：多边形内角与外角．‎ ‎【分析】根据多边形的外角和，可得答案．‎ ‎【解答】解：多边形的外角和是360°，‎ 故选：B．‎ ‎【变式训练】‎ ‎（2017浙江湖州）已知一个多边形的每一个外角都等于72°，则这个多边形的边数是　5　．‎ ‎【考点】L3：多边形内角与外角．‎ ‎【分析】用多边形的外角和360°除以72°即可．‎ ‎【解答】解：边数n=360°÷72°=5．‎ 故答案为：5．‎ 典例四、三角形边角关系问题 如图1，M是铁丝AD的中点，将该铁丝首尾相接折成△ABC，且∠B=30°，∠C=100°，如图2．则下列说法正确的是（　　）‎ A．点M在AB上 B．点M在BC的中点处 C．点M在BC上，且距点B较近，距点C较远 D．点M在BC上，且距点C较近，距点B较远 ‎【考点】三角形三边关系．‎ ‎【分析】根据钝角三角形中钝角所对的边最长可得AB＞AC，取BC的中点E，求出AB+BE＞AC+CE，再根据三角形的任意两边之和大于第三边得到AB＜AD，从而判定AD的中点M在BE上．‎ ‎【解答】解：∵∠C=100°，‎ ‎∴AB＞AC，‎ 如图，取BC的中点E，则BE=CE，‎ ‎∴AB+BE＞AC+CE，‎ 由三角形三边关系，AC+BC＞AB，‎ ‎∴AB＜AD，‎ ‎∴AD的中点M在BE上，‎ 即点M在BC上，且距点B较近，距点C较远．‎ 故选：C．‎ ‎【点评】本题考查了三角形的三边关系，作辅助线把△ABC的周长分成两个部分是解题的关键，本题需要注意判断AB的长度小于AD的一半，这也是容易忽视而导致求解不完整的地方．‎ ‎【变式训练】‎ 如图，有一△ABC，今以B为圆心，AB长为半径画弧，交BC于D点，以C为圆心，AC长为半径画弧，交BC于E点．若∠B=40°，∠C=36°，则关于AD、AE、BE、CD的大小关系，下列何者正确？（　　）‎ A．AD=AE B．AD＜AE C．BE=CD D．BE＜CD ‎【考点】三角形三边关系．‎ ‎【分析】由∠C＜∠B利用大角对大边得到AB＜AC，进一步得到BE+ED＜ED+CD，从而得到BE＜CD．‎ ‎【解答】解：∵∠C＜∠B，‎ ‎∴AB＜AC，‎ ‎∵AB=BD AC=EC ‎∴BE+ED＜ED+CD，‎ ‎∴BE＜CD．‎ 故选：D．‎ ‎【点评】考查了三角形的三边关系，解题的关键是正确的理解题意，了解大边对大角．‎ ‎【能力检测】‎ ‎1. 如果一个三角形的两边长分别为2和5，则第三边长可能是（　　）‎ A．2 B．3 C．5 D．8‎ ‎【考点】三角形三边关系．‎ ‎【分析】根据在三角形中任意两边之和＞第三边，任意两边之差＜第三边；可求第三边长的范围，再选出答案．‎ ‎【解答】解：设第三边长为x，则 由三角形三边关系定理得5﹣2＜x＜5+2，即3＜x＜7．‎ 故选：C．‎ ‎【点评】本题考查了三角形三边关系，此题实际上就是根据三角形三边关系定理列出不等式，然后解不等式即可．‎ ‎2. 下列四个图形中，线段BE是△ABC的高的是（　　）‎ A． B． C． D．‎ ‎【考点】三角形的角平分线、中线和高．‎ ‎【分析】根据三角形高的画法知，过点B作AC边上的高，垂足为E，其中线段BE是△ABC的高，再结合图形进行判断．‎ ‎【解答】解：线段BE是△ABC的高的图是选项D．‎ 故选D．‎ ‎【点评】本题主要考查了三角形的高，三角形的高是指从三角形的一个顶点向对边作垂线，连接顶点与垂足之间的线段．熟记定义是解题的关键．‎ ‎3. 下列图形中具有稳定性的是（　　）‎ A．正三角形 B．正方形 C．正五边形 D．正六边形 ‎【考点】三角形的稳定性．‎ ‎【分析】直接根据三角形具有稳定性进行解答即可．‎ ‎【解答】解：∵三角形具有稳定性，‎ ‎∴A正确，B、C、D错误．‎ 故选A．‎ ‎【点评】本题考查的是三角形的稳定性，熟知三角形三边的长度确定后，三角形的形状和大小就能唯一确定下来，故三角形具有稳定性是解答此题的关键．‎ ‎4. 在Rt△ABC中，锐角A的平分线与锐角B的邻补角的平分线相交于点D，则∠ADB=　45　度．‎ ‎【考点】K7：三角形内角和定理；IJ：角平分线的定义．‎ ‎【专题】16 ：压轴题．‎ ‎【分析】根据余角、补角的定义计算．‎ ‎【解答】解：设锐角∠A大小为x，则锐角∠ABC的邻补角为90°+x；‎ 可得∠ADB=180°﹣（+90°﹣x+45°+）=45°．‎ ‎【点评】本题考查余角、补角的定义及角平分线性质的运用；α的余角为90°﹣α，补角为180°﹣α．‎ ‎5. （2016贵州毕节3分）到三角形三个顶点的距离都相等的点是这个三角形的（　　）‎ A．三条高的交点 B．三条角平分线的交点 C．三条中线的交点 D．三条边的垂直平分线的交点 ‎【考点】线段垂直平分线的性质；角平分线的性质．‎ ‎【分析】根据线段的垂直平分线上的点到线段的两个端点的距离相等解答即可．‎ ‎【解答】解：到三角形三个顶点的距离都相等的点是这个三角形的三条边的垂直平分线的交点，‎ 故选：D．‎ ‎6. （2017贵州）如图，∠ACD=120°，∠B=20°，则∠A的度数是（　　）‎ A．120° B．90° C．100° D．30°‎ ‎【考点】K8：三角形的外角性质．‎ ‎【分析】根据三角形的外角的性质计算即可．‎ ‎【解答】解：∠A=∠ACD﹣∠B ‎=120°﹣20°‎ ‎=100°，‎ 故选：C．‎ ‎7. 各边长度都是整数、最大边长为8的三角形共有　20　个．‎ ‎【考点】三角形三边关系．‎ ‎【分析】利用三角形三边关系进而得出符合题意的答案即可．‎ ‎【解答】解：∵各边长度都是整数、最大边长为8，‎ ‎∴三边长可以为：‎ ‎1，8，8；‎ ‎2，7，8；2，8，8；‎ ‎3，6，8；3，7，8；3，8，8；‎ ‎4，5，8；4，6，8；4，7，8；4，8，8；‎ ‎5，5，8；5，6，8；5，7，8；5，8，8；‎ ‎6，6，8；6，7，8；6，8，8；‎ ‎7，7，8；7，8，8；‎ ‎8，8，8；‎ 故各边长度都是整数、最大边长为8的三角形共有20个．‎ 故答案为：20．‎ ‎【点评】此题主要考查了三角形三边关系，正确分类讨论得出是解题关键．‎ ‎8. 若一个三角形三边长分别为2，3，x，则x的值可以为　4　（只需填一个整数）‎ ‎【考点】三角形三边关系．‎ ‎【专题】开放型．‎ ‎【分析】根据三角形的三边关系：三角形两边之和大于第三边，三角形的两边差小于第三边可得x的取值范围．‎ ‎【解答】解：根据三角形的三边关系可得：3﹣2＜x＜3+2，‎ 即：1＜x＜5，‎ 所以x可取整数4．‎ 故答案为：4．‎ ‎【点评】此题主要考查了三角形的三边关系，关键是掌握第三边的范围是：大于已知的两边的差，而小于两边的和．‎ ‎9. （2016·湖北荆门·3分）已知3是关于x的方程x2﹣（m+1）x+‎2m=0的一个实数根，并且这个方程的两个实数根恰好是等腰△ABC的两条边的边长，则△ABC的周长为（　　）‎ A．7 B．‎10 C．11 D．10或11‎ ‎【考点】解一元二次方程-因式分解法；一元二次方程的解；三角形三边关系；等腰三角形的性质．‎ ‎【分析】把x=3代入已知方程求得m的值；然后通过解方程求得该方程的两根，即等腰△ABC的两条边长，由三角形三边关系和三角形的周长公式进行解答即可．‎ ‎【解答】解：把x=3代入方程得9﹣3（m+1）+‎2m=0，‎ 解得m=6，‎ 则原方程为x2﹣7x+12=0，‎ 解得x1=3，x2=4，‎ 因为这个方程的两个根恰好是等腰△ABC的两条边长，‎ ‎①当△ABC的腰为4，底边为3时，则△ABC的周长为4+4+3=11；‎ ‎②当△ABC的腰为3，底边为4时，则△ABC的周长为3+3+4=10．‎ 综上所述，该△ABC的周长为10或11．‎ 故选：D．‎ ‎10. （2016·四川内江）(12分)问题引入：‎ ‎(1)如图13①，在△ABC中，点O是∠ABC和∠ACB平分线的交点，若∠A＝α，则∠BOC＝______(用α表示)；如图13②，∠CBO＝∠ABC，∠BCO＝∠ACB，∠A＝α，则∠BOC＝______(用α表示)．‎ ‎(2)如图13③，∠CBO＝∠DBC，∠BCO＝∠ECB，∠A＝α，请猜想∠BOC＝______(用α表示)，并说明理由．‎ 类比研究：‎ ‎(3)BO，CO分别是△ABC的外角∠DBC，∠ECB的n等分线，它们交于点O，∠CBO＝∠DBC，∠BCO＝∠ECB，∠A＝α，请猜想∠BOC＝______．‎ O C B A 图13②‎ A B C O 图13①‎ O C B A E D 图13③‎ ‎[考点]三角形的内角和，猜想、推理。‎ 解：(1)第一个空填：90°＋； ‎ 第一个空填：90°＋． ‎ 第一空的过程如下：∠BOC＝180°－(∠OBC＋∠OCB)＝180°－(∠ABC＋∠ACB)＝180°－(180°－∠A)＝90°＋．‎ 第二空的过程如下：∠BOC＝180°－(∠OBC＋∠OCB)＝180°－(∠ABC＋∠ACB)＝180°－(180°－∠A)＝120°＋．‎ ‎(2)答案：120°－．过程如下：‎ ‎∠BOC＝180°－(∠OBC＋∠OCB)＝180°－(∠DBC＋∠ECB)＝180°－(180°＋∠A)＝120°－． ‎ ‎(3)答案：120°－．过程如下：‎ ‎∠BOC＝180°－(∠OBC＋∠OCB)＝180°－(∠DBC＋∠ECB)＝180°－(180°＋∠A)＝·180°－． ‎