中考数学专题复习练习：和圆有关的比例线段

中考数学专题复习练习：和圆有关的比例线段

例 某机械传动装置在静止状态时，如图所示．连杆PB与点B运动所形成的交于点A，测量得PA=4cm，AB=5cm，⊙O半径为4.5cm．求点P到圆心O的距离．‎ 解：连结PO并延长，交⊙O于点C、D．‎ 根据切割线定理的推论，有PA·PB=PC·PD．‎ ‎∵PB=PA+AB=4+5=9，PC=PO-4.5，PD=PO+4.5，‎ ‎∴，，‎ ‎∴OP=．又OP为线段，取正数得OP=7.5（cm）‎ ‎∴点P到圆心O的距离为7.5（cm）．‎ 说明：割线定理的在计算中的简单应用．‎ 例 已知：如图，AB是⊙O的弦，P是AB上的一点，AB＝10cm，PA＝4cm，OP＝5cm，求⊙O的半径．‎ 分析：由P为AB上的一点，且巳知PA、PB故联想到相交弦定理，所以需把OP向两方延长，分别与圆相交，再利用相交弦定理解之．‎ 解：向两方延长OP，分别交⊙O于C、D 由相交弦定理有： BP·AP=CP·DP 设CO=x，则 ‎ ‎ 解得：，∵CO>0，∴CO=7（cm）‎ 答：⊙O半径为7cm．‎ 说明：①相交弦定理的简单应用；②作辅助线构成基本图形．‎ 例 已知：如图，在△ABC中，∠C=90°，BE是角平分线，DE⊥BE交AB于D，⊙O是△BDE的外接圆。‎ ‎（1）求证AC是⊙O的切线；‎ ‎（2）若AD=6，AE=6，求DE的长。‎ 证明（1）：连结OE ‎∵BE是∠ABC的平分线，∴∠1=∠2，‎ 又∵∠BED=∠C=90°，∴△BCE∽△BED，‎ ‎∴∠4=∠3，‎ 又∵OE=OB，∴∠1=∠5，∴∠4+∠5=∠1+∠3=90°，‎ ‎∴OE⊥AC，∴AC是⊙O的切线．‎ ‎（2）∵AE是⊙O的切线，AE=6，AD=6，‎ ‎∴，∴．‎ ‎∴BD=AB-AD=12-6=6‎ ‎∵∠AED=∠ABE，∠A=∠A，∴△AED∽△ABE，∴‎ 设DE=，BE=2x，∵，∴，‎ 得（负的舍去），∴．‎ 说明：①此题主要应用：切线的判定定理，切割线定理、相似形以及勾股定理以及相似形；‎ 此题是与切割线定理有关的计算综合问题．‎ 例 如图，PA切⊙O于A，割线PBC交⊙O于B、C两点，D为PC的中点，连AD并延长交⊙O 于E，已知：．‎ 求证：（1）PA=PD；‎ ‎ （2）．‎ 分析：（1）易证∠PAD=∠PDA；‎ ‎ （2）关键在于利用线段之间的关系、等式性质，证出PB=BD．‎ 证明：(1)连结AB ‎ 在△DBE和△BAE中 ，‎ ‎∵，即，‎ 又∠BED=∠AEB，∴△DBE∽△BAE ‎∴∠2=∠3‎ ‎∵PA切⊙O于A，∴∠1=∠E 又∠PAD=∠1+∠2，∠PDA=∠3+∠E． ‎ ‎∴∠PAD=∠PDA，∴PA=PD．‎ ‎ (2)由切割线定理知，，‎ ‎ 又PA=PD，PD=DC， ∴，‎ ‎ ∴PB=BD．‎ ‎ 又 (相交弦定理)，‎ ‎ DC=2PB，BD=PB，∴．‎ 说明：本题应用的知识点有：切割线定理、相交弦定理、弦切角定理、相似角形，利用等式性质证明线段的中点． ‎ 典型例题五 例 （北京市宣武区，2002）已知：CF是⊙O直径，CB为⊙O的弦，CB的延长线与过点F的⊙O的切线交于点P.‎ ‎（1）如图所示，若，求⊙O半径的长；‎ ‎（2）如图所示，若E为BC上一点，且满足，连结FE并延长交⊙O于点A，求证：点A为的中点.‎ 分析：证明，可以有两种证法：一可以证明，由垂径定理即可证明结论，二可证明，由圆周角定理结论可证．‎ 解：（1）∵ CF是⊙O直径，PF切⊙O于点F，‎ ‎∴ .‎ 又 ‎∴ ⊙O的半径的长为5.‎ ‎（2）证法一：连结OA.‎ ‎∵ PF为⊙O切线，PBC为⊙O割线，‎ ‎∴ .‎ 又∵ ，‎ ‎∴ .‎ ‎∴ .‎ 又∵ ，‎ ‎∴ 点A为中点.‎ 证法二：连结FB.‎ 同证法一可得 ，‎ ‎∴ ‎ ‎∵ PF切⊙O于点F，‎ ‎∴ ，‎ 又，‎ ‎，‎ ‎∴ ，‎ ‎∴ ，‎ 即 点A为中点.‎ 典型例题六 例 （北京市崇文区，2002）已知：如图，PA切⊙O于点A，割线PBC交⊙O于点B、C，于点D，PD、AO的延长线相交于点E，连结CE并延长CE交⊙O于点F，连结AF.‎ ‎1．求证：∽；‎ ‎2．若，求⊙O半径的长.‎ 证明：1．∵ PA切⊙O于点A，‎ ‎∴ ‎ ‎∵ O在AE上， ∴ ‎ ‎∵ 于D，‎ ‎∴ ∽‎ ‎∴ ∽.‎ ‎2．∵ ∽，‎ 作于G，‎ 则，‎ ‎∴ ‎ 在Rt中，‎ ‎∴ ⊙O的半径长为.‎ 说明：这是一道综合性较强的几何题，对于几何题目难点是作辅助线。‎ 典型例题七 例 如图，内接于⊙，为⊙外一点，作，使交⊙于、两点，并与、分别交于点、.‎ ‎（1）求证：；‎ ‎（2）若，求证：是⊙的切线.‎ 分析：（1）由相交弦定理，因此待证式（1）可化为，即，这只需证明∽；（2）连，则是⊙的切线条件是，这只需证明.‎ 证明 （1）由相交弦定理，得 在与中，，‎ ‎∽，，‎ 即 故 ‎（2）过作⊙的直径，连结，则，‎ ‎ ，‎ 故是⊙的切线.‎ 说明：本题涉及知识点全面，体现了常用的证题方法，是一道优秀的选题.‎ 典型例题八 例 已知如图，点是⊙外一点，过作⊙的切线和，切点分别为、，连并延长交⊙于点，交的延长线于，若，且，求的值.‎ 分析：由切割线定理得：，而，因此有，且，再由比例线段，找出与之间的关系即可.‎ 解 连结、，‎ 为⊙的切线，‎ ‎，‎ ‎、为⊙的切线，‎ 在中，，‎ 为⊙的切线，为半径，‎ ‎ 同理，‎ ‎，‎ 为公共角，∽，‎ ‎，‎ 有 又，‎ 说明：题中有从圆外引圆的两条切线时，常把圆心与这点连结起来利用切线长定理证题.‎ 典型例题九 例 如图，中，，，以为直径的圆切于，设，.‎ 求与的函数关系式（为自变量）‎ 分析：本题着重考查切割线定理与一元二次函数的基础知识.‎ 解 由切割线定理知，‎ ‎，，‎ 即 说明：本题是1996年山东省中考试题的第一问，它将圆幂定理、二次函数等重要知识融为一体.‎ 典型例题十 例 （辽宁省试题，2002）已知：如图，⊙P与x轴相切于坐标原点O，点A（0，2）是⊙P与y轴的交点，点在x轴上，连结BP交⊙O于点C，连结AC并延长交x轴于点D。‎ ‎（1）求线段BC的长；‎ ‎（2）求直线AC的函数解析式；‎ ‎（3）当点B在x轴上移动时，是否存在点B，使相似于？若存在，求出符合条件的点的坐标；若不存在，说明理由。‎ 解：（1）解法一：‎ ‎ 由题意，得，‎ 在Rt中，，‎ ‎∴‎ ‎∴‎ 解法二：‎ ‎ 延长BP交⊙P于G，由题意，得 ‎（2）‎ 过点C作于E，轴于F 在中，，‎ ‎∴，‎ 即，‎ 解得 同理可求得 因此点C坐标为 设直线AC的函数解析式为 由于直线过两点，‎ 所以有 解得 ‎∴所求函数解析式为 ‎（3）在x轴上存在点B，使与相似 故，若要与相似，则 又 因此，‎ ‎∴点坐标为 根据对称性可求得符合条件的点坐标为 综上，符合条件的B点坐标有两个：‎ ‎ 说明：这是一道存在型问题。存在型说理题是探索性问题的主要形势，它要求学生紧扣题设条件，把握特征，拨开迷雾，对“是否存在”做出准确判断和正确的理解作为解决这类问题的理论依据.解这类考题一般遵循“三部曲”，即假设“存在”，——演绎推理——得出结论（合理或矛盾两种形式）. ‎ 典型例题十一 例 (辽宁省试题,2002) 如图，已知矩形ABCD，以A为圆心，AD为半径的圆交AC、AB于M、E，CE的延长线交⊙O于F，CM＝2，AB＝4．‎ ‎ （1）求⊙A的半径；‎ ‎ （2）求CE的长和的面积．‎ ‎ ‎ 分析：（1）在中，利用勾股定理可求得AD＝3．（2）在中，所以利用勾股定理可求得，进一步求出三角形的面积．‎ ‎ 解：（1）四边形ABCD为矩形，AB＝4，．‎ ‎ 在中，‎ ‎ ‎ ‎ 解得AD＝3．‎ ‎ （2）过A点作于G．‎ ‎ ‎ ‎ ‎ 由，‎ 得 又 ‎∽‎ 即 典型例题十二 例 如图，PA切⊙O于B，C，若，则.‎ A．1.5 B．4 C．5 D．9‎ 解 切⊙O于点A，PC交⊙O于点B、C，‎ 选C.‎ 说明：本题考查切割线定理的应用，解题关键是应用切割线定理列出方程，易错点是将切割线定理错误地表述成.‎ 典型例题十三 例 （广州市，2002） 如图，PA为⊙O的切线，A为切点，⊙O的割线PBC过点O与⊙O分别交于点，求⊙O的半径.‎ 解法1 为⊙O的切线，‎ ‎⊙O的半径cm.‎ 解法2 连OA.为⊙O的切线，∴‎ ‎∴‎ 设⊙O的半径为R，则∴cm.‎ 说明：本题用两种方法求⊙O的半径，解题关键是列出方程，易错点是用错切割线定理，如错成.‎ 典型例题十四 例 如图，已知BC为半圆的直径，AD与半圆相切于点D，在AB上截取，过E作，交AC的延长线于点F，过F作交AB的延长线于点G，求证：（1）；（2）.‎ 证明 （1）设AB与半圆交于H，连CH.‎ ‎∵BC为半圆O的直径，∴.‎ ‎∵AD切半圆于D，∴‎ ‎（2）‎ 说明：本题考查了切割线定理的应用，解题关键是作出辅助线，易错点是不善于进行比较复杂的比例式的代换.‎ 典型例题十五 例 已知线段，求作：线段c，使 作法 1．作线段；‎ ‎2．延长AP到B，使；‎ ‎3．以AB为直径作半圆；‎ ‎4．过点P作交半圆于点C.‎ 则PC就是的比例中项.‎ 说明： 本题考查相交弦定理推论的应用，解题关键是找到作图方法，此题还可以应用切割线定理和割线定理作图，易错点是找不到作图方法.‎ 选择题 ‎1．若切⊙于点，交⊙于点两点，且，如果，那么的长为（ ）‎ ‎（A） （B）3 （C） （D）‎ ‎2．如图，是⊙的两条切线，为切点，直线交⊙于，交于，为⊙直径，下列结论：①；②；③，其中正确结论的个数有（ ）‎ ‎（A）3个 （B）2个 （C）1个 （D）0个 ‎3．如图，若直线分别与⊙交于点，则下列各式中，相等关系成立的是（ ）‎ ‎（A） （B）‎ ‎（C） （D）‎ ‎4．如图，⊙中，弦相交于，则下列结论正确的是（ ）‎ ‎（A） （B）‎ ‎（C） （D）‎ ‎5．如图，切⊙于，和是⊙的割线，弦交于，则下列等式（ ）‎ ‎（1）；‎ ‎（2）；‎ ‎（3）；‎ ‎（4）.‎ 正确的个数是（）‎ ‎（A）1 （B）2 （C）3 （D）4‎ ‎6．弦相交于P，则下列等式成立的是（ ）‎ A． B．‎ C． D．‎ ‎7．⊙O的半径是6cm，cm，则过点P的弦且被点分成1：2两部分的长是（ ）。‎ A．1cm和2cm B．2cm和4cm C．cm和2cm D．cm和2cm ‎8．在⊙O，弦AB和CD相交于点P，若，则以的长为根的一元二次方程为（ ）‎ A． B．‎ C． D．‎ ‎9．如图，的高交于的延长线交的外接圆于是BC的中点，，（ ）。‎ A． B． C．4 D．‎ 参考答案：‎ ‎1．(B) 2．(A) 3．（C） 4．（C） 5．（C）。6．B 7．C 8．B 9．A 填空题 ‎1、在⊙O中，弦AB与CD相交于E，AB=8，BE=6，DE=3，‎ 则CE= ．‎ ‎2、如图，AB是半圆O的直径，CB切半圆于点B，AC交半圆于D，若CD=1，AD=3，则⊙O的半径的长为 ．‎ ‎3、如图，BC是⊙O的直径，P是CB延长线上一点，PA切⊙O于点A，如果PA=，PB=1，那么∠APC = ．‎ ‎4．如图，AB是⊙O的直径，CB切⊙O于B，CD切⊙O于D，交BA的延长线于E，若，则BC的长为_________。‎ ‎5．如图，⊙O中弦AB与CD相交于点E，，则弦CD的长是______cm。‎ ‎6．如图，CD是⊙O的直径，且，弦于P，，则 ‎7．圆内两弦相交，一弦长为6cm，且被交点平分，另一弦被交点为1：3，则另一弦长为______cm。‎ ‎8．直径为2cm的圆外有一点P，点P到圆上的点的最短距离为3cm，则过点P的切线长是_________cm。‎ ‎9．如图，在⊙O中，PA为切线，A为切点，，则⊙O的半径为_______。‎ ‎10．从圆外一点引圆的切线长为20cm，再从这一点引圆的割线，其中最长的为50cm，则圆的半径为_________。‎ ‎11．如图，EF是⊙O的弦，P是EF上一点，，则⊙O的半径是_________。‎ ‎12．如图，过⊙O的直径BA的延长线上一点P，作⊙O的切线为切点，如果，则 ‎13．如图，⊙O的直径是OA上一点，弦MN经过P，且，那么弦心距OQ为_________。‎ 参考答案：1. 4 2. 3. 30°4．3 5．8 6． 7． 8． 9．3cm 10．21cm 11．6cm 12． 13．‎ 解答题 ‎1．已知⊙O的两条弦AD和BC相交于点E，AB和CD的延长线交于点P．‎ ‎ (1)写出图中所有的相似三角形．‎ ‎ (2)写出图中所有的成比例线段．‎ ‎ (3)下列结论是否成立?‎ ‎ ①PC·DC＝PB·BA； ②DE·CE＝BE·AE；‎ ‎ ②DE·DA＝BE·BC； ④PD·PC＝PB·PA； ‎ ‎ ⑤DE·EA＝EB·EC．‎ ‎ 说明：通过此练习，强化学生对相交弦定理和割线定理的理解，熟悉基本图形的性质．‎ ‎2．已知：如图，AF是⊙O的直径，弦BC⊥AF于D，DE⊥AC于E．‎ 求证：EC·AC=DF·AD ‎3．如图，AB是⊙O的直径，CD切⊙O于D，交BA的延长线于C点，若CA=1，CD等于半径的倍，求DB长．‎ ‎4．已知：如图，在⊙中，过圆心，且，垂足为，过点任作一弦交⊙于，交于.‎ ‎5．已知如图，⊙内接四边形，D是的中点，的延长线相交于点，切⊙于点，交于.‎ ‎（1）求证：是的平分线；‎ ‎（2）试在直线上找出四条线段（仅限图中已有线段），使其中两条线段之积等于，另两条线段之积等于，并加以证明.‎ ‎6．已知：如图，内接于⊙，过圆心作的垂线交⊙于点，交于点，的延长线交于点，求证：.‎ ‎7．如图，⊙与⊙相交于两点，分别交⊙于，‎ 的延长线的交点在⊙上，与相交于点.‎ 求证：（1）；‎ ‎（2）.‎ ‎8．已知：如图，内接于⊙，为⊙的直径，且，的延长线与过点的的垂线相交于.‎ 求证：（1）为⊙的切线；‎ ‎ （2）.‎ ‎9．如图，内接于⊙，，是⊙的切线，，交⊙于点，连结.‎ 求证：.‎ ‎10．已知：如图，是⊙的切线，为切点，和均是⊙的割线，它们与⊙的交点分别为，且.求证：‎ ‎（1）；‎ ‎（2）∽；‎ ‎（3）.‎ ‎11．已知：如图，⊙半径垂直于直径，为上一点，的延长线交⊙于，过点的切线交的延长线于.求证：‎ ‎（1）；‎ ‎（2）若⊙半径为，，求的周长.‎ ‎12．如图，同心圆O，外⊙O的弦AB切内⊙O于E点，过E点作直线交外⊙O于C，D两点，外⊙O的半径为5， 内⊙O的半径为3，。求CD的长。‎ ‎13．如图，AB是⊙O的直径，P为AB延长线上一点，PT切⊙O于T，过点B的切线和PT交于C，和AT的延长线交于D。（1）求证：为等腰三角形；（2）当时，求的值。‎ ‎14．如图，⊙O的直径AB的延长线与弦CD的延长线相交于点为⊙O上一点，，DE交AB于点F。求证：‎ ‎15．如图，内接于⊙O，P为⊙O外一点，作，使PD交⊙O于 ‎，并与分别交于。（1）求证：；（2）若。求证：PC是⊙O的切线。‎ ‎16．已知：如图，A是⊙O上一点，割线PC交⊙O于两点，D是PC上一点，且PD是PB与PC的比例中项，，连AD并延长交⊙O于E。求证：‎ ‎17．如图，⊙O是以AB为直径的的外接圆，D是劣弧的中点，连AD并延长与过C点的切线交于与BC相交于E。（1）求证：；（2）求证：；（3）当，求PC的长度。‎ ‎18．如图，P是⊙O外一点，割线分别与⊙O相交于四点，PT切⊙O于T，点分别在上，且（1）求证：；（2）若，求PT的长。‎ ‎19．如图，在平面直角坐标系中，O为坐标原点，A点坐标为（－8，0），B点坐标为（2，0），以AB中点P为圆心，AB为直径作⊙P与y轴的负半轴交于点C。（1）求图象经过三点的抛物线的解析式；（2）设M点为（1）中抛物线的顶点，求出顶点的坐标和直线MC的解析式；（3）判定（2）中的直线MC与⊙P的位置关系，并说明理由；（4）过坐标原点O作直线BC的平行线OG，与（2）中的直线MC相交于点G，连结AG，求出点G的坐标，并证明 ‎20．已知线段。求作：线段，使 ‎21．（1）通过⊙O内或⊙O外一点P作两条直线交⊙O于和四点（如图（5），（6）中有重合的点），得到了如图（l）～（6）所表示的六种不同情况，在六种不同情况下，四条线段之间在数量上满足的关系式可以用同一个式子表示出来，请你首先写出这个式子，然后只就如图（2）所示的圆内两条弦相交的一般情况，给出它的证明；（2）已知⊙O的半径为一定值r，若点P是不在⊙O上的一个定点，请你过点P任作一直线交⊙O于不重合的两点的值是否为定值？为什么？由此你发现了什么结论？请你把这一结论用文字叙述出来．‎ ‎ 22．已知一个二次函数的图象经过和三点．‎ ‎ （1）求这个二次函数的解析式以及它的图象与x轴的交点（M在N的左边）的坐标；‎ ‎ （2）若以线段MN为直径作OG．过坐标原点O作OG的切线OD，切点为D，求OD的长；‎ ‎ （3）求直线OD的解析式；‎ ‎（4）在直线OD上是否存在点P，使得是直角三角形？如果存在，求出点P的坐标（只需写出结果，不必写出解答过程）；如果不存在，请说明理由。‎ 参考答案与提示：‎ ‎1．略 2. 提示：由EC·AC=CD2，CD2=DF·AD可证 ‎3. 提示：由切割线定理建立方程求出CD=，AB=2，又△CAD∽△CBD，得DA:DB=1:，应用勾股定理建立方程可得DB=．‎ ‎4．连结. ∵过圆心，且，‎ ‎∴，∴.∵为公共角，‎ ‎∴∽，∴，∴.‎ ‎5．（1）连结.∵为⊙切线，∴.‎ ‎∵为⊙内接四边形，‎ ‎∴.∴.‎ ‎∵，∴.‎ ‎∴，即为的平分线.‎ ‎（2）由切割线定理得：.‎ 由上一问，可证∽，.‎ ‎∴.‎ ‎6．从所求需证明∽.已有一公共角，只须再证另一对角相等.连，由已知据垂径定理可证，得.又∵，，且可证，∴.‎ ‎∴.故可证两三角形相似得出所求.‎ ‎7．（1）连.∵两圆相交，∴且平分.‎ ‎∵，∴.‎ ‎∵，∴.‎ 可证∽，得.‎ ‎（2）连.可证. ①‎ ‎∵ ∴. ②‎ 又∵ ∴. ③‎ 由①②③可得，即.‎ ‎∴是⊙切线.∴.‎ 又可证∽，∴.‎ ‎∴.∴.‎ ‎8．提示：（1）用切线定理.‎ ‎（2）连结，证∽.‎ ‎9．提示：由已知可证.显然只需证.再证∽，可证为等腰三角形即得.‎ ‎10．提示：（1）证∽可得所求.‎ ‎（2）∵，，‎ ‎∴.由共圆得，∴相似可证.‎ ‎（3）可证：，.‎ ‎∴.‎ ‎∵，∴.‎ ‎11．提示：（1）连.可证，得.‎ ‎∵，∴.‎ ‎（2）可得，∴，可证.‎ ‎∴为等边三角形，可得 ‎.‎ ‎∵，∴.‎ ‎∴周长为6.‎ ‎12． 13．连BT。证；（2）‎ ‎14．连OC。∽，∴。又 ‎15．（1）证∽，得，而∴；（2）连CO并延长交⊙O于F，连BF。证。‎ ‎16．连，证∽。。而。即。∴。∴‎ ‎17．（1）证；（2）连CD。∽。∴。∴。是切线，∴。∴∴；（3）‎ ‎18．（1）连CD。证，得；（2）‎ ‎19．（1）；（2），直线MC的解析式为；（3）直线MC与⊙P相切。连结PC。证；（4）证 ‎20．略 ‎21．（1）满足的关系式是；（2）的值为定值。分点P在⊙O内和⊙O外两种情况证明分别得和。总之，P是不在⊙O上的一个定点时，为定值。结论：过不在圆上的一个定点任作一条直线与圆相交，则这点到直线与圆的交点的两条线段长的积为为定值。‎ ‎22．（1）；（2）；（3）‎ ‎；（4）存在点P。坐标为，或，或.‎ 相关中考试题 ‎1．（北京市东城区2002年试题）已知：如图，P是⊙O直径AB延长线上的一点，割线PCD交⊙O于C、D两点，弦DF⊥AB于点H，CF交AB于点E。‎ ‎（1）求证：PA·PB＝PO·PE；‎ ‎（2）若DE⊥CF，，⊙O的半径为2，求弦CF的长。‎ ‎2．（北京市崇文区2002年试题）已知：如图，PA切⊙O于点A，割线PBC交⊙O于点B、C，于点D，PD、AO的延长线相交于点E，连结CE并延长CE交⊙O于点F，连结AF.‎ ‎（1）求证：∽；‎ ‎（2）若，求⊙O半径的长.‎ ‎3．（北京市宣武区2002年试题）已知：CF是⊙O直径，CB为⊙O的弦，CB的延长线与过点F的⊙O的切线交于点P。‎ ‎（1）如图所示，若，求⊙O半径的长；‎ ‎（2）如图所示，若E为BC上一点，且满足，连结FE并延长交⊙O于点A，求证：点A为的中点。‎ ‎4．（吉林市2002年试题）如图，已知矩形ABCD，以A为圆心，AD为半径的圆交AC、AB于M、E，CE的延长线交⊙O于F，CM＝2，AB＝4．‎ ‎ （1）求⊙A的半径；‎ ‎ （2）求CE的长和的面积．‎ 参考答案：‎ ‎1．（1）证明：连结OD。‎ ‎∵ AB是⊙O的直径，弦DF⊥AB于点H。‎ ‎∴ 。‎ 又，‎ ‎∽‎ ‎∴ ，即 由切割线定理的推论，得 ‎ ‎∴ ‎ ‎（2）解：由（1）知，AB是弦DF垂直平分线，‎ 由 ，‎ 得 。‎ ‎∴ 。‎ 在中，由，，‎ 可求得 。‎ ‎∵ △DHE是等腰直角三角形，‎ ‎∴ 。‎ 由 ，‎ 得 ∽。‎ 解得 。‎ ‎∴ 。‎ ‎2．证明：1．∵ PA切⊙O于点A，‎ ‎∴ ‎ ‎∵ O在AE上， ∴ ‎ ‎∵ 于D，‎ ‎∴ ∽‎ ‎∴ ∽.‎ ‎2．∵ ∽，‎ 作于G，‎ 则，‎ ‎∴ ‎ 在Rt中，‎ ‎∴ ⊙O的半径长为.‎ ‎3．解：（1）∵ CF是⊙O直径，PF切⊙O于点F，‎ ‎∴ 。‎ 又 ‎∴ ⊙O的半径的长为5。‎ ‎（2）证法一：连结OA。‎ ‎∵ PF为⊙O切线，PBC为⊙O割线，‎ ‎∴ 。‎ 又∵ ，‎ ‎∴ 。‎ ‎∴ 。‎ 又∵ ，‎ ‎∴ 点A为中点。‎ 证法二：连结FB。‎ 同证法一可得 ，‎ ‎∴ ‎ ‎∵ PF切⊙O于点F，‎ ‎∴ ，‎ 又，‎ ‎，‎ ‎∴ ，‎ ‎∴ ，‎ 即 点A为中点。‎ ‎4．解：（1）四边形ABCD为矩形，AB＝4，。‎ ‎ 在中，‎ ‎ ‎ ‎ 解得AD＝3。‎ ‎ （2）过A点作于G。‎ ‎ ‎ ‎ ‎ 由，‎ 得 又 ‎∽‎ 即