2019-2020学年湖北省宜昌市葛洲坝中学高一上学期期末数学试题（解析版）

2019-2020学年湖北省宜昌市葛洲坝中学高一上学期期末数学试题（解析版）

‎2019-2020学年湖北省宜昌市葛洲坝中学高一上学期期末数学试题 一、单选题 ‎1．如果幂函数的图象经过点,则的值等于 （ ）‎ A． B． C． D．‎ ‎【答案】B ‎【解析】试题分析：设幂函数的表达式为，由题意得，，则，所以幂函数的表达式为有．故选.‎ ‎【考点】幂函数的概念及其表达式，待定系数法.‎ ‎2．若是定义在上的奇函数，当时，，则（ ）‎ A．2 B．6 C．－2 D．－6‎ ‎【答案】C ‎【解析】利用奇函数的性质得到，计算即得解.‎ ‎【详解】‎ 由奇函数的性质得到.‎ 故选：C ‎【点睛】‎ 本题主要考查奇函数性质的应用，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平.‎ ‎3．下列各组函数表示同一函数的是 A． B．f（x）=x，g（x）=‎ C．f（x）=1，g（x）=x0 D．‎ ‎【答案】B ‎【解析】通过求函数的定义域可以判断出A，C ，D中的函数都不是同一函数，而对于B显然为同一函数．‎ ‎【详解】‎ A.的定义域为,的定义域为 ‎，定义域不同，不是同一函数； B．f（x）=x和g（x）=的定义域和对应法则都相同，为同一函数,‎ C．f（x）=1的定义域为，g（x）=x0的定义域为，不是同一函数； D．定义域为，的定义域为，定义域不同，不是同一函数． 故选B ．‎ ‎【点睛】‎ 本题考查函数的三要素：定义域，值域，对应法则，而判断两函数是否为同一函数，只需判断定义域和对应法则是否都相同即可．‎ ‎4．函数的零点所在区间是（ ）‎ A． B． C． D．‎ ‎【答案】C ‎【解析】根据连续函数，可得f（3），f（4）的函数值的符号，由此得到函数的零点所在的区间．‎ ‎【详解】‎ ‎∵连续减函数，‎ ‎∴f（3）=2﹣log23＞0，f（4）=﹣log24＜0，‎ ‎∴函数的零点所在的区间是 （3，4），‎ 故选C．‎ ‎【点睛】‎ 本题主要考查函数的零点的定义，判断函数的零点所在的区间的方法，属于基础题．‎ ‎5．设，，则，，的大小关系是（ ）‎ A． B． C． D．‎ ‎【答案】A ‎【解析】由题意，根据对数函数的性质，可得，，又由指数函数的性质，可得，即可得到答案.‎ ‎【详解】‎ 由题意，根据对数函数的性质，可得，，‎ 又由指数函数的性质，可得，‎ 所以.故选A.‎ ‎【点睛】‎ 本题主要考查了指数式与对数式的比较大小，其中解答中合理利用对数函数与指数函数的图象与性质，得出的取值范围是解答的关键，着重考查了分析问题和解答问题的能力，属于基础题.‎ ‎6．若则 ( )‎ A． B． C． D．‎ ‎【答案】A ‎【解析】直接利用三角函数的诱导公式和同角三角函数的基本关系式，化简求解，即可得到答案．‎ ‎【详解】‎ 由题意，利用三角函数的诱导公式和同角三角函数的基本关系式，‎ 化简得，‎ 又由，则，‎ 所以，故选A．‎ ‎【点睛】‎ 本题主要考查了三角函数式的化简与运算，其中解答中合理应用三角函数的诱导公式和同角三角函数的基本关系式是解答的关键，着重考查了推理与计算能力，属于基础题．‎ ‎7．函数的单调减区间为（ ）‎ A． B． C． D．‎ ‎【答案】C ‎【解析】先求函数的定义域，再根据复合函数的单调性，同增异减原则，求得答案.‎ ‎【详解】‎ 因为，‎ 所以函数的定义域为，‎ 令，则，‎ 因为函数在区间单调递减，单调递增，‎ 所以在单调递减.‎ 故选：C.‎ ‎【点睛】‎ 本题考查复合函数的单调区间，考查逻辑推理能力和运算求解能力，求解时要注意单调区间为定义域的子区间.‎ ‎8．如图在平行四边形ABCD中，点E为BC的中点，，若，则　　‎ A．‎ B．‎ C．‎ D．6‎ ‎【答案】D ‎【解析】利用向量的三角形法则和平面向量的定义解答．‎ ‎【详解】‎ 解：‎ ‎，故，．所以．故选D．‎ ‎【点睛】‎ 本题考查了平面向量的线性运算问题，解题时应熟知平面向量的三角形法则，属基础题．‎ ‎9．“圆材埋壁”是《九章算术》中的一个问题：“今有圆材，埋在壁中，不知大小，以锯锯之，学会一寸，锯道长一尺，问径几何？”其意为：今有一圆柱形木材，埋在墙壁中，不知道大小，用锯取锯它，锯口深一寸，锯道长一尺，问这块圆柱形木材的直径是多少？现有圆柱形木材一部分埋在墙壁中，截面如图所示，已知弦尺，弓形高寸，则阴影部分面积约为（注：，，1尺=10寸）（ ）‎ A．6.33平方寸 B．6.35平方寸 C．6.37平方寸 D．6.39平方寸 ‎【答案】A ‎【解析】连接OC，设半径为r，则，在直角三角形中应用勾股定理即可求得r，进而求得扇形的面积，减去三角形即可得阴影部分的面积．‎ ‎【详解】‎ 连接OC，设半径为r，寸，则 在直角三角形中， ‎ 即，解得 ‎ 则 ，所以 则 所以扇形的面积 ‎ 三角形的面积 ‎ 所以阴影部分面积为 所以选A ‎【点睛】‎ 本题考查了直线与圆的位置关系在实际问题中的应用，三角形函数的概念及扇形面积公式的应用，属于基础题．‎ ‎10．已知函数，则不等式的解集为（ ）‎ A． B．‎ C． D．‎ ‎【答案】C ‎【解析】当时，，故其在内单调递增，又∵函数定义域为，，故其为偶函数，综上可得在内单调递减，在内单调递增且图象关于轴对称， 即等价于且，即不等式的解集为，故选C.‎ 点睛：本题主要考查了函数的单调性与奇偶性在解抽象函数不等式中的应用，熟练掌握初等函数的形式是解题的关键；根据性质得到为定义域内的偶函数且在内单调递减，在内单调递增，故而可将不等式等价转化为在定义内解不等式即可.‎ ‎11．已知函数是定义域为的奇函数，且当时，，若函数有六个零点，分别记为，则的取值范围是（ ）.‎ A． B． C． D．‎ ‎【答案】A ‎【解析】利用函数的奇偶性，求得函数的解析式，作出函数的图象，结合函数的图象六个零点，和函数的对称性，即可求解．‎ ‎【详解】‎ 由题意，函数是定义域为的奇函数，且当时，，‎ 所以当时，，‎ 因为函数有六个零点，‎ 所以函数与函数的图象有六个交点，画出两函数的图象如下图，‎ 不妨设，‎ 由图知关于直线对称，关于直线对称，‎ 所以，而，‎ 所以，所以，‎ 所以，取等号的条件为，‎ 因为等号取不到，所以，‎ 又当时，，所以，‎ 所以.‎ 故选A ‎【点睛】‎ 本题主要考查了函数与方程的综合应用，其中解答中把函数有六个零点，转化为函数的图象的交点，结合函数的图象及对称性求解是解答的关键，着重考查了数形结合思想，以及推理与运算能力，属于中档试题．‎ ‎12．函数，，若在区间上是单调函数，，则的值为（ ）‎ A． B．2 C．或 D．或2‎ ‎【答案】D ‎【解析】先根据单调性得到的范围，然后根据得到的对称轴和对称中心，考虑对称轴和对称中心是否在同一周期内，分析得到的值.‎ ‎【详解】‎ 因为，则；又因为，则由可知得一条对称轴为，又因为在区间上是单调函数，则由可知的一个对称中心为；若与是同一周期内相邻的对称轴和对称中心，则，则，所以；若与不是同一周期内相邻的对称轴和对称中心，则，则，所以.‎ ‎【点睛】‎ 对称轴和对称中心的判断：‎ 对称轴：，则图象关于对称；‎ 对称中心：，则图象关于成中心对称.‎ 二、填空题 ‎13．已知函数，则 .‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】试题分析：∵，∴‎ ‎【考点】本题考查了分段函数求值 点评：解决分段函数的求值问题的关键是弄清自变量所在的范围．‎ ‎14．已知,则的值是_______________.‎ ‎【答案】2‎ ‎【解析】由代入原式中替换1，再分子分母同时除以，结合正切值即可得解.‎ ‎【详解】‎ 由.‎ 因为，所以原式.‎ 故答案为：2.‎ ‎【点睛】‎ 本题主要考查了同角三角函数关系的妙用，属于基础题.‎ ‎15．已知函数，且对任意的，时，都有，则a的取值范围是________‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】根据判断出函数在上为增函数，由此列不等式组，解不等式组求得的取值范围.‎ ‎【详解】‎ 由于对任意的，时，都有，所以函数在上为增函数，所以，解得.‎ 故答案为：.‎ ‎【点睛】‎ 本小题主要考查根据函数的单调性求参数的取值范围，考查指数函数的单调性，考查分式型函数的单调性，属于基础题.‎ ‎16．给出下列命题，其中正确的命题序号是______________‎ ‎①将函数的图像向左平移个单位长度，得到函数的图像；‎ ‎②若为锐角三角形，则 ‎③是函数的图像的一条对称轴；‎ ‎④函数的周期为.‎ ‎【答案】②③‎ ‎【解析】利用三角函数的图像和性质逐项判断可得正确的结论.‎ ‎【详解】‎ 对于①，函数的图像向左平移个单位长度，‎ 所得图像的解析式为，故①错.‎ 对于②，因为为锐角三角形，故，‎ 所以，故②正确.‎ 对于③，令，则，‎ 当时，，故③正确.‎ 对于④，令，则，‎ 而，，‎ 故不是以为周期的函数.‎ 故答案为：②③.‎ 三、解答题 ‎17．计算下列各式 ‎(1) ‎ ‎(2)‎ ‎【答案】(1) 0；(2)2.‎ ‎【解析】（1）利用诱导公式和特殊角的三角函数值可求代数式的值.‎ ‎（2）利用对数的运算性质可求代数式的值.‎ ‎【详解】‎ ‎（1）原式 ‎.‎ ‎（2）原式 ‎.‎ ‎【点睛】‎ ‎（1）诱导公式有五组，其主要功能是将任意角的三角函数转化为锐角或直角的三角函数．记忆诱导公式的口诀是“奇变偶不变，符号看象限”.‎ ‎（2）对数的运算规则可分成三大类：‎ ‎①；‎ ‎；‎ ‎②；‎ ‎③．‎ ‎18．记函数的定义域为集合，函数的定义域为集合,集合．‎ ‎（Ⅰ）求集合,；‎ ‎（Ⅱ）若，求实数的取值范围.‎ ‎【答案】(1),(2)‎ ‎【解析】【详解】试题分析：(1)由2x-3>0得， ‎ 由得，‎ 所以, ‎ ‎(2)当时，应有，‎ 当时，应有，‎ 所以的取值范围为 ‎【考点】本题考查了集合的运算及定义域的求法 点评：解答此类题型的主要策略有以下几点：①能化简的集合先化简，以便使问题进一步明朗化，同时掌握求解各类不等式解集方法，如串根法、零点分区间法、平方法、转化法等；②在进行集合的运算时，不等式解集端点的合理取舍是难点之一，可以采用验证的方法进行取舍；③解决含参数不等式与集合问题，合理运用数轴来表示集合是解决这类问题的重要技巧.‎ ‎19．美国对中国芯片的技术封锁激发了中国“芯”的研究热潮.某公司研发的，两种芯片都已经获得成功.该公司研发芯片已经耗费资金千万元，现在准备投入资金进行生产.经市场调查与预测，生产芯片的毛收入与投入的资金成正比，已知每投入千万元，公司获得毛收入千万元；生产芯片的毛收入（千万元）与投入的资金（千万元）的函数关系为，其图像如图所示.‎ ‎（1）试分别求出生产，两种芯片的毛收入（千万元）与投入资金（千万元）的函数关系式；‎ ‎（2）现在公司准备投入亿元资金同时生产，两种芯片，求可以获得的最大利润是多少.‎ ‎【答案】（1）对于芯片，毛收入与投入的资金关系为：；对于芯片，毛收入与投入的资金关系为：.（2）9千万元.‎ ‎【解析】（1）对于芯片，‎ 可设，利用题设条件可求，对于芯片，根据图象可得关于的方程，解方程后可得函数的解析式.‎ ‎（2）设对芯片投入资金（千万元），则对芯片投入资金（千万元），则利润，利用换元法可求该函数的最大值.‎ ‎【详解】‎ ‎（1）因为生产芯片的毛收入与投入的资金成正比，故设，‎ 因为每投入千万元，公司获得毛收入千万元，故，所以，‎ 因此对于芯片，毛收入与投入的资金关系为：.‎ 对于芯片，由图像可知，，故.‎ 因此对于芯片，毛收入与投入的资金关系为：.‎ ‎（2）设对芯片投入资金（千万元），则对芯片投入资金（千万元），‎ 假设利润为，则利润.‎ 令，则，‎ 当即（千万元）时，有最大利润为（千万元）.‎ 答：当对芯片投入亿，对芯片投入千万元时，有最大利润千万元.‎ ‎【点睛】‎ 本题考查无理函数在实际中的应用，注意根据解析式的形式换元求最大值，本题属于基础题.‎ ‎20．已知函数.‎ ‎（1）若点在角的终边上,求和的值；‎ ‎（2）求使成立的的取值集合；‎ ‎（3）若对任意实数，不等式恒成立，求实数的取值范围.‎ ‎【答案】（1），；（2）；（3）.‎ ‎【解析】（1）先求出的值后可求的值，再将代入计算可得的值.‎ ‎（2）利用正弦函数的性质可求不等式的解.‎ ‎（3）求出的最大值后可得的取值范围.‎ ‎【详解】‎ ‎（1）因为点在角的终边上，故，.‎ 故，‎ 又.‎ ‎（2）等价于，故，‎ 故，‎ 所以不等式的解为.‎ ‎（3）当时，，所以，‎ 因为不等式恒成立在上恒成立，‎ 故即.‎ ‎【点睛】‎ 本题考查终边相同的角、三角不等式的解以及三角函数在给定范围的最值，注意解三角方程可利用三角函数的图像和性质，也可以利用三角函数线，对于函数在给定范围上的最值问题，一般先求的范围后再利用正弦函数的性质求最值.‎ ‎21．如图是函数的部分图像，是它与轴的两个不同交点，是之间的最高点且横坐标为，点是线段 的中点. ‎ ‎（1）求函数的解析式及的单调增区间；‎ ‎（2）若时，函数的最小值为，求实数的值.‎ ‎【答案】（1）；；（2）.‎ ‎【解析】（1）由点是线段的中点可得以及个周期，再利用最高点的坐标可求的值，从而得到函数的解析式，最后利用正弦函数的性质可求单调增区间.‎ ‎（2）令，利用可求的范围，再就对称轴的位置分类讨论求出的最小值后可求的值.‎ ‎【详解】‎ ‎（1）因为点是线段的中点，‎ 故且，所以，故且，‎ 故即，故.‎ 又，故即.‎ 因为，故，所以.‎ 令，解得，‎ 故单调增区间为：.‎ ‎（2）令，因为，故，所以.‎ 令.‎ 当时，，解得.‎ 当时，，解得（舍）.‎ 当时，，故，但，故此时无解.‎ 综上，.‎ ‎【点睛】‎ 本题考查正弦型函数解析式的求法以及含的复合函数的最值，根据正弦型函数的图像求解析式时可遵循“两看一算”，“两看”指从图像上看出振幅和周期，“一算”指利用最高点或最低点的坐标计算.含的复合函数的最值问题，可换元转化为常见函数的最值问题.‎ ‎22．已知函数，其中，其中.‎ ‎（1）判断并证明函数在上的单调性；‎ ‎（2）求的值 ‎（3）是否存在这样的负实数，使对一切恒成立，若存在，试求出取值的集合；若不存在，说明理由.‎ ‎【答案】（1）证明见解析；（2）；（3）.‎ ‎【解析】（1）利用减函数的定义可证明为上的减函数.‎ ‎（2）可证对任意的恒成立，从而可得所求的值. ‎ ‎（3）利用的单调性和奇偶性可把原不等式转化为对任意的均成立，参变分离后可求实数的取值范围.‎ ‎【详解】‎ ‎（1），为减函数.‎ 设任意，则，‎ 因为，故 ‎ 所以 故即，‎ 所以，因此在上为减函数.‎ ‎（2）,‎ ‎,‎ 故.‎ ‎（3）因为，故，‎ 故，而，该定义域关于原点对称，故为奇函数.‎ 故等价于.‎ 由（1）可知在上为减函数，‎ 故，‎ 所以对任意均成立，‎ 故即.‎ 故的取值集合为.‎ ‎【点睛】‎ 本题考查对数型函数的奇偶性、单调性以及这些性质在函数不等式中的应用，解函数不等式时，注意利用单调性和奇偶性去掉对应法则，注意定义域的要求，本题属于中档题.‎