2020届二轮复习存在性问题学案（全国通用）

2020届二轮复习存在性问题学案（全国通用）

微专题76 圆锥曲线中的存在性问题 一、基础知识 ‎ ‎1、在处理圆锥曲线中的存在性问题时，通常先假定所求的要素（点，线，图形或是参数）存在，并用代数形式进行表示。再结合题目条件进行分析，若能求出相应的要素，则假设成立；否则即判定不存在 ‎2、存在性问题常见要素的代数形式：未知要素用字母代替 ‎（1）点：坐标 ‎ ‎（2）直线：斜截式或点斜式（通常以斜率为未知量）‎ ‎（3）曲线：含有未知参数的曲线标准方程 ‎3、解决存在性问题的一些技巧：‎ ‎（1）特殊值（点）法：对于一些复杂的题目，可通过其中的特殊情况，解得所求要素的必要条件，然后再证明求得的要素也使得其它情况均成立。‎ ‎（2）核心变量的选取：因为解决存在性问题的核心在于求出未知要素，所以通常以该要素作为核心变量，其余变量作为辅助变量，必要的时候消去。‎ ‎（3）核心变量的求法：‎ ‎①直接法：利用条件与辅助变量直接表示出所求要素，并进行求解 ‎②间接法：若无法直接求出要素，则可将核心变量参与到条件中，列出关于该变量与辅助变量的方程（组），运用方程思想求解。‎ 二、典型例题：‎ 例1：已知椭圆的离心率为，过右焦点的直线与相交于两点，当的斜率为时，坐标原点到的距离为。 ‎ ‎（1）求的值 ‎ ‎（2）上是否存在点，使得当绕旋转到某一位置时，有成立？若存在，求出所有的的坐标和的方程，若不存在，说明理由 解：（1） ‎ 则，依题意可得：，当的斜率为时 ‎ ‎ ‎ 解得： ‎ ‎ 椭圆方程为： ‎ ‎（2）设，‎ ‎ 当斜率存在时，设 ‎ ‎ ‎ 联立直线与椭圆方程： 消去可得：，整理可得：‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ 因为在椭圆上 ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ 当时，， ‎ 当时，，‎ 当斜率不存在时，可知 ，，则不在椭圆上 综上所述：，或，‎ 例2：过椭圆的右焦点的直线交椭圆于两点，为其左焦点，已知的周长为8，椭圆的离心率为 ‎（1）求椭圆的方程 ‎（2）是否存在圆心在原点的圆，使得该圆的任意一条切线与椭圆恒有两个交点，且？若存在，求出该圆的方程；若不存在，请说明理由 解：（1）由的周长可得：‎ ‎ ‎ 椭圆 ‎（2）假设满足条件的圆为，依题意，若切线与椭圆相交，则圆应含在椭圆内 若直线斜率存在，设，‎ 与圆相切 ‎ ‎ 即 联立方程：‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ 对任意的均成立 将代入可得：‎ ‎ ‎ 存在符合条件的圆，其方程为：‎ 当斜率不存在时，可知切线为 若，则 ‎ 符合题意 若，同理可得也符合条件 综上所述，圆的方程为：‎ 例3：已知椭圆的左右焦点分别为，短轴两个端点为，且四边形是边长为2的正方形 ‎（1）求椭圆的方程 ‎（2）若分别是椭圆长轴的左，右端点，动点满足，连接，交椭圆于点，证明是定值 ‎（3）在（2）的条件下，试问轴上是否存在异于点的定点，使得以为直径的圆恒过直线的交点。若存在，求出点的坐标；若不存在，请说明理由 解：（1）四边形是边长为2的正方形 可得： ‎ 椭圆方程为 ‎（2）由椭圆方程可得：，由可设，‎ ‎，与椭圆方程联立可得：‎ 由韦达定理可知：‎ 代入直线可得：‎ ‎　　　　　‎ 设 若以为直径的圆恒过直线的交点，则 恒成立，　　　‎ 存在定点 例4：设为椭圆的右焦点，点在椭圆上，直线与以原点为圆心，以椭圆的长半轴长为半径的圆相切 ‎（1）求椭圆的方程 ‎（2）过点的直线与椭圆相交于两点，过点且平行于的直线与椭圆交于另一点，问是否存在直线，使得四边形的对角线互相平分？若存在，求出的方程；若不存在，说明理由 解：（1）与圆相切 ‎ ‎ 将代入椭圆方程可得：‎ 椭圆方程为：‎ ‎（2）由椭圆方程可得：‎ 设直线，则 联立直线与椭圆方程：‎ 消去可得：‎ 同理：‎ 联立直线与椭圆方程：‎ 消去可得：‎ 因为四边形的对角线互相平分 四边形为平行四边形 解得：‎ 存在直线时，四边形的对角线互相平分 例5：椭圆的左右焦点分别为，右顶点为，为椭圆上任意一点，且的最大值的取值范围是，其中 ‎（1）求椭圆的离心率的取值范围 ‎（2）设双曲线以椭圆的焦点为顶点，顶点为焦点，是双曲线在第一象限上任意一点，当取得最小值时，试问是否存在常数，使得恒成立？若存在，求出的值；若不存在，请说明理由 解：（1）设 由可得：代入可得：‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎（2）当时，可得：‎ 双曲线方程为，，设，‎ 当轴时，‎ ‎ 因为 所以，下面证明对任意点均使得成立 考虑 由双曲线方程，可得：‎ 结论得证 时，恒成立 例6：如图，椭圆的离心率是，过点的动直线与椭圆相交于两点，当直线平行于轴时，直线被椭圆截得的线段长为 ‎（1）求椭圆的方程 ‎（2）在平面直角坐标系中，是否存在与点不同的定点，使得对于任意直线，恒成立？若存在，求出点的坐标；若不存在，请说明理由 解：（1） ‎ 椭圆方程为 由直线被椭圆截得的线段长为及椭圆的对称性可得：‎ 点在椭圆上 ‎ ‎ 椭圆方程为 ‎（2）当与轴平行时，由对称性可得：‎ 即 在的中垂线上，即位于轴上，设 当与轴垂直时，则 ‎ ‎ 可解得或 不重合 ‎ 下面判断能否对任意直线均成立 若直线的斜率存在，设，‎ 联立方程可得：‎ 由可想到角平分线公式，即只需证明平分 只需证明 ‎ ‎ ‎ ①‎ 因为在直线上，代入①可得：‎ 联立方程可得：‎ 成立 平分 由角平分线公式可得：‎ 例7：椭圆的上顶点为，是上的一点，以为直径的圆经过椭圆的右焦点 ‎（1）求椭圆的方程 ‎（2）动直线与椭圆有且只有一个公共点，问：在轴上是否存在两个定点，它们到直线的距离之积等于1？若存在，求出这两个定点的坐标；如果不存在，请说明理由 解：由椭圆可知：‎ 为直径的圆经过 ‎ ‎ ‎ 由在椭圆上，代入椭圆方程可得：‎ 椭圆方程为 ‎（2）假设存在轴上两定点，‎ 设直线 ‎ 所以依题意：‎ ‎ ①‎ 因为直线与椭圆相切，联立方程：‎ 由直线与椭圆相切可知 化简可得：，代入①可得：‎ ‎，依题意可得：无论为何值，等式均成立 所以存在两定点：‎ 例8：已知椭圆的左右焦点分别为，点是上任意一点，是坐标原点，，设点的轨迹为 ‎（1）求点的轨迹的方程 ‎（2）若点满足：，其中是上的点，且直线的斜率之积等于，是否存在两定点，使得为定值？若存在，求出定点的坐标；若不存在，请说明理由 ‎（1）设点的坐标为，点的坐标为，则 由椭圆方程可得：‎ ‎ 且 ‎ 代入到可得：‎ ‎（2）设点，‎ ‎ ‎ 设直线的斜率分别为，由已知可得：‎ 考虑 是上的点 ‎ 即的轨迹方程为，由定义可知，到椭圆焦点的距离和为定值 为椭圆的焦点 ‎ 所以存在定点 例9：椭圆的焦点到直线的距离为，离心率为，抛物线的焦点与椭圆的焦点重合，斜率为的直线过的焦点与交于，与交于 ‎（1）求椭圆及抛物线的方程 ‎（2）是否存在常数，使得为常数？若存在，求出的值；若不存在，请说明理由 解：（1）设的公共焦点为 ‎ ‎ ‎ ‎ ‎（2）设直线，‎ 与椭圆联立方程：‎ 直线与抛物线联立方程：‎ ‎ 是焦点弦 ‎ 若为常数，则 ‎ 例10：如图，在平面直角坐标系中，椭圆的离心率为，直线与轴交于点，与椭圆交于两点，当直线垂直于轴且点为椭圆 的右焦点时，弦的长为 ‎（1）求椭圆的方程 ‎（2）是否存在点，使得为定值？若存在，请求出点的坐标，并求出该定值；若不存在，请说明理由 解：（1）依题意可得： ‎ 当与轴垂直且为右焦点时，为通径 ‎ ‎ ‎（2）思路：本题若直接用用字母表示坐标并表示，则所求式子较为复杂，不易于计算定值与的坐标。因为要满足所有直线，所以考虑先利用特殊情况求出点及定值，再取判定（或证明）该点在其它直线中能否使得为定值。‎ 解：（2）假设存在点，设 若直线与轴重合，则 若直线与轴垂直，则关于轴对称 设，其中，代入椭圆方程可得：‎ ‎ ‎ ‎，可解得：‎ ‎ ‎ 若存在点，则。若，设 设，与椭圆联立方程可得：，消去可得：‎ ‎，同理：‎ 代入可得：‎ 所以为定值，定值为 若，同理可得为定值 综上所述：存在点，使得为定值 三、历年好题精选 ‎1、已知中心在原点，焦点在坐标轴上的椭圆过点，离心率为，过直线上一点引椭圆的两条切线，切点分别是 ‎（1）求椭圆的方程 ‎（2）若在椭圆上的任一点处的切线方程是，求证：直线恒过定点，并求出定点的坐标 ‎（3）是否存在实数，使得恒成立？（点为直线恒过的定点），若存在，求出的值；若不存在，请说明理由 ‎2、已知椭圆的一个焦点与抛物线的焦点重合，是椭圆上的一点 ‎（1）求椭圆的方程 ‎（2）设分别是椭圆的左右顶点，是椭圆上异于的两个动点，直线的斜率之积为，设与的面积分别为，请问：是否存在常数，使得恒成立？若存在，求出的值，若不存在，请说明理由 ‎3、已知椭圆经过点，离心率为，左，右焦点分别为和 ‎（1）求椭圆的方程 ‎（2）设椭圆与轴负半轴交点为，过点作斜率为的直线，交椭圆于两点（在之间），为中点，并设直线的斜率为 ‎① 证明：为定值 ‎② 是否存在实数，使得？如果存在，求直线的方程；如果不存在，请说明理由 ‎4、已知圆，定点，点为圆上的动点，点在上，点在上，且满足 ‎ ‎（1）求点的轨迹的方程 ‎（2）过点作直线，与曲线交于两点，是坐标原点，设，是否存在这样的直线，使得四边形的对角线相等（即）？若存在，求出直线的方程；若不存在，试说明理由 ‎5、（2014，福建）已知双曲线的两条渐近线分别为， ‎ ‎（1）求双曲线的离心率 ‎（2）如图，为坐标原点，动直线分别交直线于两点（分别在第一、四象限），且的面积恒为8，试探究：是否存在总与直线有且只有一个公共点的双曲线？若存在，求出双曲线的方程；若不存在请说明理由 习题答案：‎ ‎1、解析：（1） ‎ 椭圆过点 ‎ ‎，再由可解得： ‎ 椭圆方程为： ‎ ‎（2）设切点坐标为，直线上一点，依题意可得：‎ 两条切线方程为：‎ ‎ ，由切线均过可得：‎ 均在直线上 因为两点唯一确定一条直线 ‎，即过定点，即点的坐标为 ‎（3）‎ 联立方程： ‎ ‎，不妨设 ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎，使得恒成立 ‎2、解析：（1）抛物线的焦点为 ‎ 依题意可知： ‎ 椭圆方程为： ‎ ‎（2）由（1）可得：，若直线斜率存在 设， ‎ 到直线的距离 到直线的距离 ‎ ‎ ‎ 联立方程： ‎ ‎ ‎ ‎ （*）‎ ‎ ‎ ‎ ，代入到（*）可得：‎ ‎ ‎ 或 ‎ 当时，，交点与重合，不符题意 ‎，代入到可得： ‎ ‎，即 ‎ ‎3、解：（1）依题意可知：可得：‎ 椭圆方程为：，代入可得：‎ 椭圆方程为：‎ ‎（2）① 证明：设，线段的中点 设直线的方程为：，联立方程：‎ ‎ 化为：‎ 由解得： 且 ‎ ‎ ‎ ‎ ‎② 假设存在实数，使得，则 即 因为在椭圆上，所以，矛盾 所以不存在符合条件的直线 ‎4、解析：（1）由可得为的中点，且 ‎ 为的中垂线 ‎ ‎ ‎ 点的轨迹是以为焦点的椭圆，其半长轴长为，半焦距 ‎ ‎ ‎ 轨迹方程为： ‎ ‎（2）因为 ‎ 四边形为平行四边形 若，则四边形为矩形，即 ‎ ‎① 若直线的斜率不存在，则 ‎ 联立方程：，即 ‎ ‎ 故不符合要求 ‎② 若直线的斜率存在，设 ‎ 由 ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎，解得： ‎ 所以存在或，使得四边形的对角线相等 ‎5、解析：（1）由双曲线方程可知，渐近线方程为 ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎（2）若直线不与轴垂直，设 联立方程： ，同理可得 设直线与轴交于 ‎ 即 ‎ 由直线与渐近线的交点分别在第一、四象限可知： ‎ ‎ ‎ 由（1）可得双曲线方程为：‎ 联立与双曲线方程：‎ ‎ ‎ 因为与双曲线相切 ‎ ‎ 整理可得： ‎ 所以 双曲线方程为：‎ 存在一个总与相切的双曲线，其方程为