湖南省常德市2019-2020学年高二上学期期末考试数学试题

湖南省常德市2019-2020学年高二上学期期末考试数学试题

数学 一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，满分60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．‎ ‎1.命题“若，则”以及它的逆命题、否命题、逆否命题中假命题的个数为（ ）‎ A. 1 B. 2 C. 3 D. 4‎ ‎【答案】B ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 根据四个命题的真假关系，判断原命题和逆命题是否成立，即可得结论.‎ ‎【详解】命题“若，则”不成立，则逆否命题不成立；‎ 逆命题和否命题成立，假命题的个数为2.‎ 故选:B ‎【点睛】本题考查四种命题形式的真假关系，属于基础题.‎ ‎2.已知命题：，，则为（ ）‎ A. ， B. ，‎ C. ， D. ，‎ ‎【答案】B ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 由命题的否定形式，即可求得结论.‎ ‎【详解】命题：，，‎ 则为：，.‎ 故选:B ‎【点睛】本题考查命题的否定，要注意全称量词和特称量词的转换，属于基础题.‎ ‎3.高三（8）班有学生54人，现将所有学生随机编号，用系统抽样方法，抽取一个容量为4的样本，已知5号、18号、44号学生在样本中，则样本中还有一个学生的编号是（ ）‎ A. 8 B. 13 C. 15 D. 31‎ ‎【答案】D ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 根据系统抽样的原则，每组抽取的个体的编号成等差数列，公差为每组的个数，即可求出结论.‎ ‎【详解】根据系统抽样的抽样的方法，所抽取4个的号码成等差数列，‎ 其公差为每组的个数为13，所以四个号码为5,18,31,44.‎ 故选:D ‎【点睛】本题考查系统抽样的定义和方法，属于基础题.‎ ‎4.已知一个不透明的袋子中装有3个白球，2个黑球，这些球除颜色外完全相同，若从袋子中一次取出两个球，则“取到的两个球颜色不相同”的概率是（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】B ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎3个白球和2个黑球分别编号，列出所有从袋中一次取出两个球的所有情况，统计出满足条件的基本事件的个数，按求古典概型的概率方法，即可求解.‎ ‎【详解】3个白球记为；2个黑球记为，‎ 从袋子中一次取出两个球所有情况有：‎ ‎，‎ 共有10种取法，‎ 取到的两个球颜色不相同有6种，概率为.‎ 故选:B ‎【点睛】本题考查古典概型概率的求法，属于基础题.‎ ‎5.下表提供了某工厂节能降耗技术改造后，一种产品的产量(单位：吨）与相应的生产能耗（单位：吨）的几组对应数据：‎ 根据上表提供的数据，求得关于的线性回归方程为，那么表格中 的值为（ ）‎ A. 3 B. 3.15 C. 3.25 D. 3.5‎ ‎【答案】A ‎【解析】‎ 试题分析：，，线性回归方程过样本点的中心，‎ ‎，得，故答案为A．‎ 考点：线性规划的应用．‎ ‎6.已知，是非零实数，则“”是“”的（ ）‎ A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 ‎【答案】B ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 根据对数的真数大于零，“”成立，“”不一定成立，而“”成立可得“”，即可得出结论.‎ ‎【详解】若，则不能是真数，不成立；‎ 成立，则有成立.‎ 故选:B ‎【点睛】本题考查命题的充分必要条件的判断，涉及对数的定义域和单调性，属于基础题.‎ ‎7.已知向量，，若，则的值可以是（ ）‎ A. B. C. -3 D. 2‎ ‎【答案】A ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 运用向量共线的坐标关系，即可求解.‎ ‎【详解】，，,‎ ‎，解得或，‎ 或.‎ 故选:A ‎【点睛】本题考查平行向量空间坐标的关系，属于基础题.‎ ‎8.如图所示的茎叶图记录了甲，乙两组各5名工人某日的产量数据（单位：件）．若这两组数据的中位数相等，且平均数也相等，则的值为（ ）‎ A. 10 B. 9 C. 8 D. 7‎ ‎【答案】C ‎【解析】‎ 分析】‎ 根据这两组数据的中位数相等，而甲组中位数已知，可求，进而求出乙组的平均数，两组平均数也相等，求出，即可求得结论.‎ ‎【详解】甲组的中位数为65，两组的中位数相同，所以，‎ 乙组的平均数为66，甲组的平均数为66，所以.‎ 故选:C ‎【点睛】本题考查中位数和平均数，考查计算能力，属于基础题.‎ ‎9.已知点是圆的圆周上一定点，若在圆的圆周上的其他位置任取一点，连接，则“线段的长度大于圆的半径”的概率约为（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】D ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 求出点位置所有基本事件的弧长，再求出满足条件长度大于圆半径的基本事件对应的弧长，根据几何概型概率的计算公式，即可得到答案.‎ ‎【详解】设圆的半径为，为圆上的任意一点，‎ 则点位置所有情况对应的弧长为圆的圆周长，‎ 其中满足条件长度大于圆半径长对应的弧长为，‎ 则“线段的长度大于圆的半径”的概率约为.‎ 故选:D ‎【点睛】本题考查几何概型概率的求法，其中根据条件计算出所有基本事件的几何量和满足条件的基本事件对应的几何量是解题的关键，属于中档题.‎ ‎10.已知椭圆：左、右焦点分别为，，离心率为，过的直线交于，两点，若的周长为，则的方程为（ ）‎ A. B. ‎ C. D. ‎ ‎【答案】C ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 由椭圆的定义知的周长为，结合已知条件求出，再由离心率求出，进而求出，从而得出答案.‎ ‎【详解】依题意的周长为，‎ ‎ .‎ 故选:C ‎【点睛】本题考查椭圆的定义在解题中应用，以及离心率求椭圆的标准方程，属于基础题.‎ ‎11.如图所示，在三棱锥P–ABC中，PA⊥平面ABC，D是棱PB的中点，已知PA=BC=2，AB=4，CB⊥AB，则异面直线PC，AD所成角的余弦值为 A. B. C. D. ‎ ‎【答案】D ‎【解析】‎ 因为PA⊥平面ABC，所以PA⊥AB，PA⊥BC．过点A作AE∥CB，又CB⊥AB，则AP，AB，AE两两垂直．如图，以A为坐标原点，分别以AB，AE，AP所在直线为x轴，y轴，z轴建立空间直角坐标系，‎ 则A(0，0，0)，P(0，0，2)，B(4，0，0)，C(4，−2，0)．因为D为PB的中点，所以D(2，0，1)．‎ 故=(−4，2，2)，=(2，0，1)．所以cos〈，〉===−.‎ 设异面直线PC，AD所成的角为θ，则cos θ=|cos〈，〉|=.‎ ‎12.已知，为双曲线的焦点，过作垂直于实轴的直线交双曲线于，两点，交虚轴于点，若，则双曲线的离心率为（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】B ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 由已知条件,可得为中点，，可得，‎ ‎，再由双曲线的对称性，到出为等边三角形，将用表示，结合双曲线的定义，即可求解.‎ ‎【详解】作垂直于实轴的直线交双曲线于，两点，，‎ 为中点，平方得，，‎ ‎，由双曲线的对称性，，‎ 为等边三角形，在，‎ ‎，‎ ‎.‎ 故选:B ‎【点睛】本题考查双曲线的几何性质，以及利用其定义求离心率，属于中档题.‎ 二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分. ‎ ‎13.某高级中学初中部共有110名教师，高中部共有150名教师，其性别比例分别如扇形统计图所示，现要抽取一个容量为26的样本，则在该高级中学高中部抽取男教师的人数为________‎ ‎【答案】9‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 根据分层抽样原则，高中部抽取男教师的人数为高中部抽取人数的60%，即可求解.‎ ‎【详解】某高级中学初中部共有110名教师，高中部共有150名教师，‎ 要抽取一个容量为26的样本，高中部老师抽取15人，‎ 高中男教师占60%，故抽取9人.‎ 故答案为:9‎ ‎【点睛】本题考查系统抽样的指标分配，按比例分配是解题的关键，属于基础题.‎ ‎14.在平面直角坐标系中，直线过抛物线的焦点，且与该抛物线相交于、两点，其中点在轴上方.若直线的倾斜角为，则______.‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 根据条件求出直线方程，与抛物线方程联立，求出点坐标，即可求解.‎ ‎【详解】依题意，直线方程为，‎ 联立，消去，‎ ‎，解得或，‎ 点在轴上方，点坐标为.‎ 故答案为:‎ ‎【点睛】本题考查抛物线与直线的位置关系，属于基础题.‎ ‎15.如图，在一个的二面角的棱上，有两个点、，，分别是在这个二面角的两个半平面内垂直于的线段，且，，，则的长为______.‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 求的长转为求，而，按照向量的模长求法，即可求解.‎ ‎【详解】‎ 故答案为:‎ ‎【点睛】本题考查空间向量的基本定理，以及向量的模长，属于基础题.‎ ‎16.已知椭圆的右焦点为，点在上，且在第－象限，过点作的切线交椭圆与两点，则的周长为_______________.‎ ‎【答案】4‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 设，利用焦点半径公式可求，再根据勾股定理可求、，注意根据点在椭圆上化简、后可求的周长.‎ ‎【详解】‎ 圆的半径为，椭圆的短半轴长为，‎ 依据在第一象限可以得到在轴的右侧.‎ 设，则且.‎ 又，同理，‎ 所以的周长为，‎ 故答案为：.‎ ‎【点睛】本题考查椭圆的几何性质，一般地，如果椭圆的方程为的左、右焦点分别为，那么对于椭圆上的点，，，记忆该公式的方法为“左加右减”.‎ 三、解答题：解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.‎ ‎17.（1）已知命题：，命题：，若是的充分不必要条件，求的取值范围；‎ ‎（2）已知命题：“，”；命题：“，使得”，若命题“”是真命题，求实数的取值范围.‎ ‎【答案】（1）（2）.‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎（1）求出命题的不等式解集，是的充分不必要条件，转化为命题的数集是命题解集的在真子集，即可求解；‎ ‎（2）分别求出命题和命题为真时，实数的范围，再根据“”是真命题，即可求解.‎ ‎【详解】解：（1）令，‎ ‎.‎ ‎∵是的充分不必要条件，∴Ü，‎ ‎∴，解得.‎ ‎（2）若命题“”是真命题，那么命题，都是真命题.‎ 由，，得；‎ 由，使，知，‎ 得，‎ 因此.‎ ‎【点睛】本题考查命题充分不必要与集合的关系，考查复合命题的真假，属于基础题.‎ ‎18.某高校在2019年的自主招生笔试成绩（满分200分）中，随机抽取100名考生的成绩，按此成绩分成五组，得到如下的频率分布表：‎ 组号 分组 频数 频率 第一组 ‎15‎ 第二组 ‎25‎ ‎0.25‎ 第三组 ‎30‎ ‎0.3‎ 第四组 第五组 ‎10‎ ‎0.1‎ ‎（1）求频率分布表中，，的值；‎ ‎（2）估计笔试成绩的平均数及中位数（同一组中的数据用该组区间的中点值作代表）；（精确到0.1） ‎ ‎（3）若从第四组、第五组的学生中按组用分层抽样的方法抽取6名学生参加面试，用简单随机抽样方法从6人中抽取2人作为正、副小组长，求“抽取的2人为同一组”的概率.‎ ‎【答案】（1），，.（2）平均数137 中位数136.7（3）‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎（1）频数和为100，求出，由频数求出；‎ ‎（2）根据平均数公式，即可求出平均数，根据直方图求出中位数；‎ ‎（3）对抽取的6名学生编号，列出随机抽取两人的所有情况，确定出2人为同一组的抽取个数，按求古典概型概率的方法，即可求解.‎ ‎【详解】解：（1）依题意：，，.‎ ‎（2）笔试成绩的平均数为：‎ ‎.‎ 因为第1组与第2组的频率之和为：0.4，‎ 所以中位数为：.‎ ‎（3）依题意：第4组抽取4人，记为：，，，，‎ 第5组抽取2人，记为：，，‎ 则基本事件为：，，，，，‎ ‎，，，，，，，‎ ‎，，共15种，其中满足题意的有7种.‎ 所以所求概率为：.‎ ‎【点睛】本题考查补全频率分布表，并求平均数和中位数，考查古典概型概率的求法，属于基础题.‎ ‎19.如图，在三棱锥中，平面平面，等边三角形，已知，.‎ ‎（1）求证：平面平面；‎ ‎（2）求直线与平面所成角的正弦值.‎ ‎【答案】（1）见解析（2）‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎（1）根据已知条件可证，再由面面垂直的性质定理，即可求证结论；‎ ‎（2）建立空间直角坐标系，求出平面的法向量和直线的方向向量，即可求解.‎ ‎【详解】（1）证明：在中，∵，，，‎ ‎∴，故.‎ 又平面平面，平面平面，‎ ‎∴平面.‎ 又平面，所以平面平面.‎ ‎（2）解：如图建立空间直角坐标系，‎ ‎，，，，‎ ‎，，.‎ 设平面的法向量，由，‎ 则. ∴.‎ 所以直线与平面所成角的正弦值为.‎ ‎【点睛】本题考查面面垂直的性质定理和判定定理，考查利用空间向量法求直线与平面所成的角，属于中档题.‎ ‎20.已知椭圆C： (a>b>0)的一个顶点为A(2,0)，离心率为.直线y＝k(x－1)与椭圆C交于不同的两点M，N.‎ ‎(1)求椭圆C的方程；‎ ‎(2)当△AMN的面积为时，求k的值．‎ ‎【答案】（1） （2）1或－1.‎ ‎【解析】‎ ‎【详解】（1）由题意得解得．所以椭圆C的方程为．‎ ‎（2）由得．‎ 设点M，N的坐标分别为，，则，，，．‎ 所以|MN|===．‎ 由因为点A（2,0）到直线的距离，‎ 所以△AMN的面积为． 由，解得，经检验，所以．‎ ‎21.如图1，在边长为2的菱形中，，将沿对角线折起到的位置，使平面平面，是的中点，平面，且，如图2.‎ ‎（1）求证：平面；‎ ‎（2）求平面与平面所成角的余弦值；‎ ‎（3）在线段上是否存在一点，使得平面？若存在，求的值；若不存在，说明理由.‎ ‎【答案】（1）见解析（2）（3）线段上不存点，使得平面.见解析 ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎（1）平面平面，由面面垂直的性质定理，可证，得出，即可得证结论；‎ ‎（2）建立空间直角坐标系，求出平面的法向量，即可求解；‎ ‎（3）利用共线向量，将用坐标表示，根据平面法向量与平面，即可求出结论.‎ ‎【详解】（1）证明：∵，为的中点，∴.‎ 又平面平面，且平面平面，‎ ‎∴.∵平面，∴，‎ 而平面，平面，∴平面.‎ ‎（2）解：以所在直线为轴，所在直线为轴，‎ 所在直线为轴建立空间直角坐标系，‎ 如图所示：则，，，‎ ‎，，‎ ‎∴，，‎ 设平面的一个法向量为，‎ 则，‎ 取，则.‎ 又平面的一个法向量为，‎ ‎∴.‎ 则平面与平面所成角余弦值为.‎ ‎（3）解：假设在线段上存在，使得平面，‎ 设，则，‎ ‎∴，，.而.‎ 由，可知不存在，‎ ‎∴线段上不存点，使得平面 ‎【点睛】本题考查面面垂直、线面垂直的性质定理，考查线面平行的判定，以及利用空间向量法求面面角、和线线平行的判定，属于中档题.‎ ‎22.已知抛物线的对称轴为坐标轴，顶点为坐标原点，准线方程为，直线与抛物线相交于不同的、两点．‎ ‎（1）求抛物线的标准方程；‎ ‎（2）如果直线过抛物线的焦点，求的值；‎ ‎（3）如果，直线是否过一定点，若过一定点，求出该定点；若不过一定点，试说明理由．‎ ‎【答案】（1）;（2）∴;（3）．‎ ‎【解析】‎ ‎【试题分析】（1）借助题设与已知条件待定抛物线的参数即可；（2）依据题设条件，建立直线方程与抛物线方程联立方程组，运用向量的坐标形式求解：（3）先假设存在，再运用所学知识分析探求．‎ ‎（1）已知抛物线的对称轴为坐标轴，顶点是坐标原点，准线方程为，‎ 所以，．‎ ‎∴抛物线的标准方程为．‎ ‎（2）设：，与联立，得，‎ 设，，∴，，‎ ‎∴．‎ ‎（3）解：假设直线过定点，设：与联立，得，‎ 设，，∴，．‎ 由，解得，‎ ‎∴：过定点．‎ 点睛：本题的设置旨在考查抛物线的标准方程与直线与抛物线的位置关系等基础知识与基本方法的综合运用．求解第一问时，直接借助题设条件求出参数的值使得问题获解；解答第二问时，将直线方程与抛物线方程联立，借助向量的坐标形式的数量积公式求解，使得问题获解；第三问的求解则借助坐标之间的关系建立方程推得直线过定点，使得问题获解．‎ ‎ ‎