【数学】2018届一轮复习人教A版3-2导数与函数的单调性极值最值学案

【数学】2018届一轮复习人教A版3-2导数与函数的单调性极值最值学案

‎§3.2　导数与函数的单调性、极值、最值 考纲展示►　1.了解函数单调性和导数的关系；能利用导数研究函数的单调性；会求函数的单调区间．‎ ‎2．了解函数在某点取得极值的必要条件和充分条件；会用导数求函数的极大值、极小值；会求闭区间上函数的最大值、最小值．‎ ‎3．会用导数解决实际问题．‎ 考点1　利用导数研究函数的单调性 函数的单调性与导数 在(a，b)内的可导函数f(x)，f′(x)在(a，b)任意子区间内都不恒等于0.‎ f′(x)≥0⇔f(x)在(a，b)上为________．‎ f′(x)≤0⇔f(x)在(a，b)上为________．‎ 答案：增函数　减函数 ‎(1)[教材习题改编]函数f(x)＝ex－2x的单调递增区间是________．‎ 答案：(ln 2，＋∞)‎ ‎(2)[教材习题改编]求f(x)＝x＋cos x，x∈R的单调区间．‎ 解：f′(x)＝1－sin x≥0，‎ 所以f(x)在(－∞，＋∞)上单调递增，‎ 即(－∞，＋∞)是f(x)的单调递增区间．‎ 导数符号与单调性．‎ 已知函数f(x)＝x3－ax2＋ax是R上的增函数，则实数a的取值范围为__________．‎ 答案：[0,3]‎ 解析：依题意，f′(x)＝3x2－2ax＋a≥0恒成立，所以Δ＝‎4a2－‎12a≤0，解得0≤a≤3.‎ ‎[典题1]　设函数f(x)＝x3－x2＋bx＋c，曲线y＝f(x)在点(0，f(0))处的切线方程为y＝1.‎ ‎(1)求b，c的值；‎ ‎(2)求函数f(x)的单调区间；‎ ‎(3)设函数g(x)＝f(x)＋2x，且g(x)在区间(－2，－1)内为单调递减函数，求实数a的取值范围．‎ ‎[解]　(1)f′(x)＝x2－ax＋b，‎ 由题意得即 ‎(2)由(1)，得f′(x)＝x2－ax＝x(x－a)．‎ ‎①当a＝0时，f′(x)＝x2≥0恒成立，即函数f(x)在(－∞，＋∞)内为单调增函数．‎ ‎②当a>0时，由f′(x)>0得，x>a或x<0；‎ 由f′(x)<0得，00得，x>0或x0)的极小值点为________；‎ ‎(2)函数y＝x＋(x>0)的极小值为________；‎ ‎(3)函数y＝x＋(x>0)的最小值为________．‎ 答案：(1)x＝　(2)2　(3)2 解析：(1)y′＝1－，令y′＝0，得x＝或x＝－(舍去)．当x∈(0，)时，y′<0；当x∈(，＋∞)时，y′>0.所以x＝是函数的极小值点．极值点是函数取得极值时对应的x的值，而不是函数值．‎ ‎(2)由(1)知，当x＝时，函数取得极小值y＝＋＝2.‎ ‎(3)由(1)(2)知，函数的极小值恰好是函数的最小值，即ymin＝2.极值是个“局部”概念，而最值是个“整体”概念．函数在开区间内只有一个极值时，那么极值是相应的最值．‎ ‎[考情聚焦]　函数的极值是每年高考的必考内容，题型既有选择题、填空题，也有解答题，难度适中，为中高档题．‎ 主要有以下几个命题角度：‎ 角度一 知图判断函数的极值 ‎[典题2]　设函数f(x)在R上可导，其导函数为f′(x)，且函数y＝(1－x)f′(x)的图象如图所示，则下列结论中一定成立的是(　　)‎ A．函数f(x)有极大值f(2)和极小值f(1)‎ B．函数f(x)有极大值f(－2)和极小值f(1)‎ C．函数f(x)有极大值f(2)和极小值f(－2)‎ D．函数f(x)有极大值f(－2)和极小值f(2)‎ ‎[答案]　D ‎[解析]　由题图可知，当x＜－2时，f′(x)＞0；当－2＜x＜1时，f′(x)＜0；当1＜x＜2时，f′(x)＜0；当x＞2时，f′(x)＞0.由此可以得到函数f(x)在x＝－2处取得极大值，在x＝2处取得极小值．‎ 角度二 求函数的极值 ‎[典题3]　[2017·山东济宁模拟节选]已知函数f(x)＝(k≠0)，求函数f(x)的极值．‎ ‎[解]　f(x)＝，其定义域为(0，＋∞)，则f′(x)＝－.‎ 令f′(x)＝0，得x＝1，‎ 当k>0时，若00；‎ 若x>1，则f′(x)<0，‎ ‎∴f(x)在(0,1)上单调递增，在(1，＋∞)上单调递减，即当x＝1时，函数f(x)取得极大值.‎ 当k<0时，若01，则f′(x)>0，‎ ‎∴f(x)在(0,1)上单调递减，在(1，＋∞)上单调递增，即当x＝1时，函数f(x)取得极小值.‎ ‎[点石成金]　1.求函数f(x)极值的步骤：‎ ‎(1)确定函数的定义域；‎ ‎(2)求导数f′(x)；‎ ‎(3)解方程f′(x)＝0，求出函数定义域内的所有根；‎ ‎(4)列表检验f′(x)在f′(x)＝0的根x0左右两侧值的符号，如果左正右负，那么f(x)在x0处取极大值，如果左负右正，那么f(x)在x0处取极小值．‎ ‎2．可导函数y＝f(x)在点x0处取得极值的充要条件是f′(x0)＝0，且在x0左侧与右侧f′(x)的符号不同，应注意，导数为零的点不一定是极值点．对含参数的求极值问题，应注意分类讨论．‎ 角度三 已知极值求参数 ‎[典题4]　(1)[2017·浙江金华十校联考]已知函数f(x)＝x(ln x－ax)有两个极值点，则实数a的取值范围是________．‎ ‎[答案]　 ‎[解析]　f′(x)＝(ln x－ax)＋x＝ln x＋1－2ax，令f′(x)＝0，得‎2a＝.‎ 设φ(x)＝，则φ′(x)＝－，易知φ(x)在(0,1)上单调递增，在(1，＋∞)上单调递减，所以φ(x)max＝φ(1)＝1，则φ(x)的大致图象如图所示．‎ 若函数f(x)有两个极值点，则直线y＝‎2a和y＝φ(x)的图象有两个交点，所以0<‎2a<1，得00，f(x)单调递增；当x>1时，f′(x)<0，f(x)单调递减，所以x＝1是f(x)的极大值点．‎ ‎②若a<0，由f′(x)＝0，得x＝1或x＝－.因为x＝1是f(x)的极大值点，所以－>1，解得－10.所以S在x＝1处取得极小值，也是最小值，所以两段铁丝的长都是1.‎ ‎(2)[教材习题改编]已知f(x)＝x3－x2＋1，求f(x)在[－1,2]上的最大值，最小值．‎ 解：∵f(x)＝x3－x2＋1，‎ 则f′(x)＝3x2－3x.‎ 令f′(x)＝0得，3x2－3x＝0，‎ 解得x＝0或x＝1.‎ 当－1≤x<0时，f′(x)>0，f(x)单调递增；‎ 当00，f(x)单调递增．‎ 故f(x)在[－1,0)上递增，在(0,1)上递减，在(1,2]上递增．‎ 比较端点值和极值得，‎ f(x)的最大值为f(2)＝3，最小值为f(－1)＝－.‎ 区间内的单峰函数．‎ 函数f(x)在区间[a，b]内只有一个极大值点，则函数在该点处取得________；如果函数在区间[a，b]内只有一个极小值点，则函数在该点处取得________．‎ 答案：最大值　最小值 ‎[典题5]　已知函数f(x)＝(ax2＋bx＋c)ex在[0,1]上单调递减且满足f(0)＝1，f(1)＝0.‎ ‎(1)求a的取值范围；‎ ‎(2)设g(x)＝f(x)－f′(x)，求g(x)在[0,1]上的最大值和最小值．‎ ‎[解]　(1)由得 则f(x)＝[ax2－(a＋1)x＋1]ex，‎ f′(x)＝[ax2＋(a－1)x－a]ex，‎ 依题意，对于任意x∈[0,1]，有f′(x)≤0.‎ 当a＞0时，因为二次函数y＝ax2＋(a－1)x－a的图象开口向上，而f′(0)＝－a＜0，所以需f′(1)＝(a－1)e＜0，即0＜a＜1；‎ 当a＝1时，对于任意x∈[0,1]，有f′(x)＝(x2－1)ex≤0，且只在x＝1时f′(x)＝0，f(x)符合条件；‎ 当a＝0时，对于任意x∈[0,1]，f′(x)＝－xex≤0，‎ 且只在x＝0时，f′(x)＝0，f(x)符合条件；‎ 当a＜0时，因为f′(0)＝－a＞0，f(x)不符合条件．‎ 故a的取值范围为[0,1]．‎ ‎(2)因为g(x)＝(－2ax＋1＋a)ex，‎ g′(x)＝(－2ax＋1－a)ex，‎ ‎(ⅰ)当a＝0时，g′(x)＝ex＞0，‎ g(x)在x＝0处取得最小值g(0)＝1，‎ 在x＝1处取得最大值g(1)＝e.‎ ‎(ⅱ)当a＝1时，对于任意x∈[0,1]有g′(x)＝－2xex≤0，‎ g(x)在x＝0处取得最大值g(0)＝2，‎ 在x＝1处取得最小值g(1)＝0.‎ ‎(ⅲ)当0＜a＜1时，由g′(x)＝0得x＝＞0.0‎ ‎①若≥1，即0＜a≤时，‎ g(x)在[0,1]上单调递增，‎ g(x)在x＝0处取得最小值g(0)＝1＋a，‎ 在x＝1处取得最大值g(1)＝(1－a)e.‎ ‎②若＜1，即＜a＜1时，‎ g(x)在x＝处取得最大值g＝2ae，‎ 在x＝0或x＝1处取得最小值，‎ 而g(0)＝1＋a，g(1)＝(1－a)e，‎ 由g(0)－g(1)＝1＋a－(1－a)e＝(1＋e)a＋1－e＝0，得a＝.‎ 则当＜a≤时，g(0)－g(1)≤0，‎ g(x)在x＝0处取得最小值g(0)＝1＋a；‎ 当＜a＜1时，g(0)－g(1)＞0，‎ g(x)在x＝1处取得最小值g(1)＝(1－a)e.‎ ‎[点石成金]　求函数f(x)在[a，b]上的最大值和最小值的步骤：‎ ‎(1)求函数在(a，b)上的极值；‎ ‎(2)求函数在区间端点的函数值f(a)，f(b)；‎ ‎(3)将函数f(x)的各极值与 f(a)，f(b)比较，其中最大的一个为最大值，最小的一个为最小值.‎ 已知函数f(x)＝(x－k)ex.‎ ‎(1)求f(x)的单调区间；‎ ‎(2)求f(x)在区间[0,1]上的最小值．‎ 解：(1)由题意知f′(x)＝(x－k＋1)ex.‎ 令f′(x)＝0，得x＝k－1.‎ 当x变化时，f(x)与f′(x)的变化情况如下表.‎ x ‎(－∞，k－1)‎ k－1‎ ‎(k－1，＋∞)‎ f′(x)‎ ‎－‎ ‎0‎ ‎＋‎ f(x)‎  ‎－ek－1‎  所以，f(x)的单调递减区间是(－∞，k－1)；单调递增区间是(k－1，＋∞)．‎ ‎(2)当k－1≤0，即k≤1时，f(x)在[0,1]上单调递增，‎ 所以f(x)在区间[0,1]上的最小值为f(0)＝－k；‎ 当00时，xf′(x)－f(x)<0，则使得f(x)>0成立的x的取值范围是(　　)‎ A．(－∞，－1)∪(0,1) ‎ B．(－1,0)∪(1，＋∞)‎ C．(－∞，－1)∪(－1,0) ‎ D．(0,1)∪(1，＋∞)‎ 答案：A 解析：设y＝g(x)＝(x≠0)，‎ 则g′(x)＝，‎ 当x>0时，xf′(x)－f(x)<0，‎ ‎∴ g′(x)<0，‎ ‎∴ g(x)在(0，＋∞)上为减函数，且g(1)＝f(1)＝－f(－1)＝0.‎ ‎∵ f(x)为奇函数，∴ g(x)为偶函数，‎ ‎∴ g(x)的图象的示意图如图所示．‎ 当x＞0，g(x)＞0时，f(x)＞0,0＜x＜1；‎ 当x＜0，g(x)＜0时，f(x)>0，x＜－1.‎ ‎∴ 使得f(x)＞0成立的x的取值范围是(－∞，－1)∪(0,1)，故选A.‎ ‎2．[2015·福建卷]若定义在R上的函数f(x)满足f(0)＝－1，其导函数f′(x)满足f′(x)>k>1，则下列结论中一定错误的是(　　)‎ A．f< B．f> C．f< D．f> 答案：C 解析：令g(x)＝f(x)－kx＋1，‎ 则g(0)＝f(0)＋1＝0，‎ g＝f－k·＋1‎ ‎＝f－.‎ ‎∵ g′(x)＝f′(x)－k>0，‎ ‎∴ g(x)在[0，＋∞)上为增函数．‎ 又k>1，∴ >0，‎ ‎∴ g>g(0)＝0.‎ ‎∴ f－>0，‎ 即f>.‎ ‎3．[2014·新课标全国卷Ⅰ]已知函数f(x)＝ax3－3x2＋1，若f(x)存在唯一的零点x0，且x0>0，则a的取值范围是(　　)‎ A．(2，＋∞) B．(－∞，－2)‎ C．(1，＋∞) D．(－∞，－1)‎ 答案：B 解析：f′(x) ＝3ax2－6x，‎ 当a＝3时，f′(x)＝9x2－6x＝3x(3x－2)，‎ 则当x∈(－∞，0)时，f′(x)>0；‎ 当x∈时，f′(x)<0；‎ 当x∈时，f′(x)>0.‎ 注意f(0)＝1，f＝>0，则f(x)的大致图象如图所示．‎ 不符合题意，排除A，C.‎ 当a＝－时，f′(x)＝－4x2－6x＝－2x(2x＋3)，‎ 则当x∈时，f′(x)<0；‎ 当x∈时，f′(x)>0，；‎ 当∈(0，＋∞)时，f′(x)<0.注意f(0)＝1，f＝－，则f(x)的大致图象如图所示．‎ 不符合题意，排除D.‎ ‎4．[2014·新课标全国卷Ⅱ]设函数f(x)＝sin .若存在f(x)的极值点x0满足x＋[f(x0)]23，其中k∈Z.由题意，存在整数k使得不等式m2>3成立．当k≠－1且k≠0时，必有2>1，此时不等式显然不能成立，故k＝－1或k＝0，此时，不等式即为m2>3，解得m<－2或m>2.‎ ‎5．[2013·新课标全国卷Ⅱ]已知函数f(x)＝x3＋ax2＋bx＋c，下列结论中错误的是(　　)‎ A. ∃x0∈R，f(x0)＝0‎ B. 函数y＝f(x)的图象是中心对称图形 C. 若x0是f(x)的极小值点，则f(x)在区间(－∞，x0)单调递减 D. 若x0是f(x)的极值点，则f′(x0)＝0‎ 答案：C 解析：由三次函数的值域为R知f(x)＝0有解，所以A项正确；因为y＝x3‎ 的图象为中心对称图形，而f(x)＝x3＋ax2＋bx＋c的图象可以由y＝x3的图象平移得到，故B项正确；若f(x)有极小值点，则f′(x)＝0有两个不等实根x1，x2(x10时，(x－2)ex＋x＋2>0；‎ ‎(2)证明：当a∈[0,1)时，函数g(x)＝(x>0)有最小值．设g(x)的最小值为h(a)，求函数h(a)的值域．‎ ‎(1)解：f(x)的定义域为(－∞，－2)∪(－2，＋∞)．‎ f′(x)＝＝≥0，‎ 当且仅当x＝0时，f′(x)＝0，‎ 所以f(x)在(－∞，－2)，(－2，＋∞)上单调递增．‎ 因此当x∈(0，＋∞)时，f(x)>f(0)＝－1.‎ 所以(x－2)ex>－(x＋2)，(x－2)ex＋x＋2>0.‎ ‎(2)证明：g′(x)＝＝[f(x)＋a]．‎ 由(1)知f(x)＋a单调递增．对任意的a∈[0,1)，f(0)＋a＝a－1<0，f(2)＋a＝a≥0.因此，存在唯一xa∈(0,2]，使得f(xa)＋a＝0，即g′(xa)＝0.‎ 当0xa时，f(x)＋a>0，g′(x)>0，g(x)单调递增．‎ 因此g(x)在x＝xa处取得最小值，最小值为 g(xa)＝＝＝.‎ 于是h(a)＝，‎ 由′＝>0，得y＝单调递增．‎ 所以，由xa∈(0,2]，得＝0时，g(x)>0，求b的最大值；‎ ‎(3)已知1.414 2<<1.414 3，估计ln 2的近似值(精确到0.001)．‎ 解：(1)f′(x)＝ex＋e－x－2≥0，当且仅当x＝0时等号成立．所以f(x)在(－∞，＋∞)上单调递增．‎ ‎(2)g(x)＝f(2x)－4bf(x)＝e2x－e－2x－4b(ex－e－x)＋(8b－4)x，‎ g′(x)＝2[e2x＋e－2x－2b(ex＋e－x)＋(4b－2)]‎ ‎＝2(ex＋e－x－2)(ex＋e－x－2b＋2)．‎ ‎①当b≤2时，g′(x)≥0，当且仅当x＝0时等号成立，所以g(x)在(－∞，＋∞)上单调递增．而g(0)＝0，所以对任意x>0，g(x)>0；‎ ‎②当b>2时，若x满足20，ln 2>>0.692 8；‎ 当b＝＋1时，ln(b－1＋)＝ln ，‎ g(ln)＝－－2＋(3 ＋2)ln 2 <0，‎ ln 2<<0.693 4.‎ 所以ln 2的近似值为0.693.‎ ‎ 课外拓展阅读 ‎ 利用导数确定函数的单调区间问题 ‎[典例]　[2014·山东卷]设函数f(x)＝－k(k为常数，e＝2.718 28…是自然对数的底数)．‎ ‎(1)当k≤0时，求函数f(x)的单调区间；‎ ‎(2)若函数f(x)在(0,2)内存在两个极值点，求k的取值范围．‎ ‎[解]　(1)函数y＝f(x)的定义域为(0，＋∞)．‎ f′(x)＝－k ‎＝－ ‎＝.‎ 由k≤0可得ex－kx＞0，‎ 所以当x∈(0,2)时f′(x)＜0，函数y＝f(x)单调递减；‎ 当x∈(2，＋∞)时，f′(x)＞0，函数y＝f(x)单调递增．‎ 所以f(x)的单调递减区间为(0,2)，单调递增区间为(2，＋∞)．‎ ‎(2)由(1)知，当k≤0时，函数f(x)在(0,2)内单调递减．‎ 故f(x)在(0,2)内不存在极值点．‎ 当k＞0时，设函数g(x)＝ex－kx，x∈(0，＋∞)．‎ 因为g′(x)＝ex－k＝ex－eln k，‎ 当0＜k≤1时，‎ 当x∈(0,2)时，g′(x)＝ex－k＞0，y＝g(x)单调递增，‎ 故f(x)在(0,2)内不存在两个极值点；‎ 当k＞1时，得 x∈(0，ln k)时，g′(x)＜0，函数y＝g(x)单调递减．‎ x∈(ln k，＋∞)时，g′(x)＞0，函数y＝g(x)单调递增．‎ 所以函数y＝g(x)的最小值为g(ln k)＝k(1－ln k)．‎ 若函数f(x)在(0,2)内存在两个极值点，则 解得e＜k＜，‎ 综上所述，函数f(x)在(0,2)内存在两个极值点时，k的取值范围为.‎ ‎[答题模板]‎ 用导数法求函数的单调区间一般可用以下几步答题：‎ 第一步：求函数f(x)的定义域；‎ 第二步：求函数f(x)的导数f′(x)；‎ 第三步：由f′(x)＞0(f′(x)＜0)解出相应的x的范围；‎ 第四步：写出函数f(x)的单调区间；‎ 第五步：反思回顾，查看关键点、易错点和解题规范．‎