【数学】2018届一轮复习人教A版集合的基本关系问题学案

【数学】2018届一轮复习人教A版集合的基本关系问题学案

‎1.2　集合的基本关系 问题导学 一、判断集合间的关系 活动与探究1‎ 请判断以下给出的各对集合之间的关系：‎ ‎(1)P＝{x||x|＝x，x∈N且x＜2}，Q＝{x∈Z|－2＜x＜2}；‎ ‎(2)A＝{x|x是等腰三角形}，B＝{x|x是等腰直角三角形}；‎ ‎(3)M＝{1,2}，N＝{x|x2－3x＋2＝0}；‎ ‎(4)C＝{x|0＜x＜1}，D＝{x|0＜x＜2}．‎ 迁移与应用 判断下列各对集合间的关系：‎ ‎(1)A＝{x|x是偶数}，B＝{x|x是整数}；‎ ‎(2)A＝{x|x2＝4}，B＝{x|x2＝－4}；‎ ‎(3)A＝{(x，y)|xy＜0}，B＝{(x，y)|x＞0，y＜0或x＜0，y＞0}．‎ ‎(1)判断两个集合之间的关系的方法有：‎ ‎①将元素一一列举出来再判断；‎ ‎②从集合中的元素入手，观察两个集合的特征性质能否相互推出；‎ ‎③集合中的元素为不等式的解集时，可借助数轴判断．‎ ‎(2)集合中关系的描述原则：‎ ‎①当A⊆B和AB均成立时，AB更准确的反映了集合A，B的关系；[ ] ‎ ‎②当A⊆B和A＝B均成立时，A＝B更准确的反映了集合A，B的关系．‎ ‎(3)注意空集的特殊性：‎ ‎①是任何集合的子集；‎ ‎②是任何非空集合的真子集．‎ 二、子集、真子集的确定问题 活动与探究2‎ 写出集合M＝{x|x(x－1)2(x－2)＝0}的所有子集，并指明哪些是M的真子集．‎ 迁移与应用 ‎1．集合B＝{a，b，c}，C＝{a，b，d}，集合A满足A⊆B，A⊆C，则集合A的个数是(　　)．‎ A．8 B．‎3 C．4 D．1‎ ‎2．已知{1,2}⊆A{1,2,3,4}，写出满足条件的所有的集合A. ‎ ‎(1)求给定集合的子集(真子集)时，一般按照子集所含的元素个数分类，再依次写出符合要求的子集(真子集)．在写子集时注意不要忘记空集和集合本身．‎ ‎(2)假设集合A中含有n个元素，则有：‎ ‎①A的子集的个数为2n；‎ ‎②A的真子集的个数为2n－1；‎ ‎③A的非空子集的个数为2n－1；‎ ‎④A的非空真子集的个数为2n－2.‎ 以上结论在求解时可以直接应用．‎ 三、两个集合相等及其应用 活动与探究3‎ 设集合A＝{x，y}，B＝{0，x2}，若A＝B，求实数x，y的值．‎ 迁移与应用 ‎1．已知集合A＝{1,2，x2－1}，集合B＝{x,2,0}，若A＝B，则x＝__________.‎ ‎2．已知集合P＝{x|x＝2n，n∈Z}，Q＝{x|x＝2n＋2，n∈Z}，试判断集合P与Q的关系，并证明．‎ 由于集合中的元素可能有多个，所以利用集合相等解题时，需要注意分类讨论，还要注意检验所得结果是否满足元素的互异性．‎ 四、已知两个集合间的关系求参数的值(范围)‎ 活动与探究4‎ 已知集合A＝{x|1≤x＜4}，B＝{x|x＜a}，若A⊆B，求实数a的取值范围．‎ 迁移与应用 ‎1．已知集合A＝{－1,3,‎2m－1}，集合B＝{3，m2}，若B⊆A，求实数m的值．‎ ‎2．已知集合A＝{x|－2＜x≤5}，B＝{x|－m＋1≤x≤‎2m－1}，且A⊆B，求实数m的取值范围．‎ ‎(1)已知两个集合之间的关系求参数的值时，要明确集合中的元素，通常依据相关的定义，把这两个集合中元素的关系转化为解方程或解不等式(组)．‎ ‎(2)对于给定的集合中的元素是用不等式来表示的，这类问题通常借助数轴，利用数轴分析法，将各个集合在数轴上表示出来，以形定数，还要注意验证端点值，做到准确无误，一般含“＝”用实心点表示，不含“＝”用空心点表示．‎ ‎(3)此类问题还应注意“空集”这一“陷阱”，尤其是集合中含有字母参数时，初学者会想当然地认为是非空集合而丢解，因此分类讨论是必须的．‎ 当堂检测 ‎1．若集合A＝{x|－2＜x≤2，x∈N}，则A的子集的个数是(　　)．‎ A．2 B．‎4 C．8 D．16‎ ‎2．已知集合A＝{x|－1＜x＜2}，B＝{x|0＜x＜1}，则(　　)．‎ A．A＞B B．AB C．BA D．A⊆B ‎3．如果A＝{x|x＞－1}，那么正确的结论是(　　)．‎ A．0⊆A B．{0}A C．{0}∈A D．∈A ‎4．设a∈R，若集合{2,9}＝{1－a,9}，则a＝__________.‎ ‎5．已知集合A＝{x|x＜3}，B＝{x|x＜a}，若B⊆A，则实数a的取值范围是__________；若BA，则实数a的取值范围是__________．‎ 提示：用最精炼的语言把你当堂掌握的核心知识的精华部分和基本技能的要领部分写下来并进行识记。‎ ‎[ ]‎ 答案：‎ 课前预习导学 ‎【预习导引】‎ ‎1．包含于　包含　⊆　⊇　子集 预习交流1　提示：(1)“∈”是表示元素与集合之间的关系，比如1∈N，－1N.‎ ‎(2)“⊆”是表示集合与集合之间的关系，比如N⊆R，{1,2,3}⊆{3,2,1}．‎ ‎(3)“∈”的左边是元素，右边是集合，而“⊆”的两边均为集合．‎ 预习交流2　提示：集合之间的包含关系也具有这种传递性，即：若A⊆B，B⊆C，则A⊆C. ‎ ‎2．封闭曲线的内部 ‎3．任何一个元素　集合A 预习交流3　提示：(1)对于元素个数较少的有限集，可用列举法将元素列举出来，说明两个集合中的元素完全相同即可；对于无限集，常用的方法是证明两个集合互为子集，即A⊆B，且B⊆A.‎ ‎(2)集合的相等具有传递性．即若A＝B，B＝C，则有A＝C.‎ ‎4．A≠B　　‎ 预习交流4　提示：(1)A⊆B指的是集合A是集合B的子集，这时可能有A＝B；而AB指的是集合A是集合B的真子集，这时不存在A＝B的情况．因此A⊆B包含两种情况：AB和A＝B.[ ]‎ ‎(2)AB时，可以理解为集合A中的所有元素都是集合B中的元素，但集合B中至少有一个元素不是A中的元素．‎ ‎5．(1)任何集合　⊆　(2)任何非空集合 ‎(3)子集 预习交流5　提示：是空集，不含任何元素；{}是集合，且此集合中含有一个元素；存在子集，是其本身，但没有真子集．‎ 课堂合作探究 ‎【问题导学】‎ 活动与探究1　思路分析：对于(1)，先将两个集合分别化简，用列举法将元素一一写出来再判断其关系；对于(2)，可根据等腰三角形和等腰直角三角形的关系直接进行判断；对于(3)，应先将集合N化简再判断；对于(4)，可借助数轴进行判断．‎ 解：(1)由于P＝{0,1}，Q＝{－1,0,1}，所以由真子集的定义可知PQ.‎ ‎(2)由于等腰直角三角形一定是等腰三角形，但等腰三角形不一定是等腰直角三角形，因此由真子集的定义可知AB.‎ ‎(3)由于N＝{x|x2－3x＋2＝0}＝{1,2}，而M＝{1,2}，所以M＝N.‎ ‎(4)由数轴(如下图)可知CD. ‎ 迁移与应用　解：(1)由于偶数一定是整数，但整数不一定是偶数，故AB.‎ ‎(2)由于A＝{x|x2＝4}＝{2，－2}，B＝{x|x2＝－4}＝，故BA.‎ ‎(3)集合A中的元素是第二、四象限中的点，集合B中的元素也是第二、四象限中的点，故A＝B.‎ 活动与探究2　思路分析：先解方程x(x－1)2(x－2)＝0，求出其所有的根，从而确定集合M中的元素，然后按照子集、真子集的定义写出子集，并判断哪些是真子集．‎ 解：解方程x(x－1)2(x－2)＝0可得x＝0或x＝1或x＝2，故集合M＝{0,1,2}．‎ 由0个元素构成的子集为：；‎ 由1个元素构成的子集为：{0}，{1}，{2}；‎ 由2个元素构成的子集为：{0,1}，{0,2}，{1,2}；‎ 由3个元素构成的子集为：{0,1,2}． ‎ 因此集合M的所有子集为：，{0}，{1}，{2}，{0,1}，{0,2}，{1,2}，{0,1,2}．‎ 其中除集合{0,1,2}以外，其余的子集全是M的真子集．‎ 迁移与应用　1．C　解析：若A＝，则满足A⊆B，A⊆C；‎ 若A≠，由A⊆B，A⊆C，知A是由属于B且属于C的元素构成，此时集合A可能为{a}，{b}，{a，b}．故满足条件的集合A的个数是4.‎ ‎2．解：由题意可知，满足条件的所有集合A为{1,2}，{1,2,3}，{1, 2,4}．‎ 活动与探究3　思路分析：两个集合都是用列举法给出的，可根据集合相等的定义得到元素间的关系，从而求解．[ ]‎ 解：∵A＝B，∴x＝0或y＝0.‎ 当x＝0时，x2＝0，则B中的元素0重复出现，此时集合B中的元素不满足互异性，舍去．‎ 当y＝0时，x＝x2，解得x＝1或x＝0(舍去)，‎ 此时A＝{1,0}＝B，满足条件．‎ 综上可知，x＝1，y＝0.‎ 迁移与应用　1．1　解析：由A＝B，得 ‎∴x＝1.‎ ‎2．解：P＝Q.证明如下：‎ 集合P中：x＝2n，n∈Z，所以P中元素都是2的倍数，亦即P为所有偶数构成的集合．‎ 集合Q中：x＝2n＋2＝2(n＋1)，当n∈Z时，有n＋1∈Z.‎ 因此Q中元素也是2的倍数，亦即Q为所有偶数构成的集合．故P＝Q.‎ 活动与探究4　思路分析：两个集合均为无限集，解答时可采用数轴分析法，将集合A，B分别表示在数轴上，利用数轴分析a的取值范围．‎ 解：将集合A表示在数轴上(如图所示)，‎ 要满足A⊆B，表示数a的点必须在表示4的点处或在表示4的点的右边，所以所求a的取值范围为a≥4.‎ 迁移与应用　1．解：∵B⊆A，且m2≥0，‎ ‎∴m2＝‎2m－1，‎ 即m2－‎2m＋1＝0.∴m＝1.‎ ‎2．解：∵A⊆B，如图所示，‎ ‎∴ ‎【当堂检测】‎ ‎1．C　解析：由于A＝{x|－2＜x≤2，x∈N}＝{0,1,2}，‎ 所以集合A共有8个子集，分别为：，{0}，{1}，{2}，{0,1}，{0,2}，{1,2}，{0,1,2}．‎ ‎2．C　解析：利用数轴分析．‎ ‎3．B　解析：由于0＞－1，所以{0}A ‎.而选项A，C，D对于元素与集合、集合与集合的关系使用符号不对，故都是错误的．‎ ‎4．－1　解析：∵1－a＝2，∴a＝－1.‎ ‎5．{a|a≤3}　{a|a＜3}　解析：在数轴上表示出集合A＝{x|x＜3}，然后分析a的取值范围．‎