高考椭圆题型总结有答案

高考椭圆题型总结有答案

椭圆题型总结 ‎ 一、 椭圆的定义和方程问题 (一) 定义:‎ 1. 命题甲:动点到两点的距离之 2. 和命题乙: 的轨迹是以A、B为焦点的椭圆，则命题甲是命题乙的 ( B )‎ A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件 D.既不充分又不必要条件 3. 已知、是两个定点，且,若动点满足则动点的轨迹是（ D ）‎ A.椭圆 B.圆 C.直线 D.线段 4. 已知、是椭圆的两个焦点, 是椭圆上的一个动点,如果延长到,使得,那么动点的轨迹是( B )‎ A.椭圆 B.圆 C.直线 D.点 5. 椭圆上一点到焦点的距离为2，为的中点，是椭圆的中心，则的值是 4 。‎ 6. 选做：F1是椭圆的左焦点，P在椭圆上运动，定点A（1，1），求的最小值。‎ 解：‎ (二) 标准方程求参数范围 ‎ 1. 试讨论k的取值范围，使方程表示圆，椭圆，双曲线。（略）‎ 2. ‎( C )‎ A.充分而不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件 D.既不充分又不必要条件 3. 若方程表示焦点在y轴上的椭圆，所在的象限是（ A ）‎ A.第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限 4. 方程所表示的曲线是 椭圆的右半部分 .‎ 5. 已知方程表示焦点在X轴上的椭圆,则实数k的范围是 k>1 ‎ (三) 待定系数法求椭圆的标准方程 ‎ 1. 根据下列条件求椭圆的标准方程：‎ ‎（1）两个焦点的坐标分别为（0，5）和（0，－5），椭圆上一点到两焦点的距离之和为26；‎ ‎（2）长轴是短轴的2倍，且过点（2，－6）；‎ ‎（3）已知椭圆的中心在原点，以坐标轴为对称轴，且经过两点,求椭圆方程.‎ 1. 简单几何性质 1． 求下列椭圆的标准方程（1）； （2）过（3，0）点，离心率为。‎ ‎ ‎ ‎（3）椭圆的对称轴为坐标轴上，短轴的一个端点与两个焦点组成一个正三角形，焦点到椭圆的最近距离是。‎ ‎（4）椭圆短轴的一个端点到一个焦点的距离为5，焦点到椭圆中心的距离为3，则椭圆的标准方程为 ‎（5）已知P点在以坐标轴为对称轴的椭圆上，点P到两焦点的距离分别为和，过P作长轴的垂线恰好过椭圆的一个焦点。‎ ‎3．过椭圆的左焦点作轴的垂线交椭圆于点P，F2为右焦点，若，则椭圆的离心率为_____________________‎ ‎（四）椭圆系————共焦点，相同离心率 1． 椭圆与的关系为（ A ） ‎ ‎ A．相同的焦点 B。有相同的准线 C。有相等的长、短轴 D。有相等的焦距 ‎2、求与椭圆有相同焦点，且经过点的椭圆标准方程。‎ ‎ ‎ ‎（五）焦点三角形‎4a 1. 已知、为椭圆的两个焦点，过的直线交椭圆于、两点。若，则 8 。‎ 2. 已知、为椭圆的两个焦点，过且斜率不为0的直线交椭圆于、两点，则的周长是 20 。‎ 3. 已知的顶点、在椭圆上，顶点是椭圆的一个焦点，且椭圆的另外一个焦点在边上，则的周长为 。‎ ‎（六）焦点三角形的面积： ‎ 1. 已知点是椭圆上的一点，、为焦点，，求点到轴的距离。‎ 解：设则解得，所以求点到轴的距离为 1. 设是椭圆上的一点，、为焦点，，求的面积。‎ 解：‎ 当，S=‎ 2. 已知点是椭圆上的一点，、为焦点，若，则的面积为 。‎ 3. 已知AB为经过椭圆的中心的弦，F(c,0)为椭圆的右焦点，则△AFB的面积的最大值为 cb 。‎ ‎（七）焦点三角形 1. 设椭圆的两焦点分别为和，为椭圆上一点，求的最大值，并求此时点的坐标。‎ 2. 椭圆的焦点为、，点在椭圆上，若，则 2 ； 120O 。‎ 3. 椭圆的焦点为、，为其上一动点，当为钝角时，点的横坐标的取值范围为 。‎ 4. P为椭圆上一点，、分别是椭圆的左、右焦点。（1）若的中点是，求证：；（2）若，求的值。‎ 解：（1）MO为三角形PF‎1F2的中位线，‎ ‎（2）=‎ ‎（八）与椭圆相关的轨迹方程 定义法：‎ 1. 点M(x,y)满足，求点M的轨迹方程。‎ ‎（）‎ 2. 已知动圆过定点，并且在定圆的内部与其相内切，求动圆圆心的轨迹方程.‎ 3. 已知圆,圆，动圆与外切，与内切，求动圆圆心的轨迹方程.‎ 解：由题 所以点的轨迹是：以，为焦点的距离之和为12的椭圆。，方程为 1. 已知，是圆（为圆心）上一动点,线段的垂直平分线交于,则动点的轨迹方程为 ‎ 2. 已知A(0,-1),B(0,1),△ABC的周长为6，则△ABC 的顶点C的轨迹方程是 。‎ 直接法 3. 若的两个顶点坐标分别是和，另两边、的斜率的乘积是，顶点的轨迹方程为 。‎ 相关点法 4. 已知圆，从这个圆上任意一点向轴引垂线段，垂足为，点在上，并且，求点M的轨迹。‎ 5. 已知圆，从这个圆上任意一点P向X轴引垂线段PP’，则线段PP’的中点M的轨迹方程是 。‎ 6. 已知椭圆，A、B分别是长轴的左右两个端点，P为椭圆上一个动点，求AP中点的轨迹方程。‎ 7. 一条线段的长为，两端点分别在轴、轴上滑动 ，点在线段上，且,求点的轨迹方程.‎ 一、 直线和椭圆的位置关系 ‎ (一)判断位置关系 1． 当为何值时,直线和椭圆 (1)相交；(2)相切；(3)相离。‎ 解：由消去y得，判别式：‎ 所以，当时直线与椭圆相交；当时直线与椭圆相切；当时直线与椭圆相离。‎ 2． 若直线与椭圆有两个公共点，则实数的取值范围为 。‎ ‎ (二)弦长问题 1. 设椭圆的左右两个焦点分别为、，过右焦点且与轴垂直的直线与椭圆C相交，其中一个交点为。‎ （1） 求椭圆的方程；‎ （2） 设椭圆C的一个顶点为B（0，-b），直线交椭圆C于另一点N，求的面积。‎ 解：由（1）点B（0，），，直线BF2的方程为：‎ 消去y得：，解得 所以点N的坐标为（，）‎ 所以 ‎(三)点差法 1. 已知一直线与椭圆 相交于、两点,弦的中点坐标为，求直线AB的方程. ‎ 解：设交点，则有，‎ ‎（2）-（1）得 即，又直线AB过点（1，1） 所以直线AB的方程为：‎ 2. 椭圆C以坐标轴为对称轴，并与直线l:x+2y=7相交于P、Q两点，点R的坐标为（2，5），若为等腰三角形，，求椭圆C的方程。‎ 解：设椭圆，交点，‎ 为等腰三角形，，则 解得Q（1，3）。所以……（1）‎ 又则 当，则有，则……（2）‎ 由（1）（2）得，椭圆的方程为 当当，则有，则……（3）‎ 由（1）（3）得B=0（舍去）‎ ‎ (四) 定值、定点问题 ‎1、已知动直线与椭圆相交于、两点,已知点 ， 求证：为定值.[‎ 证明：设交点 由消去y得 则有 所以为定值 ‎(五) 取值范围问题 已知椭圆的一个顶点为，焦点在轴上.若右焦点到直线的距 离为3.（1）求椭圆的方程.‎ ‎（2）设直线与椭圆相交于不同的两点.当时，求的 取值范围 解：设椭圆的方程为，右焦点（c>0），椭圆的下顶点A（0，-1），所以，‎ 又右焦点到直线的距离得 所以，椭圆的方程为