高考数学考点归纳之 变量间的相关关系与统计案例

高考数学考点归纳之 变量间的相关关系与统计案例

高考数学考点归纳之 变量间的相关关系与统计案例 一、基础知识 1．变量间的相关关系 (1)常见的两变量之间的关系有两类：一类是函数关系，另一类是相关关系；与函数关 系不同，相关关系是一种非确定性关系． 体现的不一定是因果关系. (2)从散点图上看，点散布在从左下角到右上角的区域内，两个变量的这种相关关系称 为正相关；点散布在左上角到右下角的区域内，两个变量的这种相关关系为负相关． 2．两个变量的线性相关 (1)从散点图上看，如果这些点从整体上看大致分布在通过散点图中心的一条直线附近， 称两个变量之间具有线性相关关系，这条直线叫做回归直线． (2)回归方程为y^＝b^x＋a^，其中 (3)通过求错误!的最小值而得到回归直线的方法，即使得样本数据的点到回归直线的距 离的平方和最小，这一方法叫做最小二乘法． (4)相关系数： 当 r＞0 时，表明两个变量正相关； 当 r＜0 时，表明两个变量负相关． r 的绝对值越接近于 1，表明两个变量的线性相关性越强．r 的绝对值越接近于 0，表明 两个变量之间几乎不存在线性相关关系．通常|r|大于 0.75 时，认为两个变量有很强的线性相 关性． 3．独立性检验 (1)2×2 列联表 设 X，Y 为两个变量，它们的取值分别为{x1，x2}和{y1，y2}，其样本频数列联表(2×2 列联表)如下： y1 y2 总计 x1 a b a＋b x2 c d c＋d 总计 a＋c b＋d a＋b＋c＋d (2)独立性检验 利用随机变量 K2(也可表示为χ2)的观测值 k＝ nad－bc2 a＋bc＋da＋cb＋d(其中 n＝a＋b＋c ＋d 为样本容量)来判断“两个变量有关系”的方法称为独立性检验． 二、常用结论 (1)求解回归方程的关键是确定回归系数a^，b^，应充分利用回归直线过样本中心点 ( x ， y )． (2)根据 K2 的值可以判断两个分类变量有关的可信程度，若 K2 越大，则两分类变量有关 的把握越大． (3)根据回归方程计算的y^值，仅是一个预报值，不是真实发生的值． 考点一 回归分析 考法(一) 求线性回归方程 [典例] (2019·湘东五校联考)已知具有相关关系的两个变量 x，y 的几组数据如下表所示： x 2 4 6 8 10 y 3 6 7 10 12 (1)请根据上表数据在网格纸中绘制散点图； (2)请根据上表数据，用最小二乘法求出 y 关于 x 的线性回归方程y^＝b^x＋a^，并估计当 x ＝20 时 y 的值． 参考公式：b^＝错误!，a^＝ y －b^ x . [解] (1)散点图如图所示： (2)依题意， x ＝1 5 ×(2＋4＋6＋8＋10)＝6， y ＝1 5 ×(3＋6＋7＋10＋12)＝7.6， 错误!2i ＝4＋16＋36＋64＋100＝220，错误!iyi＝6＋24＋42＋80＋120＝272， ∴b^＝错误!＝272－5×6×7.6 220－5×62 ＝44 40 ＝1.1， ∴a^＝7.6－1.1×6＝1， ∴线性回归方程为y^＝1.1x＋1，故当 x＝20 时，y＝23. 考法(二) 相关系数及应用 [典例] 如图是我国 2012 年至 2018 年生活垃圾无害化处理量(单位：亿吨)的折线图． 由折线图看出，可用线性回归模型拟合 y 与 t 的关系，请用相关系数加以说明． 参考数据：错误!i＝9.32，错误!iyi＝40.17, 错误!＝0.55, 7≈2.646. 参考公式：相关系数 r＝错误!. [解] 由折线图中数据和参考数据及公式得 t ＝4， 错误!(ti－ t )2＝28, 错误!＝0.55， 错误! (ti － t )(yi － y ) ＝ 错误! iyi － t 错误! i ＝ 40.17 － 4×9.32 ＝ 2.89 ， r≈ 2.89 0.55×2×2.646 ≈0.99. 因为 y 与 t 的相关系数近似为 0.99，说明 y 与 t 的线性相关程度相当高，从而可以用线 性回归模型拟合 y 与 t 的关系． [解题技法] 1．线性回归分析问题的类型及解题方法 (1)求线性回归方程： ①利用公式，求出回归系数b^，a^. ②待定系数法：利用回归直线过样本点中心求系数． (2)利用回归方程进行预测： 把回归直线方程看作一次函数，求函数值． (3)利用回归直线判断正、负相关：决定正相关还是负相关的是系数b^. 2．模型拟合效果的判断 (1)残差平方和越小，模型的拟合效果越好． (2)相关指数 R2 越大，模型的拟合效果越好． (3)回归方程的拟合效果，可以利用相关系数判断，当|r|越趋近于 1 时，两变量的线性相 关性越强． [题组训练] 1．(2019·惠州调研)某商场为了了解毛衣的月销售量 y(件)与月平均气温 x(℃)之间的关 系，随机统计了某 4 个月的月销售量与当月平均气温，其数据如下表： 月平均气温 x/℃ 17 13 8 2 月销售量 y/件 24 33 40 55 由表中数据算出线性回归方程y^＝b^x＋a^中的b^＝－2，气象部门预测下个月的平均气温约 为 6 ℃，据此估计该商场下个月毛衣销售量约为( ) A．46 件 B．40 件 C．38 件 D．58 件 解析：选 A 由题中数据，得 x ＝10， y ＝38，回归直线y^＝b^x＋a^过点( x ， y )，且 b^＝－2，代入得a^＝58，则回归方程y^＝－2x＋58，所以当 x＝6 时，y＝46，故选 A. 2．近期，某公交公司分别推出支付宝和微信扫码支付乘车活动，活动设置了一段时间 的推广期，由于推广期内优惠力度较大，吸引越来越多的人开始使用扫码支付．某线路公交 车队统计了活动刚推出一周内每天使用扫码支付的人次，用 x 表示活动推出的天数，y 表示 每天使用扫码支付的人次，统计数据如下表： x 1 2 3 4 5 6 7 y 60 110 210 340 660 1 010 1 960 根据以上数据，绘制了散点图． 参考数据： y v 错误!iyi 错误!ivi 100.54 621 2.54 25 350 78.12 3.47 其中 vi＝lg yi， v ＝1 7 错误!i. (1)根据散点图判断，在推广期内，y＝a＋bx 与 y＝c·dx(c，d 均为大于零的常数)哪一个 适宜作为扫码支付的人次 y 关于活动推出天数 x 的回归方程类型(给出判断即可，不必说明 理由)? (2)根据(1)的判断结果及上表中数据，建立 y 关于 x 的回归方程，并预测活动推出第 8 天使用扫码支付的人次． 参考公式： 对于一组数据(u1，v1)，(u2，v2)，…，(un，vn)，其回归直线v^＝α^＋β^μ的斜率和截距的最 小二乘估计公式分别为β＝错误!，α^＝ v －β^ U . 解：(1)根据散点图可以判断，y＝c·dx 适宜作为扫码支付的人次 y 关于活动推出天数 x 的回归方程类型． (2)y＝c·dx 两边同时取常用对数，得 lg y＝lg(c·dx)＝lg c＋xlg d， 设 lg y＝v，则 v＝lg c＋xlg d. ∵ x ＝4， v ＝2.54，错误!2i ＝140， ∴lg d＝错误!≈78.12－7×4×2.54 140－7×42 ＝0.25， 把(4,2.54)代入 v＝lg c＋xlg d，得 lg c＝1.54， ∴v^＝1.54＋0.25x，∴y^＝101.54＋0.25x＝101.54·(100.25)x. 把 x＝8 代入上式，得y^＝101.54＋0.25×8＝103.54＝103×100.54＝3 470， ∴y 关于 x 的回归方程为y^＝101.54·(100.25)x，活动推出第 8 天使用扫码支付的人次为 3 470. 考点二 独立性检验 [典例] (2018·全国卷Ⅲ节选)某工厂为提高生产效率，开展技术创新活动，提出了完 成某项生产任务的两种新的生产方式．为比较两种生产方式的效率，选取 40 名工人，将他 们随机分成两组，每组 20 人．第一组工人用第一种生产方式，第二组工人用第二种生产方 式．根据工人完成生产任务的工作时间(单位：min)绘制了如下茎叶图： (1)求 40 名工人完成生产任务所需时间的中位数 m，并将完成生产任务所需时间超过 m 和不超过 m 的工人数填入下面的列联表： 超过 m 不超过 m 第一种生产方式 第二种生产方式 (2)根据(1)中的列联表，能否有 99%的把握认为两种生产方式的效率有差异？ 附：K2＝ nad－bc2 a＋bc＋da＋cb＋d ， [解] (1)由茎叶图知 m＝79＋81 2 ＝80. 列联表如下： 超过 m 不超过 m 第一种生产方式 15 5 第二种生产方式 5 15 (2)因为 K2＝4015×15－5×52 20×20×20×20 ＝10>6.635，所以有 99%的把握认为两种生产方式的效 率有差异． [解题技法] 2 个明确 (1)明确两类主体； (2)明确研究的两个问题 2 个关键 (1)准确画出 2×2 列联表； (2)准确求解 K2 3 个步骤 (1)根据样本数据制成 2×2 列联表； (2)根据公式 K2＝ nad－bc2 a＋bc＋da＋cb＋d ，计算 K2 的值； (3)查表比较 K2 与临界值的大小关系，作统计判断 [题组训练] 1．(2019·沧州模拟)某班主任对全班 50 名学生进行了作业量的调查，数据如表： 认为作业量大 认为作业量不大 总计 男生 18 9 27 女生 8 15 23 总计 26 24 50 已知 P(K2≥3.841)≈0.05，P(K2≥5.024)≈0.025，P(K2≥6.635)≈0.010. 则________(填“有”或“没有”)97.5%的把握认为“学生的性别与认为作业量大 有关”． 解析：因为 K2＝50×18×15－8×92 26×24×27×23 ≈5.059＞5.024， 所以有 97.5%的把握认为“学生的性别与认为作业量大有关”． 答案：有 2．为考察某种疫苗预防疾病的效果，进行动物试验，得到统计数据如下： 未发病 发病 总计 未注射疫苗 20 x A 注射疫苗 30 y B 总计 50 50 100 现从所有试验动物中任取一只，取到“注射疫苗”动物的概率为2 5. (1)求 2×2 列联表中的数据 x，y，A，B 的值． (2)绘制发病率的条形统计图，并判断疫苗是否影响到了发病率？ (3)能否在犯错误的概率不超过 0.001 的前提下认为疫苗有效？ 附：K2＝ nad－bc2 a＋bc＋da＋cb＋d ，n＝a＋b＋c＋d. 临界值表： P(K2≥k0) 0.05 0.01 0.005 0.001 k0 3.841 6.635 7.879 10.828 解：(1)设“从所有试验动物中任取一只，取到‘注射疫苗’动物”为事件 M， 由已知得 P(M)＝y＋30 100 ＝2 5 ， 所以 y＝10，则 B＝40，x＝40，A＝60. (2)未注射疫苗发病率为40 60 ＝2 3 ≈0.67， 注射疫苗发病率为10 40 ＝1 4 ＝0.25. 发病率的条形统计图如图所示，由图可以看出疫苗影响到了发病率． (3)因为 K2＝100×20×10－40×302 60×40×50×50 ≈16.67＞10.828. 所以能在犯错误的概率不超过 0.001 的前提下认为疫苗有效． [课时跟踪检测] A 级 1．对变量 x，y 有观测数据(xi，yi)(i＝1,2，…，10)，得散点图如图①，对变量 u，v 有 观测数据(ui，vi)(i＝1,2，…，10)，得散点图如图②.由这两个散点图可以判断( ) A．变量 x 与 y 正相关，u 与 v 正相关 B．变量 x 与 y 正相关，u 与 v 负相关 C．变量 x 与 y 负相关，u 与 v 正相关 D．变量 x 与 y 负相关，u 与 v 负相关 解析：选 C 由散点图可得两组数据均线性相关，且图①的线性回归方程斜率为负，图 ②的线性回归方程斜率为正，则由散点图可判断变量 x 与 y 负相关，u 与 v 正相关． 2．(2019·长沙模拟)为了解某社区居民购买水果和牛奶的年支出费用与购买食品的年支 出费用的关系，随机调查了该社区 5 户家庭，得到如下统计表： 购买食品的年支出 费用 x/万元 2.09 2.15 2.50 2.84 2.92 购买水果和牛奶的 年支出费用 y/万元 1.25 1.30 1.50 1.70 1.75 根据上表可得回归方程y^＝b^x＋a^，其中b^＝0.59，a^＝ y －b^ x ，据此估计，该社区一 户购买食品的年支出费用为 3.00 万元的家庭购买水果和牛奶的年支出费用约为( ) A．1.795 万元 B．2.555 万元 C．1.915 万元 D．1.945 万元 解析：选 A x ＝1 5 ×(2.09＋2.15＋2.50＋2.84＋2.92)＝2.50(万元)，y ＝1 5 ×(1.25＋1.30 ＋1.50＋1.70＋1.75)＝1.50(万元)，其中b^＝0.59，则a^＝ y －b^ x ＝0.025，y^＝0.59x＋0.025， 故年支出费用为 3.00 万元的家庭购买水果和牛奶的年支出费用约为y^＝0.59×3.00＋0.025＝ 1.795(万元)． 3．下面四个命题中，错误的是( ) A．从匀速传递的产品生产流水线上，质检员每 15 分钟从中抽取一件产品进行某项指 标检测，这样的抽样是系统抽样 B．对分类变量 X 与 Y 的随机变量 K2 的观测值 k 来说，k 越大，“X 与 Y 有关系”的把 握程度越大 C．两个随机变量相关性越强，则相关系数的绝对值越接近于 0 D．在回归直线方程y^＝0.4x＋12 中，当解释变量 x 每增加一个单位时，预报变量平均 增加 0.4 个单位 解析：选 C 两个随机变量的线性相关性越强，则相关系数的绝对值越接近于 1，故 C 错误． 4．春节期间，“厉行节约，反对浪费”之风悄然吹开，某市通过随机询问 100 名性别 不同的居民是否能做到“光盘”行动，得到如下的列联表： 做不到“光盘” 能做到“光盘” 男 45 10 女 30 15 则下面的正确结论是( ) 附表及公式： P(K2≥k0) 0.100 0.050 0.010 0.001 k0 2.706 3.841 6.635 10.828 K2＝ nad－bc2 a＋bc＋da＋cb＋d ，n＝a＋b＋c＋d. A．有 90%以上的把握认为“该市居民能否做到‘光盘’与性别有关” B．在犯错误的概率不超过 1%的前提下，认为“该市居民能否做到‘光盘’与性别无 关” C．在犯错误的概率不超过 1%的前提下，认为“该市居民能否做到‘光盘’与性别有 关” D．有 90%以上的把握认为“该市居民能否做到‘光盘’与性别无关” 解析：选 A 由列联表得到 a＝45，b＝10，c＝30，d＝15，则 a＋b＝55，c＋d＝45，a ＋c＝75，b＋d＝25，ad＝675，bc＝300，n＝100，计算得 K2 的观测值 k＝ nad－bc2 a＋bc＋da＋cb＋d ＝100×675－3002 55×45×75×25 ≈3.030.因为 2.706<3.030<3.841， 所以有 90%以上的把握认为“该市居民能否做到‘光盘’与性别有关”． 5．为了研究工人的日平均工作量是否与年龄有关，从某工厂抽取了 100 名工人，且规 定日平均生产件数不少于 80 件者为“生产能手”，列出的 2×2 列联表如下： 生产能手 非生产能手 总计 25 周岁以上 25 35 60 25 周岁以下 10 30 40 总计 35 65 100 有________以上的把握认为“工人是否为‘生产能手’与工人的年龄有关”． 解析：由 2×2 列联表可知，K2＝100×25×30－10×352 40×60×35×65 ≈2.93，因为 2.93>2.706，所 以有 90%以上的把握认为“工人是否为‘生产能手’与工人的年龄有关”． 答案：90% 6．随着我国经济的发展，居民的储蓄存款逐年增长．设某地区城乡居民人民币储蓄存 款(年底余额)如下表： 年份 2014 2015 2016 2017 2018 时间代号 t 1 2 3 4 5 储蓄存款 y (千亿元) 5 6 7 8 10 则 y 关于 t 的回归方程是________________． 解析：由表中数据得 n＝5， t ＝1 n 错误!i＝15 5 ＝3， y ＝1 n 错误!i＝36 5 ＝7.2. 又错误!2i －n t 2＝55－5×32＝10， 错误!iyi－n t y ＝120－5×3×7.2＝12. 从而b^＝错误!＝12 10 ＝1.2， a^＝ y －b^ t ＝7.2－1.2×3＝3.6， 故所求回归方程为y^＝1.2t＋3.6. 答案：y^＝1.2t＋3.6 7．某电视厂家准备在元旦举行促销活动，现根据近七年的广告费与销售量的数据确定 此次广告费支出．广告费支出 x(万元)和销售量 y(万台)的数据如下： 年份 2012 2013 2014 2015 2016 2017 2018 广告费支 出 x 1 2 4 6 11 13 19 销售量 y 1.9 3.2 4.0 4.4 5.2 5.3 5.4 (1)若用线性回归模型拟合 y 与 x 的关系，求出 y 关于 x 的线性回归方程； (2)若用 y＝c＋d x模型拟合 y 与 x 的关系，可得回归方程y^＝1.63＋0.99 x，经计算线 性回归模型和该模型的 R2 分别约为 0.75 和 0.88，请用 R2 说明选择哪个回归模型更好； (3)已知利润 z 与 x，y 的关系为 z＝200y－x.根据(2)的结果，求当广告费 x＝20 时，销售 量及利润的预报值． 参考公式：回归直线y^＝a^＋b^x 的斜率和截距的最小二乘估计分别为 b^＝错误!＝错误!，a^＝ y －b^ x . 参考数据： 5≈2.24. 解：(1)∵ x ＝8， y ＝4.2，错误!iyi＝279.4，错误!2i ＝708， ∴b^＝错误!＝279.4－7×8×4.2 708－7×82 ＝0.17，a^＝ y －b^ x ＝4.2－0.17×8＝2.84， ∴y 关于 x 的线性回归方程为y^＝0.17x＋2.84. (2)∵0.75＜0.88 且 R2 越大，反映残差平方和越小，模型的拟合效果越好， ∴选用y^＝1.63＋0.99 x更好． (3)由(2)知，当 x＝20 时，销售量的预报值y^＝1.63＋0.99 20≈6.07(万台)，利润的预报 值 z＝200×(1.63＋0.99 20)－20≈1 193.04(万元)． B 级 1．(2018·江门一模)为探索课堂教学改革，江门某中学数学老师用“传统教学”和“导 学案”两种教学方式分别在甲、乙两个平行班进行教学实验．为了解教学效果，期末考试后， 分别从两个班级各随机抽取 20 名学生的成绩进行统计，得到如下茎叶图．记成绩不低于 70 分者为“成绩优良”. (1)请大致判断哪种教学方式的教学效果更佳，并说明理由； (2)构造一个教学方式与成绩优良的 2×2 列联表，并判断能否在犯错误的概率不超过 0.05 的前提下认为“成绩优良与教学方式有关”． 附：K2＝ nad－bc2 a＋bc＋da＋cb＋d ，其中 n＝a＋b＋c＋d. 临界值表： P(K2≥k0) 0.10 0.05 0.025 0.010 k0 2.706 3.841 5.024 6.635 解：(1)“导学案”教学方式教学效果更佳． 理由 1：乙班样本数学成绩大多在 70 分以上，甲班样本数学成绩 70 分以下的明显更多． 理由 2：甲班样本数学成绩的平均分为 70.2；乙班样本数学成绩的平均分为 79.05. 理由 3：甲班样本数学成绩的中位数为68＋72 2 ＝70，乙班样本数学成绩的中位数为 77＋78 2 ＝77.5. (2)2×2 列联表如下： 甲班 乙班 总计 成绩优良 10 16 26 成绩不优良 10 4 14 总计 20 20 40 由上表数据可得 K2＝40×10×4－10×162 20×20×26×14 ≈3.956＞3.841， 所以能在犯错误的概率不超过 0.05 的前提下认为“成绩优良与教学方式有关”． 2.(2019·广州调研)某基地蔬菜大棚采用无土栽培方式种植各 类蔬菜．过去 50 周的资料显示，该地周光照量 X(单位：小时)都 在 30 小时以上，其中不足 50 小时的有 5 周，不低于 50 小时且不超过 70 小时的有 35 周， 超过 70 小时的有 10 周．根据统计，该基地的西红柿增加量 y(千克)与使用某种液体肥料的 质量 x(千克)之间的对应数据为如图所示的折线图． (1)依据折线图计算相关系数 r(精确到 0.01)，并据此判断是否可用线性回归模型拟合 y 与 x 的关系；(若|r|＞0.75，则线性相关程度很高，可用线性回归模型拟合) (2)蔬菜大棚对光照要求较高，某光照控制仪商家为该基地提供了部分光照控制仪，但 每周光照控制仪运行台数受周光照量 X 限制，并有如下关系： 周光照量 X/小时 30＜X＜50 50≤X≤70 X＞70 光照控制仪运行台数 3 2 1 对商家来说，若某台光照控制仪运行，则该台光照控制仪产生的周利润为 3 000 元；若 某台光照控制仪未运行，则该台光照控制仪周亏损 1 000 元．若商家安装了 3 台光照控制仪， 求商家在过去 50 周的周总利润的平均值． 相关系数公式：r＝错误!， 参考数据： 0.3≈0.55， 0.9≈0.95. 解：(1)由已知数据可得 x ＝2＋4＋5＋6＋8 5 ＝5， y ＝3＋4＋4＋4＋5 5 ＝4. 因为错误!(xi－ x )(yi－ y )＝(－3)×(－1)＋0＋0＋0＋3×1＝6， 错误!＝ －32＋－12＋02＋12＋32＝2 5， 错误!＝ －12＋02＋02＋02＋12＝ 2， 所以相关系数 r＝错误!＝ 6 2 5× 2 ＝ 0.9≈0.95. 因为|r|＞0.75，所以可用线性回归模型拟合 y 与 x 的关系． (2)由条件可得在过去 50 周里， 当 X＞70 时，共有 10 周，此时只有 1 台光照控制仪运行， 每周的周总利润为 1×3 000－2×1 000＝1 000(元)． 当 50≤X≤70 时，共有 35 周，此时有 2 台光照控制仪运行， 每周的周总利润为 2×3 000－1×1 000＝5 000(元)． 当 30＜X＜50 时，共有 5 周，此时 3 台光照控制仪都运行， 每周的周总利润为 3×3 000＝9 000(元)． 所以过去 50 周的周总利润的平均值为 1 000×10＋5 000×35＋9 000×5 50 ＝4 600(元)， 所以商家在过去 50 周的周总利润的平均值为 4 600 元．