高考北京文科数学试题及答案word解析版

高考北京文科数学试题及答案word解析版

‎2014年普通高等学校招生全国统一考试（北京卷）‎ 数学（文科）‎ 第一部分（选择题 共40分）‎ 一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，选出符合题目要求的一项．‎ ‎（1）【2014年北京，文1，5分】若集合，，则（ ）‎ ‎（A） （B） （C） （D）‎ ‎【答案】C ‎【解析】因为，故选C．‎ ‎【点评】本题考查交集及其运算，是基础题．‎ ‎（2）【2014年北京，文2，5分】下列函数中，定义域是且为增函数的是（ ）‎ ‎（A） （B） （C） （D）‎ ‎【答案】B ‎【解析】对于选项A，在R上是减函数；选项C的定义域为；选项D，在上是减函数，故选B．‎ ‎【点评】本题主要考查函数定义域和单调性的判断，比较基础．‎ ‎（3）【2014年北京，文3，5分】已知向量，，则（ ）‎ ‎（A） （B） （C） （D）‎ ‎【答案】A ‎【解析】因为，所以，故选A．‎ ‎【点评】本题考查平面向量的数乘及坐标减法运算，是基础的计算题．‎ ‎（4）【2014年北京，文4，5分】执行如图所示的程序框图，输出的值为（ ）‎ ‎（A）1 （B）3 （C）7 （D）15‎ ‎【答案】C ‎【解析】当时，；当时，；当时，；当时， ‎ 输出，故选C．‎ ‎【点评】本题考查了当型循环结构的程序框图，根据框图的流程判断算法的功能是解题的关键．‎ ‎（5）【2014年北京，文5，5分】设、是实数，则“”是“”的（ ）‎ ‎ （A）充分必要条件 （B）必要而不必要条件 ‎ ‎（C）充分必要条件 （D）既不充分不必要条件 ‎【答案】D ‎【解析】若，则，故不充分； 若，则，而，故不必要，故选D．‎ ‎【点评】判断充要条件的方法是：‎ ‎①若为真命题且为假命题，则命题p是命题q的充分不必要条件；‎ ‎②若为假命题且为真命题，则命题p是命题q的必要不充分条件；‎ ‎③若为真命题且为真命题，则命题p是命题q的充要条件；‎ ‎④若为假命题且为假命题，则命题p是命题q的即不充分也不必要条件．‎ ‎⑤判断命题与命题所表示的范围，再根据“谁大谁必要，谁小谁充分”的原则，判断命题与命题 的关系．‎ ‎⑥涉及不等式平方大小的比较问题，举反例不失为一种有效的方法．‎ ‎（6）【2014年北京，文6，5分】已知函数，在下列区间中，包含零点的区间是（ ）‎ ‎（A） （B） （C） （D）‎ ‎【答案】C ‎【解析】因为，所以由根的存在性定理可知，故选A．‎ ‎【点评】本题考查还是零点的判断，属基础题．‎ ‎（7）【2014年北京，文7，5分】已知圆和两点，，若圆上存在点，使得，则的最大值为（ ）‎ ‎（A）7 （B）6 （C）5 （D）4‎ ‎【答案】B ‎【解析】由题意知，点在以原点为圆心，以为半径的圆上，又因为点在已知圆上，所以只要两个圆有交点即可，所以，故选B．‎ ‎【点评】本题主要直线和圆的位置关系，求得圆C上的点到点O的距离的最大值为6，是解题的关键，属于中档题．‎ ‎（8）【2014年北京，文8，5分】加工爆米花时，爆开且不糊的粒数的百分比称为“可食用率”．咋特定条件下，可食用率与加工时间（单位：分钟）满足的函数关系（、、是常数），如图记录了三次实验的数据．根据上述函数模型和实验数据，可以得到最佳加工时间为（ ）‎ ‎（A）分钟 （B）分钟 （C）分钟 （D）分钟 ‎【答案】B ‎【解析】由图形可知，三点都在函数的图象上，‎ 所以，解得．‎ ‎，当时，取最大值，故选B．‎ ‎【点评】本题考查了二次函数模型的应用，考查利用二次函数的图象与性质求函数的最值问题，确定函数模型是关键．‎ 第二部分（非选择题 共110分）‎ 二、填空题：共6小题，每小题5分，共30分．‎ ‎（9）【2014年北京，文9，5分】若，则 ． ‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】由题意知：，所以由复数相等的定义知．‎ ‎【点评】本题考查复数相等的充要条件，属基础题．‎ ‎（10）【2014年北京，文10，5分】设双曲线的两个焦点为，，一个顶点式，则的方程为 ．‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】由题意知：，所以，又因为双曲线的焦点在轴上，所以的方程为．‎ ‎【点评】本题考查双曲线方程与性质，考查学生的计算能力，属于基础题．‎ ‎（11）【2014年北京，文11，5分】某三棱锥的三视图如图所示，则该三棱锥的最长棱的棱长为 ‎______．‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】由三视图可知：该几何体为一条侧棱垂直底面的三棱锥，底面为边长为2的等边三角形， ‎ 棱锥的高为2，所以最长的棱长为．‎ ‎【点评】本题考查点、线、面间的距离计算，考查空间图形的三视图，考查学生的空间想象能力，考查学生分析解决问题的能力．‎ ‎（12）【2014年北京，文12，5分】在中，，，，则 ； ．‎ ‎【答案】2，‎ ‎【解析】由余弦定理得：，故；因为，‎ 所以．‎ ‎【点评】此题考查了正弦、余弦定理，以及同角三角函数间的基本关系，熟练掌握定理是解本题的关键．‎ ‎（13）【2014年北京，文13，5分】若、满足，则的最小值为_______．‎ ‎【答案】1‎ ‎【解析】画出不等式组表示的平面区域，可知区域为三角形，平移直线可得，当直线经过两条直线 与的交点时，取得最小值1．‎ ‎【点评】本题考查简单的线性规划，考查了数形结合的解题思想方法，是中档题．‎ ‎（14）【2014年北京，文14，5分】顾客请一位工艺师把、两件玉石原料各制成一件工艺品，工艺师带一位徒弟完成这项任务，每件颜料先由徒弟完成粗加工，再由工艺师进行精加工完成制作，两件工艺品都完成后交付顾客，两件原料每道工序所需时间（单位：工作日）如下：‎ ‎ 工序 ‎ 时间 原料 粗加工 精加工 原料 原料 则最短交货期为 工作日．‎ ‎【答案】42‎ ‎【解析】因为第一件进行粗加工时，工艺师什么都不能做，所以最短交货期为天．‎ ‎【点评】本题考查利用数学知识解决实际问题，考查学生分析解决问题的能力，属于基础题．‎ ‎ 三、解答题：共6题，共80分．解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程．‎ ‎（15）【2014年北京，文15，13分】已知是等差数列，满足，，数列 满足，，且为等比数列． ‎（1）求数列和的通项公式；‎ ‎（2）求数列的前项和．‎ 解：（1）设等差数列的公差为，由题意得，‎ 所以．设等比数列的公比为，‎ 由题意得，解得．所以．‎ ‎（2）由（1）知．数列的前项和为，‎ 数列的前项和为．所以，数列的前项和为．‎ ‎【点评】本题主要考查学生对等差数列及等比数列的通项公式和前n项和公式的应用，考查学生的基本的运算能力，属基础题．‎ ‎（16）【2014年北京，文16，13分】函数的部分图象如图所示．‎ ‎（1）写出的最小正周期及图中、的值；‎ ‎（2）求在区间上的最大值和最小值．‎ 解：（1）的最小正周期为，．．‎ ‎（2）因为，所以．于是当，‎ 即时，取得最大值0；当，即时，取得最小值．‎ ‎【点评】本题考查三角函数的图象和性质，属基础题．‎ ‎（17）【2014年北京，文17，14分】如图，在三棱柱中，侧棱垂直于底面，，‎ ‎，、分别为、的中点．‎ ‎（1）求证：平面平面；‎ ‎（2）求证：平面；‎ ‎（3）求三棱锥的体积．‎ 解：（1）在三棱柱中，底面．所以．又因为．‎ 所以平面．所以平面平面．‎ ‎（2）取中点，连结，．因为，分别是，的中点，‎ 所以，且．因为，且，‎ 所以，且．所以四边形为平行四边形．所以．‎ 又因为平面，平面，所以平面．‎ ‎（3）因为，，，所以．‎ 所以三棱锥的体积．‎ ‎【点评】本题考查线面平行、垂直的证明，考查三棱锥E﹣ABC的体积的计算，正确运用线面平行、垂直的判 组号 分组 频数 ‎1‎ ‎6‎ ‎2‎ ‎8‎ ‎3‎ ‎17‎ ‎4‎ ‎22‎ ‎5‎ ‎25‎ ‎6‎ ‎12‎ ‎7‎ ‎6‎ ‎8‎ ‎2‎ ‎9‎ ‎2‎ 合计 ‎100‎ 定定理是关键．‎ ‎（18）【2014年北京，文18，13分】从某校随机抽取100名学生，获得了他们一周 课外阅读时间（单位：小时）的数据，整理得到数据分组及频数分布表和频 率分布直方图：‎ ‎（1）从该校随机选取一名学生，试估计这名 ‎ 学生该周课外阅读时间少于12小时的概 ‎ 率；‎ ‎（2）求频率分布直方图中的a，b的值；‎ ‎（3）假设同一组中的每个数据可用该组区间 ‎ 的中点值代替，试估计样本中的100名 学生该周课外阅读时间的平均数在第几 组（只需写出结论）．‎ 解：（1）根据频数分布表，100名学生中课外阅读时 间不少于12小时的学生共有 ‎ 名，所以样本中的学生课外阅读时间少于12小时的频率是．‎ 从该校随机选取一名学生，估计其课外阅读时间少于12小时的概率为．‎ ‎（2）课外阅读时间落在组的有17人，频率为，所以．‎ 课外阅读时间落在组的有25人，频率为，所以．‎ ‎（3）样本中的100名学生课外阅读时间的平均数在第4组．‎ ‎【点评】本题考查了频率分布表与频率分布直方图，再频率分布直方图中频率=小矩形的面积=小矩形的高×组距=．‎ ‎（19）【2014年北京，文19，14分】已知椭圆．‎ ‎（1）求椭圆的离心率；‎ ‎（2）设为原点，若点在直线，点在椭圆上，且，求线段长度的最小值．‎ 解：（1）由题意，椭圆的标准方程为．所以，，从而．‎ 因此，．故椭圆的离心率．‎ ‎（2）设点，的坐标分别为，，其中．因为，所以，‎ 即，解得．又，所以 ‎．‎ 因为，且当时等号成立，所以．‎ 故线段长度的最小值为．‎ ‎【点评】本题考查椭圆的方程与性质，考查基本不等式的运用，考查学生的计算能力，属于中档题．‎ ‎（20）【2014年北京，文20，13分】已知函数．‎ ‎（1）求在区间上的最大值；‎ ‎（2）若过点存在3条直线与曲线相切，求的取值范围；‎ ‎（3）问过点分别存在几条直线与曲线相切？（只需写出结论）．‎ 解：（1）由得．令，得或．因为，‎ ‎，，所以 在区间上的最大值为．‎ ‎（2）设过点的直线与曲线相切于点则切线斜率 ‎ 所以切线方程为，．整理得．‎ 设，则“过点存在3条直线与曲线相切”等价于“有3个 不同零点”．．‎ 与的情况如下：‎ ‎0‎ ‎1‎ ‎0‎ ‎0‎ ‎↗‎ ‎↘‎ ‎↗‎ ‎ 所以，是的极大值，是的极小值．‎ 当，即时，此时在区间和上分别至多有1个零点，‎ 所以 至多有2个零点．‎ 当，即时，此时在区间和上分别至多有1个零点，‎ 所以 至多有2个零点．‎ 当且，即时，因为，所以 分别在 区间，和上恰有个零点．由于在区间和上单调，‎ 所以分别在区间和上恰有1个零点．‎ 综上可知，当过点存在条直线与曲线相切时，的取值范围是．‎ ‎（3）过点 存在条直线与曲线相切；过点 存在条直线与曲线相切；过点 存在条直线与曲线相切．‎ ‎【点评】本题主要考查利用导数求切线方程及判断函数的单调性求最值等知识，考查转化划归思想及分类讨论思想的运用能力和运算能力，属难题．‎