二次函数y＝a(x－h)2＋k的图象和性质　导学案

二次函数y＝a(x－h)2＋k的图象和性质　导学案

‎22.1.3　二次函数y＝a(x－h)2＋k的图象和性质(1)‎ ‎1．会作函数y＝ax2和y＝ax2＋k的图象，能比较它们的异同；理解a，k对二次函数图象的影响，能正确说出两函数图象的开口方向、对称轴和顶点坐标．‎ ‎2．了解抛物线y＝ax2上下平移规律．‎ 重点：会作函数的图象．‎ 难点：能正确说出两函数图象的开口方向、对称轴和顶点坐标．‎ 一、自学指导．(10分钟)‎ 自学：自学课本P32～33“例2”及两个思考，理解y＝ax2＋k中a，k对二次函数图象的影响，完成填空．‎ 总结归纳：二次函数y＝ax2的图象是一条抛物线，其对称轴是y轴，顶点是(0，0)，开口方向由a的符号决定：当a>0时，开口向上；当a<0时，开口向__下__．当a>0时，在对称轴的左侧，y随x的增大而减小；在对称轴的右侧，y随x的增大而增大．抛物线有最__低__点，函数y有最__小__值．当a<0时，在对称轴的左侧，y随x的增大而增大；在对称轴的右侧，y随x的增大而减小．抛物线有最__高__点，函数y有最__大__值．‎ 抛物线y＝ax2＋k可由抛物线y＝ax2沿__y__轴方向平移__|k|__单位得到，当k>0时，向__上__平移；当k<0时，向__下__平移．‎ 二、自学检测：学生自主完成，小组内展示，点评，教师巡视．(7分钟)‎ ‎1．在抛物线y＝x2－2上的一个点是(　 C 　)‎ A．(4，4)　　　　B．(1，－4)‎ C．(2，2) D．(0，4)‎ ‎2．抛物线y＝x2－16与x轴交于B，C两点，顶点为A，则△ABC的面积为__64__．‎ 点拨精讲：与x轴的交点的横坐标即当y等于0时x的值，即可求出两个交点的坐标．‎ ‎3．画出二次函数y＝x2－1，y＝x2，y＝x2＋1的图象，观察图象有哪些异同？‎ 点拨精讲：可从开口方向、对称轴、形状大小、顶点、位置去找．‎ 一、小组合作：小组讨论交流解题思路，小组活动后，小组代表展示活动成果．(5分钟)‎ 探究1　抛物线y＝ax2与y＝ax2±c有什么关系？‎ 解：(1)抛物线y＝ax2±c的形状与y＝ax2的形状完全相同，只是位置不同；‎ ‎(2)抛物线y＝ax2向上平移c个单位得到抛物线y＝ax2＋c；‎ 抛物线y＝ax2向下平移c个单位得到抛物线y＝ax2－c.‎ 探究2　已知抛物线y＝ax2＋c向下平移2个单位后，所得抛物线为y＝－2x2＋4，试求a，c的值．‎ 解：根据题意，得解得 二、跟踪练习：学生独立确定解题思路，小组内交流，上台展示并讲解思路．(13分钟)‎ ‎1．函数y＝ax2－a与y＝ax－a(a≠0)在同一坐标系中的图象可能是(　D　)‎ 6‎ ‎2．二次函数的图象如图所示，则它的解析式为(　B　)‎ A．y＝x2－4‎ B．y＝－x2＋3‎ C．y＝(2－x)2‎ D．y＝(x2－2)‎ ‎3．二次函数y＝－x2＋4图象的对称轴是y轴，顶点坐标是(0，4)，当x<0，y随x的增大而增大．‎ ‎4．抛物线y＝ax2＋c与y＝－3x2的形状大小，开口方向都相同，且其顶点坐标是(0，5)，则其表达式为y＝－3x2＋5，它是由抛物线y＝－3x2向__上__平移__5__个单位得到的．‎ ‎5．将抛物线y＝－3x2＋4绕顶点旋转180°，所得抛物线的解析式为y＝3x2＋4．‎ ‎6．已知函数y＝ax2＋c的图象与函数y＝5x2＋1的图象关于x轴对称，则a＝__－5__，c＝__－1__．‎ 点拨精讲：1.函数的图象与性质以及抛物线上下平移规律．(可结合图象理解)‎ ‎2．抛物线平移多少个单位，主要看两顶点坐标，确定两顶点相隔的距离，从而确定平移的方向与单位长，有时也可以比较两抛物线上横坐标相同的两点相隔的距离，从而确定平移的方向与单位长．‎ 学生总结本堂课的收获与困惑．(2分钟)‎ 学习至此，请使用本课时对应训练部分．(10分钟)‎ ‎22.1.3　二次函数y＝a(x－h)2＋k的图象和性质(2)‎ ‎1．进一步熟悉作函数图象的主要步骤，会作函数y＝a(x－h)2的图象．‎ ‎2．能正确说出y＝a(x－h)2的图象的开口方向、对称轴和顶点坐标．‎ 6‎ ‎3．掌握抛物线y＝a(x－h)2的平移规律．‎ 重点：熟悉作函数图象的主要步骤，会作函数y＝a(x－h)2的图象．‎ 难点：能正确说出图象的开口方向、对称轴和顶点坐标，掌握抛物线y＝a(x－h)2的平移规律．‎ 一、自学指导．(10分钟)‎ 自学：自学课本P33～34“探究”与“思考”，掌握y＝a(x－h)2与y＝ax2之间的关系，理解并掌握y＝a(x－h)2的相关性质，完成填空．‎ 画函数y＝－x2、y＝－(x＋1)2和y＝－(x－1)2的图象，观察后两个函数图象与抛物线y＝－x2有何关系？它们的对称轴、顶点坐标分别是什么？‎ 点拨精讲：观察图象移动过程，要特别注意特殊点(如顶点)的移动情况．‎ 总结归纳：二次函数y＝a(x－h)2的顶点坐标为(h，0)，对称轴为直线x＝h．当a>0时，在对称轴的左侧y随x的增大而减小，在对称轴的右侧y随x的增大而增大，抛物线有最低点，函数y有最小值；当a<0时，在对称轴的左侧y随x的增大而增大，在对称轴的右侧y随x的增大而减小，抛物线有最高点，函数y有最大值．抛物线y＝ax2向左平移h个单位，即为抛物线y＝a(x＋h)2(h>0)；抛物线y＝ax2向右平移h个单位，即为抛物线y＝a(x－h)2(h>0)．‎ 二、自学检测：学生自主完成，小组内展示，点评，教师巡视．(7分钟)‎ ‎1．教材P35练习题；‎ ‎2．抛物线y＝－(x－1)2的开口向下，顶点坐标是(1，0)，对称轴是x＝1，通过向左平移1个单位后，得到抛物线y＝－x2.‎ 一、小组合作：小组讨论交流解题思路，小组活动后，小组代表展示活动成果．(8分钟)‎ 探究1在直角坐标系中画出函数y＝(x＋3)2的图象．‎ ‎(1)指出函数图象的对称轴和顶点坐标；‎ ‎(2)根据图象回答，当x取何值时，y随x的增大而减小？当x取何值时，y随x的增大而增大？当x取何值时，y取最大值或最小值？‎ ‎(3)怎样平移函数y＝x2的图象得到函数y＝(x＋3)2的图象？‎ 解：(1)对称轴是直线x＝－3，顶点坐标(－3，0)；(2)当x<－3时，y随x的增大而减小；当x>－3时，y随x的的增大而增大；当x＝－3时，y有最小值；(3)将函数y＝x2的图象沿x轴向左平移3个单位得到函数y＝(x＋3)2的图象．‎ 点拨精讲：二次函数的增减性以对称轴为分界，画图象取点时以顶点为分界对称取点．‎ 探究2　已知直线y＝x＋1与x轴交于点A，抛物线y＝－2x2平移后的顶点与点A 6‎ 重合．(1)求平移后的抛物线l的解析式；(2)若点B(x1，y1)，C(x2，y2)在抛物线l上，且－－1时，y随x的增大而减小，又－y2.‎ 二、跟踪练习：学生独立确定解题思路，小组内交流，上台展示并讲解思路．(10分钟)‎ ‎1．不画图象，回答下列问题：‎ ‎(1)函数y＝3(x－1)2的图象可以看成是由函数y＝3x2的图象作怎样的平移得到的？‎ ‎(2)说出函数y＝3(x－1)2的图象的开口方向、对称轴和顶点坐标．‎ ‎(3)函数有哪些性质？‎ ‎(4)若将函数y＝3(x－1)2的图象向左平移3个单位得到哪个函数图象？‎ 点拨精讲：性质从增减性、最值来说．‎ ‎2．与抛物线y＝－2(x＋5)2顶点相同，形状也相同，而开口方向相反的抛物线所对应的函数关系式是y＝2(x＋5)2．‎ ‎3．对于函数y＝－3(x＋1)2，当x>－1时，函数y随x的增大而减小，当x＝－1时，函数取得最大值，最大值y＝0．‎ ‎4．二次函数y＝ax2＋bx＋c的图象向左平移2个单位长度得到y＝x2－2x＋1的图象，则b＝－6，c＝9．‎ 点拨精讲：比较函数值的大小，往往可根据函数的性质，结合函数图象，能使解题过程简洁明了．‎ 学生总结本堂课的收获与困惑．(2分钟)‎ 学习至此，请使用本课时对应训练部分．(10分钟)‎ ‎22.1.3　二次函数y＝a(x－h)2＋k的图象和性质(3)‎ ‎1．进一步熟悉作函数图象的主要步骤，会作函数y＝a(x－h)2＋k的图象．‎ ‎2．能正确说出y＝a(x－h)2＋k的图象的开口方向、对称轴和顶点坐标．‎ ‎3．掌握抛物线y＝a(x－h)2＋k的平移规律．‎ 重点：熟悉作函数图象的主要步骤，会作函数y＝a(x－h)2＋k的图象．‎ 难点：能正确说出y＝a(x－h)2＋k的图象的开口方向、对称轴和顶点坐标，掌握抛物线y＝a(x－h)2＋k的平移规律．‎ 一、自学指导．(10分钟)‎ 自学：自学课本P35～36“例3、例4”，掌握y＝a(x－h)2＋k与y＝ax2之间的关系，理解并掌握y＝a(x－h)2＋k的相关性质，完成填空．‎ 总结归纳：一般地，抛物线y＝a(x－h)2＋k与y＝ax2的形状相同，位置不同，把抛物线y＝ax2向上(下)向左(右)平移，可以得到抛物线y＝a(x－h)2＋k，‎ 6‎ 平移的方向、距离要根据h，k的值来决定：当h>0时，表明将抛物线向右平移h个单位；当k<0时，表明将抛物线向下平移|k|个单位．‎ 抛物线y＝a(x－h)2＋k的特点是：当a>0时，开口向上；当a<0时，开口向下；对称轴是直线x＝h；顶点坐标是(h，k)．‎ 二、自学检测：学生自主完成，小组内展示，点评，教师巡视．(7分钟 ‎1．教材P37练习题 ‎2．函数y＝2(x＋3)2－5的图象是由函数y＝2x2的图象先向左平移3个单位，再向下平移5个单位得到的；‎ ‎3．抛物线y＝－2(x－3)2－1的开口方向是向下，其顶点坐标是(3，－1)，对称轴是直线x＝3，当x>3时，函数值y随自变量x的值的增大而减小．‎ 一、小组讨论：小组讨论交流解题思路，小组活动后，小组代表展示活动成果．(13分钟)‎ 探究1　填写下表：‎ 解析式 开口方向 对称轴 顶点坐标 y＝－2x2‎ 向下 y轴 ‎(0，0)‎ y＝x2＋1‎ 向上 y轴 ‎(0，1)‎ y＝－5(x＋2)2‎ 向下 x＝－2‎ ‎(－2，0)‎ y＝3(x＋1)2－4‎ 向上 x＝－1‎ ‎(－1，－4)‎ 点拨精讲：解这类型题要将不同形式的解析式统一为y＝a(x－h)2＋k的形式，便于解答．‎ 探究2　已知y＝a(x－h)2＋k是由抛物线y＝－x2向上平移2个单位长度，再向右平移1个单位长度得到的抛物线．(1)求出a，h，k的值；(2)在同一坐标系中，画出y＝a(x－h)2＋k与y＝－x2的图象；(3)观察y＝a(x－h)2＋k的图象，当x取何值时，y随x的增大而增大；当x取何值时，y随x的增大而减小，并求出函数的最值；(4)观察y＝a(x－h)2＋k的图象，你能说出对于一切x的值，函数y的取值范围吗？‎ 解：(1)∵抛物线y＝－x2向上平移2个单位长度，再向右平移1个单位长度得到的抛物线是y＝－(x－1)2＋2，∴a＝－，h＝1，k＝2；‎ ‎(2)函数y＝－(x－1)2＋2与y＝－x2的图象如图；‎ ‎(3)观察y＝－(x－1)2＋2的图象可知，当x<1时，y随x的增大而增大；x>1时，y随x的增大而减小；‎ 6‎ ‎(4)由y＝－(x－1)2＋2的图象可知，对于一切x的值，y≤2.‎ 二、跟踪练习：学生独立确定解题思路，小组内交流，上台展示并讲解思路．(5分钟)‎ ‎1．将抛物线y＝－2x2向右平移3个单位，再向上平移2个单位，得到的抛物线解析式是y＝－2(x－3)2＋2．‎ 点拨精讲：抛物线的移动，主要看顶点位置的移动．‎ ‎2．若直线y＝2x＋m经过第一、三、四象限，则抛物线y＝(x－m)2＋1的顶点必在第二象限．‎ 点拨精讲：此题为二次函数简单的综合题，要注意它们的图象与性质的区别．‎ ‎3．把y＝2x2－1的图象向右平移1个单位，再向下平移2个单位，得到的新抛物线的解析式是y＝2(x－1)2－3．‎ ‎4．已知A(1，y1)，B(－，y2)，C(－2，y3)在函数y＝a(x＋1)2＋k(a>0)的图象上，则y1，y2，y3的大小关系是y2

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