高考数学理模拟题新课标分类汇编 解析几何

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高考数学理模拟题新课标分类汇编 解析几何

‎【数学理】2011届高考模拟题(课标)分类汇编: 解析几何 ‎1.(2011北京朝阳区期末)‎ 已知点,分别是双曲线的左、右焦点,过F1且垂直于 轴的直线与双曲线交于,两点,若是锐角三角形,则该双曲线离心率的取值范围是 .‎ ‎2.(2011北京朝阳区期末)‎ 设椭圆:的左、右焦点分别为,上顶点为,过点与垂直的直线交轴负半轴于点,且,若过,,三点的圆恰好与直线:相切. 过定点的直线与椭圆交于,两点(点在点,之间).‎ x O y Q A ‎·‎ ‎·‎ F2‎ F1‎ ‎ (Ⅰ)求椭圆的方程;‎ ‎ (Ⅱ)设直线的斜率,在轴上是否存在点 ‎,使得以,为邻边的平行四 边形是菱形. 如果存在,求出的取值范围,‎ 如果不存在,请说明理由;‎ ‎(Ⅲ)若实数满足,求的取值范围.‎ 解:(Ⅰ)因为,‎ 所以为中点.‎ 设的坐标为,‎ 因为,‎ 所以,,且过三点的圆的圆心为,半径为. …………………………………………… 2分 因为该圆与直线相切,所以. ‎ 解得,所以,.‎ ‎ 故所求椭圆方程为. …………………………………………… 4分 ‎(Ⅱ)设的方程为(),‎ ‎ 由 得.‎ ‎ 设,,则. ………………………5分 ‎ 所以.‎ ‎ =‎ ‎.‎ 由于菱形对角线互相垂直,则. ……………………6分 ‎ 所以.‎ 故.‎ ‎ 因为,所以.‎ ‎ 所以 即.‎ 所以 解得. 即.‎ 因为,所以.‎ 故存在满足题意的点且的取值范围是. ……………………… 8分 ‎(Ⅲ)①当直线斜率存在时,‎ 设直线方程为,代入椭圆方程 得.‎ 由,得. …………………………………………………… 9分 设,,‎ 则,. ‎ 又,所以. 所以. …… 10分 所以,.‎ 所以. 所以. ‎ 整理得. …………………………………………… 11分 因为,所以. 即. 所以.‎ 解得. ‎ 又,所以. …………………………………… 13分 ‎②又当直线斜率不存在时,直线的方程为,‎ 此时,,,,‎ ‎,所以.‎ 所以,即所求的取值范围是. ……………… 14分 ‎3.(2011北京丰台区期末)‎ 过点且与圆相切的直线方程为 ‎ ‎4. (2011北京丰台区期末)‎ 已知为平面直角坐标系的原点,过点的直线与圆交于两点.‎ ‎(Ⅰ)若,求直线的方程;‎ ‎(Ⅱ)若与的面积相等,求直线的斜率.‎ 解:(Ⅰ)依题意,直线的斜率存在,‎ 因为 直线过点,可设直线:. ‎ 因为 两点在圆上,所以 ,‎ 因为 ,所以 ‎ 所以 所以 到直线的距离等于.‎ 所以 , ‎ ‎ 得, ‎ 所以 直线的方程为或. ‎ ‎(Ⅱ)因为与的面积相等,所以, ‎ 设 ,,所以 ,.‎ 所以 即  (*); ‎ 因为 ,两点在圆上,‎ 所以 把(*)代入,得 ,‎ 所以 ‎ 所以 直线的斜率, 即. ‎ ‎5.(2011北京西城区期末)‎ 双曲线的渐近线方程为; ‎ 若双曲线的右顶点为,过的直线与双曲线的两条渐近线交于两点,且 ‎,则直线的斜率为.‎ ‎6. (2011北京西城区期末)‎ 在平面直角坐标系中,定义为两点,之间的“折线距离”. 则 坐标原点与直线上一点的“折线距离”的最小值是;‎ 圆上一点与直线上一点的“折线距离”的最小值是.‎ ‎7. (2011北京西城区期末)‎ 已知椭圆()的右焦点为,离心率为.‎ ‎(Ⅰ)若,求椭圆的方程;‎ ‎(Ⅱ)设直线与椭圆相交于,两点,分别为线段的中点. 若坐标原点在以为直径的圆上,且,求的取值范围.‎ 解:(Ⅰ)由题意得,得. ………………2分 结合,解得,. ………………3分 所以,椭圆的方程为. ………………4分 ‎(Ⅱ)由 得. ‎ 设.‎ 所以, ………………6分 依题意,,‎ 易知,四边形为平行四边形,‎ 所以, ………………7分 因为,,‎ 所以. ………………8分 即 , ………………9分 将其整理为 . ………………10分 因为,所以,. ………………11分 所以,即. ‎ ‎8、 (2011巢湖一检)已知三条直线,若关于的对称直线与垂直,则实数的值是(D)‎ ‎ A.-8 B.- C.8 D.‎ ‎9. (2011巢湖一检)给出下列命题:‎ ‎①已知椭圆两焦点为,则椭圆上存在六个不同点,使得为直角三角形;‎ ‎②已知直线过抛物线的焦点,且与这条抛物线交于A、B两点,则|AB|的最小值为2;‎ ‎③若过双曲线C:的一个焦点作它的一条渐近线的垂线,垂足为,为坐标原点,则;‎ ‎④已知⊙,⊙,则这两圆恰有2条公切线;‎ 其中正确命题的序号是①③④.(把你认为正确命题的序号都填上) ‎ ‎10.((2011巢湖一检)‎ 已知直线,椭圆E:.‎ ‎(Ⅰ)若不论k取何值,直线与椭圆E恒有公共点,试求出m的取值范围及椭圆离心率e关于m的函数式;‎ ‎(Ⅱ)当时,直线与椭圆E相交于A、B两点,与y轴交于点M,若,求椭圆E方程.‎ 解:(Ⅰ)∵直线恒过定点M(0,1),且直线与椭圆E恒有公共点,‎ ‎∴点M(0,1)在椭圆E上或其内部,得,‎ 解得. ‎ ‎(联立方程组,用判别式法也可)‎ 当时,椭圆的焦点在轴上,;‎ 当时,椭圆的焦点在轴上,.‎ ‎∴ ‎ ‎ (Ⅱ)由,消去得.‎ 设,,则①,②.‎ ‎∵M(0,1),∴由得 ③. ‎ ‎ 由①③得 ④.‎ 将③④代入②得, ,解得(不合题意,舍去).‎ ‎∴椭圆E的方程为. ……‎ ‎11. (2011承德期末)椭圆的右焦点到直线的距离是( A )‎ A. B. C.1 D.‎ ‎12. (2011承德期末)双曲线的一个焦点为,顶点为,,P是双曲线上任意一点,则分别以线段为直径的两圆一定( B )‎ ‎ A.相交 B.相切 C.相离 D.以上情况都有可能 ‎13. (2011承德期末)‎ 椭圆的方程为,斜率为1的直线与椭圆交于两点.‎ ‎(Ⅰ)若椭圆的离心率,直线过点,且,求椭圆的方程;‎ ‎(Ⅱ)直线过椭圆的右焦点F,设向量,若点在椭圆上,求 的取值范围.‎ 解:(Ⅰ)∵, ∴.‎ ‎ ∴.‎ ‎∵ ∴ .‎ ‎∴椭圆的方程为. ………………………………… 5分 ‎(Ⅱ)得 ‎ ,.‎ ‎=(,), .‎ ‎∵点在椭圆上 ,将点坐标代入椭圆方程中得.‎ ‎∵ ,‎ ‎∴ ,. …………… 12分 ‎14.(2011佛山一检)已知双曲线与抛物线有一个公共的焦点,且两曲线的一个交点为,若,则双曲线的渐近线方程为(B)‎ A.  B. C. D.‎ ‎15. (2011佛山一检)已知直线与轴,轴分别交于两点,‎ 若动点在线段上,则的最大值为__________‎ ‎16.(2011佛山一检)若点在直线上,过点的直线 与曲线只有一个公共点,‎ 则的最小值为____4______.‎ ‎17.(2011佛山一检)已知椭圆的离心率为,以原点为圆心,椭圆短半轴长为半径的圆与直线相切,分别是椭圆的左右两个顶点, 为椭圆上的动点.‎ ‎(Ⅰ)求椭圆的标准方程;‎ ‎(Ⅱ)若与均不重合,设直线与的斜率分别为,证明:为定值;‎ ‎(Ⅲ)为过且垂直于轴的直线上的点,若,求点的轨迹方程,并说明轨迹是什么曲线. ‎ 解:(Ⅰ)由题意可得圆的方程为,‎ ‎∵直线与圆相切,∴,即, 又,即,‎ ‎,解得,, ‎ 所以椭圆方程为. ‎ ‎(Ⅱ)设, ,,则,即, ‎ 则,, ‎ 即, ‎ ‎∴为定值. ‎ ‎(Ⅲ)设,其中.‎ 由已知及点在椭圆上可得, ‎ 整理得,其中. ‎ ‎①当时,化简得,‎ 所以点的轨迹方程为,轨迹是两条平行于轴的线段; ‎ ‎②当时,方程变形为,其中, ‎ 当时,点的轨迹为中心在原点、实轴在轴上的双曲线满足的部分;‎ 当时,点的轨迹为中心在原点、长轴在轴上的椭圆满足的部分;‎ 当时,点的轨迹为中心在原点、长轴在轴上的椭圆. ‎ ‎18.(2011福州期末)若双曲线的焦点到其渐近线的距离等于实轴长,则该双曲线的离心率为 ‎ ( A )‎ ‎ A. B.‎5 ‎C. D.2‎ ‎19.(2011福州期末)定义:平面内横坐标为整数的点称为“左整点”,过函数图象上任意两个“左整点”作直线,则倾斜角大于的直线条数为 ( B )‎ ‎ A.10 B.‎11 ‎C.12 D.13‎ ‎20.(2011福州期末) 如图,‎ 为半圆,AB为半圆直径,O为半圆圆心,且,Q为线段OD的中点,已知|AB|=4,曲线C过Q点,动点P在曲线C上运动且保持|PA|+|PB|的值不变。‎ ‎ (Ⅰ)建立适当的平面直角坐标系,求曲线C的方程;‎ ‎ (Ⅱ)过点B的直线与曲线C交于M、N两点,与OD所在直线交于E点,若为定值。‎ ‎ 解:(Ⅰ)以AB、OD所在直线分别为x轴、y轴,‎ ‎ O为原点,建立平面直角坐标系,‎ ‎ ∵动点P在曲线C上运动且保持|PA|+|PB|的值不变.‎ 且点Q在曲线C上,‎ ‎ ∴|PA|+|PB|=|QA|+|QB|=2>|AB|=4.‎ ‎ ∴曲线C是为以原点为中心,A、B为焦点的椭圆 ‎ 设其长半轴为a,短半轴为b,半焦距为c,则‎2a=2,∴a=,c=2,b=1.‎ ‎ ∴曲线C的方程为+y2=1 5分 ‎(Ⅱ)证法1:设点的坐标分别为,‎ ‎ 又易知点的坐标为.且点B在椭圆C内,故过点B的直线l必与椭圆C相交.‎ ‎ ∵,∴.‎ ‎ ∴ ,. 7分 ‎ 将M点坐标代入到椭圆方程中得:,‎ ‎ 去分母整理,得. 10分 ‎ 同理,由可得:.‎ ‎ ∴ ,是方程的两个根,‎ ‎ ∴ . 12分 ‎(Ⅱ)证法2:设点的坐标分别为,又易知点的坐标为.且点B在椭圆C内,故过点B的直线l必与椭圆C相交.‎ ‎ 显然直线 的斜率存在,设直线 的斜率为 ,则直线 的方程是 .‎ ‎ 将直线 的方程代入到椭圆 的方程中,消去 并整理得 ‎ . 8分 ‎ ∴ ,.‎ ‎ 又 ∵,‎ ‎ 则.∴,‎ ‎ 同理,由,∴. 10分 ‎ ∴. 12分 ‎21.. ( 2011广东广雅中学期末)‎ 已知椭圆的中心为坐标原点O,椭圆短半轴长为1,动点 在直线上。‎ ‎(1)求椭圆的标准方程 ‎(2)求以OM为直径且被直线截得的弦长为2的圆的方程;‎ ‎(3)设F是椭圆的右焦点,过点F作OM的垂线与以OM为直径的圆交于点N,‎ 求证:线段ON的长为定值,并求出这个定值。‎ ‎【解析】(1)又由点M在上,得 ‎ 故, 从而 ……………2分 所以椭圆方程为 或 ……………4分 ‎(2)以OM为直径的圆的方程为 即 ‎ 其圆心为,半径 ……………6分 因为以OM为直径的圆被直线截得的弦长为2‎ 所以圆心到直线的距离 ……………8分 所以,解得 所求圆的方程为 ……………10分 ‎(3)方法一:由平几知:‎ 直线OM:,直线FN: ……………12分 由得 所以线段ON的长为定值。 ……………14分 方法二、设,则 ‎ ‎ ……………12分 又 所以,为定值 ……………14分 ‎22. (2011广州调研)‎ ‎ 已知直线经过坐标原点,且与圆相切,切点在第四象限,则直线的 ‎ 方程为 .‎ ‎23、(2011广州调研)‎ ‎ ‎ ‎ 已知椭圆的离心率. 直线()与曲线交于 ‎ 不同的两点,以线段为直径作圆,圆心为. ‎ ‎ (1) 求椭圆的方程;‎ ‎ (2) 若圆与轴相交于不同的两点,求的面积的最大值.‎ ‎(本小题主要考查椭圆、圆、直线与圆的位置关系等知识, 考查数形结合、化归与转化、函数与方程的数学思想方法,以及推理论证能力、运算求解能力和创新意识)‎ ‎(1)解:∵椭圆的离心率, ∴. …… 2分 ‎ 解得. ∴ 椭圆的方程为. …… 4分 ‎(2)解法1:依题意,圆心为.‎ ‎ 由 得. ∴ 圆的半径为. …… 6分 ‎∵ 圆与轴相交于不同的两点,且圆心到轴的距离,‎ ‎∴ ,即. ‎ ‎∴ 弦长. …… 8分 ‎∴的面积 …… 9分 ‎ ‎ ‎ . …… 12分 ‎ 当且仅当,即时,等号成立.‎ ‎ ∴ 的面积的最大值为. …… 14分 解法2:依题意,圆心为.‎ ‎ 由 得.∴ 圆的半径为. …… 6分 ‎ ∴ 圆的方程为.‎ ‎∵ 圆与轴相交于不同的两点,且圆心到轴的距离,‎ ‎∴ ,即.‎ ‎ 在圆的方程中,令,得,‎ ‎ ∴ 弦长. (资料来源:数学驿站 www.maths168.co ‎∴的面积 ‎ ‎ ‎ ‎ . ‎ ‎ 当且仅当,即时,等号成立.‎ ‎ ∴ 的面积的最大值为. ‎ ‎24.(2011哈尔滨期末)‎ 抛物线上一点到直线的距离最短,则该点的坐标是( C )‎ ‎ A. B. C. D.‎ ‎25.(2011哈尔滨期末)‎ 双曲线的离心率为2,则的最小值为 ( A )‎ ‎ A. B. C. D. ‎ ‎26.(2011哈尔滨期末)‎ 椭圆上有一点,是椭圆的左、右焦点,为直角三角形,则这样的点有 (C )‎ ‎ A.个 B.个 C.个 D.个 ‎27.(2011哈尔滨期末)‎ 已知是椭圆上一点,两焦点为,点是的内心,连接并延长交于,则的值为 ( A )‎ ‎ A. B. C. D.‎ ‎28.(2011哈尔滨期末)‎ 是抛物线的一条焦点弦,若,则的中点到直线 的距离为 ‎ ‎29.(2011哈尔滨期末)‎ 若是直角三角形的三边的长(为斜边),则圆被直线 所截得的弦长为 .‎ ‎30.(2011哈尔滨期末)‎ 椭圆的中心在坐标原点,焦点在轴上,该椭圆经过点且离心率为.‎ ‎(1)求椭圆的标准方程;‎ ‎(2)若直线与椭圆相交两点(不是左右顶点),且以为直径的圆过椭圆的右顶点,求证:直线过定点,并求出该定点的坐标.‎ 解:(1)椭圆的标准方程为 ‎ (2)设,得:‎ ‎ ,,‎ ‎ ‎ 以为直径的圆过椭圆的右顶点,,‎ ‎,‎ ‎,,且均满足,‎ 当时,的方程为,则直线过定点与已知矛盾 当时,的方程为,则直线过定点 直线过定点,定点坐标为 ‎31.(2011哈尔滨期末)‎ 已知抛物线,其焦点到准线的距离为。,‎ ‎(1)试求抛物线的方程;‎ ‎(2)设抛物线上一点的横坐标为,过的直线交于另一点,交轴于,过点作的垂线交于另一点,若是的切线,求的最小值.‎ D 解:(1)‎ ‎(2)设,则直线的方程为 令,得,‎ ‎,且两直线斜率存在,,即,‎ 整理得,又在直线上,‎ 则与共线,得 由(1)、(2)得,,或(舍)‎ 所求的最小值为。‎ ‎32.(2011湖北八校一联)‎ 已知上的动点,定点A(2,0),B(—2,0),则的最大值为 ( D )‎ ‎ A.4 B.‎0 ‎C.—12 D.12‎ ‎33.(2011湖北八校一联)‎ 已知点的左准线与x轴的交点,若线段AB的中点C在椭圆上,则该椭圆的离心率为 。‎ ‎34.(2011湖北八校一联)‎ ‎ 已知双曲线的左、右顶点分别为A1、A2,动直线与圆相切,且与双曲线左、右两支的交点分别为 ‎ (I)求k的取值范围,并求的最小值;‎ ‎ (II)记直线是定值吗?证明你的结论。‎ 解: (Ⅰ)与圆相切, ………… ①‎ 由 , 得 ,‎ ‎ ,‎ ‎,故的取值范围为.‎ 由于,‎ ‎ 当时,取最小值. 6分 ‎(Ⅱ)由已知可得的坐标分别为,‎ ‎, ‎ ‎,‎ 由①,得 , ‎ 为定值. 12分 ‎35.(2011·湖北重点中学二联)已知定点,N是圆上任意一点,点F1关于点N的对称点为M,线段F‎1M的中垂线与直线F‎2M相交于点P,则点P的轨迹是 ( B )‎ ‎ A.椭圆 B.双曲线 C.抛物线 D.圆 ‎36.(2011·湖北重点中学二联)设F为抛物线的焦点,与抛物线相切于点P(-4,-4)的直线轴的交点为Q,则 。‎ ‎37.(2011·湖北重点中学二联)(本小题满分12分)‎ 已知点是椭圆上任意一点,直线的方程为 ‎ (I)判断直线与椭圆E交点的个数;‎ ‎ (II)直线过P点与直线垂直,点M(-1,0)关于直线的对称点为N,直线PN恒 过一定点G,求点G的坐标。‎ 解:(1)由消去并整理得……2分 ‎,‎ ‎…………4分 故直线与椭圆只有一个交点…………5分 ‎(2)直线的方程为 即………………6分 设关于直线的对称点的坐标为 则 解得……8分 ‎ 直线的斜率为 从而直线的方程为 即 从而直线恒过定点…………12分 ‎38、(2011·淮南一模)已知双曲线中心在原点且一个焦点为,点位于该双曲线上,线段的中点坐标为,则双曲线的方程为 ( B )‎ A. B. C. D. ‎ ‎39、(2011·淮南一模)若过点的直线与曲线有公共点,则直线的斜率的取值范围为 ( D )‎ ‎ A. B. ‎ C. D.‎ ‎40、(2011·淮南一模)我们把平面内与直线垂直的非零向量称为直线的法向量,在平面直线坐标系中,利用求动点轨迹方程的方法,可以求出过点,且法向量为 的直线(点法式)方程为,化简得. 类比以上方法,在空间直角坐标系中,经过点且法向量为的平面(点法式)方程为 (请写出化简后的结果);‎ ‎41、(2011·淮南一模)等腰中,斜边,一个椭圆以为其中一个焦点,另一焦点在线段上,且椭圆经过,两点,则该椭圆的离心率是 。 ‎ ‎42、(2011·淮南一模)(本小题13分)已知抛物线的顶点在原点,焦点在轴的负半轴上,过其上一点的切线方程为为常数).‎ ‎ (Ⅰ)求抛物线方程;‎ ‎ (Ⅱ)斜率为的直线与抛物线的另一交点为,斜率为的直线与抛物线的另一交点为(、两点不同),且满足,求证:线段的中点在轴上;‎ ‎ (Ⅲ)在(Ⅱ)的条件下,当时,若的坐标为,求为钝角时点的纵坐标的 取值范围. ‎ ‎ ‎ 解:(Ⅰ)由题意可设抛物线的方程为,‎ ‎ ∵过点的切线方程为,‎ ‎ ‎ ‎ ∴抛物线的方程为 ………………………4分 ‎ ‎ ‎(Ⅱ)直线PA的方程为,‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ 同理,可得, ‎ ‎ 又 ‎ ∴线段PM的中点在y轴上. …………………………8分 ‎ ‎ (Ⅲ)由 ‎ ‎ ‎ ‎ ∵∠PAB为钝角,且P, A, B不共线, 即 ‎ ,,‎ ‎ ……………………10分 ‎ 又∵点A的纵坐标 ∴当时,;‎ ‎ 当 ‎ ∴∠PAB为钝角时点A的纵坐标的取值范围为 …13分 ‎43. (2011·黄冈期末) 已知直线l交椭圆4x2+5y2=80于M、N两点,椭圆与y轴的正半轴交于B点,若△BMN的重心恰好落在椭圆的右焦点上,则直线l的方程是 ( A ) ‎ A.6x-5y-28=0 B.6x+5y-28=‎0 ‎C.5x+6y-28=0 D.5x-6y-28=0‎ ‎44、 (2011·黄冈期末)过双曲线(a>0,b>0)的一个焦点作一条渐近线的垂线,垂足恰好落在曲线上,则双曲线的离心率为 _____ ‎ ‎45. (2011·黄冈期末) (12分)已知圆及定点,点P是圆M上的动点,‎ ‎ 点Q在NP上,点G在MP上,且满足,.‎ ‎ (1)求G的轨迹C的方程;‎ ‎ (2)过点作直线l,与曲线C交于A,B两点,O为坐标原点,设 ‎,是否存在这样的直线l,使四边形OASB的对角线相等?若存在,求出直线l的方程;若不存在,说明理由.‎ 解:(1),所以椭圆方程为………4分 ‎(2)四边形为平行四边形,又其对角线相等,则 当直线的斜率不存在时,四边形的对角线不相等;…………………………6分 当直线的斜率存在时,设直线,联立 ‎……………………9分 ‎,‎ 整理得(*)‎ 代入得 所以存在直线……………………………12分 ‎46. (2011·惠州三调)(本题满分14分)‎ 已知椭圆:的离心率为,过坐标原点且斜率为的直线与相交于、,.‎ ‎⑴求、的值;‎ ‎⑵若动圆与椭圆和直线都没有公共点,试求的取值范围.‎ 解:⑴依题意,:……1分,不妨设设、()‎ 由得,……3分,所以……5分,‎ 解得,……6分. ‎ ‎⑵由消去得……7分,动圆与椭圆没有公共点,当且仅当或……9分,解得或……10分。动圆与直线没有公共点当且仅当,即……12分。解或……13分,得的取值范围为……14分.………………14分 ‎47、(2011·锦州期末)设斜率为2的直线过抛物线的焦点,且和轴交于点A,若△(为坐标原点)的面积为4,则抛物线方程为( B ) ‎ ‎(A) (B) (C) (D) ‎ ‎48、(2011·锦州期末)已知直线相交于A,B两点,且则= .‎ ‎49、(2011·锦州期末)双曲线=1(b∈N)的两个焦点、,为双曲线上一点,成等比数列,则=____1_____ ‎ ‎50、(2011·锦州期末)(本小题12分)‎ ‎ 如图所示,已知圆为圆上一动点,点在上,点在上,且满足的轨迹为曲线.‎ ‎ (I)求曲线的方程;‎ ‎ (II)若过定点F(0,2)的直线交曲线于不同的两点 ‎(点在点之间),且满足,求的取值范围.‎ ‎【解】(Ⅰ)‎ ‎∴NP为AM的垂直平分线,∴|NA|=|NM|.…………………………2分 又 ‎∴动点N的轨迹是以点C(-1,0),A(1,0)为焦点的椭圆.‎ 且椭圆长轴长为焦距‎2c=2. ……………5分 ‎∴曲线E的方程为………………6分 ‎(Ⅱ)当直线GH斜率存在时,‎ 设直线GH方程为 得 设……………………8分 ‎,‎ ‎……………………10分 又当直线GH斜率不存在,方程为 ‎…………………‎ ‎51.(2011·金华十二校一联)若,则方程表示的曲线只可能是( C )‎ ‎ A B C D ‎52.(2011·金华十二校一联)设分别为双曲线的左右焦点,为双曲线的左顶点,以为直径的圆交双曲线某条渐近线于两点,且满足,则该双曲线的离心率为 .‎ ‎53.(2011·金华十二校一联)(本题满分15分)‎ 已知椭圆的两个焦点分别为,点在椭圆上,且满足,直线与圆相切,与椭圆相交于两点.‎ ‎(I)求椭圆的方程; ‎ ‎(II)证明为定值(为坐标原点).‎ 解:(I)由题意,,‎ ‎ 解三角形得,由椭圆定义得,‎ ‎ 从而又,则,所以椭圆的方程为 (6分)‎ ‎ (II)设交点,‎ ‎ 联立消去得 ‎ 由韦达定理得 (9分)‎ ‎ 又直线与圆相切,‎ ‎ 则有 (11分)‎ ‎ 从而 ‎ (14分)‎ ‎ 所以,即为定值. (15分)‎ ‎54.(2011·九江七校二月联考)直线与圆C:的位置关系是( A )‎ A.相交 B.相切 C.相离 D.不确定 ‎55.(2011·九江七校二月联考)设抛物线=2x的焦点为F,过点M(,0)的直线与抛物线相交于A,B两点,与抛物线的准线相交于C,=2,则与的面积之比=( D )‎ A. B. C. D.‎ ‎56.(2011·九江七校二月联考)(本小题满分13分)‎ 已知抛物线:的焦点为,过点作直线交抛物线于、两点;椭圆的中心在原点,焦点在轴上,点是它的一个顶点,且其离心率.‎ ‎(1)求椭圆的方程;‎ ‎(2)经过、两点分别作抛物线的切线、,切线与相交于点.证明:‎ ‎;‎ ‎(3) 椭圆上是否存在一点,经过点作抛物线的两条切线、(、为切点),使得直线过点?若存在,求出抛物线与切线、所围成图形的面积;若不存在,试说明理由.‎ 解:(1)设椭圆的方程为 ,半焦距为.‎ 由已知条件,得,‎ ‎∴‎ ‎ 解得 .‎ 所以椭圆的方程为:. …………分 ‎(2)显然直线的斜率存在,否则直线与抛物线只有一个交点,不合题意,‎ ‎ 故可设直线的方程为 ,,‎ ‎ 由 ‎ 消去并整理得 ,‎ ‎ ∴ . …………分 ‎∵抛物线的方程为,求导得,‎ ‎∴过抛物线上、两点的切线方程分别是 ‎ , ,‎ 即 , ,‎ 解得两条切线、的交点的坐标为,即,……分 ‎∴‎ ‎∴. …………8分 ‎ ‎ ‎(3)假设存在点满足题意,由(2)知点必在直线上,又直线与椭圆有唯一交点,故的坐标为,‎ 设过点且与抛物线相切的切线方程为:,其中点为切点.‎ 令得,,‎ ‎ 解得或 , …………10分 ‎ 故不妨取,即直线过点.‎ ‎ 综上所述,椭圆上存在一点,经过点作抛物线的两条切线、 (、为切点),能使直线过点.‎ ‎ 此时,两切线的方程分别为和. …………11分 ‎ 抛物线与切线、所围成图形的面积为 ‎ . ……‎ ‎57.(2011·南昌期末)设圆的圆心在双曲线的右焦点上,且与此双曲线的渐近线相切,若圆被直线截得的弦长等于2,则( C )‎ A. B. C. D.‎ ‎58. (2011·南昌期末)(在给出的二个题中,任选一题作答. 若多选做,则按所做的第①题给分)‎ ‎①已知圆的极坐标方程为,则该圆的圆心到直线的距离为____________.‎ ‎②若不等式 对任意的实数x恒成立,则实数a的取值范围是____________________.‎ ‎59. (2011·南昌期末)(本小题满分13分)‎ 从椭圆上一点向轴作垂线,垂足恰好为椭圆的左焦点是椭圆的右顶点,是椭圆的上顶点,且.‎ ‎(1)求该椭圆的离心率;‎ ‎(2)若过右焦点且不与坐标轴垂直的直线交椭圆于、两点,点关于轴的对称点为,直线与轴交于点,求椭圆的方程.‎ 解:(1)令,得,‎ 所以点P的坐标为,………………………2分 由得到:, ……………………………………………4分 所以,即离心率………………………………………………5分 ‎(2)设直线的方程为:,与椭圆方程 联立得到:即:…6分 记,,‎ 则……………………………………………………7分 由A关于轴的对称点为,得,‎ 则直线的方程是:,过点得到:‎ ‎ …………………………………9分 即:‎ 所以:……………………………………………………11分 得到:,所以:……………………………………………………12分 所以所求椭圆方程为:…………………………………………………13分 ‎60、(2011·日照一调)已知圆P的方程为(x-3)2+(y-2)2=4,直线y=mx与圆P交于A、B两点,直线y=nx与圆P交于C、D两点,则·+·(O为坐标原点)等于( D )‎ ‎(A)4 (B)8 (C)9 (D)18‎ ‎61、.(2011·三明三校二月联考)已知点F为抛物线y 2 = -8x的焦点,O为原点,点P是抛物线准线上一动点,点A在抛物线上,且 ‎|AF|=4,则|PA|+|PO|的最小值为 (C )‎ A. 6 B. C. D.4+2‎ ‎62、 (2011·三明三校二月联考)(本题满分14分) 已知椭圆的左、右焦点分别为F1、F2,其中 F2也是抛物线的焦点,M是C1与C2在第一象限的交点,且 ‎ ‎(I)求椭圆C1的方程; (II)已知菱形ABCD的顶点A、C在椭圆C1上,顶点B、D在直线上,求直线AC的方程。‎ 解:(I)设由抛物线定义,‎ ‎…………3分, M点C1上,‎ 舍去.‎ 椭圆C1的方程为…………6分 ‎ (II)为菱形,,设直线AC的方程为 在椭圆C1上,设,则 …………10分 的中点坐标为,由ABCD为菱形可知,点在直线BD:上,‎ ‎∴直线AC的方程为…………14分 ‎63. (2011·上海普陀区高三期末)若直线的一个法向量为,则直线的倾斜角为 . ‎ ‎64. (2011·上海普陀区高三期末)抛物线的顶点在坐标原点,焦点是椭圆的一个焦点,则此抛物线的焦点到其准线的距离为 4 . ‎ ‎65. (2011·上海普陀区高三期末)方程为的曲线上任意两点之间距离的最大值为 . ‎ ‎66. (2011·上海普陀区高三期末)双曲线上到定点的距离是6的点的个数是 ( B )‎ ‎ A. 0个; B. 2个; C. 3个; D. 4个.‎ ‎67. (2011·泰安高三期末)已知双曲线的一个焦点与抛物线y2=4x的焦点重合,且双曲线的离心率等于,则该双曲线的方程为( D )‎ A.5x2- y2=1 B.‎ C. D. 5x2-y2=1‎ ‎68. (2011·泰安高三期末)由两条抛物线y2=x和y=x2所围成的图形的面积为 .‎ ‎69. (2011·泰安高三期末)圆心在曲线上,且与直线2x+y+1=0‎ 相切的面积最小的圆的方程为 (x-1)2+(y-2)2=5 .‎ ‎70. (2011·泰安高三期末)(本小题满分12分)‎ ‎ 已知椭圆的离心率为e=,且过点()‎ ‎(Ⅰ)求椭圆的方程;‎ ‎(Ⅱ)设直线l:y=kx+m(k≠0,m>0)与椭圆交于P,Q两点,且以PQ为对角线的菱形的一顶点为(-1,0),求:△OPQ面积的最大值及此时直线l的方程.‎ ‎.解:(Ⅰ)∵e= ∴c= a ∴b2=a2-c2= a2‎ 故所求椭圆为:‎ 又椭圆过点() ∴ ∴a2 =4. b2 =1 ∴‎ ‎(Ⅱ)设P(x1,y1), Q(x2,y2),PQ的中点为(x0,y0)‎ 将直线y=kx+m与 联立得(1+4k2)x2+8kmx+‎4m2‎-4=0‎ ‎ ①‎ 又x0=‎ 又点[-1,0)不在椭圆OE上,‎ 依题意有 整理得‎3km=4k2+1 ②…‎ 由①②可得k2>,∵m>0, ∴k>0,∴k>…分)‎ 设O到直线l的距离为d,则 S△OPQ =‎ ‎=……………分)‎ 当的面积取最大值1,此时k= ‎ ‎∴直线方程为y= ……………………………‎ ‎71. (2011苏北四市二调)已知直线:和:,则的充要条件是 ‎72. (2011苏北四市二调)双曲线的两条渐近线将平面划分为“上、下、左、右”四个区域(不含边界),若点在“上”区域内,则双曲线离心率的取值范围是 .‎ ‎73. (2011苏北四市二调)(本小题满分16分)‎ O M N F2‎ F1‎ y x ‎(第18题)‎ 如图,椭圆过点,其左、右焦点分别为,离心率,是椭圆右准线上的两个动点,且.‎ ‎(1)求椭圆的方程;‎ ‎(2)求的最小值;‎ ‎(3)以为直径的圆是否过定点?‎ 请证明你的结论.‎ 解:(1),且过点,‎ ‎ 解得 椭圆方程为。 ‎ 设点 则,‎ ‎, 又,‎ ‎ 的最小值为. ‎ 圆心的坐标为,半径.‎ 圆的方程为, ‎ 整理得:. ‎ ‎,‎ ‎ 令,得,. ‎ 圆过定点.…‎ ‎74. (2011苏北四市二调)(本小题满分10分)‎ 已知动圆过点且与直线相切.‎ ‎(1)求点的轨迹的方程;‎ ‎(2)过点作一条直线交轨迹于两点,轨迹在两点处的切线相交于点,为线段的中点,求证:轴.‎ O F x y ‎·‎ ‎·‎ P 第22题 解:(1)根据抛物线的定义,可得动圆圆心的轨迹C的方程为…………4分 证明:设, ∵, ∴ ,∴ 的斜率分别 O F x y ‎·‎ ‎·‎ P 第22题 为,故的方程为,的方程为 …7分 即,两式相减,得,又 ‎,‎ ‎∴ 的横坐标相等,于是………………10分 ‎75、 ( 2011·温州八校联考)F1、F2分别是双曲线的左、右焦点,A是其右顶点,过F2作轴的垂线与双曲线的一个交点为P,G是,则双曲线的离心率是 ( C )‎ ‎ A.2 B. C.3 D.‎ ‎76.( 2011·温州八校联考)点P在椭圆上运动,Q、R分别在两圆和上运动,则的取值范围为 ______[2,6] 。‎ ‎77.( 2011·温州八校联考)(本小题满分15分)‎ 已知抛物线的顶点在原点,焦点坐标为,点的坐标为,设过点的直线l交抛物线于两点,点关于原点的对称点为点.‎ ‎ (1)当直线l的斜率为1时,求的面积关于m的函数表达式.‎ ‎ (2)试问在轴上是否存在一定点,使得TA,TB与轴所成的锐角相等?若存在,求出定点 的坐标,若不存在,请说明理由.‎ y P o x A B ‎78、(2011·温州十校高三期末)‎ 已知F1、F2分别是双曲线的左、右焦点,过F1且垂直于x轴的直线与双曲线交于A、B两点,若△ABF2为钝角三角形,则该双曲线的离心率e的取值范围是 ( D )‎ ‎ (A)(1,)(B) (C) (D)‎ ‎79、(2011·温州十校高三期末)由直线上的一点向圆引切线,则切线长的最小值为 ‎ ‎80、(2011·温州十校高三期末)设直线系M: ,对下列四个命题:‎ ‎(1)M中所有直线均经过一个定点 ‎(2)存在固定区域P,M中的任一条直线都不过P ‎(3)对于任意整数n(n≥3),存在正n边形,其所有边均在M中的直线上 ‎(4)M中的直线所能围成的正三角形面积相等 其中真命题的代号是 (2),(3) (写出所有真命题的代号)‎ ‎81、(2011·温州十校高三期末)(本小题满分15分)设、分别是椭圆 的左、右焦点,是该椭圆上的一个动点,为坐标原点. ‎ ‎(1)求的取值范围; ‎ ‎(2)设过定点的直线与椭圆交于不同的两点M、N,且∠为锐角,求直线的斜率的取值范围. 21(本小题满分15分)‎ 解:(1)易知 所以,设,则 ‎,故-21 ------------6分 ‎(2)显然直线不满足题设条件,可设直线,‎ 则消去,整理得:‎ 由得: 或---①--------------------9分 又∵‎ 又0°<∠MON<90°cos∠MON>0>0 ‎ ‎∴-------------------------11分 ‎∴,即 ∴---② ----13分 故由①、②得或 ------------------------15‎ ‎82. (2011烟台一调)已知双曲线的一个焦点与抛物线的焦点重合,且双曲线的离心率等于,则该双曲线的方程为( D )‎ A. B. C. D.‎ ‎83. (2011烟台一调)椭圆的左、右焦点分别是F1,F2,过F2作倾斜角为的直线与椭圆的一个交点为M,若MF1垂直于x轴,则椭圆的离心率为________________‎ ‎84. (2011烟台一调)(本小题满分12分)‎ 如图,平面上定点F到定直线l的距离|FM|=2,P为该平面上的动点,过P作直线l的垂线,垂足为Q,且 ‎(1)试建立适当的平面直角坐标系,求动点P的轨迹C的方程;‎ ‎(2)过点F的直线交轨迹C于A、B两点,交直线于点N,已知为定值.‎ 解:(1)方法一:如图,以线段的中点为原点,以线段所在的直线为轴建立直角坐标系.则,.…………2分 ‎ 设动点的坐标为,则动点的坐标为 ‎,, ……………3分 由·,得. ………5分 方法二:由. ………2分 所以,动点的轨迹是抛物线,以线段的中点 为原点,以线段所在的直线为轴建立直角坐标系,可得轨迹的方程为:‎ ‎ . ‎ ‎(2)方法一:如图,设直线的方程为,,分 则.联立方程组 消去得,‎ ‎,, ‎ 故 ‎ 由,得,‎ ‎,, ‎ 整理得,,‎ ‎·.‎ 方法二:由已知,,得. ‎ 于是, , ①分 如图,过、两点分别作准线的垂线,垂足分别为、,‎ 则有== , ② ‎ 由①、②得. ‎
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