【数学】2020届一轮复习（理）人教通用版6-3等比数列及其前n项和学案

【数学】2020届一轮复习（理）人教通用版6-3等比数列及其前n项和学案

‎§6.3　等比数列及其前n项和 最新考纲 考情考向分析 ‎1.理解等比数列的概念，掌握等比数列的通项公式与前n项和公式.‎ ‎2.能在具体的问题情境中识别数列的等比关系，并能用有关知识解决相应的问题.‎ ‎3.了解等比数列与指数函数的关系.‎ 主要考查等比数列的基本运算、基本性质，等比数列的证明也是考查的热点.本节内容在高考中既可以以选择题、填空题的形式进行考查，也可以以解答题的形式进行考查.解答题往往与等差数列、数列求和、不等式等问题综合考查.属于中低档题.‎ ‎1.等比数列的定义 一般地，如果一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的比都等于同一常数，那么这个数列叫做等比数列，这个常数叫做等比数列的公比，通常用字母q表示(q≠0).‎ ‎2.等比数列的通项公式 设等比数列{an}的首项为a1，公比为q，则它的通项an＝a1·qn－1.‎ ‎3.等比中项 如果三个数x，G，y组成等比数列，则G叫做x和y的等比中项.‎ ‎4.等比数列的常用性质 ‎(1)通项公式的推广：an＝am·qn－m(n，m∈N＋).‎ ‎(2)若{an}为等比数列，且k＋l＝m＋n(k，l，m，n∈N＋)，则ak·al＝am·an.‎ ‎(3)若{an}，{bn}(项数相同)是等比数列，则{λan}(λ≠0)，，{a}，{an·bn}，仍是等比数列.‎ ‎(4)在等比数列{an}中，等距离取出若干项也构成一个等比数列，即an，an＋k，an＋2k，an＋3k，…为等比数列，公比为qk.‎ ‎5.等比数列的前n项和公式 等比数列{an}的公比为q(q≠0)，其前n项和为Sn，‎ 当q＝1时，Sn＝na1；‎ 当q≠1时，Sn＝＝.‎ ‎6.等比数列前n项和的性质 公比不为－1的等比数列{an}的前n项和为Sn，则Sn，S2n－Sn，S3n－S2n仍成等比数列，其公比为qn.‎ 概念方法微思考 ‎1.将一个等比数列的各项取倒数，所得的数列还是一个等比数列吗？若是，这两个等比数列的公比有何关系？‎ 提示　仍然是一个等比数列，这两个数列的公比互为倒数.‎ ‎2.任意两个实数都有等比中项吗？‎ 提示　不是.只有同号的两个非零实数才有等比中项.‎ ‎3.“b2＝ac”是“a，b，c”成等比数列的什么条件？‎ 提示　必要不充分条件.因为b2＝ac时不一定有a，b，c成等比数列，比如a＝0，b＝0，c＝1.但a，b，c成等比数列一定有b2＝ac.‎ 题组一　思考辨析 ‎1.判断下列结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”)‎ ‎(1)满足an＋1＝qan(n∈N＋，q为常数)的数列{an}为等比数列.(　×　)‎ ‎(2)如果数列{an}为等比数列，bn＝a2n－1＋a2n，则数列{bn}也是等比数列.(　×　)‎ ‎(3)如果数列{an}为等比数列，则数列{ln an}是等差数列.(　×　)‎ ‎(4)数列{an}的通项公式是an＝an，则其前n项和为Sn＝.(　×　)‎ ‎(5)数列{an}为等比数列，则S4，S8－S4，S12－S8成等比数列.(　×　)‎ 题组二　教材改编 ‎2.已知{an}是等比数列，a2＝2，a5＝，则公比q＝______.‎ 答案　 解析　由题意知q3＝＝，∴q＝.‎ ‎3.公比不为1的等比数列{an}满足a5a6＋a4a7＝18，若a1am＝9，则m的值为(　　)‎ A.8 B.9 C.10 D.11‎ 答案　C 解析　由题意得，2a5a6＝18，a5a6＝9，∴a1am＝a5a6＝9，∴m＝10.‎ 题组三　易错自纠 ‎4.若1，a1，a2，4成等差数列，1，b1，b2，b3，4成等比数列，则的值为________.‎ 答案　－ 解析　∵1，a1，a2，4成等差数列，‎ ‎∴3(a2－a1)＝4－1，∴a2－a1＝1.‎ 又∵1，b1，b2，b3，4成等比数列，设其公比为q，‎ 则b＝1×4＝4，且b2＝1×q2>0，∴b2＝2，‎ ‎∴＝＝－.‎ ‎5.设Sn为等比数列{an}的前n项和，8a2＋a5＝0，则＝________.‎ 答案　－11‎ 解析　设等比数列{an}的公比为q，‎ ‎∵8a2＋a5＝0，∴8a1q＋a1q4＝0.‎ ‎∴q3＋8＝0，∴q＝－2，‎ ‎∴＝· ‎＝＝＝－11.‎ ‎6.一种专门占据内存的计算机病毒开机时占据内存1 MB，然后每3秒自身复制一次，复制后所占内存是原来的2倍，那么开机________秒，该病毒占据内存8 GB.(1 GB＝210 MB)‎ 答案　39‎ 解析　由题意可知，病毒每复制一次所占内存的大小构成一等比数列{an}，且a1＝2，q＝2，∴an＝2n，‎ 则2n＝8×210＝213，∴n＝13.‎ 即病毒共复制了13次.‎ ‎∴所需时间为13×3＝39(秒).‎ 题型一　等比数列基本量的运算 ‎1.(2019·沈阳模拟)已知等比数列{an}满足a1＝，a3a5＝4(a4－1)，则a2等于(　　)‎ A. B. C.1 D.2‎ 答案　B 解析　设等比数列{an}的公比为q，‎ 由题意知a3a5＝4(a4－1)＝a，‎ 则a－4a4＋4＝0，解得a4＝2，‎ 又a1＝，所以q3＝＝8，‎ 即q＝2，所以a2＝a1q＝.‎ ‎2.(2018·全国Ⅲ)等比数列{an}中，a1＝1，a5＝4a3.‎ ‎(1)求{an}的通项公式；‎ ‎(2)记Sn为{an}的前n项和，若Sm＝63，求m.‎ 解　(1)设{an}的公比为q，由题设得an＝qn－1.‎ 由已知得q4＝4q2，‎ 解得q＝0(舍去)，q＝－2或q＝2.‎ 故an＝(－2)n－1或an＝2n－1(n∈N＋).‎ ‎(2)若an＝(－2)n－1，则Sn＝.‎ 由Sm＝63得(－2)m＝－188，‎ 此方程没有正整数解.‎ 若an＝2n－1，则Sn＝2n－1.‎ 由Sm＝63得2m＝64，解得m＝6.‎ 综上，m＝6.‎ 思维升华 (1)等比数列的通项公式与前n项和公式共涉及五个量a1，an，q，n，Sn，已知其中三个就能求另外两个(简称“知三求二”).‎ ‎(2)运用等比数列的前n项和公式时，注意对q＝1和q≠1的分类讨论.‎ 题型二　等比数列的判定与证明 例1　已知数列{an}满足对任意的正整数n，均有an＋1＝5an－2·3n，且a1＝8.‎ ‎(1)证明：数列{an－3n}为等比数列，并求数列{an}的通项公式；‎ ‎(2)记bn＝，求数列{bn}的前n项和Tn.‎ 解　(1)因为an＋1＝5an－2·3n，‎ 所以an＋1－3n＋1＝5an－2·3n－3n＋1＝5(an－3n)，‎ 又a1＝8，所以a1－3＝5≠0，‎ 所以数列{an－3n}是首项为5、公比为5的等比数列.‎ 所以an－3n＝5n，‎ 所以an＝3n＋5n.‎ ‎(2)由(1)知，bn＝＝＝1＋n，‎ 则数列{bn}的前n项和Tn＝1＋1＋1＋2＋…＋1＋n＝n＋＝＋n－.‎ 思维升华 判定一个数列为等比数列的常见方法：‎ ‎(1)定义法：若＝q(q是不为零的常数)，则数列{an}是等比数列；‎ ‎(2)等比中项法：若a＝anan＋2(n∈N＋，an≠0)，则数列{an}是等比数列；‎ ‎(3)通项公式法：若an＝Aqn(A，q是不为零的常数)，则数列{an}是等比数列.‎ 跟踪训练1　(2018·黄山模拟)设数列{an}的前n项和为Sn，已知a1＝1，Sn＋1＝4an＋2.‎ ‎(1)设bn＝an＋1－2an，证明：数列{bn}是等比数列；‎ ‎(2)求数列{an}的通项公式.‎ ‎(1)证明　由a1＝1及Sn＋1＝4an＋2，‎ 有a1＋a2＝S2＝4a1＋2.‎ ‎∴a2＝5，∴b1＝a2－2a1＝3.‎ 又 ‎①－②，得an＋1＝4an－4an－1(n≥2)，‎ ‎∴an＋1－2an＝2(an－2an－1)(n≥2).‎ ‎∵bn＝an＋1－2an，∴bn＝2bn－1(n≥2)，‎ 故{bn}是首项b1＝3，公比为2的等比数列.‎ ‎(2)解　由(1)知bn＝an＋1－2an＝3·2n－1，‎ ‎∴－＝，‎ 故是首项为，公差为的等差数列.‎ ‎∴＝＋(n－1)·＝，‎ 故an＝(3n－1)·2n－2.‎ 题型三　等比数列性质的应用 例2　(1)(2018·包头质检)已知数列{an}是等比数列，若a2＝1，a5＝，则a1a2＋a2a3＋…＋anan＋1(n∈N＋)的最小值为(　　)‎ A. B.1 C.2 D.3‎ 答案　C 解析　由已知得数列{an}的公比满足q3＝＝，‎ 解得q＝，∴a1＝2，a3＝，‎ 故数列{anan＋1}是以2为首项，公比为＝的等比数列，‎ ‎∴a1a2＋a2a3＋…＋anan＋1＝ ‎＝∈，故选C.‎ ‎(2)(2018·大连模拟)设等比数列{an}的前n项和为Sn，S2＝－1，S4＝－5，则S6等于(　　)‎ A.－9 B.－21 C.－25 D.－63‎ 答案　B 解析　因为S2＝－1≠0，所以q≠－1，由等比数列性质得S2，S4－S2，S6－S4成等比数列，即－1×(S6＋5)＝(－5＋1)2，所以S6＝－21，故选B.‎ 思维升华 等比数列常见性质的应用 等比数列性质的应用可以分为三类：‎ ‎(1)通项公式的变形.‎ ‎(2)等比中项的变形.‎ ‎(3)前n项和公式的变形.根据题目条件，认真分析，发现具体的变化特征即可找出解决问题的突破口.‎ 跟踪训练2　(1)等比数列{an}各项均为正数，a3a8＋a4a7＝18，则＋＋…＋＝ ________.‎ 答案　20‎ 解析　由a3a8＋a4a7＝18，得a4a7＝9‎ 所以＋＋…＋‎ ‎＝(a1a2…a10)＝(a1a10)5‎ ‎＝(a4a7)5＝＝2log3310‎ ‎＝20.‎ ‎(2)已知等比数列{an}的前n项和为Sn，且＝，则＝________(n≥2，且n∈N).‎ 答案　－ 解析　很明显等比数列的公比q≠1，‎ 则由题意可得，＝＝＝，‎ 解得q＝，‎ 则＝＝＝＝－.‎ 等差数列与等比数列 关于等差(比)数列的基本运算在高考试题中频繁出现，其实质就是解方程或方程组，需要认真计算，灵活处理已知条件.‎ 例1　已知等差数列{an}的首项和公差均不为0，且满足a2，a5，a7成等比数列，则的值为(　　)‎ A. B. C. D. 答案　A 解析　已知等差数列{an}的首项和公差均不为0，且满足a2，a5，a7成等比数列，‎ ‎∴a＝a2a7，∴(a1＋4d)2＝(a1＋d)(a1＋6d)，∴10d2＝－a1d，∵d≠0，∴－10d＝a1，∴＝＝＝.‎ 例2　已知{an}为等比数列，数列{bn}满足b1＝2，b2＝5，且an(bn＋1－bn)＝an＋1，则数列{bn}的前n项和为(　　)‎ A.3n＋1 B.3n－1 C. D. 答案　C 解析　∵b1＝2，b2＝5，且an(bn＋1－bn)＝an＋1，‎ ‎∴a1(b2－b1)＝a2，即a2＝3a1，‎ 又数列{an}为等比数列，‎ ‎∴数列{an}的公比为q＝3，‎ ‎∴bn＋1－bn＝＝3，‎ ‎∴数列{bn}是首项为2，公差为3的等差数列，‎ ‎∴数列{bn}的前n项和为Sn＝2n＋×3＝.故选C.‎ ‎1.已知等比数列{an}满足a1＝1，a3a7＝16，则该数列的公比为(　　)‎ A.± B. C.±2 D.2‎ 答案　A 解析　根据等比数列的性质可得a3·a7＝a＝a·q8＝q8＝16＝24，‎ 所以q2＝2，即q＝±，故选A.‎ ‎2.已知递增的等比数列{an}中，a2＝6，a1＋1，a2＋2，a3成等差数列，则该数列的前6项和S6等于(　　)‎ A.93 B.189 C. D.378‎ 答案　B 解析　设数列{an}的公比为q，由题意可知，q>1，‎ 且2＝a1＋1＋a3，‎ 即2×＝＋1＋6q，‎ 整理可得2q2－5q＋2＝0，‎ 则q＝2，‎ 则a1＝＝3，‎ ‎∴数列{an}的前6项和S6＝＝189.‎ ‎3.(2018·满洲里质检)等比数列{an}的前n项和为Sn＝32n－1＋r，则r的值为(　　)‎ A. B.－ C. D.－ 答案　B 解析　当n＝1时，a1＝S1＝3＋r，‎ 当n≥2时，an＝Sn－Sn－1＝32n－1－32n－3‎ ‎＝32n－3(32－1)＝8·32n－3＝8·32n－2·3－1‎ ‎＝·9n－1，‎ 所以3＋r＝，即r＝－，故选B.‎ ‎4.已知等比数列{an}的公比为－2，且Sn为其前n项和，则等于(　　)‎ A.－5 B.－3 C.5 D.3‎ 答案　C 解析　由题意可得，＝＝1＋(－2)2＝5.‎ ‎5.古代数学著作《九章算术》有如下问题：“今有女子善织，日自倍，五日织五尺，问日织几何？”意思是：“一女子善于织布，每天织的布都是前一天的2倍，已知她5天共织布5尺，问这女子每天分别织布多少？”根据上题的已知条件，若要使织布的总尺数不少于30，该女子所需的天数至少为(　　)‎ A.10 B.9 C.8 D.7‎ 答案　C 解析　设该女子第一天织布x尺，‎ 则＝5，解得x＝，‎ 所以前n天织布的尺数为(2n－1)，‎ 由(2n－1)≥30，得2n≥187，解得n的最小值为8.‎ ‎6.若正项等比数列{an}满足anan＋1＝22n(n∈N＋)，则a6－a5的值是(　　)‎ A. B.－16 C.2 D.16 答案　D 解析　设正项等比数列{an}的公比为q>0，‎ ‎∵anan＋1＝22n(n∈N＋)，‎ ‎∴＝＝4＝q2，解得q＝2，‎ ‎∴a×2＝22n，an>0，解得an＝，‎ 则a6－a5＝－＝16，故选D.‎ ‎7.已知等比数列{an}的前n项和为Sn，且a1＝2 018，a2＋a4＝－2a3，则S2 019＝________.‎ 答案　2 018‎ 解析　∵a2＋a4＝－2a3，‎ ‎∴a2＋a4＋2a3＝0，a2＋2a2q＋a2q2＝0，‎ ‎∴q2＋2q＋1＝0，解得q＝－1.‎ ‎∵a1＝2 018，‎ ‎∴S2 019＝＝ ‎＝2 018.‎ ‎8.如图所示，正方形上连接着等腰直角三角形，等腰直角三角形腰上再连接正方形，…，如此继续下去得到一个树形图形，称为“勾股树”.若某勾股树含有1 023个正方形，且其最大的正方形的边长为，则其最小正方形的边长为________.‎ 答案　 解析　由题意，得正方形的边长构成以为首项，以为公比的等比数列，现已知共得到1 023个正方形，则有1＋2＋…＋2n－1＝1 023，∴n＝10，∴最小正方形的边长为×9＝.‎ ‎9.已知各项均为正数的等比数列{an}满足a1＝，且a2a8＝2a5＋3，则a9＝________.‎ 答案　18‎ 解析　∵a2a8＝2a5＋3，∴a＝2a5＋3，‎ 解得a5＝3(舍负)，即a1q4＝3，则q4＝6，a9＝a1q8＝×36＝18.‎ ‎10.设等比数列{an}的前n项和为Sn，若a3a11＝2a，且S4＋S12＝λS8，则λ＝________.‎ 答案　 解析　∵a3a11＝2a，∴a＝2a，∴q4＝2，‎ ‎∵S4＋S12＝λS8，‎ ‎∴＋＝，‎ ‎1－q4＋1－q12＝λ(1－q8)，‎ 将q4＝2代入计算可得λ＝.‎ ‎11.(2018·全国Ⅰ)已知数列{an}满足a1＝1，nan＋1＝2(n＋1)an.设bn＝.‎ ‎(1)求b1，b2，b3；‎ ‎(2)判断数列{bn}是否为等比数列，并说明理由；‎ ‎(3)求{an}的通项公式.‎ 解　(1)由条件可得an＋1＝an，‎ 将n＝1代入得，a2＝4a1，而a1＝1，所以a2＝4.‎ 将n＝2代入得，a3＝3a2，所以a3＝12.‎ 从而b1＝1，b2＝2，b3＝4.‎ ‎(2){bn}是首项为1，公比为2的等比数列.‎ 由条件可得＝，即bn＋1＝2bn，‎ 又b1＝1，所以{bn}是首项为1，公比为2的等比数列.‎ ‎(3)由(2)可得＝2n－1，‎ 所以an＝n·2n－1.‎ ‎12.已知数列{an}满足a1＝1，a2＝2，an＋2＝，n∈N＋.‎ ‎(1)令bn＝an＋1－an，证明：{bn}是等比数列；‎ ‎(2)求数列{an}的通项公式.‎ ‎(1)证明　b1＝a2－a1＝1.‎ 当n≥2时，bn＝an＋1－an＝－an ‎＝－(an－an－1)＝－bn－1，‎ ‎∴{bn}是以1为首项，－为公比的等比数列.‎ ‎(2)解　由(1)知bn＝an＋1－an＝n－1，‎ 当n≥2时，‎ an＝a1＋(a2－a1)＋(a3－a2)＋…＋(an－an－1)‎ ‎＝1＋1＋＋…＋n－2‎ ‎＝1＋ ‎＝1＋ ‎＝－n－1.‎ 当n＝1时，－×1－1＝1＝a1，‎ ‎∴an＝－n－1(n∈N＋).‎ ‎13.(2018·大连模拟)等比数列{an}的首项为，公比为－，前n项和为Sn，则当n∈N＋时，Sn－的最大值与最小值的比值为(　　)‎ A.－ B.－ C. D. 答案　B 解析　∵等比数列{an}的首项为，公比为－，‎ ‎∴an＝×n－1，‎ ‎∴Sn＝＝1－n.‎ ‎①当n为奇数时，Sn＝1＋n随着n的增大而减小，则11 024的最小n的值为________.‎ 答案　9‎ 解析　 由数列{an}的前n项和为Sn＝2n＋1－2，‎ 则当n≥2时，an＝Sn－Sn－1＝2n＋1－2－2n＋2＝2n，‎ a1＝S1＝2，满足上式，‎ 所以bn＝log2(a·)＝log2a＋log2＝2n＋2n，‎ 所以数列{bn}的前n和为Tn＝＋ ‎＝n(n＋1)＋2n＋1－2，‎ 当n＝9时，T9＝9×10＋210－2＝1 112>1 024，‎ 当n＝8时，T8＝8×9＋29－2＝582<1 024，‎ 所以满足Tn>1 024的最小n的值为9.‎ ‎15.已知等比数列{an}的各项均为正数且公比大于1，前n项积为Tn，且a2a4＝a3，则使得Tn>1的n的最小值为(　　)‎ A.4 B.5 C.6 D.7‎ 答案　C 解析　∵{an}是各项均为正数的等比数列，且a2a4＝a3，∴a＝a3，∴a3＝1.又∵q>1，∴a11(n>3)，∴Tn>Tn－1(n≥4，n∈N＋)，T1<1，T2＝a1·a2<1，T3＝a1·a2·a3＝a1a2＝T2<1，T4＝a1a2a3a4＝a1<1，T5＝a1·a2·a3·a4·a5＝a＝1，T6＝T5·a6＝a6>1，故n的最小值为6，故选C.‎ ‎16.在数列的每相邻两项之间插入此两项的积，形成新的数列，这样的操作叫做该数列的一次“扩展”.将数列1,2进行“扩展”，第一次得到数列1,2,2；第二次得到数列1,2,2,4,2；….设第n次“扩展”后得到的数列为1，x1，x2，…，xt，2，并记an＝log2(1·x1·x2·…·xt·2)，其中t＝2n－1，n∈N＋，求数列{an}的通项公式.‎ 解　an＝log2(1·x1·x2·…·xt·2)，‎ 所以an＋1＝log2[1·(1·x1)·x1·(x1·x2)·…·xt·(xt·2)·2]‎ ‎＝log2(12·x·x·x·…·x·22)＝3an－1，‎ 所以an＋1－＝3，‎ 所以数列是一个以为首项，以3为公比的等比数列，‎ 所以an－＝×3n－1，所以an＝.‎