2021高考数学大一轮复习考点规范练51抛物线理新人教A版

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考点规范练51　抛物线 ‎　考点规范练A册第35页　 ‎ 基础巩固 ‎1.以抛物线y2=8x上的任意一点为圆心作圆与直线x=-2相切,这些圆必过一定点,则这一定点的坐标是(　　)‎ A.(0,2) B.(2,0) C.(4,0) D.(0,4)‎ 答案:B 解析:由题意得,抛物线y2=8x的准线方程为x=-2,‎ 因为动圆的圆心在抛物线y2=8x上,且动圆与抛物线的准线相切,所以动圆必过抛物线的焦点,即过点(2,0),选B.‎ ‎2.抛物线y=-4x2上的一点M到焦点的距离为1,则点M的纵坐标是(　　)‎ A.-‎17‎‎16‎ B.-‎15‎‎16‎ C‎.‎‎17‎‎16‎ D‎.‎‎15‎‎16‎ 答案:B 解析:抛物线方程可化为x2=-y‎4‎,其准线方程为y=‎‎1‎‎16‎‎.‎ 设M(x0,y0),则由抛物线的定义,可知‎1‎‎16‎-y0=1,y0=-‎‎15‎‎16‎‎.‎ ‎3.(2019全国Ⅱ,理8)若抛物线y2=2px(p>0)的焦点是椭圆x‎2‎‎3p‎+‎y‎2‎p=1的一个焦点,则p=(　　)‎ A.2 B.3 C.4 D.8‎ 答案:D 解析:∵y2=2px的焦点坐标为p‎2‎,0,椭圆x‎2‎‎3p‎+‎y‎2‎p=1的焦点坐标为(±‎3p-p,0),∴3p-p=p‎2‎‎4‎,解得p=8,故选D.‎ ‎4.已知F为抛物线C:y2=4x的焦点,过点F的直线l交抛物线C于A,B两点,若|AB|=8,则线段AB的中点M到直线x+1=0的距离为(　　)‎ A.2 B.4 C.8 D.16‎ 答案:B 7‎ 解析:如图,抛物线y2=4x的焦点为F(1,0),准线方程为x=-1,即x+1=0,分别过A,B作准线的垂线,垂足为C,D,则有|AB|=|AF|+|BF|=|AC|+|BD|=8,过AB的中点M作准线的垂线,垂足为N,则MN为直角梯形ABDC的中位线,则|MN|=‎1‎‎2‎(|AC|+|BD|)=4,即M到直线x+1=0的距离为4.故选B.‎ ‎5.已知抛物线C:y2=4x的焦点为F,过点F的直线与抛物线交于A,B两点,若|AB|=6,则线段AB的中点M的横坐标为(　　)‎ A.2 B.4 C.5 D.6‎ 答案:A 解析:∵抛物线y2=4x,∴p=2.设A,B两点的横坐标分别为x1,x2,利用抛物线定义,AB中点横坐标为x0=‎1‎‎2‎(x1+x2)=‎1‎‎2‎(|AB|-p)=2,故选A.‎ ‎6.已知等边三角形AOB(O为坐标原点)的三个顶点在抛物线Γ:y2=2px(p>0)上,且△AOB的面积为9‎3‎,则p=(　　)‎ A‎.‎‎3‎ B.3 C‎.‎‎3‎‎2‎ D‎.‎‎3‎‎3‎‎2‎ 答案:C 解析:根据抛物线和等边三角形的对称性可知A,B两点关于x轴对称,不妨设直线OB:y=‎3‎‎3‎x,与y2=2px联立得B(6p,2‎3‎p),因为△AOB的面积为9‎3‎,所以‎3‎‎4‎‎×‎(4‎3‎p)2=9‎3‎,解得p=‎3‎‎2‎‎.‎故选C.‎ ‎7.已知直线y=k(x+2)(k>0)与抛物线C:y2=8x相交于A,B两点,F为抛物线C的焦点,若|FA|=2|FB|,则点A到抛物线的准线的距离为(　　)‎ A.6 B.5 C.4 D.3‎ 7‎ 答案:A 解析:抛物线C:y2=8x的准线为l:x=-2,直线y=k(x+2)恒过定点P(-2,0),如图,过点A,B分别作AM⊥l于点M,BN⊥l于点N,由|FA|=2|FB|,则|AM|=2|BN|,点B为AP的中点.连接OB,则|OB|=‎1‎‎2‎|AF|,∴|OB|=|BF|,点B的横坐标为1,‎ ‎∴|BN|=3,∴|AM|=6,故选A.‎ ‎8.已知F是抛物线C:y2=8x的焦点,M是C上一点,FM的延长线交y轴于点N,若M为FN的中点,则|FN|=　　　　　. ‎ 答案:6‎ 解析:设N(0,a),由题意可知F(2,0).‎ 又M为FN的中点,则M‎1,‎a‎2‎‎.‎ 因为点M在抛物线C上,所以a‎2‎‎4‎=8,‎ 即a2=32,即a=±4‎‎2‎‎.‎ 所以N(0,±4‎2‎).‎ 所以|FN|=‎(2-0‎)‎‎2‎+(0±4‎‎2‎‎)‎‎2‎=6.‎ ‎9.已知过抛物线y2=2px(p>0)的焦点,斜率为2‎2‎的直线交抛物线于A(x1,y1),B(x2,y2)(x10)的焦点为F,A(x1,2),B(x2,8)是C上两点,且x2>x1>0,若|BF|=3|AF|,则x1+x2=(　　)‎ A.3‎2‎ B.6 C.6‎2‎ D.8‎ 答案:C 解析:∵3|FA|=|FB|,∴根据抛物线的定义,可得3‎2+‎p‎2‎=8+p‎2‎,解得p=2,‎ ‎∴抛物线方程为x2=4y,将y1=2,y2=8代入方程,得x1=2‎2‎,x2=4‎2‎,‎ ‎∴x1+x2=6‎2‎‎.‎故选C.‎ ‎12.已知抛物线C:y2=2px(p>0)的焦点为F,以抛物线C上的点M(x0,2‎2‎‎)‎x‎0‎‎>‎p‎2‎为圆心的圆与y轴相切,与线段MF相交于点A,且被直线x=p‎2‎截得的弦长为‎3‎|MA|,若‎|MA|‎‎|AF|‎=2,则|AF|=　　　　　. ‎ 答案:1‎ 解析:由抛物线的定义得|MF|=x0+‎p‎2‎‎.‎ ‎∵圆与y轴相切,∴|MA|=x0.‎ ‎∵圆被直线x=p‎2‎截得的弦长为‎3‎|MA|,圆心到直线x=p‎2‎的距离为‎|MA‎|‎‎2‎-‎‎3‎‎2‎‎|MA|‎‎2‎‎=‎‎1‎‎2‎|MA|,‎ ‎∴|MA|=2x‎0‎‎-‎p‎2‎,∴2x‎0‎‎-‎p‎2‎=x0,解得x0=p.‎ ‎∴M(p,2‎2‎),∴2p2=8,∴p=2.‎ ‎∵‎‎|MA|‎‎|AF|‎‎=2,∴|AF|=‎1‎‎2‎|MA|=‎1‎‎2‎p=1.‎ ‎13.设动点P(x,y)(x≥0)到定点F(1,0)的距离比它到y轴的距离大1,记点P的轨迹为曲线C.‎ ‎(1)求曲线C的方程;‎ ‎(2)设D(x0,2)是曲线C上一点,与两坐标轴都不平行的直线l1,l2过点D,且它们的倾斜角互补.若直线l1,l2与曲线C的另一交点分别是M,N,证明直线MN的斜率为定值.‎ 7‎ ‎(1)解由题意知,点P的轨迹方程是以F(1,0)为焦点,以x=-1为准线的抛物线,故曲线C的方程为y2=4x.‎ ‎(2)证明由D(x0,2)在曲线C上,得4=4x0,则x0=1,从而D(1,2).‎ 设M(x1,y1),N(x2,y2),直线l1:y=k(x-1)+2,‎ 则l2:y=-k(x-1)+2,由y=k(x-1)+2,‎y‎2‎‎=4x 得k2x2-(2k2-4k+4)x+(k-2)2=0,‎ ‎∴x1×1=‎(k-2‎‎)‎‎2‎k‎2‎‎=‎k‎2‎‎-4k+4‎k‎2‎,‎ 同理x2=‎k‎2‎‎+4k+4‎k‎2‎‎.‎ ‎∴x1+x2=‎2k‎2‎+8‎k‎2‎,x1-x2=-‎‎8‎k‎.‎ ‎∴y1-y2=k(x1+x2)-2k=‎‎8‎k‎.‎ ‎∴kMN=y‎1‎‎-‎y‎2‎x‎1‎‎-‎x‎2‎‎=‎‎8‎k‎-‎‎8‎k=-1,直线MN的斜率为定值-1.‎ 高考预测 ‎14.已知点F是抛物线y2=2px(p>0)(O为坐标原点)的焦点,倾斜角为π‎3‎的直线l过焦点F且与抛物线在第一象限交于点A,当|AF|=2时,抛物线方程为(　　)‎ A.y2=x B.y2=2x C.y2=4x D.y2=8x 答案:B 解析:过点A作AB⊥x轴于点B,则Rt△ABF中,∠AFB=60°,|AF|=2,‎ 所以|BF|=|AF|cos∠AFB=‎1‎‎2‎|AF|=1,|AB|=|AF|sin∠AFB=‎‎3‎‎.‎ 7‎ 设点A的坐标为(x0,‎3‎‎)‎x‎0‎‎>‎p‎2‎,‎ 由x‎0‎‎+p‎2‎=2,‎‎3=2px‎0‎,‎解得p=1.‎ 所以抛物线的方程为y2=2x.故选B.‎ 7‎