浙江省北斗星盟2020届高三适应性考试数学学科试题

浙江省北斗星盟2020届高三适应性考试数学学科试题

浙江省北斗星盟高三适应性考试 数学学科试题 考生须知：‎ ‎1．本试题卷分选择题和非选择题两部分，共4页，满分150分，考试时间120分钟．‎ ‎2．答题前，在答题卷指定区域填写班级、姓名、考场号、座位号及准考证号．‎ ‎3．所有答案必须写在答题卷上，写在试卷上无效．‎ ‎4．考试结束后，只需上交答题卷．‎ 选择题部分（共40分）‎ 一、选择题：本大题共10小题，每小题4分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．‎ ‎1．已知集合，，则 A． B． C． D．‎ ‎2．双曲线的离心率为 A． B． C．2 D．3‎ ‎3．已知直线与圆相切，则实数k的值是 A． B． C． D．‎ ‎4．某几何体的三视图如图所示（单位：cm），则该几何体的表面积（单位：）是 A． B． C． D．‎ ‎5．已知，则“”是“的 A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 ‎6．设，随机变量X的分布列是：‎ X ‎-1‎ ‎1‎ ‎2‎ P 则当最大时的a的值是 A． B． C． D．‎ ‎7．函数的图象大致是 ‎ ‎ ‎ ‎ ‎8．已知，若不等式成立，则a的取值范围是 A． B． C． D．‎ ‎9．已知数列满足，，则 A． B．‎ C． D．‎ ‎10．如图，在平行四边形ABCD中，沿AC将折成，记异面直线PA与BC所成的角为，直线PA与平面ABC所成的角为，二面角P-AC-B为，当时，则 A． B． C． D．‎ 非选择题部分（共110分）‎ 二、填空题：本大题共7小题，多空题每题6分，单空题每题4分，共36分．‎ ‎11．复数（i为虚数单位），则__________．‎ ‎12．若实数x，y满足约束条件，则的最小值是__________；的最大值是__________．‎ ‎13．已知，则__________﹔__________．‎ ‎14．已知函数，则不等式的解是__________；不等式的解是__________．‎ ‎15．4名女生与3名男生站成一排，最左端站女生，最右端站男生，且男生互不相邻的站法共__________种．‎ ‎16．如图，过原点O的直线AB交椭圆于A，B两点，过点A分别作x轴、AB的垂线AP．AQ交椭圆C于点P．Q，连接BQ交AP于一点M，若，则椭圆C的离心率是__________．‎ ‎17．如图，在中，，，，以点C为圆心，6为半径的圆上有一个动点D．设，，，则的最大值是）_______；的最小值是__________．‎ 三、解答题：本大题共5小题，共74分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．‎ ‎18．在中，A，B，C所对的边为a，b，c，已知，．‎ ‎（1）求角B；‎ ‎（2）已知函数，当最大值时，求．‎ ‎19．在四棱锥P-ABCD中，平面底面ABCD，，°，．‎ ‎（1）证明：﹔‎ ‎（2）设，，求直线CB与平面PCD所成角的正弦值．‎ ‎20．已知数列的前n项和为，已知，．‎ ‎（1）求数列的通项公式；‎ ‎（2）证明：．‎ ‎21．如图，已知抛物线上不同的两点关于直线对称，记l与y轴交于点C．‎ ‎（1）若，求k的值；‎ ‎（2）求面积的最大值．‎ ‎22．设函数，．‎ ‎（1）若在上仅有一个零点，求a的取值范围；‎ ‎（2）若，试讨论方程在上的根的个数．‎ ‎2019学年第二学期北斗星盟高三适应性考试 数学试题参考答案 一、选择题：本大题共10小题，每小题4分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．‎ ‎1~5：ABDCA 6~10：DCCCB 二、填空题：本大题共7小题，多空题每题6分，单空题每题4分，共36分．‎ ‎11． 12．；‎ ‎13．；0 14．；或 ‎15．432‎ ‎16．设），‎ 则，‎ 由，则，‎ 再由B，M，Q三点共线，则，‎ 故，故即 ‎，‎ 又因为，，‎ 即，‎ 所以，故椭圆C的离心率是．‎ ‎17．90；‎ 在线段AC上取一点M，使得，则 所以，‎ 当点D在线段AC的延长线上取“=”；‎ 又因为 ‎，‎ 当D，M，B三点共线时取“=”．‎ 三、解答题：本大题共5小题，共74分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．‎ ‎18．（1）因为，即，故，‎ 又因为，则；‎ ‎（2）因为 因为，所以当最大值时，‎ 有，‎ 故，‎ 则．‎ ‎19．（1）因为平面底面ABCD，，‎ 所以平面PAB，即，‎ 又因为，且，‎ 故平面PBC，所以；‎ ‎（2）如图建系，‎ 则，，，，‎ 则，，‎ 设平面PDC的法向量为，则 ‎，即，‎ 所以，‎ 即直线CB与平面PCD所成角的正弦值为．‎ ‎20．解：（1）因为，‎ 所以，‎ 故，‎ 即，‎ 又因为，所以，‎ 故为等差数列，即，亦即；‎ ‎（2）显然 当时，，‎ 故 ‎21．（1）设直线AB的方程为，‎ 联立方程组，得，‎ 故，所以；‎ ‎（2）由（1）知，，‎ ‎，‎ 则线段AB的中点坐标为，‎ 所以，即 亦即直线AB的方程为，‎ ‎，，，‎ 所以点C到AB的距离为，，‎ 故面积 令，则，‎ 令，‎ 则，‎ 易知在上递增，在递减，‎ 故，‎ 即当时，面积有最大值．‎ ‎22．（1）当时，，不符题意 当时，，‎ 即，故．‎ 当时，则，不符题意 当时，则，‎ 其零点为或，满足题意 综上，的取值范围是；‎ ‎（2）令，‎ 则 因为，故，‎ 所以当时，，‎ 当时，，‎ 当时，，‎ 即知在上递增，在上递减，在上递增，且有，‎ ‎，‎ 故在上存在唯一的零点，‎ 令，则，‎ 易知在上递减，在上递增，‎ 故，即 所以当时，‎ ‎，‎ 得，‎ 故存在，使得，‎ 所以在上也存在唯一的零点，‎ 取，‎ 又因为在上恒成立，‎ 故，‎ 同样可知在上仍存在唯一的零点 综上，当时，方程在上恒有3个相异实根．‎