【数学】2019届一轮复习人教A版(文)11概率高考专题突破六学案

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【数学】2019届一轮复习人教A版(文)11概率高考专题突破六学案

高考专题突破六 高考中的概率与统计问题 ‎【考点自测】‎ ‎1.在可行域内任取一点,其规则如程序框图所示,则能输出数对(x,y)的概率是( )‎ A.B.C.D. 答案 B 解析 由题意知,可行域为正方形,输出数对(x,y)形成的图形为图中阴影部分,‎ 故所求概率为 P==.‎ ‎2.(2017·湖南邵阳二模)假设有两个分类变量X和Y的2×2列联表如下:‎ Y X y1‎ y2‎ 总计 x1‎ a ‎10‎ a+10‎ x2‎ c ‎30‎ c+30‎ 总计 ‎60‎ ‎40‎ ‎100‎ 对同一样本,以下数据能说明X与Y有关系的可能性最大的一组为( )‎ A.a=45,c=15 B.a=40,c=20‎ C.a=35,c=25 D.a=30,c=30‎ 答案 A 解析 根据2×2列联表与独立性检验可知,当与相差越大时,X与Y有关系的可能性越大,即a,c相差越大,与相差越大,故选A.‎ ‎3.(2017·金华模拟)设样本数据x1,x2,…,x10的均值和方差分别为1和4,若yi=xi+a(a为非零常数,i=1,2,…,10),则y1,y2,…,y10的均值和方差分别为( )‎ A.1+a,4 B.1+a,4+a C.1,4 D.1,4+a 答案 A 解析 =1,yi=xi+a,所以y1,y2,…,y10的均值为1+a,方差不变仍为4.故选A.‎ ‎4.已知高一年级某班有63名学生,现要选1名学生作为标兵,每名学生被选中的概率是相同的,若“选出的标兵是女生”的概率是“选出的标兵是男生”的概率的,则这个班男生的人数为________.‎ 答案 33‎ 解析 根据题意,设该班的男生人数为x,则女生人数为63-x,因为每名学生被选中的概率是相同的,根据古典概型的概率计算公式知,“选出的标兵是女生”的概率是,“选出的标兵是男生”的概率是,故=×,解得x=33,故这个班男生的人数为33.‎ ‎5.某单位为了解用电量y(度)与气温x(℃)之间的关系,随机统计了某4天的用电量与当天气温,并制作了对照表:‎ 气温(℃)‎ ‎18‎ ‎13‎ ‎10‎ ‎-1‎ 用电量(度)‎ ‎24‎ ‎34‎ ‎38‎ ‎64‎ 由表中数据得线性回归方程为=x+中的=-2,预测当气温为-4℃时,用电量约为________度.‎ 答案 68‎ 解析 根据题意知==10,==40,因为回归直线过样本点的中心,‎ 所以=40-(-2)×10=60,‎ 所以当x=-4时,y=(-2)×(-4)+60=68,‎ 所以用电量约为68度.‎ 题型一 古典概型与几何概型 例1 (1)(2017·榆林二模)若函数f(x)=在区间[0,e]上随机取一个实数x,则f(x)的值不小于常数e的概率是( )‎ A. B.1- C. D. 答案 B 解析 当0≤x<1时,f(x)0,即a2>b2.由题意知所有的基本事件有9个,即(1,0),(1,1),(1,2),(2,0),(2,1),(2,2),(3,0),(3,1),‎ ‎(3,2),其中第一个数表示a的取值,第二个数表示b的取值.‎ 满足a2>b2的有6个基本事件,即(1,0),(2,0),(2,1),(3,0),(3,1),(3,2),‎ 所以所求事件的概率为=.‎ ‎(2)(2017·青岛模拟)如图所示,四个相同的直角三角形与中间的小正方形拼成一个边长为2的大正方形,若直角三角形中较小的锐角θ=.现在向该正方形区域内随机地投掷一枚飞镖,则飞镖落在小正方形内的概率是________.‎ 答案 解析 易知小正方形的边长为-1,故小正方形的面积为S1=(-1)2=4-2,‎ 又大正方形的面积为S=2×2=4,故飞镖落在小正方形内的概率P===.‎ 题型二 概率与统计的综合应用 例2 (2017·西安质检)长时间用手机上 严重影响着学生的身体健康,某校为了解A,B两班学生手机上 的时长,分别从这两个班中随机抽取5名同学进行调查,将他们平均每周手机上 的时长作为样本绘制成茎叶图如图所示(图中的茎表示十位数字,叶表示个位数字).‎ ‎(1)你能否估计哪个班级平均每周上 时间较长?‎ ‎(2)从A班的样本数据中随机抽取一个不超过19的数据记为a,从B班的样本数据中随机抽取一个不超过21的数据记为b,求a>b的概率.‎ 解 (1)A班样本数据的平均值为(9+11+14+20+31)=17,‎ 由此估计A班学生每周平均上 时间为17小时;‎ B班样本数据的平均值为 (11+12+21+25+26)=19,‎ 由此估计B班学生每周平均上 时间为19小时.‎ 所以B班学生上 时间较长.‎ ‎(2)A班的样本数据中不超过19的数据a有3个,分别为9,11,14,B班的样本数据中不超过21的数据b也有3个,分别为11,12,21.从A班和B班的样本数据中各随机抽取一个共有9种不同的情况,‎ 分别为(9,11),(9,12),(9,21),(11,11),(11,12),(11,21),(14,11),(14,12),(14,21),‎ 其中a>b的情况有(14,11),(14,12)2种,‎ 故a>b的概率P=.‎ 思维升华概率与统计作为考查考生应用意识的重要载体,已成为近几年高考的一大亮点和热点.它与其他知识融合、渗透,情境新颖,充分体现了概率与统计的工具性和交汇性.‎ 跟踪训练2某校从高一年级学生中随机抽取40名学生,将他们的期中考试数学成绩(满分100分,成绩均为不低于40分的整数)分成六段:[40,50),[50,60),…,[90,100]后得到如图所示的频率分布直方图.‎ ‎(1)求图中实数a的值;‎ ‎(2)若该校高一年级共有640人,试估计该校高一年级期中考试数学成绩不低于60分的人数;‎ ‎(3)若从数学成绩在[40,50)与[90,100]两个分数段内的学生中随机选取2名学生,求这2名学生的数学成绩之差的绝对值不大于10的概率.‎ 解 (1)由已知,得10×(0.005+0.010+0.020+a+0.025+0.010)=1,解得a=0.03.‎ ‎(2)根据频率分布直方图,可知成绩不低于60分的频率为1-10×(0.005+0.010)=0.85.由于该校高一年级共有学生640人,利用样本估计总体的思想,可估计该校高一年级期中考试数学成绩不低于60分的人数为640×0.85=544.‎ ‎(3)易知成绩在[40,50)分数段内的人数为40×0.05=2,这2人分别记为A,B;成绩在[90,100]分数段内的人数为40×0.1=4,这4人分别记为C,D,E,F.若从数学成绩在[40,50)与[90,100]两个分数段内的学生中随机选取2名学生,则所有的基本事件有(A,B),(A,C),(A,D),(A,E),(A,F),(B,C),(B,D),(B,E),(B,F),(C,D),(C,E),(C,F),(D,E),(D,F),(E,F),共15个.如果2名学生的数学成绩都在[40,50)分数段内或都在[90,100]分数段内,那么这2名学生的数学成绩之差的绝对值一定不大于10.如果一个成绩在[40,50)分数段内,另一个成绩在[90,100]分数段内,那么这2名学生的数学成绩之差的绝对值一定大于10.记“这2名学生的数学成绩之差的绝对值不大于10”为事件M,则事件M 包含的基本事件有(A,B),(C,D),(C,E),(C,F),(D,E),(D,F),(E,F),共7个,故所求概率P(M)=.‎ 题型三 概率与统计案例的综合应用 例3 某校计划面向高一年级1200名学生开设校本选修课程,为确保工作的顺利实施,先按性别进行分层抽样,抽取了180名学生对社会 学类、自然 学类这两大类校本选修课程进行选课意向调查,其中男生有105人.在这180名学生中选择社会 学类的男生、女生均为45人.‎ ‎(1)分别计算抽取的样本中男生、女生选择社会 学类的频率,并以统计的频率作为概率,估计实际选课中选择社会 学类的学生人数;‎ ‎(2)根据抽取的180名学生的调查结果,完成以下2×2列联表.并判断能否在犯错误的概率不超过0.025的前提下认为 类的选择与性别有关?‎ 选择自然 学类 选择社会 学类 合计 男生 女生 合计 附:K2=,其中n=a+b+c+d.‎ P(K2≥k0)‎ ‎0.500‎ ‎0.400‎ ‎0.250‎ ‎0.150‎ ‎0.100‎ k0‎ ‎0.455‎ ‎0.708‎ ‎1.323‎ ‎2.072‎ ‎2.706‎ P(K2≥k0)‎ ‎0.050‎ ‎0.025‎ ‎0.010‎ ‎0.005‎ ‎0.001‎ k0‎ ‎3.841‎ ‎5.024‎ ‎6.635‎ ‎7.879‎ ‎10.828‎ 解 (1)由条件知,抽取的男生有105人,女生有180-105=75(人).男生选择社会 学类的频率为=,‎ 女生选择社会 学类的频率为=.‎ 由题意,知男生总数为1200×=700,‎ 女生总数为1200×=500,‎ 所以估计选择社会 学类的人数为 ‎700×+500×=600.‎ ‎(2)根据统计数据,可得列联表如下:‎ 选择自然 学类 选择社会 学类 合计 男生 ‎60‎ ‎45‎ ‎105‎ 女生 ‎30‎ ‎45‎ ‎75‎ 合计 ‎90‎ ‎90‎ ‎180‎ 则k==≈5.1429>5.024,‎ 所以在犯错误的概率不超过0.025的前提下能认为 类的选择与性别有关.‎ 思维升华统计以考查抽样方法、样本的频率分布、样本特征数的计算为主,概率以考查概率计算为主,往往和实际问题相结合,要注意理解实际问题的意义,使之和相应的概率计算对应起来,只有这样才能有效地解决问题.‎ 跟踪训练3近几年出现各种食品问题,食品添加剂会引起血脂增高、血压增高、血糖增高等疾病.为了解三高疾病是否与性别有关,医院随机对入院的60人进行了问卷调查,得到了如下的列联表:‎ ‎(1)请将如图的列联表补充完整.若用分层抽样的方法在患三高疾病的人群中抽9人,其中女生抽多少人?‎ ‎(2)为了研究患三高疾病是否与性别有关,请计算出统计量K2的观测值k,并说明是否可以在犯错误的概率不超过0.005的前提下认为患三高疾病与性别有关.‎ 患三高疾病 不患三高疾病 总计 男 ‎6‎ ‎30‎ 女 总计 ‎36‎ 下面的临界值表供参考:‎ P(K2≥k0)‎ ‎0.15‎ ‎0.10‎ ‎0.05‎ ‎0.025‎ ‎0.010‎ ‎0.005‎ ‎0.001‎ k0‎ ‎2.072‎ ‎2.706‎ ‎3.841‎ ‎5.024‎ ‎6.635‎ ‎7.879‎ ‎10.828‎ ‎(参考公式K2=,其中n=a+b+c+d)‎ 解 (1)完善补充列联表如下:‎ 患三高疾病 不患三高疾病 总计 男 ‎24‎ ‎6‎ ‎30‎ 女 ‎12‎ ‎18‎ ‎30‎ 总计 ‎36‎ ‎24‎ ‎60‎ 在患三高疾病人群中抽9人,则抽取比例为=,‎ 所以女性应该抽取12×=3(人).‎ ‎(2)根据2×2列联表,则K2的观测值 k==10>7.879.‎ 所以可以在犯错误的概率不超过0.005的前提下认为患三高疾病与性别有关.‎ ‎1.某单位对职员中的老年、中年、青年进行健康状况调查,其中老年、中年、青年职员的人数之比为k∶5∶3,现用分层抽样的方法抽出一个容量为120的样本,已知在老年职员中抽取了24人,则在青年职员中抽取的人数为____________.‎ 答案 36‎ 解析 ∵老年、中年、青年职员的人数之比为k∶5∶3,‎ ‎∴=,解得k=2,∴在青年职员中抽取的人数为120×=36.‎ ‎2.在不等式组所表示的平面区域内的所有格点(横、纵坐标均为整数的点称为格点)中任取3个点,则该3点恰能作为一个三角形的3个顶点的概率为________.‎ 答案 解析 不等式组表示的平面区域内的格点有(2,1),(2,2),(3,1),(3,2),(3,3),共5个,从中任取3个点,有10种取法,其中共线的3点不能构成三角形,有(3,1),(3,2),(3,3),1种情况,所以能够作为三角形3个顶点的情况有9种,故所求概率是.‎ ‎3.(2018·唐山模拟)某工厂有25周岁以上(含25周岁)工人300名,25周岁以下工人200名.为研究工人的日平均生产量是否与年龄有关,现采用分层抽样的方法,从中抽取了100名工人,先统计了他们某月的日平均生产件数,然后按工人年龄在“25周岁以上(含25周岁)”和“25周岁以下”分为两组,再将两组工人的日平均生产件数分成5组:[50,60),[60,70),[70,80),[80,90),[90,100]分别加以统计,得到如图所示的频率分布直方图.‎ ‎(1)从样本中日平均生产件数不足60的工人中随机抽取2人,求至少抽到一名“25周岁以下组”工人的概率;‎ ‎(2)规定日平均生产件数不少于80的为“生产能手”,请你根据已知条件完成2×2列联表,并判断是否有90 的把握认为“生产能手与工人所在的年龄组有关”?‎ P(K2≥k0)‎ ‎0.100‎ ‎0.050‎ ‎0.010‎ ‎0.001‎ k0‎ ‎2.706‎ ‎3.841‎ ‎6.635‎ ‎10.828‎ 附:K2=.‎ 解 (1)由已知得,样本中有25周岁以上(含25周岁)组工人60名,25周岁以下组工人40名.‎ 所以样本中日平均生产件数不足60的工人中,25周岁以上(含25周岁)组工人有60×0.05=3(人),记为A1,A2,A3;25周岁以下组工人有40×0.05=2(人),记为B1,B2.‎ 从中随机抽取2名工人,所有的可能结果共有10种,它们是(A1,A2),(A1,A3),(A2,A3),(A1,B1),(A1,B2),(A2,B1),(A2,B2),(A3,B1),(A3,B2),(B1,B2).‎ 其中,至少有1名“25周岁以下组”工人的可能结果共有7种,它们是(A1,B1),(A1,B2),(A2,B1),(A2,B2),(A3,B1),(A3,B2),(B1,B2).故所求的概率P=.‎ ‎(2)由频率分布直方图可知,在抽取的100名工人中,“25周岁以上(含25周岁)组”中的生产能手有60×0.25=15(人),“25周岁以下组”中的生产能手有40×0.375=15(人),据此可得2×2列联表如下:‎ 生产能手 非生产能手 合计 ‎25周岁以上(含25周岁)组 ‎15‎ ‎45‎ ‎60‎ ‎25周岁以下组 ‎15‎ ‎25‎ ‎40‎ 合计 ‎30‎ ‎70‎ ‎100‎ 所以得k= ‎==≈1.79.‎ 因为1.79<2.706.‎ 所以没有90 的把握认为“生产能手与工人所在的年龄组有关”.‎ ‎4.(2018·北京海淀区模拟)某商场在元旦举行购物抽奖促销活动,规定顾客从装有编号为0,1,2,3,4的五个相同小球的抽奖箱中一次任意摸出两个小球,若取出的两个小球的编号之和等于7,则中一等奖,等于6或5,则中二等奖,等于4,则中三等奖,其余结果为不中奖.‎ ‎(1)求中二等奖的概率;‎ ‎(2)求不中奖的概率.‎ 解 (1)记“中二等奖”为事件A.‎ 从五个小球中一次任意摸出两个小球,不同的结果有{0,1},{0,2},{0,3},{0,4},{1,2},{1,3},{1,4},{2,3},{2,4},{3,4},共10个基本事件.‎ 记两个小球的编号之和为x,由题意可知,事件A包括两个互斥事件:x=5,x=6.‎ 事件x=5的取法有2种,即{1,4},{2,3},‎ 故P(x=5)==;‎ 事件x=6的取法有1种,即{2,4},故P(x=6)=.‎ 所以P(A)=P(x=5)+P(x=6)=+=.‎ ‎(2)记“不中奖”为事件B,则“中奖”为事件,由题意可知,事件包括三个互斥事件:中一等奖(x=7),中二等奖(事件A),中三等奖(x=4).‎ 事件x=7的取法有1种,即{3,4},故P(x=7)=;‎ 事件x=4的取法有{0,4},{1,3},共2种,‎ 故P(x=4)==.‎ 由(1)可知,P(A)=.‎ 所以P()=P(x=7)+P(x=4)+P(A)‎ ‎=++=.‎ 所以不中奖的概率为P(B)=1-P()=1-=.‎ ‎5.某车间为了规定工时定额,需要确定加工零件所花费的时间,为此作了四次试验,得到的数据如下:‎ 零件的个数x(个)‎ ‎2‎ ‎3‎ ‎4‎ ‎5‎ 加工的时间y(小时)‎ ‎2.5‎ ‎3‎ ‎4‎ ‎4.5‎ ‎(1)求出y关于x的线性回归方程=x+,并在坐标系中画出回归直线;‎ ‎(2)试预测加工10个零件需要的时间.‎ ‎(注:b=,=-,iyi=52.5,=54)‎ 解 (1)由表中数据得 =×(2+3+4+5)=3.5,‎ =×(2.5+3+4+4.5)=3.5,‎ ‎∴==0.7,‎ =3.5-0.7×3.5=1.05.‎ ‎∴=0.7x+1.05.‎ 回归直线如图所示.‎ ‎(2)将x=10代入线性回归方程,得 =0.7×10+1.05=8.05,‎ 故预测加工10个零件需要8.05小时.‎ ‎6.某校高三期中考试后,数学教师对本次全部数学成绩按1∶20进行分层抽样,随机抽取了20名学生的成绩为样本,成绩用茎叶图记录如图所示,但部分数据不小心丢失,‎ 同时得到如下表所示的频率分布表:‎ 分数段(分)‎ ‎[50,70)‎ ‎[70,90)‎ ‎[90,110)‎ ‎[110,130)‎ ‎[130,150]‎ 总计 频数 b 频率 a ‎0.25‎ ‎(1)求表中a,b的值及成绩在[90,110)范围内的样本数,并估计这次考试全校高三学生数学成绩的及格率(成绩在[90,150]内为及格);‎ ‎(2)若从茎叶图中成绩在[100,130)范围内的样本中一次性抽取两个,求取出两个样本数字之差的绝对值小于或等于10的概率.‎ 解 (1)由茎叶图知成绩在[50,70)范围内的有2人,在[110,130)范围内的有3人,‎ ‎∴a=0.1,b=3.‎ ‎∵成绩在[90,110)范围内的频率为1-0.1-0.25-0.25=0.4,‎ ‎∴成绩在[90,110)范围内的样本数为20×0.4=8.‎ 估计这次考试全校高三学生数学成绩的及格率为 P=1-0.1-0.25=0.65.‎ ‎(2)所有可能的结果为 ‎(100,102),(100,106),(100,106),(100,116),(100,118),(100,128),(102,106),(102,106),(102,116),(102,118),(102,128),(106,106),(106,116),(106,118),(106,128),(106,116),(106,118),(106,128),(116,118),(116,128),(118,128),共21个,‎ 取出的两个样本中数字之差小于或等于10的结果为(100,102),(100,106),(100,106),(102,106),(102,106),(106,106),(106,116),(106,116),(116,118),(118,128),共10个,‎ ‎∴P(A)=.‎
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